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Heat transfer 15th week lecture
Chapter 10: Heat exchanger
■ 서론
열교환기는 다른 온도의 두 유체간 열전달을 유용하게 하는 장치이다. 대다수 열교환기에서 고체벽은 서로
직접적으로 접촉하지 않도록 두 유체를 통해 분리한다. 열교환기의 주된 열전달 방식은 대류와 전도이다.
대류는 고체벽의 각 면의 유체 경계층에서 발생하고, 전도는 벽 자체에서 일어난다 (복사의 경우 우주선내의
열전달에서의 수단). 열교환기의 선택은 반드시 경제성을 염두에 두어야 하나, 이 장에서는 열교환기를
기술적인 측면의 해석에 국한하여 열교환기의 성능을 예측, 크기를 측정하고, 열교환기의 종류가 어떤 것이
있는 지를 살펴본다.
Figure 1. Heat exchanger
■ 총괄열전달계수
2 장의 정상상태의 1 차원전도에서 총괄열전도계수에 대해서 다루었다. 평면벽의 양쪽이 유체에 노출되어
있는 경우 (예시: 공기에 노출된 평면벽): 대류-전도-대류가 일어나므로, 각각의 경우에 대한 열전달 방정식을
세운후 정리하면, 전체 열저항을 구할 수 있다. 이때 총괄열전달계수는 1/(열저항 곱하기 단면적)이 된다.
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Figure 2. Overall heat transfer in plane wall (see chapter 2)
원통의 경우도 마찬가지로 계산할 수 있다 (단, 원통의 경우는 설계자의 선택에 따라 내부 및 외부 면적을
기준으로 할 수 있다.
Figure 3. Overall heat transfer in hollow cylinder
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대부분의 실제 문제에서 전도저항은 대류 저항에 비해 작고, 만약 대류 열전달계수 h 값 중의 하나가 다른
것에 비해 두드러지게 작다면 이 항이 총괄열전달계수에서 중요한 역할을 하게 된다(교과서의 예제 10-1 및
10-2 를 참조하라).
■ 불결계수 (Fouling factor) = 오염저항
열교환기를 오랫동안 사용하면, 유동 유체속에 존재하는 여러 물질들이 열교환기의 열전달 면 위에
침전하거나 열교환기 제작에 사용된 물질과 유체와의 상호작용으로 표면이 부식하게 된며, 이는 열저항을
야기하여 열교환기 성능을 감소 시킨다. 이러한 효과를 불결계수, 불결저항, 혹은 오염저항이라고 한다.
이러한 현상은 다양한 메커니즘에 의해서 발생한다. 화학적으로는 포면 물질과 유체가 표면반응을 통해서
부식되고 산화물층을 형성함으로써, 성능이 감소하는 현상이 발생한다. 생물학적 오염은 표면에 생물학적인
조직이 쌓여 발생하는 것이고 동결오염은 차가워진 표면에서 액체가 결정화 될 때 일어난다. 열교환기의
오염은 많은 변수, 청소 이후시간, 유체속도, 온도, 표면화학, 그리고 유체의 청결함 등등에 의존하는 복잡한
현상이다.
앞에서 다룬 총괄열전달계수는 깨끗한 열전달 표면에 적용되는 것으로서 위와 같은 현상이 생길 경우에는
불결계수를 고려해 주어야 한다. 일반적으로, 불결계수는 깨끗한 상태와 더러운 상태의 열교환기에 대한
총괄열전달 계수 U 의 값을 실험적으로 구하여 얻어진다.
𝑅𝑓 =1
𝑈𝑑𝑖𝑟𝑡𝑦
−1
𝑈𝑐𝑙𝑒𝑎𝑛
교재의 표 10.2 에 일반적인 불결계수가 주어져 있다.
■ 대수평균온도차
이중관 열교환기에서 유체는 서로 평행하게 흐르거나 반대 방향으로 흐른다. 이 두경우에 대한 온도분포는
주어진 그림에서 볼수 있다. 그림을 통해 뜨거운 유체와 차가운 유체사이의 온도차가 입구와 출구사에서
계속 변하는 것을 알 수 있다. 유체사이의 온도차가 계속해서 변하기 때문에, 열전달을 구하기 위해서는
평균온도차를 구해야만 한다.
두 경우에 대한 열전달률은 총괄열전달계수를 이용하여 구할 수 있다.
𝑞 = 𝑈𝐴∆𝑇𝑚
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U 는 총괄열전달계수, A 는 U 에 일치하는 열전달 면적, ∆𝑇𝑚은 열교환기 내에서의 적절한 평균온도차를
의미한다.
Figure 4. Double-pipe heat exchanger (Holman 10th edition, 2011)
이때의 평균온도차를 다음과 같이 정의할 수 있고, 이를 대수평균온도차라(LMTD: log mean temperature
difference) 한다. 즉, 대수평균온도차는 한쪽 끝에서의 온도차에서 다른쪽 끝의 온도차를 뺀다음 이값을 이
두온도차의 비에 대해 자연 로그를 취한 값으로 나눈 것이며, 이는 이중관의 경우 평행류와 대향류의 경우
둘다 적용할 수 있다 (간단히 생각해보면, 유체의 온도차가 항상 다르기 때문에, 어떤 대표하는 값을 정한
것이라 할 수 있다).
∆𝑇𝑚 =(𝑇ℎ2 − 𝑇𝑐2) − (𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐1)
ln[(𝑇ℎ2 − 𝑇𝑐2)/(𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐1)]
h 는 뜨거운 유체의 온도, c 는 차가운 유체의 온도를 나타낸다.
위의 대수평균온도차는 두가지의 가정을 포함하고 있다
1) 유체의 비열은 온도에 따라 변화하지 않는다.
2) 대류열전달계수 h는 열교환기 내에서 일정하다.
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이런 가정들은 실제로는 맞지 않는 경우가 있기 때문에 일반적으로 수치해석적인 방법을 통해 이런 효과들에
대한 오차를 수정한다.
이중관 형태 이외의 열교환기에 대해서는 같은 온도 조건에서의 대향류 이중관 배열에 대한 LMTD 에
수정계수 F 를 곱하여 열전달률을 계산한다.
𝑞 = 𝑈𝐴𝐹∆𝑇𝑚
수정계수 F 값은 교재의 그림 10.8 에서 10.11 까지 주어져 있다.
Figure 5. Correction factor (Holman 10th edition, 2011)
♠ (참고) 응축이나 증발과 같은 상 변환가 있을 때는 유체는 일반적으로 상온을 유지하고 그 관계식은
단순화 된다. 즉, P 혹은 R=0(그림 10.9-10.11)이되고, F=1 이 된다. 교재의 예제 10-4 에서 10-8 은 열교환기
성능계산에서 LMTD 사용법을 설명해 주고 있다.
■ 유효도-NTU 방법
열교환기에 대한 LMTD 접근 방식은 입구 및 출구 온도가 알려졌거나 쉽게 구할 수 있을 때 유용하다 –
LMTD 를 쉽게 구할 수 있으면, 열전달율, 전열면적, 총괄열전달계수를 구할 수 있다. 하지만, 입구와 출구의
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온도가 주어지지 않은 경우 반복적 계산(Trial and Error)을 통해 문제를 풀어야 하기 때문에 LMTD 는
효과적인 방법이 아니다.
이경우 주어진 양의 열을 전달하는 열교환기의 유효도에 기초를 둔 방법을 활용하면 보다 쉽게 열교환기에
대한 해석이 가능하다 – 유효도 방법은 어떤 주어진 열교환 목적을 수행하는데 가장 적합한 열교환기를
선택하기 위해 여러 열교환기 종류들을 서로 비교할 때 편리한 점이 많다.
Effectiveness = ϵ =Actual heat transfer
Maximum possible heat transfer
실제 열전달은 드거운 유체에서 빠져나간 에너지 또는 차가운 유체가 얻은 에너지로부터 계산된다. 앞서
나온 평행류 및 대향류 열교환기에 대해서 보면
1) 평행류
𝑞 = �̇�ℎ𝑐ℎ(𝑇ℎ1 − 𝑇ℎ2) = �̇�𝑐𝑐𝑐(𝑇𝑐2 − 𝑇𝑐1)
2) 대항류
𝑞 = �̇�ℎ𝑐ℎ(𝑇ℎ1 − 𝑇ℎ2) = �̇�𝑐𝑐𝑐(𝑇𝑐1 − 𝑇𝑐2)
이 열교환기에 대해서 최대로 가능한 열전달률은 더운 유체와 차가운 유체의 입구에서의 온도차가 최대일 때,
이 최대온도차를 받는 유체는 �̇�𝑐가 최소가 되는 유체이다. 왜냐하면, 에너지 보존의 법칙에서 한유체가 받은
에너지는 다른 유체가 잃은 에너지와 같아야 하기 때문이다. 즉, 어떤 유체가 큰 �̇�𝑐를 갖고 최대온도차를
받는다고 하면 다른 유체는 그 최대 값보다 더 큰 온도차를 나타내야 하는데 이것은 불가능하다.
최대로 가능한 열전달률은
𝑞𝑚𝑎𝑥 = (�̇�𝑐)𝑚𝑖𝑛(𝑇ℎ𝑖𝑛𝑙𝑒𝑡− 𝑇ℎ𝑜𝑢𝑡𝑙𝑒𝑡
)
�̇�𝑐가 최소인 유체는 질량유량 및 비열에 따라 뜨거운 유체거나 차가운 유체가 될 수 있다.
일반적으로, 열용량률이 최소인 유체는 가장 큰 온도차이를 보이는 유체이고, 가장 큰 온도차는 항상 뜨거운
유체와 차가운 유체의 입구에서의 온도차가 된다.
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1. 평행류 열 교환기의 경우에
1) 뜨거운 유체의 열용량률이 최소일 때
ϵℎ =𝑞𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
𝑞𝑚𝑎𝑥
=�̇�ℎ𝑐ℎ(𝑇ℎ1 − 𝑇ℎ2)
�̇�ℎ𝑐ℎ(𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐1)=
𝑇ℎ1 − 𝑇ℎ2
𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐1
2) 차가운 유체의 열용량률이 최소일 때
𝜖𝑐 =𝑞𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
𝑞𝑚𝑎𝑥
=�̇�𝑐𝑐𝑐(𝑇𝑐2 − 𝑇𝑐1)
�̇�𝑐𝑐𝑐(𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐1)=
𝑇𝑐2 − 𝑇𝑐1
𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐1
2. 대항류 열교환기의 경우에
1) 뜨거운 유체의 열용량률이 최소일 때
ϵℎ =𝑞𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
𝑞𝑚𝑎𝑥
=�̇�ℎ𝑐ℎ(𝑇ℎ1 − 𝑇ℎ2)
�̇�ℎ𝑐ℎ(𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐2)=
𝑇ℎ1 − 𝑇ℎ2
𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐2
2) 차가운 유체의 열용량률이 최소일 때
𝜖𝑐 =𝑞𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
𝑞𝑚𝑎𝑥
=�̇�𝑐𝑐𝑐(𝑇𝑐1 − 𝑇𝑐2)
�̇�𝑐𝑐𝑐(𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐2)=
𝑇𝑐1 − 𝑇𝑐2
𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐2
일반적으로 유효도는
ϵ =Δ𝑇 (최소유체)
열교환기 내에서의 최대온도차
총괄열전달계수를 포함한 형태로 유효도를 표현하면
1) 평행류
𝜖 =1 − exp[(−𝑈𝐴/𝐶𝑚𝑖𝑛)(1 + 𝐶𝑚𝑖𝑛/𝐶𝑚𝑎𝑥)]
1 + 𝐶𝑚𝑖𝑛/𝐶𝑚𝑎𝑥
2) 대항류
𝜖 =1 − exp[(−𝑈𝐴/𝐶𝑚𝑖𝑛)(1 − 𝐶𝑚𝑖𝑛/𝐶𝑚𝑎𝑥)]
1 − (𝐶𝑚𝑖𝑛/𝐶𝑚𝑎𝑥) exp[(−𝑈𝐴/𝐶𝑚𝑖𝑛)(1 − 𝐶𝑚𝑖𝑛/𝐶𝑚𝑎𝑥)]
여기서, 𝑼𝑨/𝑪𝒎𝒊𝒏를 전달단위수 (Number of transfer units: NTU)라고 하며 열교환기의 크기를 나타낸다.
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교과서의 표 10.3 은 유효도 관계식을 요약한 것이고, 표 10.4 는 NTU 의 유효도와 용량의 비를 나타내었다.
여러종류의 열교환기 배열에 대한 유효도 비가 그림 10.12 부터 10.17 까지 그래프 형태로 나타나
있다(교재의 예제 10-9 부터 10-14 까지를 참고하라).
Figure 6. NTU for various heat exchanger
■ 보일러와 응축기
비등 또는 응축과정에서 유체의 온도는 일정한 온도를 유지하여 유체가 무한대의 비열값을 갖는 것과 같이
행동한다.
이 경우, 𝐶𝑚𝑖𝑛/𝐶𝑚𝑎𝑥 → 0이고, 열교환기 유효도 관계식은 단순화 된다.
ϵ = 1 − e−𝑁𝑇𝑈
이 경우 열전달은
q = C𝑚𝑖𝑛(𝑇ℎ,𝑖𝑛𝑙𝑒𝑡 − 𝑇𝑐,𝑖𝑛𝑙𝑒𝑡)[1 − exp(𝑈𝐴/𝐶𝑚𝑖𝑛)]
C𝑚𝑖𝑛 = �̇�𝑐𝑐𝑐 응축기의 경우 (응축되는 유체가 열을 잃음)
C𝑚𝑖𝑛 = �̇�ℎ𝑐ℎ 보일러의 경우 (끓는 유체가 열을 얻음)
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■ 유효도와 열전달률
1. 높은 유효도가 낮은 유효도 조건 보다 열전달률이 더 높다는 것을 의미하지는 않는다.
2. 높은 유효도를 가진다는 것은 고온유체와 저온유체간의 온도차가 작다는 것을 뜻하는 반면 높은
열전달률은 두 유체간의 온도차가 클 때 얻어진다.
3. 높은 유효도를 갖는다는 것은 열역학적 비가역성을 감소히키고 엔트로피의 증가를 낮추는 것을 뜻한다 –
쓸모없는 에너지를 줄여 에너지 효율을 높인다.
4. 열전달과 유효도를 둘다 높이기 위해서는 UA 값을 증가시켜야 하는데, UA 값의 증가는 열교환기의 크기를
증가시키던가 (비용증가) 또는 열교환기 내 유체의 유동속도를 높임으로서 대류열전달 계수를 증가시켜야
한다 (혹은 열전달 촉진기술을 도입해야 한다) – 압력감소와 펌핑에 소요되는 경비는 열교환기의 설계와
선책에 있어 중요한 인자이다.
■ 열교환기 예제
1. 대향류형 이중관 열교환기에서 2 kg/s 의 오일을 사용하여 0.5 kg/s 의 물을 30°C 에서 90°C 로 가열한다.
오일의 비열은 2 kJ/kg∙°C 이고 열교환기 입구에서의 온도는 150°C 이다. 총괄열전달계수는 400
W/m2∙°C 일 때, 열교환 면적, 전달단위수 및 유효도를 구하여라(물의 비열은 4.2 kJ/kg∙°C 이다)
(solution)
주어진 조건에 의해서 오일이 높은 온도, 물이 낮은 온도의 유체라 할 수 있다.
열교환기에서의 총 열전달을 구하면,
𝑞 = �̇�𝑤𝐶𝑝𝑤(𝑇𝑐2 − 𝑇𝑐1) = 0.5 × 4200 × (90 − 30) = 126 𝑘𝑊
오일의 출구에서의 온도를 구하면,
𝑞 = �̇�𝑜𝐶𝑝𝑜(𝑇ℎ1 − 𝑇ℎ2) → 126 = 2 × 2000 × (150 − 𝑇ℎ2)
∴ 𝑇ℎ2 = 150 −126000
2 × 2000= 118.5℃
따라서, 대수평균 온도차를 구하면,
∆𝑇𝑚 =(𝑇ℎ2 − 𝑇𝑐2) − (𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐1)
ln[(𝑇ℎ2 − 𝑇𝑐2)/(𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐1)]=
(118.5 − 30) − (150 − 90)
ln[(118.5 − 30)/(150 − 90)]= 73.3℃
열교환 면적을 구하면,
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𝑞 = 𝑈𝐴∆𝑇𝑚 ⟹ 𝐴 =𝑞
𝑈∆𝑇𝑚
=126 × 103
400 × 73.3= 4.3 𝑚2
유효도를 구하기 위해서, 최소열용량인 유체를 구해야 하므로,
�̇�𝑤𝐶𝑝𝑤 = 0.5 × 4200 = 2100 𝑊 ℃⁄
�̇�𝑜𝐶𝑝𝑜 = 2 × 2000 = 4200 𝑊 ℃⁄
따라서, 물(차가운 유체)이 최소열용량인 유체가 된다.
그러므로,
𝜖𝑐 =𝑞𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
𝑞𝑚𝑎𝑥
=𝑇𝑐1 − 𝑇𝑐2
𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐2
=90 − 30
150 − 30= 0.5
전달단위수는
𝑁𝑇𝑈 =𝑈𝐴
𝐶𝑚𝑖𝑛
=400 × 4.3
2100= 0.82
2. Hot exhaust gases are used in a double-pipe heat exchanger to heat 2.5 kg/s of water 𝑐𝑤 =
4.18 kJ/kg℃) from 35 to 85℃. The gases (𝑐𝑝 = 1.09 kJ/kg℃) enter at 200 and leave at 100℃. The
overall heat-transfer coefficient is 180 W/m2∙ ℃. Calculate the area of the heat exchanger using
both LMTD and NTU
(solution)
With LMTD method
In counter flow in double-pipe heat exchanger, LMTD is calculated by
∆𝑇𝑚 =(𝑇ℎ2 − 𝑇𝑐2) − (𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐1)
ln[(𝑇ℎ2 − 𝑇𝑐2)/(𝑇ℎ1 − 𝑇𝑐1)]=
(200 − 85) − (100 − 35)
ln[(200 − 85)/(100 − 35)]= 87.6℃
𝑞 = �̇�𝑤𝑐𝑤∆𝑇 = 2.5 × 4.18 × (85 − 35) = 522.5 kW
∴ 𝑞 = 522.5 kW = 𝑈𝐴𝐹∆𝑇𝑚 = 0.18 × 𝐴 × 87.6
∴ 𝐴 =522.5
0.18 × 87.6= 33.1 m2
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With NTU method
We have to find C𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑔𝑐𝑔 and C𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑤𝑐𝑤
𝑞 = �̇�𝑤𝑐𝑤∆𝑇 = 𝑚𝑔𝑐𝑔 × (200 − 100) ⟹ 𝑚𝑔𝑐𝑔 =522.5
100= 5.225 kJ/s∙℃ = C𝑚𝑖𝑛
C𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑤𝑐𝑤 = 2.5 × 4.18 = 10.45kJ/s∙℃
∴C𝑚𝑖𝑛
C𝑚𝑎𝑥
=5.225
10.45= 0.5
ϵ =Δ𝑇 (minmum fluid)
maximum temperature difference in heat exchanger=
200 − 100
200 − 35= 0.606
Using Figure 10-13
𝐴𝑈
𝐶𝑚𝑖𝑛
= 1.2 ⟹ ∴ 𝐴 =1.2 × 5.225
0.18= 34.8 m2
