Upload
emil-tengwar
View
214
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
permodelan
Citation preview
16
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Model Persediaan
2.1.1 Model Deterministik
Model Deterministik adalah model yang menganggap nilai-nilai parameter telah
diketahui dengan pasti. Model ini dibedakan menjadi dua:
a. Deterministik Statis.
Di dalam model ini total permintaan setiap unit barang pada setiap periode
waktu diketahui dan bersifat konstan serta laju permintaan adalah sama untuk
setiap periode.
b. Deterministik Dinamik.
Dalam model ini permintaan untuk setiap periode diketahui dan konstan, tetapi
laju permintaan dapat bervariasi dari satu periode ke periode lainnya.
2.1.2 Model Stokastik (Probabilistik)
Model stokastik adalah model yang menganggap bahwa nilai-nilai parameter
merupakan nilai-nilai yang tidak tetap dengan satu atau lebih parameter tersebut
merupakan variabel random. Model ini dibedakan menjadi dua:
a. Probabilistik Statik.
Dalam model ini variabel permintaan bersifat random dan distribusi
probabilistik dipengaruhi oleh waktu setiap periode.
b. Stokastik Dinamik
Model ini mirip dengan probabilistik statik dengan pengecualian bahwa
distribusi probabilitas permintaan dapat bervariasi dari satu periode ke periode
lainnya.
Universitas Sumatera Utara
17
2.2 Kategori Biaya
Umumnya terdapat empat kategori biaya persediaan yang menentukan jawab optimal
masalah persediaan, yaitu:
2.2.1 Biaya Pembelian atau Produksi
Biaya pembelian adalah harga pembelian atau produksi yang memperlihatkan dua
jenis biaya yaitu:
a) Kalau harga pembelian adalah tetap maka ongkos persatuan adalah juga tetap,
tanpa melihat jumlah yang dibeli.
b) Kalau diskon tersedia maka harga per satuan adalah variable tergantung pada
jumlah pembelian.
2.2.2 Biaya Pemesanan
Pada umumnya, jumlah ordering cost menurun atau menaik sesuai dengan jumlah
pesanan. Biaya pemesanan ini biasanya mencakup beberapa hal, seperti: biaya
transportasi untuk mengangkut pemesanan, gaji pegawai yang terlibat dalam
pemesanan, seluruh perlengkapan yang digunakan dalam pemesanan, termasuk
formulir, telepon, dan biaya-biaya lainnya.
2.2.3 Biaya Penyimpanan
Biaya penyimpanan terdiri dari semua ongkos yang berhubungan dengan biaya
penyimpanan dalam stok. Biaya ini meliputi bunga modal yang tertanam dalam
persediaan, sewa gudang, asuransi, dan lain sebagainya. Biaya ini sebanding dengan
jumlah persediaan di dalam stok.
Universitas Sumatera Utara
18
2.2.4 Stock-Out Cost
Biaya ini timbul akibat tidak terpenuhinya kebutuhan pelanggan yaitu ketika
permintaan lebih besar dari pada persediaan. Biaya ini bergantung pada dua kasus
sebagai berikut.
Kasus pertama, kalau pelanggan rela menunggu, toko dapat melakukan pemesanan
spesial pada gudang.
Kasus kedua, adalah kalau pelanggan tidak rela menunggu, maka biaya terdiri dari
kehilangan untung dan lebih-lebih lagi kehilangan kepercayaan.
2.3 Titik Pemesanan Kembali (Reorder Point)
Reorder point (titik pemesanan kembali) adalah suatu tingkat persediaan yang
tetap ada dalam stok yang jumlahnya sama dengan permintaan selama masa waktu
yang dibutuhkan untuk menerima pesanan (disebut lead time).
Ketika permintaan bersifat pasti, persediaan akan berkurang / dihabiskan pada
tingkat yang diketahui, sehingga pesanan akan sampai tepat pada saat level persediaan
mencapai titik nol.
Titik pemesanan kembali (Reorder Point) pada permintaan pasti dalam model EOQ
(Economic Order Quantity) ditunjukkan dalam gambar berikut ini:
Level persediaan Q
Titik
Pemesanan
Kembali,R
t 2t
Tenggang waktu Tenggang waktu
Gambar 2.1 Titik Pemesanan Ulang dan Tenggang Waktu
Universitas Sumatera Utara
19
Sebagai contoh, sebuah toko karpet melakukan pemesanan kepada pembuat karpet
Super Shag dan dibutuhkan waktu 10 hari untuk menerima pesanan. Diketahui
permintaan adalah konstan 10.000 yard per tahun.
Andaikan: D permintaan per tahun
L Lead time (Waktu tenggang)
R Reorder point
Satu tahun terdiri dari 365 hari, maka permintaan per hari adalah / 365D .
Titik pemesanan kembali dihitung dengan mengalikan lead time dengan permintaan
per hari.
Sehingga R dapat dihitung sebagai berikut:
365
DR L
(10.000)
(10)365
R
274 yard
Titik pemesanan kembali sebesar 274 yard mengandung arti bahwa suatu pemesanan
harus dilakukan ketika persediaan mencapai 274 yard. Selama periode 10 hari ketika
pesanan sedang dikirim, 274 yard yang akan benar-benar habis, sehingga tepat pada
saat pesanan baru datang, tingkat persediaan akan mencapai nol.
2.4 Permintaan Tak Pasti
Umumnya, sebuah perusahaan retail tidaklah menjual dalam jumlah yang tetap, tetapi
tergantung pada permintaan yang jumlahnya juga tidak pasti (model persediaan
stokastik dinamik). Masalah yang sering dihadapi perusahaan retail adalah kesulitan
dalam menentukan reorder point.
Kebutuhan selama lead time adalah tidak tetap dan jarang sama dengan
kebutuhan sebagaimana diharapkan, bahkan kemungkinan akan terjadi stock-out
Universitas Sumatera Utara
20
selalu ada. Oleh karena itu, adalah mungkin bahwa meskipun memiliki reorder point
kekurangan tetap saja terjadi.
Suatu illustrasi yang menggambarkan keadaan kehabisan stok (stock-out)
ketika permintaan tidak pasti dalam model EOQ (Economic Order Quantity) adalah
seperti grafik di bawah ini:
Level Persediaan Q
Tingkat
Pemesanan
Kembali, R
0 waktu
Gambar 2.2 Permintaan Tak Pasti
Dalam siklus pemesanan yang kedua, kehabisan stok terjadi karena permintaan
melebihi perkiraan selama lead time.
Sebagai pencegahan terhadap kekurangan ketika permintaan tidak pasti,
perusahaan retail sering menggunakan penyangga (buffer) atas sejumlah persediaan
tambahan yang disebut stok cadangan.
Berikut ini akan digambarkan suatu grafik dalam model EOQ (Economic
Order Quantity) dengan menambahkan suatu stok cadangan. Titik pemesanan kembali
ditentukan sehingga tingkat stok cadangan diperlakukan sama seperti tingkat
persediaan nol tanpa stok cadangan. Sehingga terjadinya persediaan turun lebih
rendah dari pada tingkat stok cadangan dapat dihindari (seperti dalam siklus kedua)
dan permintaan dapat tetap dipenuhi.
Universitas Sumatera Utara
21
Level Persediaan
Tingkat Q
Pemesanan
Kembali, R
Stok Cadangan
0
Waktu
Gambar 2.3 Model Persediaan dengan Stok Cadangan
Stok cadangan dapat ditentukan dengan:
Stok cadangan = ( )R E D .
dengan:
R titik pemesanan kembali
( )E D rata-rata permintaan
2.5 Model Persediaan Perusahaan Retail
Pada penelitian ini, dibahas penentuan stok barang dengan penyimpanan
barang dilakukan pada dua tahap yaitu di gudang dan di toko (cabang). Pesanan
gudang ditempatkan pada manufacturer dan toko melakukan pesanan terhadap
gudang. Pengiriman barang dari gudang ke toko memerlukan waktu. Sehingga
mengakibatkan adanya keinginan untuk juga mengadakan persediaan pada toko.
Secara khusus, jika terjadi kekurangan, pelanggan pada toko tertentu dapat
mengadakan pemesanan spesial pada gudang. Sedangkan kelebihan persediaan pada
suatu toko tidak dapat digunakan untuk memenuhi kekurangan pada toko yang lain.
Universitas Sumatera Utara
22
Model ini melibatkan suatu sistem dinamis yang berkembang dalam waktu
diskrit. Pengiriman barang-barang persediaan diilustrasikan dalam gambar 2.4. Setiap
persegi menggambarkan suatu stok (buffer) yang dialokasikan pada point khusus
terhadap waktu t . Barisan buffer berpindah dari manufaktur ke gudang dan dari
gudang ke toko.
Unsur-unsur utama yang harus diperhatikan dalam melakukan analisis terhadap
persediaan adalah sebagai berikut:
1. Permintaan yaitu, suatu kebutuhan pelanggan yang sifatnya berubah-ubah.
2. Jumlah barang saat ini. Pemesanan toko tidak dapat melebihi persediaan
barang (jumlah barang saat ini) pada gudang begitu juga pemesanan gudang
tidak dapat melebihi kapasitas produksi.
3. Biaya-biaya persediaan yaitu, biaya-biaya yang dikeluarkan untuk
mengadakan persediaan.
4. Faktor-faktor pembatas jumlah persediaan, antara lain keterbatasan tempat
penyimpanan pada gudang, keterbatasan tempat penyimpanan pada toko dan
lain sebagainya.
Gambar 2.4 Ilustrasi Buffer pada Sistem Persediaan di Gudang dan
Toko
Toko 1
….
Toko n
….
Pelanggan
….
Gudang
…
Barang-barang
Manufaktur
Universitas Sumatera Utara
23
2.6 Dynamic Programming (Program Dinamik)
Dynamic programming (program dinamik) menawarkan suatu ide yang sangat
umum untuk masalah pengendalian yang bersifat stokastik (Bertsekas, 1995). Program
dinamik digunakan sebagai suatu teknik matematis untuk membuat suatu keputusan
dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.
Pendekatan program dinamik didasarkan pada prinsip optimasi Bellman (1950)
yang mengatakan “Suatu kebijakan optimal mempunyai sifat bahwa apapun state dan
keputusan awal, keputusan berikutnya harus membentuk suatu kebijakan optimal
dengan memperhatikan state dari hasil keputusan pertama.”
2.6.1 Proses Keputusan pada Multistage
Adapun proses keputusan dari stage tunggal digambarkan sebagai berikut:
( , )R r S X
Input S Output T
,Keputusan X
Gambar 2.5 Proses Keputusan pada Stage Tunggal
Beberapa proses keputusan dikarakteristikkan dengan parameter input dan output,
yang mana parameter input yaitu:
1. Parameter Input S
2. Variable keputusan X
Stage Transformasi
T = t(S,X)
Universitas Sumatera Utara
24
sedangkan parameter output:
1. Return ( , )R r S X
2. Parameter Output T
Output dihubungkan dengan input melalui stage transformasi fungsi yang
dinotasikan oleh:
( , )T t X S (2.1)
Karena state input dari system mempengaruhi keputusan-keputusan yang dibuat,
fungsi return dapat direpresentasikan sebagai berikut:
( , )R r X S (2.2)
Beberapa proses keputusan pada multistage yang disusun secara seri dapat
direpresentasikan secara skematis seperti di bawah ini:
1nS
R n
nS
1R n
1nS 1iS
iR
iS 3S
2R
2S
1R
1S
. . . . . .
nx
1nx
ix
2x
1x
Gambar 2.6 Proses Keputusan Multistage
Untuk stage ke-i, state vektor input dinotasikan oleh 1iS dan state vektor
output dinotasikan oleh iS . Karena sistem merupakan suatu rangkaian seri, output dari
stage 1i harus sama dengan input pada stage i. Oleh karena itu, state transformasi
dan fungsi return direpresentasikan sebagai berikut:
1( , )i i i is t s x (2.3)
dan
1( , )i i i iR r s x (2.4)
n n-1 i 2 1
Universitas Sumatera Utara
25
yang mana ix menotasikan vektor variable keputusan pada stage i.
Tujuan dari suatu masalah keputusan pada multistage adalah menentukan 1 2, ,..., nx x x
untuk mengoptimalkan beberapa fungsi stage return secara individu yang disebut
1 2( , ,..., )nf R R R dan memenuhi persamaan (2.3) dan (2.4).
2.6.2 Konsep Suboptimal dan Prinsip Keoptimalan
Program dinamik menggunakan konsep suboptimal dan prinsip keoptimalan dalam
menyelesaikan masalah.
Submasalah pertama dimulai pada stage, 1i . Jika input untuk stage 2s
ditentukan, maka berdasarkan pada prinsip keoptimalan, 1x harus diseleksi untuk
mengoptimalkan 1.R Terlepas dari apa yang terjadi pada stage lainnya, 1x harus
diseleksi sedemikian hingga 1 1 2( , )R x s adalah optimum untuk input 2s . Jika optimum
dinotasikan sebagai *1 ,f diperoleh
1
*1 2 1 1 2( ) [ ( , )]
xf s opt R x s (2.5)
Ini disebut suatu kebijakan satu stage karena input state *1f ditentukan, nilai optimal
1,R 1x dan 1s akan didefinisikan. Oleh karena itu, persamaan (2.5) adalah suatu
persamaan parameter yang memberikan nilai optimum *1f sebagai suatu fungsi
parameter input 2.s
Jika *2f menotasikan nilai fungsi optimum pada sub masalah kedua untuk
suatu nilai input 3s , diperoleh
1 2
*2 3 2 2 3 1 1 2
,( ) [ ( , ) ( , )]
x xf s opt R x s R x s (2.6)
Universitas Sumatera Utara
26
Syarat prinsip keoptimalan yaitu 1x diseleksi sehingga mengoptimalkan 1R untuk nilai
2s yang diberikan.
Untuk subproblem ke-i didefinisikan oleh:
1 1
*1 1 1 1 1 1 2
, ,...,( ) [ ( , ) ( , ) ... ( , )]
i i
i i i i i i i ix x x
f s opt R x s R x s R x s
(2.7)
Dapat ditulis
* *1 1 1( ) [ ( , ) ( )]
i
i i i i i i ix
f s opt R x s f s (2.8)
Yang mana *1if dinotasikan sebagai nilai optimal dari fungsi tujuan untuk stage
terakhir 1i dan is adalah input pada stage 1i .
2.7 Model Persediaan dalam Formula Program Dinamik
Pada bagian ini dihadirkan suatu bentuk khusus terhadap masalah persediaan
barang retail dalam proses keputusan dengan program dinamik.
1. Andaikan S menjadi ruang lingkup pembicaraan (setiap elemen berhubungan
secara khusus dengan level persediaan). Dihimpun dua state ,t tx y S
terhadap waktu t yang integer nonnegative dimana tx sebagai variabel state
persediaan sebelum keputusan, ty sebagai variabel state persediaan setelah
keputusan.
2. Suatu keputusan tu yang mempengaruhi sistem diseleksi dari suatu himpunan
hingga U pada setiap langkah. Variabel keputusan tu menyatakan suatu
vektor pesanan toko dan gudang pada waktu t. Keputusan tu harus ditentukan
pada basis dari state sebelum keputusan .tx Ini melibatkan pemasukan barang-
barang yang dipesan oleh gudang ke dalam buffer dan transisi barang-barang
yang dipesan oleh toko dari buffer gudang ke buffer toko.
Universitas Sumatera Utara
27
3. State berkembang menurut dua persamaan yang berbeda: 1 1( , )t t tx f y w dan
2 ( , )t t ty f x u , yang mana 1f dan 2f adalah beberapa fungsi yang
menggambarkan fungsi dinamis system dan tw adalah variabel acak yang
diambil dari suatu distribusi yang sudah fix, yang tidak terikat dari semua
informasi yang tersedia terhadap waktu t .
4. State setelah keputusan ty ditransformasikan untuk memenuhi permintaan
pelanggan. Hasil dari transformasi ini adalah state sebelum keputusan
selanjutnya, 1tx .
5. Terdapat suatu biaya, dinotasikan sebagai ( , )t tg y w yang dipengaruhi oleh
variabel acak tw ketika state persediaan setelah keputusan ty .
6. Suatu kebijakan (policy) merupakan pemetaan : S U yang menyatakan
suatu keputusan sebagai suatu fungsi dari state sebelum keputusan, yaitu
( )t tu x .
1u 2u iu 1iu tu
1x 1y 2x 2y ix iy 1ix tx
1w iw tw
Gambar 2.7 Ilustrasi Persediaan dalam Program Dinamik
Beberapa proses keputusan stage ke-i dikarakteristikkan dengan parameter input dan
output, yang mana parameter input yaitu:
1. Parameter input state sebelum keputusan ix
2. Variable keputusan iu
Universitas Sumatera Utara
28
sedangkan parameter output:
1. State setelah keputusan iy
2. Parameter output iw
Tujuan dalam pengendalian persediaan stokastik adalah memperoleh suatu kebijakan
optimal. Hal-hal yang berhubungan dengan biaya diminimumkan sebagai rata-rata
total biaya yang akan datang yang tidak terbatas jumlahnya, sebagai fungsi suatu state
awal setelah keputusan, yaitu:
00
( ) ( , ) | ,tt t
t
J y E g y w y y
. (2.9)
(0,1) adalah discount factor, yang mana dalam waktu singkat diasumsikan
bernilai 1 karena dalam waktu yang singkat, nilai biaya tidak banyak mengalami perbedaan.
( )J y menotasikan biaya rata-rata yang diberikan dimana sistem dimulai dalam state
setelah keputusan y dan dikendalikan oleh suatu kebijakan . Suatu kebijakan
optimal * meminimumkan J secara bersamaan untuk semua state awal setelah
keputusan, dan fungsi *J dikenal sebagai nilai fungsi yang dinotasikan dengan *J .
* ( )J y
( , )g y w 1 ( , )f y w
y
w
x
t 1t 1
Gambar 2.8 Fungsi Biaya Persediaan dalam Program Dinamik
Suatu formula yang secara khusus berhubungan dengan masalah persediaan
barang retail dalam program dinamik adalah bahwa nilai fungsi memenuhi persamaan
Bellman yang mengambil bentuk:
Universitas Sumatera Utara
29
*1( ) ( , ) ( ( , )) ,wJ y E g y w J f y w (2.10)
yang mana J diberikan oleh
*2( ) min ( ( , ))
u UJ x J f x u
(2.11)
Lebih jauh, suatu kebijakan * adalah optimal jika dan hanya jika memenuhi
* *2( ) arg min ( ( , ))
Ux J f x u
(2.12)
Menggunakan persamaan (2.12), dihasilkan suatu kebijakan optimal
berdasarkan suatu nilai fungsi *J yang didefinisikan hanya terhadap state setelah
keputusan.
Suatu kebijakan optimal dapat ditemukan dengan menyelesaikan persamaan Bellman
dan kemudian menghitung kebijakan optimal menggunakan hasil nilai fungsi (value
function) *J .
2.8 Metode Neuro-Dynamic Programming terhadap Persediaan
Metode neuro-dynamic programming menawarkan suatu algoritma untuk
menghasilkan strategi keputusan (control) yang optimal. Metode ini merupakan
pengembangan dari program dinamik dengan menggunakan konsep intelegensi semu
(Artificial intelligence) yang mencakup simulasi dan berbasis algoritma serta teknik
aproksimasi seperti neural network. Dalam penerapannya pada suatu permasalahan,
metode neuro-dynamic programming sering membutuhkan trial and error, dalam
suatu proses yang panjang dari keputusan parameter yang diubah dan dicoba
(Bertsekas P, 2005).
Ide utama dalam metode neuro-dynamic programming adalah mengaproksimasi
pemetaan * :J S menggunakan suatu aproksimasi arsitektur. Suatu aproksimasi
arsitektur dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi : kJ S . Algoritma neuro-
Universitas Sumatera Utara
30
dynamic programming mencoba untuk menemukan suatu parameter vektor kr
sedemikian hingga fungsi (., )J r mengaproksimasi *J .
2.8.1 On-Line Temporal-Difference Method
Temporal difference berasal dari difference, atau changes (berubah) dalam menaksir
setiap langkah dalam suatu proses. Algoritma ini mengupdate parameter vektor r dari
suatu approksimasi arsitektur selama setiap langkah waktu t dari simulasi. Penaksiran
parameter vektor r (reorder point) pada setiap langkah waktu t diupdate untuk
membawa semakin dekat terhadap taksiran dari jumlah yang sama pada setiap langkah
waktu berikutnya. Algoritma ini dapat berjalan sukses setelah menambahkan active
exploration (Bertsekas and Siklis, 2005).
Adapun proses neuro-dynamic programming yang menggunakan Online
Temporal Difference Method dengan sebarang suatu parameter vektor 0r dan
menghasilkan suatu deretan tr , menggunakan prosedur sebagai berikut:
1. State sebelum keputusan 0x adalah sebagai simulator, dan kontrol 0u dihitung dari
0 2 0 0ˆmin ( ( , ), )u J f x u r
2. Jalankan simulator menggunakan kontrol 0u untuk mendapatkan state setelah
keputusan yang pertama
0 2 0 0( , )y f x u
3. Secara umum, pada waktu t, jalankan simulator menggunakan kontrol iu untuk
mendapatkan state sebelum keputusan selanjutnya
1 1( , )t t tx f y w
dan biaya ( , )t tg y w
Universitas Sumatera Utara
31
4. Dapatkan kontrol 1tu dengan cara
1 2 1ˆmin ( ( , ), )t t tu J f x u r
5. Jalankan simulator menggunakan kontrol 1tu untuk mendapatkan state setelah
keputusan.
1 2 1 1( , )t t ty f x u
6. Ulangi langkah 3 selama waktu t yang dibutuhkan.
2.8.2 Active Exploration
Algoritma yang digambarkan pada bagian sebelumnya selalu meng-update parameter
vektor ke approximate values ( , )J x r pada state x yang dikunjungi oleh kebijakan
saat ini, yang mana dinyatakan oleh parameter vector r . Active exploration lebih
memilih suatu mekanisasi yang membawa pada beberapa kecenderungan untuk
mengunjungi suatu range state yang lebih besar (Bertsekas, 1997).
Algoritma temporal-difference yang digunakan dengan active exploration mengikuti
rute yang sama dengan tanpa active exploration. Secara umum, algoritma dapat
digambarkan dengan langkah-langkah yang dihasilkan dalam bagian sebelumnya,
kecuali dengan langkah (1) dan (4) diganti dengan
0 0 2 0 0min ( ( , ), ),u U
u n J f x u r
Dan
1 2 1min ( ( , ), ),t t t tu U
u n J f x u r
Setiap tn adalah sebuah istilah gangguan (noise term). Adapun besar noise term
ditentukan secara random dari angka acak yang berdistribusi normal.
Universitas Sumatera Utara