Chapter 2

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二進制數值與數字系統二進制數值與數字系統

2 Ch02 二進制數值與數字系統 25

目標• 研讀完本章後，你應該可以：

– 知道不同類型的數字系統– 描述位置表示法。– 將其他基底的數字轉換為以 10 為基底的數字。– 將以 10 為基底的數字轉換為其他基底的數字。– 描述基底 2 、基底 8 以及基底 16 之間的關係。– 解釋以 2 的冪次為基底計算的重要性。

3 Ch02 二進制數值與數字系統

數字與運算• 數字 (number)

– 屬於抽象系統概念的一種單位，它遵守接續、加法與乘法的指定法規。

• 自然數 (natural number)– 是 0 或任何重複加 1 至該數字所得到的數字。自然數是我們計數時使用的數字。如： 100, 0, 45645, 32

• 負數 (negative number)– 是小於 0 ，且以負號與正數相對應的數字。如： -24,

-1, -45645, -32


數字與運算• 整數 (integer)

– 是自然數或任何這些數的負值。例如： 249, 0, - 45645, - 32

• 有理數 (rational number)– 是一個整數或兩個整數的商──也就是任何可以用分數表示的數值。

– 被除數／除數，除數不得為 0

– 例如： -249, -1, 0, ¼ , - ½


位置表示法• 基底 (base)

– 可以用來指定用於此系統的數元 (digit) 數目。– 如：以 8 為基底，其可能數元有 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

• 位置表示法 (positional notation)– 數字系統是以位置表示法來書寫。– 最右邊數元代表它的數值乘上此基底的 0 次方，左邊一個數元代表它的數值乘上此基底的 1 次方，下一個數元代表它的數值乘上此基底的 2 次方，再下一個數元代表它的數值乘上此基底的 3 次方，依此類推。

– 一個數值的基底決定了其所需代表數元的數目以及各數元位置的值


位置表示法 943 代表多少個 1 ？

此數字代表基底為 10

指數代表此數字所在的位置

表示法 94313

7 Ch02 二進制數值與數字系統 7

dn * Rn-1 + dn-1 * Rn-2 + ... + d2 * R + d1

以方程式表示：

64213 是：

63 * 132 + 42 * 13 + 21 = 106810

R 是基底的數字

n 是此數字的數元數目

d 是此數字由右算起第 i 個位置的數元

位置表示法


二進制、八進制與十六進制• 給定一個數字，為了使某一數字系統可正確代表其數值，此數字系統必須包括該數字所有數元– 例如： 284 只能存在於基底為 9 與更高數值的數字系統。

• 基底 16 (Hexadecimal) 的 16 個數元是：– 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

ABC16 ( 以 ABCH 表示 ) 代表多少個 1 ，請以 10 進位表示？


二進制、八進制與十六進制• 讓我們將二進制 ( 基底 2) 數字 10101102 轉換成十進制。


其他基底的算術二進制加法 ( 由右至左 ) ：

進位數值 1 0 1 0 1 1 1 + 1 0 0 1 0 1 1

111111 0

01000101

其他基底比照處理，請練習 2348 + 1768


記得借入嗎？將該觀念應用於此處：

1 0 1 0 1 1 1 - 1 1 1 0 1 1

0 20 21 2

0011100

二進制減法 ( 由右至左 ) ：

其他基底比照處理，請練習 2348 - 1768


2 的次方的數字系統• 二進制 (Binary) 與八進制 (Octal) 數字彼此有個特殊的關係：– 已知一個以二進制表示的數字，你可以將它以八進制讀出來，並得到一個以八進制表示的數字，你也可以將它以二進制讀出來。

– 二進制可以立即轉換成八進制，八進制也可以立即轉換成二進制的理由是 8 為 2 的次方。二進制與十六進制之間也有相似的關係。每個十六進制數元可以用 4 個二進制數元來表示。


2 的次方的數字系統


將二進制轉換成八進制

• 每三位數分為一個群組 ( 由右方開始 )• 將每個群組轉換

101010112 10 101 011 2538

2 5 3

以 2 為基底的 101010112 其值與以 8 為基底的 2 5 3 ( 以 2538 表示 ) 的值相等


將二進制轉換成 16 進制

• 每三位數分為一個群組 ( 由右方開始 )• 將每個群組轉換

10101001 1010 1001 A 9

以 2 為基底的 101010012 等於以 16 為基底的 A 9 ( 以 A9H 表示 )


將數字由基底 10 轉換成由其他基底來表示• 轉換基底為 10 的數字為其他基底，需要將該數字 ( 被除數 ) 除以你想要轉換數字的基底，由得到的商 (quotient) 及餘數 (remainder) 計算得到。其詳細步驟 ( 演算法， algorithm) 如下：

迴圈

1. 將被除數除以新基底

2. 將得到之餘數放在此答案的左方下一個數元位置

3. 將被除數改設為商

當商數不為 0 時，回到步驟 1; 當商數為 0 時，結束，得到答案


練習• 基底為 10 之數字 3567 在基底為 16 時怎麼表

示 ?• 基底為 10 之數字 3567 在基底為 5 時怎麼表

示 ?• 基底為 10 之數字 3567 在基底為 2 時怎麼表

示 ?

222 13 0 16 3567 16 222 16 13

32 16 0 36 62 13 32 48 47 14 32 15

FED


二進制數值與電腦• 電腦內部的數字是以二進制形式表示。• 電腦內部的每一個儲存場所要不是含有高電壓訊號，就是含有低電壓訊號。

• 低電壓訊號等同符號 0 ，高電壓訊號則等同符號 1 。• 每一個儲存單元稱為二進制數元 (binary digit) 或簡稱位元 (bit) 。

• 位元聚集在一起成為位元組 (bytes) (8 bits) ，位元組聚集在一起則成為字組 (words) 。

• 字組的位元數目就是已知的電腦字組長度。– 32- 位元機器、 64- 位元機器等等


道德的議題：電腦與祖國安全• 稱為 Carnivore 的工具 (

http://en.wikipedia.org/wiki/Carnivore(software) ) 安裝於網際網路服務提供者 (Internet Service Provider, ISP) ，可以掃描與收集所有經過此機器的資料。

• Carnivore 能追蹤已知 ISP 上所有客戶在網路上搜索資料或娛樂的習慣。它不僅可以讀取電子郵件，也能讀取即時訊息、追蹤線上購物以及任何流經ISP 的其他東西。

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