Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Analisi delle Decisioni Decisioni sequenziali Chiara Mocenni

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010

Analisi delle Decisioni

Decisioni sequenziali

Chiara Mocenni


Problemi decisionali sequenziali• Una lotteria modella una situazione

di rischio relativa a un singolo evento

• In realtà il problema può riguardare una successione di decisioni

• Alberi di decisione


Esempio: organizzazione di un concerto• Avi deve organizzare un concerto

estivo, e deve decidere se organizzarlo:– A all’Aperto, in un parco

– C al Chiuso, in un teatro

– P sotto il Portico di una villa


Il concerto

• La riuscita e l’incasso dipenderanno dal luogo ma anche dal tempo che farà, che potrà essere:– S Sereno

– R Pioggia


I possibili risultati

€ 10,000aperto, sereno€ 9,000portico, sereno

€ 0aperto, pioggia

€ 2,000portico, pioggia

€ 4,000chiuso, sereno

€ 5,000chiuso, pioggia

Profitto attesoRisultato


Assessment dell’utilità

• Col procedimento visto prima si può stabilire l’utilità (per Avi) dei vari risultatiu(10,000) = 1u(9,000) = 0.95u(5,000) = 0.67u(4,000) = 0.57u(2,000) = 0.32u(0) = 0


0.32

4 5 9 10

0.570.67

0.95

1


Bollettino meteorologico

• Il bollettino meteorologico dà:– 40% probabilità di sereno

– 60% probabilità di pioggia

• Il tempo di domani può vedersi come una lotteria i cui premi dipendono dalla decisione presa


aperto

chiuso

portico

sereno (0.4)

sereno (0.4)

sereno (0.4)

pioggia (0.6)

pioggia (0.6)

pioggia (0.6)1

0

0.57

0.67

0.95

0.32


Utilità attesa dei tre casi

U[aperto] = 0.4 * 1 + 0.6 * 0 = 0.4

U[chiuso] = 0.4 * 0.57+ 0.6 * 0.67= 0.63

U[portico] = 0.4 * 0.95+ 0.6 * 0.32= 0.57


aperto

chiuso

portico

sereno (0.4)

sereno (0.4)

sereno (0.4)

pioggia (0.6)

pioggia (0.6)

pioggia (0.6)1

0

0.57

0.67

0.95

0.32

0.4

0.630.57


0.32

4 5 9 10 (K€)

0.570.67

0.95

1

0.63

4.6


Utilità attesa

• L’utilità attesa della decisione è pari alla massima utilità attesa delle lotterie tra le quali avviene la scelta

• In questo caso, l’utilità attesa è 0.63 e l’equivalente certo della decisione è 4,600 € (ossia il decisore è indifferente tra partecipare alla lotteria, cioè organizzare il concerto al chiuso, e ricevere 4600 euro “sicuri”.)


Decisioni e informazioni

• Fin qui l’unica informazione è la probabilità di tempo sereno (0.4), e in base a questo Avi prende la decisione

• Come cambia la situazione se è possibile accedere ad altre fonti di informazione?


Informazione perfetta

• Supponiamo esista un oracolo che, in modo infallibile, è in grado di prevedere il tempo

• L’oracolo chiede un compenso in denaro

• Qual è la massima cifra che ha senso pagare per avere l’informazione?


Informazione perfetta (II)

• Supponiamo che l’oracolo chieda 1,500 euro

• Qual è la nuova utilità attesa?


sereno (1)

0.86

aperto

chiusosereno (1)

sereno (1)

pioggia (0)

pioggia (0)

pioggia (0)0.92

-0.3

0.39

0.51

0.86

0.08

0.92

0.39

portico

L’oracolo prevede“sereno” (0.4)

L’oracolo prevede“pioggia” (0.6)

aperto

chiuso

sereno (0)

sereno (0)

sereno (0)

pioggia (1)

pioggia (1)

pioggia (1)0.92

-0.3

0.39

0.51

0.86

0.08

-0.3

0.510.08

portico

0.92

0.51

0.67


Informazione perfetta (II)

• La nuova utilità attesa è 0.67, corrispondente a un equivalente certo di € 5,000

• Poiché 5,000 > 4,600, la nuova situazione è più conveniente

• Per Avi, è conveniente spendere € 1,500 per l’informazione


Decisioni sequenziali

• Se l’informazione avesse avuto un prezzo superiore, poteva non essere più conveniente consultare l’oracolo

• Il problema diviene sequenziale:• Consultare o no l’oracolo?

• Dove tenere il concerto?


Il valore dell’informazione

• La massima cifra che ha senso pagare per avere l’informazione rappresenta il valore dell’informazione (perfetta) per un determinato decisore

• Come si determina il valore dell’informazione?


Il valore dell’informazione (II)

Per una classe abbastanza ampia di decisori, il valore dell’informazione può calcolarsi come differenza tra:

equivalente certo della decisione con informazione gratuita

eequivalente certo della decisione in

assenza di informazione


aperto

chiuso

sereno (1)

sereno (1)

sereno (1)

pioggia (0)

pioggia (0)

pioggia (0)1

0

0.57

0.67

0.95

0.32

1

0.67

portico

aperto

chiuso

sereno (0)

sereno (0)

sereno (0)

pioggia (1)

pioggia (1)

pioggia (1)0

0.670.32

portico



1

0.67

0.802

Informazione gratuita

1

0

0.57

0.67

0.95

0.32

0.95


0.802

2

0.32

4 5 9 10 (K€)

0.570.67

0.95

1

6.6


aperto

chiuso

sereno (1)

sereno (1)

sereno (1)

pioggia (0)

pioggia (0)

pioggia (0)1

0

0.57

0.67

0.95

0.32

1

0.67

portico

aperto

chiuso

sereno (0)

sereno (0)

sereno (0)

pioggia (1)

pioggia (1)

pioggia (1)0

0.670.32

portico



1

0.67

0.802

€ 6,600


1

0

0.57

0.67

0.95

0.32

0.95



Quindi il valore dell’informazione è:

equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 6,600

-

equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,600

= € 2,000


Un decisore alternativo: Inat

• Supponiamo che per Inat:

u(10,000) = 1

u(9,000) = 0.9

u(5,000) = 0.5

u(4,000) = 0.4

u(2,000) = 0.2

u(0) = 0


0.2

4 5 9 10

0.40.5

0.9

1


aperto

chiuso

portico

sereno (0.4)

sereno (0.4)

sereno (0.4)

pioggia (0.6)

pioggia (0.6)

pioggia (0.6)1

0

0.4

0.5

0.9

0.2

0.4

0.460.48

Assenza di informazione

€ 4,800

0.48


aperto

chiuso

sereno (1)

sereno (1)

sereno (1)

pioggia (0)

pioggia (0)

pioggia (0)1

0

0.4

0.5

0.9

0.2

1

0.40.9

portico

aperto

chiuso

sereno (0)

sereno (0)

sereno (0)

pioggia (1)

pioggia (1)

pioggia (1)0

0.50.2

portico



1

0.5

0.7

1

0

0.4

0.5

0.9

0.2€ 7,000



Il valore dell’informazioneQuindi il valore dell’informazione per Inat è:

equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 7,000

-

equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,800

= € 2,200



• Dunque per Avi (avverso al rischio) il valore dell’informazione è inferiore al valore che ha per Inat (indifferente al rischio)

• Non sempre è così...


aperto

chiuso

portico

sereno (p)

sereno (p)

sereno (p)

pioggia (1-p)

pioggia (1-p)

pioggia (1-p)1

0

0.57

0.67

0.95

0.32

Avi1

0

0.4

0.5

0.9

0.2

Inat


Confronto tra decisori (p=0.4)

• Quando p=0.4, Avi (avverso al rischio) deciderebbe di svolgere il concerto al chiuso, Inat (indifferente al rischio) sotto il portico

• Il valore dell’informazione perfetta è:

VAVI = € 2,000

VINAT= € 2,200



• Consideriamo ora lo stesso problema, ma con una maggiore probabilità di tempo sereno, p=0.5


aperto

chiuso

portico

sereno (0.5)

sereno (0.5)

sereno (0.5)

pioggia (0.5)

pioggia (0.5)

pioggia (0.5)1

0

0.57

0.67

0.95

0.32

Avi1

0

0.4

0.5

0.9

0.2

Inat0.5 / 0.5

0.45 / 0.62

0.55 / 0.64




• Stavolta ambedue i decisori sceglierebbero il portico

• L’equivalente certo in assenza di informazione è:

xAVI = € 4,700

xINAT= € 5,500


aperto

chiuso

sereno (1)

sereno (1)

sereno (1)

pioggia (0)

pioggia (0)

pioggia (0)1

1

portico

aperto

chiuso

sereno (0)

sereno (0)

sereno (0)

pioggia (1)

pioggia (1)

pioggia (1)

0.67

portico



1

0.67

0.84

0.67

€ 7,100

Informazione gratuita: Avi

0

0.57


aperto

chiuso

sereno (1)

sereno (1)

sereno (1)

pioggia (0)

pioggia (0)

pioggia (0)1

1

portico

aperto

chiuso

sereno (0)

sereno (0)

sereno (0)

pioggia (1)

pioggia (1)

pioggia (1)

0.5

portico



1

0.5

0.75

0.5

€ 7,500

Informazione gratuita: Inat

0

0.4


Il valore dell’informazione: Avi

Equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 7,100

-

Equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,700

= € 2,400


Il valore dell’informazione: Inat

Equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 7,500

-

Equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 5,500

= € 2,000



• Il valore dell’informazione perfetta è:

VAVI = € 2,400

VINAT= € 2,000

• Poiché i due decisori fanno la stessa scelta, Avi è disposto a pagare di più l’informazione rispetto a Inat


Inat deve acquistare titoli...

• X assicurano un guadagno di € 250

• Y con probabilità 0.3, un guadagno di € 275, con probabilità 0.7 un guadagno di € 107; in quest’ultimo caso può scambiarli con Z

• Z con probabilità 0.5 il guadagno può essere € 375 o € 100


€ 275

€ 107

€ 375

€ 100

Acquistare Y

Scambiare

Acquistare X

0.3

0.7

0.5237.5€ 250

€ 248.75

Z guadagna

0.5

Tenere Y

€ 250

237.5

Z crolla


Y guadagna

Y perde


€ 275

€ 107

€ 375

€ 250

Acquistare Y

Scambiare

Acquistare X

0.3

0.7

0.5

0.5

375

€ 297.5

€ 345

Informazione gratuita sui titoli Z prima della dec. su X

€ 275

€ 107

€ 100

€ 250

Acquistare Y Tenere Y

Acquistare X

0.3

0.7

107

€ 157.4

Z guadagna

Z crolla

€ 345

€ 250


Il valore dell’informazione su Z

• L’utilità attesa della lotteria nel nodo radice è di € 297.50

• In assenza di informazione, l’utilità attesa è di € 250

• Il valore dell’informazione su Z prima di decidere su X è di:

€ 297.50 - € 250 = € 47.50


€ 275

€ 375

€ 107Acquistare Y

Scambiare

0.3

0.70.5

€ 375

€ 251.2

Informazione gratuita sui titoli Z dopo aver deciso su X

Acquistare X

Y guadagna

€ 251.2

€ 250

Y perde

€ 100

€ 107Tenere Y

0.5

L’oracolo prevedeche Z guadagnerà

L’oracolo prevedeche Z perderà

€ 107

€ 241


Il valore dell’informazione su Z



• Il valore dell’informazione su Z dopo avere già deciso su X è di:

€ 251.20 - € 250 = € 1.20


€ 275

€ 250

€ 375

Acquistare Y

0.3

0.7

0.5

€ 257.5

Informazione gratuita sui titoli Y prima della dec. su X

Acquistare X

L’oracolo prevede cheY guadagnerà

€ 250 € 100

€ 107Tenere Y

€ 275

L’oracolo prevede cheY perderà

€ 250Acquistare X

0.5€ 237.5

€ 237.5


Il valore dell’informazione su Y



• Il valore dell’informazione su Y prima di decidere su X è di:

€ 257.50 - € 250 = € 7.50

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