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Chapter 6 二叉树模型介绍. 一个简单的二叉树模型. 股票的现价为 $20 三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18. Stock Price = $22. Stock price = $20. Stock Price = $18. 一份看涨期权. 一份基于该股票的三个月到期的看涨期权,其执行价格为 $ 21. Stock Price = $22 Option Price = $1. Stock price = $20 Option Price=?. Stock Price = $18 Option Price = $0. - PowerPoint PPT Presentation
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Chapter 6
二叉树模型介绍
一个简单的二叉树模型
• 股票的现价为 $20
• 三个月之后股票的价格或为 $22 或为 $18
Stock Price = $22
Stock Price = $18
Stock price = $20
Stock Price = $22Option Price = $1
Stock Price = $18Option Price = $0
Stock price = $20Option Price=?
一份看涨期权
一份基于该股票的三个月到期的看涨期权,其执行价格为 $ 21.
• 考虑一个资产组合 : 持有 份股票 成为一份看涨期权的空头
• 当 22– 1 = 18 or = 0.25 ,资产组合是无风险的
22– 1
18
构造无风险资产组合
资产组合的估值( 无风险利率为 12% )
• 无风险组合为 :
持有 0.25 份股票成为一份看涨期权的空头
• 三个月后组合的价值为 220.25 – 1 = 4.50
• 组合在时刻 0 的价值为 4.5e – 0.120.25 = 4.3670
期权的估值• 资产组合为
持有 0.25 份股票 成为一份看涨期权的空头
组合在时刻 0 的价值为 4.3670• 股票的价值是 5.000
(= 0.25×20 )• 从而,期权的价格为• 0.633 (= 5.000 – 4.367 )
推广到一般情形
• 一个依赖于股票的衍生证券,到期时间为 T
Su ƒu
Sd ƒd
Sƒ
推广到一般情形(continued)
• 考虑一个组合:持有份股票,成为一份衍生证券的空头
• 当 满满满满满满满满满满满满满满满满 Su– ƒu = Sd – ƒd or
ƒu df
Su Sd
Su– ƒu
Sd– ƒd
推广到一般情形(continued)
• 组合在时刻 T 的价值为 Su – ƒu
• 组合在时刻 0 的价值为 (Su – ƒu )e–rT
• 组合在时刻 0 的价值又可以表达为 S – f
• 从而 ƒ = S – (Su – ƒu )e–rT
推广到一般情形(continued)
• 于是,我们得到 ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e–rT
其中
pe d
u d
rT
Risk-Neutral Valuation
• ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e-rT
• 变量 p 和 (1– p ) 可以解释为股票价格上升和下降的风险中性概率
• 衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值
Su ƒu
Sd ƒd
Sƒ
p
(1– p )
最初例子的修正
• 由于 p 是风险中性概率,所以 20e0.1
2 0.25 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523• 或者,我们可以利用公式
pd
u d
rT
e e0.12 0.25 0911 09
06523.
. ..
Su = 22 ƒu = 1
Sd = 18 ƒd = 0
S ƒ
p
(1– p )
期权的估值
期权的价值为 e–0.12×0.25 [0.65231 + 0.34770]
= 0.633
Su = 22 ƒu = 1
Sd = 18 ƒd = 0
Sƒ
0.6523
0.3477
两步二叉树模型
• 每步长为 3 个月
20
22
18
24.2
19.8
16.2
欧式看涨期权的估值
• 在节点 B 的价值 = e–0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257
• 在节点 A 的价值 = e–0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770)
= 1.2823
201.2823
22
18
24.23.2
19.80.0
16.20.0
2.0257
0.0
A
B
C
D
E
F
一个看跌期权的例子: X = 52
504.1923
60
40
720
484
3220
1.4147
9.4636
A
B
C
D
E
F
美式期权该如何估值?
505.0894
60
40
720
484
3220
1.4147
12.0
A
B
C
D
E
F