CHARPTER 8CHARPTER 8ระบบจำ��นวนและก�รแทนค่��ข้�อมู�ลในระบบจำ��นวนและก�รแทนค่��ข้�อมู�ลใน

ค่อมูพิ�วเตอร�ค่อมูพิ�วเตอร�(Number System and Sign (Number System and Sign

Representation)Representation)

เข้��ใจำแนวค่�ดข้องระบบเลข้ฐ�นและส�มู�รถแปลงเลข้ฐ�น

ได�

เข้��ใจำหล#กก�รจำ#ดเก$บข้�อมู�ลในค่อมูพิ�วเตอร�

ส�มู�รถแปลงค่��ต#วเลข้เป%นรห#ส BCD-8421 ได�

ส�มู�รถปฏิ�บ#ต�ก�รค่��นวณด�วยก�รใช้�รห#สเก�น 3

(Excess 3) ได�

เข้��ใจำหล#กก�รข้องค่อมูพิล*เมูนต� โอเวอร�โฟลว� และปฏิ�บ#ต�

ก�รก#บต#วเลข้ได�

ส�ระก�รเร*ยนร��ส�ระก�รเร*ยนร��

ระบบเลข้ฐ�นระบบเลข้ฐ�นระบบเลข้ฐ�นส�บ (Decimal Number System)

ระบบเลขฐานสิ�บเป็�นระบบจำ�านวนที่��ใช้�ในช้�ว�ตป็ระจำ�าว�นของมน�ษย์ ซึ่"�งป็ระกอบด้�วย์ค่&าต�วเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, และ 9 และที่��เร�ย์กว&าฐานสิ�บ เพราะม�เลข 10 ต�วเที่&าน�)น ค่&ามากน�อย์ข")นอย์*&ก�บหล�กเป็�นสิ�าค่�ญ ค่-อ ต�วเลขจำ�านวนเต.มที่��อย์*&ที่างขาวสิ�ด้ค่-อ ค่&าน�อย์ที่��สิ�ด้ และต�วเลขจำ�านวนเต.มที่��อย์*&ซึ่�าย์สิ�ด้ค่-อต�วเลขที่��ค่&ามากที่��สิ�ด้ 1 2 5 6 9 8

9 หน�วยส�บล��น แสน หมู-.น พิ#น ร�อย

BASE 10 PLACE VALUEBASE 10 PLACE VALUE

[ล��น] [แสน] [หมู-.น] [พิ#น] [ร�อย] [ส�บ]

[หน�วย]

MILLIONS

HUNDRED

THOUSANDS

TENTHOUSANDS

THOUSANDS

HUNDREDS

TENS

ONE

1,000,000

100,000

10,000 1,000 100 10 1Place Value

Place Name

ระบบเลขฐานสิ�บเป็�นระบบเลขในเช้�งต�าแหน&งโด้ย์ค่&าใด้ ๆ ในฐานสิ�บจำะเที่&าก�บการน�าค่&าเลขแต&ละหล�กมาค่*ณก�าล�งสิ�บและน�ามาบวกก�น พ�จำารณาจำากต�วอย์&างต&อไป็น�) ค่��ต#วเลข้ 371 มู�ท��ก�รกระจำ�ยค่��ใน

ต��แหน�งก$จำะได�Digits that markup the number 3 7 1

PLACE VALUE 100 10 1

ก�รน��เลข้ฐ�น10 มู�ท��ก�รกระจำ�ยแต�ละต��แหน�ง

หร-อ

371 = 300 + 70 + 1

371 = (3 x 102 ) + (7 x 101 ) + (1 x 100 ) (5 x 103 ) + (3 x 102 ) + (6 x 101 )

+ (1 x 100 ) 53 6 1 =

ระบบต�วเลขจำะไม&ย์"ด้ต�ด้ก�บระบบเลขฐานสิ�บเสิมอไป็ ด้�งน�)นหล�กการของระบบเลขฐานสิ�บด้�งกล&าวข�างต�นสิามารถป็ระย์�กต เลขฐานใด้ ๆ ก.ได้�เช้&น ระบบเลขฐานสิอง , ระบบฐานแป็ด้, ระบบเลขฐานสิ�บหก เป็�นต�น

ระบบเลข้ฐ�นสอง (Binary Number System)

โด้ย์ที่��วไป็จำะม�กระบบเลขฐานสิ�บ ใช้�การค่�านวณเพราะสิะด้วกเข�าใจำง&าย์ แต&สิ�าหร�บในค่อมพ�วเตอร เม-�อน�าระบบเลขฐานสิ�บมาใช้�จำะที่�าให�เก�ด้ป็4ญหาเป็�นอย์&างมาก เน-�องจำากหากใช้�ระบบเลขฐานสิ�บในค่อมพ�วเตอร จำ�าเป็�นต�องออกแบบอ�ป็กรณ ไฟฟ6าที่��สิามารถแย์กค่วามแตกต&างของสิถานะถ"ง 10 สิถานะด้�วย์ก�นเพ-�อใช้�แที่นเลข 0 - 9 ซึ่"�งหล�กการด้�งกล&าวอาจำที่�าให�เก�ด้ข�อผิ�ด้พลาด้ง&าย์ เพราะระบบเลขฐาน 10 เป็�นระบบเลขเช้�งต�าแหน&งเม-�อเก�ด้ข�อผิ�ด้พลาด้เพ�ย์งแค่&หล�กเด้�ย์ว ก.จำะสิ&งผิลให�เก�ด้ค่ลาด้เค่ล-�อนสิ*ง เช้&นหล�กแสิน หากล-มเพ�ย์งหล�กเด้�ย์วก.จำะเหล-อหล�กหม-�นสิ&งผิลให�ค่วามน&าเช้-�อถ-อลด้ลง

ด้�งน�)นระบบเลขฐานสิองจำ"งเป็�นระบบเลขฐานที่��น�ามาพ�จำารณาเพ-�อใช้�ก�บระบบค่อมพ�วเตอร ซึ่"�งม�ค่&าเพ�ย์ง 0 และ 1 กล&าวค่-อสิถานะที่างไฟฟ6าจำะม�เพ�ย์งสิถานะ เป็8ด้ หร-อ ป็8ด้เที่&าน�)นข�อม*ลต&าง ๆ ที่��จำ�ด้เก.บลงในค่อมพ�วเตอร ค่-อต�วเลขโด้ ๆ ของฐานสิองที่��น�ามาป็ระกอบก�น

ก�รแปลงเลข้ฐ�นส�บเป%นฐ�นสอง หล�กการที่��วไป็ในการแป็ลงเลขฐานสิ�บเป็�นฐานใด้ ๆ น�)นต�องน�าเลขฐานสิ�บเป็�นต�วต�)ง และหารด้�วย์เลขฐานที่��ต�องการจำนกระที่�)งหารต&อไม&ได้�สิ&วนเศษที่��ได้� ค่-อผิลล�พธ์ เช้&นการแป็ลง

49610

เลข้ฐ�นสอง ที่�าได้�ด้�งน�)2 49

6

2

248

0 2

124

0 2

62

0

2

31

0

2

15

1

2 7

1 2 3

1 1

1

ค่��ตอบค่-อ 49610

= 1111100002

286 10

เลข้ฐ�นสอง จำะได้�เที่&าใด้

ค่��ตอบค่-อ 286

10 = 10

00111102

2 286

2

143

0 2

71

1

2

35

1

2

17

1

2 8

1 2 4

0 2 2

0 1

0

ก�รแปลงเลข้ฐ�นสองเป%นฐ�นส�บ เม-�อ 496 แป็ลงเป็�นเลขฐานสิองจำะได้�ผิลล�พธ์ 111110000 และหากต�องการแป็ลงค่&าเลขฐานสิองน�)กล�บเป็�นเลขฐานสิ�บที่�าได้�ด้�งน�)

1111100002 = (1 x 28) + (1 x 27)

+ (1 x 26) + (1 x 25) + (1 x 24) (0 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) + (0 x 20) = 256 + 128 + 64 + 32 + 16 = 49610

1110001102 = (1 x 28) + (1 x 27) + (1

x 26) + ( 0 x 25) + ( 0 x 24) (0 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) = 256 + 128 + 64 + 4 + 2 = 45410

1111100002

เลข้ฐ�นส�บ

1110001102

เลข้ฐ�นส�บ

นอกจำากน�)ย์�งม�ว�ธ์�การแป็ลงเลขฐานโด้ย์น�าว�ธ์�การของ Place Value โด้ย์การก�าหนด้ค่&า 1 หร-อ 0ในแต&ละต�าแหน&งที่��สิามารถน�าค่&าแต&ละต�าแหน&งน�)นมารวมก�นให�เที่&าก�บค่&าต�วเลข

256 128 64 32 16 8 4 2 1

BASE PLACE VALUE

49610

เลข้ฐ�นสอง

จำากที่��โจำที่ย์ ต�วอย์&างก�าหนด้ให� 49610

เป็�น เลขฐานสิองโด้ย์ใช้� ตาราง Base Place Value ที่�าได้�ด้�งน�)

1 1 1 1 1 0 0 0 0256 128 64 32 16 8 4 2 1

0 x 1 = 0

0 x 2 = 0

0 x 4 = 0

0 x 8 = 0

1 x 16 = 16

1 x 32 = 32

1 x 64 = 64

1 x 128 = 128

1 x 256 = 256

496

BASE PLACE VALUE

45410 เลข้ฐ�นสอง

1 1 1 0 0 0 1 1 0

256 128 64 32 16 8 4 2 1

45410

1110001102

3

9

7 1

0

1100011012

1 1 0 0 0 1 1 0 1

256 128 64 32 16 8 4 2 1

ระบบเลข้ฐ�นแปด (Octal Number System)

ระบบเลขฐานแป็ด้จำะป็ระกอบด้�วย์ต�วเลข0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ซึ่"�งสิามารถน�ามาใช้�งานก�บระบบค่อมพ�วเตอร ได้� ที่�าให�ม�ค่วามสิ�นเป็ล-องหน&วย์ค่วามจำ�าน�อย์กว&าเลขฐานสิอง ค่วามสิ�มพ�นธ์ ระหว&างเลขฐานแป็ด้ก�บเลขฐานสิอง ก.ค่-อเลขโด้ด้ ๆ ในเลขฐานแป็ด้น�)นจำะม�ค่&าเป็�น 3 เที่&าของเลขฐานสิอง (23) หร-อกล&าวอ�กน�ย์หน"�งก.ค่-อ เลขสิามหล�กของเลขฐานสิองจำะม�ค่&าเที่&าก�บหน"�งหล�กในฐานแป็ด้น��นเอง

ก�รแปลงเลข้ฐ�นส�บเป%นเลข้ฐ�นแปด การแป็ลงเลขฐานสิ�บเป็�นเลขฐานแป็ด้สิามารถที่�าได้�ด้�งน�)49610

เลข้ฐ�นแปด

8 4968 62

0 7

6

39710

เลข้ฐ�นแปด

8 39 7 8 49 5

6 1

ค่��ตอบท*.ได�ค่-อ

49610

7608 ค่��ตอบท*.ได�ค่-อ

6158

ก�รแปลงเลข้ฐ�นแปดเป%นเลข้ฐ�นสอง การแป็ลงเลขฐานแป็ด้เป็�นเลขฐานสิองสิามารถที่�าได้�ด้�งน�)

7608 เลข้ฐ�นสอง

6158 เลข้ฐ�นสอง

7 6 0

111 110 000

6 1 5

110 001 101

7215

8

เลข้ฐ�นสอง

7 2 1 5

111 010 001 101

ก�รแปลงเลข้ฐ�นสองเป%นเลข้ฐ�นแปด การแป็ลงเลขฐานสิองเป็�นเลขฐานแป็ด้สิามารถที่�าได้�ด้�งน�)1111100

002

เลข้ฐ�นแปด

111

110

000

7 6 0

1100011012

เลข้ฐ�นแปด

ค่��ตอบท*.ได�ค่-อ

7608

110

001

101 6 1 5

ค่��ตอบท*.ได�ค่-อ

6158

1110100011012

เลข้ฐ�นแปด

111

010

001

101

5 1 2 7

ค่��ตอบท*.ได�ค่-อ

7215

8

ระบบเลข้ฐ�นส�บหก (Hexadecimal Number System)

ระบบเลขฐานแป็ด้จำะป็ระกอบด้�วย์ต�วเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, ซึ่"�งจำะที่�าให�ป็ระหย์�ด้หน&วย์ค่วามจำ�าข")นไป็อ�ก ค่วามสิ�มพ�นธ์ ระหว&าง เลขฐานสิ�บหกก�บเลขฐานสิอง ก.ค่-อเลขโด้ด้ในฐานสิ�บหกจำะม�ค่&าเป็�น 4 เที่&าของเลขฐานสิอง (24) หร-อกล&าวอ�กน�ย์หน"�งก.ค่-อ เลขสิ��หล�กของเลขฐานสิองจำะม�ค่&าเที่&าก�บหน"�งหล�กในฐานสิ�บหกน��นเอง

A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15

ข้�อส#งเกตในก�รค่��นวณเลข้ฐ�นส�บหกค่-อ

ก�รแปลงเลข้ฐ�นส�บเป%นเลข้ฐ�นส�บหก การแป็ลงเลขฐานสิ�บเป็�นเลขฐานแป็ด้สิามารถที่�าได้�ด้�งน�)49610

เลข้ฐ�นส�บหก

16

496

16

31

0

1

F

ค่��ตอบท*.ได�ค่-อ

49610

1F016

39710

เลข้ฐ�นส�บหก 16

39 716

24 D

1 8

ค่��ตอบท*.ได�ค่-อ

18D16

เลข้ฐ�นส�บหก49610

ก�รแปลงเลข้ฐ�นส�บหกเป%นเลข้ฐ�นสอง การแป็ลงเลขฐานแป็ด้เป็�นเลขฐานสิองสิามารถที่�าได้�ด้�งน�)1F01

6

เลข้ฐ�นสอง

18D16

เลข้ฐ�นสอง

1 F 0

00011

1 11

0

0

0 0

1 8 D

0001

1000

1 10

1

7D2316

เลข้ฐ�นสอง

7 D 2 3

0111

11010

0 10

0011

ก�รแปลงเลข้ฐ�นสองเป%นเลข้ฐ�นส�บหก การแป็ลงเลขฐานสิองเป็�นเลขฐานแป็ด้สิามารถที่�าได้�ด้�งน�)0001

1111

0000

2

เลข้ฐ�นส�บหก0

0

0

1

1 F 0ค่��ตอบท*.

ได�ค่-อ1F0 16

1 8 Dค่��ตอบท*.ได�ค่-อ

18D16

0111

1101

0010

0011 3 2 D 7

ค่��ตอบท*.ได�ค่-อ

7 D2316

เลข้ฐ�นส�บหก

เลข้ฐ�นส�บหก

1

1

1

1

0

0

0

0

0001

1 0001100 2 0

0

0

1

1000

1101

011111010010 0011 2

Decimal Binary Octal Hexadecimal Decimal Binary Octal Hexadecimal

0 0000 0 0 9 1001 11 9

1 0001 1 1 10 1010 12 A

2 0010 2 2 11 1011 13 B

3 0011 3 3 12 1100 14 C

4 0100 4 4 16 1101 15 D

5 0101 5 5 14 1110 16 E

6 0110 6 6 15 1111 17 F

7 0111 7 7 16 10000 20 10

8 1000 10 8

ต�ร�งเปร*ยบเท*ยบค่��ต#วเลข้17 ค่�� ท*.เข้*ยนด�วยเลข้ฐ�นท*.แตกต��งก#น

ก�รจำ#ดเก$บข้�อมู�ลในค่อมูพิ�วเตอร�

ค่อมพ�วเตอร จำะใช้�ระบบเลขฐานสิองในการจำ�ด้เก.บข�อม*ลซึ่"�งเป็�นได้�ที่� )งต�วเลขและต�วอ�กษรกล&าวค่-อค่อมพ�วเตอร จำะที่�าการจำ�ด้เก.บข�อม*ลเหล&าน�)นในร*ป็แบบของเลขฐานสิอง (Binary Digits) หร-อเร�ย์กว&าบ�ต (Bit) น��นเอง

** บ�ต (Bit) ค่-อหน&วย์ที่��เล.กที่��สิ�ด้ของข�อม*ลในค่อมพ�วเตอร ที่��สิามารถแที่นค่&าข�อม*ลได้�เพ�ย์งหน"�งในสิองสิถานะเที่&น�)นค่-อ 0 หร-อ 1

บ�ต ไบต� และเว�ร�ด (Bit, Byte and Word) สิถานะของบ�ตจำะม�สิถานะเป็8ด้หร-อป็8ด้ ซึ่"�งสิมน�ย์ก�บระบบเลขฐานสิองที่��ป็ระกอบด้�วย์ต�วเลขฐานสิองที่��ป็ระกอบด้�วย์ต�วเลข 0 ก�บ 1 (0=ป็8ด้, 1=เป็8ด้) ด้�งน�)นบ�ตจำ"งไม&สิามารถแที่นค่&าข�อม*ลต&าง ๆได้�ที่�)งหมด้ เพราะแที่นค่&าสิ�ญล�กษณ ได้�เพ�ย์ง 0 ก�บ 1 เที่&าน�)น จำ"งได้�ม�การรวมบ�ตหลาย์ ๆ บ�ตมารวมก�นเป็�นไบต โด้ย์ 1 ไบต จำะป็ระกอบไป็ด้�วย์ 8 บ�ตหร-อการรวมกล�&มของบ�ตหลาย์ ๆ บ�ตรวมก�นเป็�นเว�ร ด้ซึ่"�งหน"�งเว�ร ด้อาจำจำะป็ระกอบด้�วย์จำ�านวนบ�ต 16 บ�ต หร-อ 32 บ�ตเป็�นต�น

บ�ต Byte = 8 บ�ต Word = 2 ไบต� 16/ บ�ต Long Word = 2 เว�ร�ด 4 4ไบต� 32 บ�ต

ก�รจำ#ดเก$บค่��ต#วเลข้ในค่อมูพิ�วเตอร� เม-�อพ�จำารณาค่&าต�วเลขที่��ใช้�ก�นอย์*&น� )น ก.จำะม�ค่&าต�วเลขที่��เป็�นค่&าบวกและค่&าลบ รวมที่�)งอาจำเป็�นค่&าที่��ม�จำ�ด้ ที่ศน�ย์ม แต&สิ�าหร�บในค่อมพ�วเตอร การที่��จำะให�ค่อมพ�วเตอร ร�บร* �ว&าค่&าใด้เป็�นค่&าบวก หร-อค่&าใด้เป็�นค่&าลบน�)น ก.จำะม�กระบวนการจำ�ด้การที่��แตกต&างจำากมน�ษย์ กล&าวงค่-อ จำะไม&ใช้� + หร-อ – น�าหน�าต�วเลขอย์&างที่��ใช้�ก�น ซึ่"�งราย์ละเอ�ย์ด้ต&อไป็จำะอธ์�บาย์ว&า

ค่อมพ�วเตอร จำ�ด้เก.บค่&าต�วเลขอย์&างไร

ก�รแทนค่��จำ��นวนเต$มูไมู�รวมูเค่ร-.องหมู�ย (Unsign Representation)

หมาย์ถ"งการจำ�ด้เก.บค่&าต�วเลขจำ�านวนเต.มเฉพาะค่&าบวก ซึ่"�งสิมมต�ว&าม�ค่&าเว�ร ด้ หน"�งขนาด้8 บ�ต ใช้�ในการจำ�ด้เก.บค่&าต�วเลขจำ�านวนเต.มไม&รวมเค่ร-�องหมาย์น�)นเร�ย์กว&า เว�ร ด้ขนาด้ 8 บ�ตน�)สิามารถแที่นค่&าต�วเลขจำ�านวนเต.มไม&รวมเค่ร-�องหมาย์ (เฉพาะค่&าบวก) ได้�ต�)งแต& 0 ถ"ง 256 (28) ด้�งต�วอย์&าง

100

0 00

00

=

1281111

1111 =

256

128 64 32 16 8 4 2 11 0 0 0 1 1 0 0

128+8+4=140

0000 0001 = 1 001 0 1001 = 1

ก�รแทนค่��เลข้จำ��นวนเต$มูรวมูเค่ร-.องหมู�ย (Sign-Magnitude Representation)

ค่&าต�วเลขต&าง ๆ อาจำเป็�นได้�ที่�)งค่&าบวกหร-อค่&าลบ โด้ย์สิ�ญล�กษณ ของการบวกและการลบค่-อ

+และ แต&ในค่อมพ�วเตอร สิ�ญล�กษณ ด้�งกล&าวจำะไม&ม�ค่วามหมาย์ใด้ ๆ ด้�ง–น�)นการแย์กแย์ะว&าค่&าต�วเลขใด้เป็�นค่&าบวก หร-อค่&าใด้เป็�นค่&าลบน�)น พ�จำารณาจำากบ�ตเค่ร-�องหมาย์ซึ่"�งเร�ย์กว&า Sign Bit ด้�งน�)นจำากเว�ร ด้

8 บ�ตถ�าไม&รวมบ�ตเค่ร-�องหมาย์ก.จำะสิามารถแที่นค่&าต�วเลขได้�ถ"ง 256 ต�วในขณะที่��เว�ร ด้ 8 บ�ตที่��รวมบ�ต

เค่ร-�องหมาย์สิามารถจำ"งสิามารถแที่นค่&าต�วเลขได้�เพ�ย์งค่ร"�งหน"�ง 128( ) เพราะม�การแบ&งต�วเลขออกเป็�น

สิองสิ&วนด้�วย์ก�นค่-อสิ&วนที่��เก.บค่&าต�วเลขที่��เป็�นค่&าบวก และสิ&วนที่��เก.บค่&าต�วเลขที่��เป็�นค่&าลบ ซึ่"�งม�ค่&าต�)งแต& +1 2 7 ถ"ง - 128 น��นเอง

*** Sig Bit เป็�นต�วก�าหนด้ว&าค่&าที่��น� )นเป็�น +หร-อ โด้ย์สิ�งเกต– ถ�าเลขต�วหน�าเป็�น 0 ค่-อ ค่&าออกมาเป็�น + ถ�าเลขต�วหน�าเป็�น 1 ค่-อ ค่&าออกมาเป็�น -

1 0 0 1 0 0 1 0

Sign Bit Magnitude

0 0 0 1 0 0 1 0

Sign Bit Magnitude

ค่&าออกมาเป็�น -

ค่&าออกมาเป็�น +

+1 8 = 0001 0010- 18 = 1001 0010

+ 1 7 =

0001 0001

- 1 7 =

1001 0001

+ 32 =

0010 0000

- 32 =

1010 0000

ก�รปฏิ�บ#ต�ก�รก#บต#วเลข้ สิ�าหร�บการป็ฏิ�บ�ต�การก�บต�วเลขไม&ว&าจำะเป็�นการบวก การลบ การค่*ณ และการหารในค่อมพ�วเตอร จำะใช้�เฉพาะการบวก (วงจำรบวก ) เที่&าน�)นโด้ย์หากเป็�นการลบก.จำะกลาย์เป็�นการบวกด้�วย์ค่อมพล�เมนต (Complement) ซึ่"�งค่วามเป็�นไป็ได้�ของการบวกของเลขฐานสิอง ค่-อ0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10(หากเป็�นการที่ด้ก.จำะต�องใสิ& 0 และที่ด้ 1 ในบ�ตถ�ด้ไป็ )

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

0 0 0 0 1 0 1 0 10(+ )

10

0 0 0 1 0

1 1 1

23(+ )10

0 0 1 0 0

0 0 1

33(+ )10

+

0 0 1 0 1 0 1 0 42(+ )

10

0 0 0 1 0

1 1 0

22(+ )10

0 1 1 0 0

0 0 0 96(+ )

10

0 0 1 0 0

0 0 0

32(+ )10

0 1 0 0 0

0 0 0

64(+ )10

1 0 0 1 0

1 0 1

149(+ )10

1 0 0 0 0

0 0 0

128(+ )10

+ +

0 1 1 0 0

1 0 0 100(+ )

10

0 0 1 1 0

0 0 1

49(+ )10

+

รห#ส BCD-8421 (Binary Code Decimal-8421) รห�สิ BCD-8421 เป็�นรห�สิเลขฐานสิองขนาด้ 4 บ�ต ที่��ใช้�แที่น

ค่&า 0 ถ"ง 0 โด้ย์ 8 4 2 1 น�)นค่-อค่&าป็ระจำ�าต�าแหน&งของล�าด้�บบ�ต โด้ย์ค่&าป็ระจำ�าต�าแหน&งในแต&ละบ�ตสิามารถแสิด้งได้�ด้�งน�)

8 4 2 1

23 22 21 20

ต��แหน�งบ�ต

ต�ร�งแสดงรห#ส BCD-8421 ท*.ใช้�แทนเลข้ฐ�นส�บ

Decimal BCD-8421 Decimal BCD-8421

0 0000 5

1 0001 6

2 0010 7

3 8

4 9

0011

0100 1001

1000

0111

0110

0101

Decimal Binary Number BCD-8421

8 1000 1000

10 1010 0001 0000

96 01100000

120 01111000

1001

ที่�าการแป็ลงเลขฐานสิ�บให�เป็�นรห�สิเลขฐานสิอง (Binary Number) และรห�สิ BCD-8421 ได้�ด้�งร*ป็ต&อไป็น�)

0110

0010 00000001

รห#สเก�น 3 (Excess 3 Code)

เม-�อม�การค่�านวณต�วเลขด้�วย์รห�สิเก�น BCD-8421 ในบางค่ร�)งผิลล�พธ์ ที่��ได้�อาจำไม&ถ*กต�อง ด้�งน�)นการใช้�รห�สิเก�น 3 (Excess 3) มาใช้�ในการค่�านวณร&วมก�บ รห�สิ BCD-8421 ก.จำะสิ&งผิลล�พธ์ จำากการค่�านวณม�ค่&าที่��ถ*กต�องตามรห�สิ BCD-8421 กล&าวค่-อ ก&อนการด้�าเน�นกาค่�านวณให�ที่�าการแป็ลงต�วเลขเหล&าน�)นเป็�นรห�สิเก�น 3 เสิ�ย์ก&อนแล�วจำ"งค่&อย์ที่�าการค่�านวณผิลล�พธ์ ที่��ได้�จำากการค่�านวณก.จำะเป็�นผิลล�พธ์ ที่��ถ*กต�องตามรห�สิ

Decimal BCD-8421 Excess3

0 0000 0011

1 0001 0100

2 0010 0101

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

9 1001

รห#ส BCD-8421 และรห#สเก�น 3

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

ก�รบวกรห#สเก�น 3 (Excess 3 Code)Decimal

5

9

14

BCD-8421

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

Excess 3

1 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0 0

13 1 1 0 1 1 0 0 1 1

Decimal

5

6

BCD-8421

0 1 1 1

0 1 1 0

Excess 3

1 0 1 0

1 0 0 1

ก�รบวกด�วย (Two’s Complement) ในการบวกและการลบต�วเลขป็กต�ในระบบต�วเลขฐานสิ�บน�)นจำะใช้�สิ�ญล�กษณ +หร-อ ซึ่"�งเป็�น–สิ�ญล�กษณ แที่นเค่ร-�องหมาย์ ด้�งน�)นจำ"งจำะสิามารถแย์กแย์ะ ค่&าต�วเลขต&าง ๆ จำากเค่ร-�องหมาย์ได้�ที่�นที่� แต&ในค่อมพ�วเตอร การบวกและการลบจำะใช้�วงจำรเด้�ย์วก�น ซึ่"�งจำะไม&ม�การแย์กวงจำรที่��ใช้�สิ�าหร�บการบวกก�บวงจำรที่��ใช้�สิ�าหร�บการลบ ด้�งน�)นการลบ จำ"งจำ�าเป็�นต�องใช้�วงจำรบวกมาใช้�งาน ซึ่"�งก.ค่-อ ค่อมพล�เมนต

หล#กก�รข้อง Two’s Complement มู*อย�� 2 ข้#0นตอนด�วยก#นค่-อ

1 แปลงเลข้ฐ�นสองน#0นให�อย��ในร�ปข้อง One’s Complement ด�วยก�รกล#บบ�ตตรงก#น ข้��มูเช้�น จำ�กบ�ต 0 เป%นบ�ต 1 หร-อจำ�กบ�ต 1เป%นบ�ต 0 2. บวก 1 เพิ-.อให�อย��ในร�ปแบบข้อง Two’s Complement

จำงพิ�จำ�รณ�จำ�กต#วอย��งต�อไปน*0 ซึ่2.งเป%นค่��ต#วเลข้ฐ�นสองท*.อย��ในร�ปแบบข้อง Two’ Complement

0 0 0 0 1 0 1 0 = (+10)10 (บ�ตท�งด��นซึ่��ยส3ดมู*ค่��เป%นบวก ด#งน#0นจำ2งไมู�ต�องแปลง)

กรณ*ท*. 1

11111100 = (+10)10 (แปลงเป%น 1 ’s Complement และบวก 1 เพิ-.อเป%น 2 ’s Complement) = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 = (4)10

= (-4)10

กรณ*ท*. 2

จำ�กต#วอย��งต�อไปน*0 เป%นก�รบวกค่��ต#วเลข้โดยพิ�จำ�รณ�จำ�กด��นข้ว�มู-อค่-อค่��ต#วเลข้ซึ่20งเป%นเลข้ฐ�นส�บ และท�งซึ่��ยมู-อค่-อค่��ต#วเลข้ฐ�นสองข้น�ด 8 บ�ตซึ่2.งบวกด�วยว�ธี* Two’ Complement

-(1)10 0 0 0 0 0 0

0 1

(-4)10 0 0 0 0 0 1

0 0

Discard carry (1)

0 0 0 0 0 1 0 1

(+5)10

1 1 1 1 1 1 1 0

(-2)10

0 0 0 0 0 0 1 1

(+3)10

Discard carry (1)

Two’ Complement

(+5)10 0 0 0 0 0 0

0 1

(-2)10 0 0 0 0 0 1

0 0

Two’ Complement

1 1 1 1 1 1 1

1 (-1)10

1 1 1 1 1 1 0

0 -(4)10

1 1 1 1 1 0 1

1 (-5)10

โอเวอร�โฟลว� (Overflow)

Overflow ค่-อ ผิลล�พธ์ ของต�วเลขที่��ม�ค่&าเก�นกว&าที่��จำะร�บได้�ที่�าให�แสิด้งผิลค่&าต�วเลขที่��เป็�นผิลล�พธ์ เก�นค่วามผิ�ด้พลาด้ ซึ่"�งกฎการ Overflow ค่-อ ถ�าต�วเลขสิองค่&าที่��ม� Sign เหม-อนก�น (Large Magnitudes)มาบวกก�น จำะเก�ด้ป็รากฎการณ Overflow ข")น ซึ่"�งผิลล�พธ์ ที่��ได้�ผิ�ด้ไป็จำากค่วามเป็�นจำร�งเน-�องจำากผิลล�พธ์ ได้�จำากค่&าต�วเลขน�)นม�ค่&าเก�นช้&วงต�วเลขที่��ร�บได้�น� )นเอง

ต�วอย์&างเช้&น (+8 0 )1 0 และ (+5 0 )1 0 โด้ย์ม�ร*ป็แบบ 8 บ�ตพร�อมบ�ตเค่ร-�องหมาย์ 8 Bit With Sign-Magnitude) ผิลล�พธ์ ที่��ได้�ค่วรจำะเป็�น (+1 3 0 )1 0 แต&อย์&างไรผิลล�พธ์ ที่��ได้�จำากการค่�านวณจำะได้� -126 10( )เน-�องจำากเก�ด้ overflow น�)นเอง

0 1 0 1 0 0 0 0

(+80)10

0 0 1 1 0 0 1 0

(+50)10

1 0 0 0 0 0 1 0

(-126)10

เน-�องจำากค่&าบวกสิ*งสิ�ด้ของ 8 บ�ตรวมบ�ตเค่ร-�องหมาย์ใน Two’Complement ค่-อ (+1 2 7 )1 0 ด้�งน�)นจำ"งเป็�นไป็ไม&ได้�ว&าจำะแสิด้งผิลล�พธ์ เป็�น (+130)10 ซึ่"�งสิามารถอธ์�บาย์ได้�ด้�งน�) ค่-อผิลล�พธ์ ที่��ได้� 10000010ซึ่"�งม� 8 บ�ตรวมบ�ตเค่ร-�องหมาย์ ด้�งน�)นบ�ตซึ่�าย์สิ�ด้จำ"งสิงวนไว�เพ-�อเป็�นบ�ตเค่ร-�องหมาย์ โด้ย์บ�ตซึ่�าย์สิ�ด้น�)ม�ค่&าเป็�น 1 น�)นหมาย์ถ"งเป็�นค่&าลบ จำากน�)นจำ"งด้�าเน�นการแป็ลงกล�บและบวก 1 ที่�าให�ได้�ค่&าเที่&าก�บ 1111110เม-�อแป็ลงเป็�นเลขฐานสิ�บจำ"งม�ค่&าเที่&าก�บ - 126 ที่�าให�ผิลล�พธ์ เก�ด้ค่วามผิ�ด้พลาด้เน-�องจำาก Overflow น�)นเอง

1 0 0 1 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0 0

1 1 1 0 = -2 (1) 0 0 0 0 = 0

(-7) + (+5) (-4) + (+4)

0 0 1 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 = 7 (1) 1 0 1 1

(+3) + (+4) (-4) + (-1) = -5

0 1 0 1 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0 1 0

1 0 0 1 Overflow (1) 0 0 1 1 Overflow

(+3) + (+4) (-7) + (-6)

เพ-�อให�ม�ค่วามเข�าใจำมากย์��งข")น จำ"งขอย์กต�วอย์&างเว�ร ด้ที่��ม�เพ�ย์ง 4บ�ต รวมบ�ตเค่ร-�องหมาย์ ซึ่"�งที่�าให�สิามารถแที่นค่&าต�วเลขที่�)งค่&าบวกและค่&าลบได้� โด้ย์ค่&าในสิ&วนขวาม-อของภาพจำะเป็�นค่&าบวก และค่&าในสิ&วนซึ่�าย์ม-อจำะเป็�นค่&าลบ

DecimalRepresentation

Sign-MagnitudeRepresentation

Two's ComplementRepresentation

BiasedRepresentation

+7 0111 0111 1111

+6 0110 0110 1110

+5 0101 0101 1101

+4 0100 0100 1100

+3 0011 0011 1011

+2 0010 0010 1010

+1 0001 0001 1001

+0 0000 0000 1000

-0 1000 ---- 0111

-1 1001 1111 0110

-2 1010 1110 0101

-3 1011 1101 0100

-4 1100 1100 0011

-5 1101 1011 0010

-6 1110 1010 0001

-7 1111 1001 0000

-8 ---- 1000 -----

ก�รแทนค่��ต#วเลข้จำ��นวนเต$มู 4 บ�ต

THE ENDTHE END