Chapter 5 隨機變數 Part I

Chapter 5 隨機變數 Part I

結束

隨機變數隨機變數

5-1 隨機變數的定義5-2 累積分布函數5-3 隨機變數的分類5-4 期望值與變異數5-5 常用離散機率分布5-6 常用連續機率分布5-7 二項分布的常態近似

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5-1 隨機變數的定義

樣本空間之樣本點可能是數值，亦可能為質的敘述( 質化 ) ，例如 S={ 良品、不良品 } 。通常對一個試驗，所關切的不是樣本點的敘述，而是一個出象的數值意義，例如三個產品的結果，若以 A 代表良品， B 代表不良品，則樣本空間為{AAA, ABA, ABB, BAA, BAB, BBB, AAB, BBA} 。故必須透過某種函數將原有樣本空間對應到不良品數 {0,1,2,3} ，這種函數即稱為隨機變數 (random variable) 。

結束


設 S 為隨機試驗的樣本空間。對於每一個樣本點 s S 皆對應一個實數 X(s) 的函數 X ，稱為隨機變數。所有隨機變數 X 可能對應數值的集合，稱為值域 (range space) 。以符號 Rx 表示。

5-1

結束

Ex. 1

檢驗三種產品的結果可表成 S={AAA, ABA, ABB, BAA, BAB, BBB, AAB, BBA}

若隨機變數 X 代表不良品個數，則 X(AAA)=0

X(ABA)=X(BAA)=X(AAB)=1

X(ABB)=X(BAB)=X(BBA)=2

X(BBB)=3

Rx={0,1,2,3}

結束

Ex. 2

若原有的樣本空間 S 以具有所要的數值時，可取X(s)=s 。例如投擲一骰子一次所得的樣本空間為S={1,2,3,4,5,6} ，若只關心點數是多少，則取X(1)=1, X(2)=2, …, X(6)=6 等。但若關心點數呈現奇數或偶數時，則可先以 0 代表奇數， 1 代表偶數，再定義隨機變數 X

X(1)=X(3)=X(5)=0

X(2)=X(4)=X(6)=1

如何利用隨機變數，從原來樣本空間引出所需要訊息

結束

設 B 為 Rx 中的一個事件，若A = { s S | X(s) B }

則定義事件 B 的機率 P (B) 為 P (A) 。

5-2


結束

Ex. 3

在 Ex.1 中，樣本空間 S 裡的出象皆具有相同機率，即

P(AAA)=P(AAB)=P(ABA)=P(ABB)

=P(BAA)=P(BAB)=P(BBA)=P(BBB)=1/8

Rx 中事件 {X=1} 的機率，由定義，為 P(X=1)=P({ABA,BAA,AAB)}=3/8

而 P(X=0)=P(AAA)=1/8

P(X=2)=P({ABB,BAB,BBA})=3/8

P(X=3)=P(BBB)=1/8

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5-2 累積分布函數

為了便於描述隨機變數之機率特性，定義隨機變數之累積分布函數 (Cumulative distribution function)

設 X 為隨機變數，對於任意實數 x ，函數F (x) = P (X x)

稱為 X 的累積分布函數。常簡寫成 c. d. f 。

5-3

結束

Ex. 4

在 Ex. 3 中，隨機變數 X 之累積分布函數為：

x

x

x

x

x

xF

3,1

32,8

7

21,8

4

10,8

1

0,0

)(

1 2 3

1/8

4/8

7/8

1

x

結束

由 Ex. 4 ，可了解累積分布函數具備下面特性(1) 0 F(x) 1 。(2) F 為單調非遞減函數，即若 x1 < x2 ，則 F (x1) F

(x2) 。(3) 　(4) 對於每一個 x ， F (x) 為右邊連續 (continuous to

the right) 。且當 x = a ，函數 F 具有跳距 (jump)時， P (X = a) = F (a) F(a) > 0 ，其中 F (a) 為 F 在 x = a 的左極限。又當 F 在 x = a 為連續時， P (X = a) = 0 。

lim ( ) 0 lim ( ) 1x x

F x F x

和


結束

(5) 若 x1 < x2 ，則 (a, b 為單點機率 )

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P x X x F x F x

P x X x F x F x P x a P x b

P x X x F x F x P x a

P x X x F x F x P x b


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5-3 隨機變數的分類依據累積分布函數之第四個特性：若 F 在 x=a 為連續，則 P(X=a)=0 ，若 F 在 x=a 不連續，則P(X=a)>0 ，可將隨機變數區分為離散 (discrete random variable) 與連續隨機變數 (continuous random variable) 兩大類。機率函數 p(x) 具有下列特性(1) 對於所有實數 x ， 0 p (x) 。

(2) 　　　　　。1

( ) 1ii

p x

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Ex. 5

心理學家以某種動作以檢視猴子是否有所反應，假設每次試驗猴子有反應的機率為 1/3 ，若試驗一直進行到猴子第一次有反應為止。以 S 表示有反應， F 表示沒有反應，則樣本空間 S 為： {S, FS, FFS, FFFS,…}

若令隨隨機變數為猴子第一次有反應為止的試驗次數，則可得X 的機率函數如下：

其一般式為亦可利用機率函數計算之，例如：P(X≥3)=1-P(X<3)=1-(1/3+2/9)=4/9

P(2≤X≤4)=p(2)+p(3)+p(4)=2/9+4/27+8/81/=38/81

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1)(

432132

xp

x

,...2,1,3

1

3

2)()(

1

xxXpxpx

結束

Ex. 6

試問當 c 為何值時，下述函數

方可代表一個機率函數。解：為使 p(k)≥0 ， c 必須為正數又

故 c=1/2

,...2,1,0,2

1)()( kckXPkp

k

0 0

1212

11)(

k kk

cckp 或，即

結束

機率密度函數若 X 為連續隨機變數，則每一數值發生機率為 0 。因此無法像離散隨機變數可定義一個代表機率的函數。但是可以定義一個機率密度函數 (probability density function, p.d.f) ，使得在曲線 f 下，介於任意值 a 、 b 間面積可代表機率值 P(a≤X≤b} ，亦即

b

adxxfbXaP )()(

P(a≤X≤b}

結束

機率密度函數因此可以得到 P(X=0)=0 的結論，因為

因此由於 F(x)=P(X≤x) ，累積分布函數與機率密度函數的關係為：

因對 F 可微分的所有 x 點，又因為 F(x) 為一非遞減函數，故機率密度函數特性：

a

adxxfaXP )()(

)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP

duufxF )()(

)()( xFdx

dxf

0)(0)( xfxFdx

d，所以

1)()(

dxxfxF

結束

Ex. 7

若函數

解： (1) 若 f 為一機率密度函數，則

)23()3(

)()2(

)()1(

,0

30,)( 3

XP

xF

Xxfc

xcxxf

求求出累積分布函數

的機率密度函數成為一隨機變數值，使試求

其他

81

44

81

1)(

3

0

33

c

cdxcxdxcx

dxxf

因此

結束

Ex. 7

(2) 當 0≤x≤3 時，

81

160

81

16)3()2()23()3(

3,1

30,81

1

0,0)(8181

4)(

4

0

43

FFXP

x

xx

xxF

xdxxF

x

x

因此

結束

Ex. 8

若隨機變數之累積分布函數為

(1)試求 X 的機率密度函數(2)試求 P(X>3)

1,1

1

1,0)(

2

xx

xxF

結束

Ex. 8 answer

解：

1,0)(

1,2

)()()1(3

xxf

xx

xFdx

dxf

當而

當

9

1

9

81)3(1)3()2( FXP

f(x)

x

1,1

1

1,0)(

2

xx

xxF

結束

Ex. 9

已知電唱機唱針壽命 X 的機率密度函數為：

(1)試問唱針至少可使用 150 小時的機率為何？(2)若已知唱針已使用 150 小時，試問唱針在 200 小

時內損壞的機率是多少？ ( 條件機率 )

0,0

0,100

1)( 100

x

xexfx

結束

Ex. 9 answer

394.01

)(

)(

100

11

)150(

)200150()150|200(

)150|200()2(

223.0100

1)150()1(

5.0

5.125.1

200150

1005.1

200

150

1005.1

5.1150

100

150

100

e

eee

ee

dxee

XP

XPXXP

XXP

eedxeXP

x

x

xx

由條件機率定義所求為條件機率

結束

5-4 期望值與變異數

機率函數、機率密度函數、及累積分布函數可說包含隨機變數所有特性。但在許多情況下，只需要幾個適切數值已表示其特性就夠了。最常使用的兩個數值即為機率分布的期望值與變異數。

設 X 為一離散隨機變數，其可能值為 x1, x2,…… ，則稱

為 X 的期望值 (expectation, expected value) 或平均數 (mean) 。

5-5

1

( ) ( )i ii

E X x p x

結束

設 X 為一連續隨機變數，其機率密度函數為 f (x) ，則稱

為 X 的期望值。通常 E (X) 也以符號表示。

( ) ( )E X xf x dx


結束

Ex. 10

投擲一公正骰子，設隨機變數 X 代表出現點數，則 p(1)=p(2)=…=p(6)=1/6

因此

E(X)=11/6+21/6+…61/6=3.5

此處 E(X)=3.5 並不是 X 的可能值，而期待表示當試驗重複很多次後，所得到的點數 x1, x2, …,xn 之平均值。

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Ex. 11

剛滿 44歲的李先生，向某壽險公司購買一年期金額為25,000元保單，而李先生在其初時需付保費 100元給壽險公司，由生命表中可查知一個 44歲的人可生存至 45歲的機率為 0.99681 。若設隨機變數 X 為壽險公司在此次交易中的利潤。則 S={100,-24900}

p(100)=0.99681 ， p(-24900)=0.00319

因此 E(X)=(100)(0.99681)+(-24900)(0.00319)

= 20.25注意： μ=20.25元並不是壽險公司在此次交易的利潤，而是表示當一群年紀與身體狀況與李先生一般的人投保時，壽險公司在這些交易上平均每張保單上可獲得 20.25元利益。

結束

Ex. 12

設隨機變數 X 為某種電子零件的壽命 ( 以小時計算 ) ，其機率密度函數為：

經常當在已知隨機變數 X 的機率分布時，卻希望預測到另一個隨機變數 g(X) 的期望值。例如：若 X 代表某公司產品每個月的銷售量，而 Y=g(X) 為銷售量函數，表示每個月利潤，因此常需計算隨機變數 g(X) 之期望值。

100 100 23

3

2001

20002000

)(

,0

100,2000

)(

dxx

dxx

xXE

xx

xf

則其壽命的期望值為其他

結束

若 X 為一離散隨機變數，其機率函數為 p(x) ，則對於任意函數 g(X) ，

若 X 為一連續隨機變數，其機率密度函數為 f (x) ，則對於任意函數 g(x) ，

5-1

1

( ( )) ( ) ( )i ii

E g X g x p x

( ( )) ( ) ( )E g X g x f x dx


結束

Ex. 13

設隨機變數 X 的機率函數為

解：之期望值試求

其他2)1(

,0

3,6

1

1,2

1

0,3

1)(

XY

x

x

xxp

1)6

1)(4()

2

1)(0()

3

1)(1(

)3()13()1()11()0()10())1(( 2222

pppXE

結束

Ex. 14

設隨機變數 X 的機率密度函數為

解：的期望值試求

其他12)(

,0

21,3

)(2

Xxg

Xx

xf

2

1

23

2

1

2

2

3)2(

3

13

)12()12(

dxxx

dxx

xXE

結束

設 X 為隨機變數， a 、 b 為實數，則(1) E (aX + b) = aE (X) + b

(2) E (g (X) + h (X)) = E (g (X)) + E (h (X))

設隨機變數 X 的期望值為，則

稱為 X 的變異數。變異數也可用 2 ， V(X) 表示。

5-2

5-6

2 2[( ) ]x E X


結束

定理 5-3

2

22

22

2222

222

)]([)(

))1(25()(2)(

))2(25()()2()(

)2(])[(

)]([)(

2

XEXE

XEXE

EXEXE

XXEXE

XEXE

由定理

由定理

證明：由定義，

結束

Ex. 15

設 X 為某產品每天銷售量，其機率函數為

試求 V(X) 及標準差 σ

解： E(X)=0(0.1)+1(0.1)+2(0.2)+3(0.3)+4(0.2)+5(0.1)=2.7

X 0 1 2 3 4 5

p(x) 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1

42.101.2

01.2)7.2(3.9)]([)()(

3.9

)1.0(5)2.0(4)3.0(3)2.0(2)1.0(1)1.0(0)(

222

2222222

XEXEXV

XE

因此

結束

Ex. 16

設隨機變數 X 的機率密度函數為

解：)(

,0

21),1(2)(

XV

xxxf

試求其他

18

1)

3

5(

6

17)(

6

17)(

3

5)(

1

12

2

122

122

)(2)1(2)(

2

2

1221

12

2

1

12

1

XV

XE

XE

nnn

x

n

x

dxxxdxxxXE

nnnn

nnnn

因此

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