Chukienthuc.com cac-pp-tim-nguyen-ham-tich-phan

[email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 1

CHUYÊN ðỀ TÍCH PHÂN

Bảng công thức tích phân bất ñịnh :

∫ = Cdx0 ∫ += Cxdx

11

1

−≠++

=∫+

nCn

xdxx

nn Cxdx

x+=∫ ln

1

∫ += Cedxe xx ∫ = Ca

adxa

xx

ln

∫ +−= Cxxdx cossin ∫ += Cxxdx sincos

∫ += Cxdxx

tancos

12 ∫ +−= Cxdx

xcot

sin

12

∫ +=′

Cxudxxu

xu)(ln

)(

)( ∫ ++−

=−

Cax

ax

adx

axln

211

22

∫ +++++=+ Caxxa

axx

dxax 222 ln22

Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số )(xf liên tục trên ñoạn [ ]ba; có nguyên hàm là )(xF . Giả sử )(xu là hàm số có ñạo hàm và liên tục trên ñoạn [ ]βα , và có miền giá trị là [ ]ba; thì ta có :

[ ] [ ] CxuxFdxxuxuf +=∫ )()()('.)(

BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :

a) ∫ +=

1

021 1x

xdxI b) ∫ −

=1

0

2 1x

x

e

dxeI c) ∫

+=e

x

dxxI

1

3

ln1

Bài làm :

a) ðặt 2

212 dtxdxxdxdtxt =⇒=⇒+=

ðổi cận :

=→=

=→=

21

10

tx

tx

Vậy : 2ln2

1ln

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

121 ===+

= ∫ ∫ tt

dt

x

xdxI

b) ðặt dxedtet xx =⇒−= 1


ðổi cận :

−=→=

−=→=

12

112etx

etx

Vậy : )1ln(ln1

1

1

1

1

1

0

2

22

+===−

=

−

−

−

−∫∫ ett

dt

e

dxeI

e

e

e

e

x

x

c) ðặt dxx

tdtxt1

ln1 =⇒+=

ðổi cận :

=→=

=→=

2

11

tex

tx

Tích phân lượng giác :

Dạng 1 : ∫=β

α

nxdxmxI cos.sin

Cách làm: biến ñổi tích sang tổng .

Dạng 2 : ∫=β

α

dxxxI nm .cos.sin

Cách làm : Nếu nm, chẵn . ðặt xt tan= Nếu m chẵn n lẻ . ðặt xt sin= (trường hợp còn lại thì ngược lại)

Dạng 3 : ∫ ++=

β

α cxbxa

dxI

cos.sin.

Cách làm :

ðặt :

+−

=

+=

⇒=

2

2

2

1

1cos

1

2sin

2tan

t

tx

t

tx

xt

Dạng 4 : ∫ ++

=β

α

dxxdxc

xbxaI .

cos.sin.

cos.sin.

Cách làm :

ðặt : xdxc

xdxcBA

xdxc

xbxa

cos.sin.

)sin.cos.(

cos.sin.

cos.sin.

+−

+=++

Sau ñó dùng ñồng nhất thức .

Dạng 5: ∫ ++++

=β

α

dxnxdxc

mxbxaI .

cos.sin.

cos.sin.

Cách làm :

)122(3

2

3

2ln12

1

2

1

2

3

1

3 −===+

= ∫∫ tdttx

dxxI

e


ðặt : nxdxc

C

nxdxc

xdxcBA

nxdxc

mxbxa

+++

++−

+=++++

cos.sin.cos.sin.

)sin.cos.(

cos.sin.

cos.sin.

Sau ñó dùng ñồng nhất thức.

BÀI TẬP

Tính tích phân :

a) ∫ +=

2

041 )1(sin

cosπ

x

xdxI b) ∫=

2

0

52 cos

π

xdxI c) ∫=4

0

63 tan

π

xdxI

Bài làm : a) ðặt : xdxdtxt cos1sin =⇒+=

ðổi cận :

=→=

=→=

22

10

tx

tx

π

Vậy : 24

7

3

1

)1(sin

cos2

13

2

14

2

041 =−==

+= ∫∫ tt

dt

x

xdxI

π

b) ðặt : xdxdtxt cossin =⇒=

ðổi cận :

=→=

=→=

12

00

tx

tx

π

Vậy : ( ) ( )

15

8

3

2

5

211cos

1

0

1

0

35

1

0

1

0

24222

0

52

=

+−=

−+=−==

∫

∫ ∫∫

ttt

dtttdttxdxI

π

c) ðặt : dxxdtxt )1(tantan 2 +=⇒=

ðổi cận :

=→=

=→=

14

00

tx

tx

π

Vậy :

415

13

35

1

11

1tan

4

0

1

0

35

1

0

1

02

242

64

0

63

ππ

π

−=−

+−=

+

−+−=+

==

∫

∫ ∫∫

duttt

dtt

ttt

dttxdxI



a) ∫+

=2

022221

cos.sin.

cos.sinπ

dxxbxa

xxI b) ∫ +

=3

0

22cos2

cosπ

dxx

xI

Bài làm : a) ðặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 +−=⇒+=

ðổi cận :

=→=

=→=

2

2

2

0

btx

atx

π

Nếu ba ≠

Vậy : ( )

baab

bat

ab

t

dt

abdxxbxa

xxI

b

a

b

a

+=

−

−=

−=

−=

+= ∫ ∫

11

2

1

cos.sin.

cos.sin

2222

2

022221

2

2

2

2

π

Nếu ba =

Vậy :

ax

axdx

a

a

xdxxdxxbxa

xxI

2

12cos

4

12sin

2

1

cos.sin

cos.sin.

cos.sin

2

0

2

0

2

0

2

022221

=−==

=+

=

∫

∫∫ππ

ππ

b) ðặt : xdxdtxt cossin =⇒=

ðổi cận :

=→=

=→=

2

3

3

00

tx

tx

π

Vậy : ∫∫∫−

=−

=+

=2

3

0 2

2

3

02

3

0

2

2

32

1

232cos2

cos

t

dt

t

dtdxx

xI

π

ðặt : ududtut sin2

3cos

2

3−=⇒=

ðổi cận :

=→=

=→=

42

3

20

π

π

ut

ut


Vậy : ( )

242

1

2

1

cos12

3

sin2

3

2

1

2

32

1

2

4

4

4

2

42

2

3

0 2

2

π

π

π

π

π

π

π

===

−

=

−

=

∫

∫∫

udu

u

udu

t

dtI


a) ∫ ++=

2

0

1 5cos3sin4

1π

dxxx

I b) ∫ ++++

=2

0

2 5cos3sin4

6cos7sinπ

dxxx

xxI

Bài làm :

a) ðặt : 1

21

2tan

2tan

22

+=⇒

+=⇒=t

dtdxdx

xdt

xt

ðổi cận :

=→=

=→=

12

00

tx

tx

π

Vậy : ( )

6

1

2

1

15

1

13

1

24

1

2

1

0

1

02

1

02

2

2

2

1

=+

−=

+=

++−

++

+= ∫∫

t

t

dtdt

t

t

t

t

tI

b)ðặt : 5cos3sin45cos3sin4

sin3cos4

5cos3sin4

6cos7sin

+++

++−

+=++++

xx

C

xx

xxBA

xx

xx

Dùng ñồng nhất thức ta ñược: 1,1,1 === CBA

Vậy :

( )6

1

8

9ln

25cos3sin4ln

5cos3sin4

1

5cos3sin4

sin3cos41

5cos3sin4

6cos7sin

120

2

0

2

0

2

++=++++=

++

+++

−+=

++++

= ∫∫ππ

ππ

Ixxx

dxxxxx

xxdx

xx

xxI

Bạn ñọc tự làm :

a) ∫=2

6

2

3

1 sin

cosπ

π

dxx

xI b) ∫=

2

0

32 sin.cos

π

xdxxI c) ∫ +=

2

0

3 2sin

π

x

dxI


c) ∫ +=

2

0

3

3 1cos

sin4π

dxx

xI d) ∫ ++

=2

0

5 3cos2sin

1π

dxxx

I d) ∫ +++−

=2

0

6 3cos2sin

1cossinπ

dxxx

xxI

Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ

Dạng 1 : ( ) ( )

Caxnax

dxI

nn+

−−−=

−= −∫ 1

1.

1

1 với ( ) { }( )1,0, −×∈ NCna ta có :

Nếu Ran ∈= ,1 ta có : Cxax

dxI +=

−= ∫ ln

Dạng 2 : ( )∫

++

+= dx

cbxax

xI

n2

βα trong ñó :

<−=∆

∈

04

,,,,2 acb

Rcbaβα

* Giai ñoạn 1 : 0≠α ,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức cbxax ++2 , sai khác một số :

( ) ( ) ( )∫∫∫

++

−+++

+=

++

−++=

nnncbxax

dxb

a

adx

cbxax

bax

adx

cbxax

ba

bax

aI

222

2

2

2

2

22

2 αβααα

βα

* Giai ñoạn 2 :

Tính ( ) ( )∫∫

∆−

+=

+

∆−

∆−

=++

=bax

t

n

n

nt

dt

a

adx

cbxax

dxI

222 12

.4

* Giai ñoạn 3 :

Tính ( )∫

+= dtt

In

1

12

có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc ñặt φtan=t

Dạng 3 : ( )( )∫= dxxQ

xPI

n

m

Ta có : ( )( ) 01

01

......

......

bxbxb

axaxa

xQ

xPn

n

m

m

n

m

++++++

=

Nếu : ( ) ( )QP degdeg ≥ thì ta thực hiện phép chia ( )( ) ( )( ) ( )

( )xQ

xRxA

xQ

xP

n

rnm

n

m += − trong ñó

phân số ( )( )xQ

xR

n

r có ( ) ( )QR degdeg <

Nếu : ( ) ( )QP degdeg < ta có các qui tắc sau :

*Qt 1: ( )

( ) ( ) ( ) ( )nn

n

n

n

xm

ax

A

ax

A

ax

A

ax

P

−+

−++

−=

− −−

111 ......

Vdụ 1a : ( )

( ) ( )∑∏ =

=

−=

−

n

ii

i

i

n

i

i

i

m

ax

A

ax

xP

1

1

Vdụ 1b : ( )( )22))()(( cx

D

cx

C

bx

B

ax

A

cxbxax

xPm

−+

−+

−+

−=

−−−


*Qt 2': ( )( ) ( ) ( ) ( )n

nn

n

nn

n

m

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

xP

++

++

++

+++

+++

=++

−−−

212

112

11

2...... với 0<∆

*Qt 3: ( )( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑

= = ++

++

−=

++−

m

i

n

ki

i

i

i

nm

t

cbxax

BxA

x

A

cbxaxx

xP

1 12

1

2 αα

Vdụ 1 : ( )( ) ( )cbxax

CBx

x

A

cbxaxx

xPt

+++

+−

=++− 22)( αα

Vdụ 2 : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

222

1122 cbxax

CxB

cbxax

CxB

x

A

cbxaxx

xPt

++

++

+++

+−

=++− αα

BÀI TẬP


a) ∫ ++=

1

021 23xx

dxI b)

( )∫++

=1

0222

23xx

dxI

Bài làm :

a)( )( ) ∫∫∫

+

−+

=++

=++

=1

0

1

0

1

021 2

1

1

1

2123dx

xxxx

dx

xx

dxI

b)( ) ( ) ( ) ( )( )

dxxxxx

dxxx

dxI ∫∫

++−

++

+=

++=

1

022

1

0222 21

2

2

1

1

1

23

( ) OKxxxx

=

+−+−+

−+

−=1

0

2ln1ln22

1

1

1


a) ∫ ++=

1

0241 33xx

dxI b) ( )( )∫ ++

−=

1

022

21

24dx

xx

xI

Bài làm :

a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược ∫ +=+

= Ca

x

aax

dxI arctan

1220 với 0>a

( )( ) dxxxxx

dx

xx

dxI ∫ ∫∫

+

−+

=++

=++

=1

0

1

02222

1

0241 3

1

1

1

2

1

3133

( )32923

arctan3

1arctan

2

11

0

−=

−=

πxx

[ ]3

4ln2ln1ln

1

0=+−+= xx


b) ðặt : ( )( )

( ) ( )( )( )12

22

1212

242

2

22 +++++++

=++

++

=++

−xx

ACCBxBAx

x

CBx

x

A

xx

x

Do ñó ta có hệ :

=

=

−=

⇔

=+

=+

=+

0

2

2

02

42

0

C

B

A

AC

CB

BA

Vậy : ( )( )∫ ∫

+

++

−=++

−=

1

0

1

0222 1

2

2

2

21

24dx

x

x

xdx

xx

xI

[ ]9

4ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2

1

0

2 =−++−=+++−= xx


a)( )∫ −+

=3

221 1

1dx

xx

xI b) ∫ −+

=5

222 32xx

dxI

c) dxxx

xI ∫ −

−=

2

13

3

3 4

1 d) ∫ +−=

2

3243 23

dxxx

xI

HD:

a) ( ) 11

122 −++=

−+

x

C

x

B

x

A

xx

x b) 3132

12 +

+−

=−+ x

B

x

A

xx

c) ( )( )

−+−

+=−−

1212

41

4

1

4

13

3

xxx

x

xx

x d) 221123 24 −

++

++

+−

=+− x

D

x

C

x

B

x

A

xx

x

ðẳng thức tích phân : Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận xét một số ñặc ñiểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …. Chúng ta cần phải nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng.

BÀI TẬP

Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ −=−1

0

1

0

11 dxxxdxxxmnnm

Bài làm :

Xét ( )∫ −=1

0

1 dxxxInm

ðặt : dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1


ðổi cận :

=→=

=→=

01

10

tx

tx

Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=−=0

1

1

0

1

0

111 dtttdtttdxxxI nmnmnm (ñpcm)

Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [ ]aa,− thì :

( )∫−

==a

a

dxxfI 0

Bài làm :

( ) ( ) ( )1)(0

0∫ ∫ ∫− −

+==a

a a

a

dxxfdxxfdxxfI

Xét ( )∫−

0

a

dxxf . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=

ðổi cận :

=→=

=→−=

00 tx

atax

V ậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−=−

a a

a

dttfdttfdxxf0 0

0

Thế vào (1) ta ñược : 0=I (ñpcm) Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn

[ ]aa,− thì ( ) ( )∫ ∫−

==a

a

a

dxxfdxxfI0

2

Cho 0>a và ( )xf là hàm chẵn , liên tục và xác ñịnh trên R .

Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫−

=+

α

α

α

dxxfdxa

xfx

01

Bài làm :

Xét ( )dx

a

xfx∫

− +

0

1α

. ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=

ðổi cận :

=→=

=→−=

00 tx

tx αα

Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +

=+−

=+ −

−

α α

α 0 0

0

111 t

t

tx a

tfadt

a

tfdx

a

xf

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫− − +

++

=+

α

α α

α0

0

1111dx

a

xfdx

a

xfdx

a

xfxxx


Thế vào (1) ta ñược : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ =+

++

=+− −

αα

α α

α

0

0

0 111dxxfdx

a

xfdx

a

xfadx

a

xfxx

x

x (ñpcm)

Cho hàm số ( )xf liên tục trên [ ]1,0 . Chứng minh rằng :

( ) ( )∫ ∫=π ππ

0 0

sin2

sin. dxxfdxxfx

Bài làm :

Xét ( )∫π

0

sin. dxxfx . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= π

ðổi cận :

=→=

=→=

0

0

tx

tx

ππ

Vậy : ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=π ππ

πππ0 00

sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx

( ) ( )∫ ∫−=π π

π0 0

sin.sin dttftdttf

( ) ( )

( ) ( )dxxfdxxfx

dxxfdxxfx

∫∫

∫∫

=⇒

=⇒

ππ

ππ

π

π

00

00

sin2

sin.

sinsin.2

Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau . Nếu hàm số ( )xf liên tục trên [ ]ba, và ( ) ( )xfxbaf =−+ . Thì ta luôn có :

( ) ( )∫ ∫+

=b

a

dxxfba

dxxfx

π

02.

Cho hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T .

Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫+

=Ta

a

T

dxxfdxxf0

Bài làm :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ ∫+++

++=+=Ta

T

T

a

Ta

T

Ta

a

T

a

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf0

0

Vậy ta cần chứng minh ( ) ( )∫ ∫+

=a Ta

T

dxxfdxxf0

Xét ( )∫a

dxxf0

. ðặt dxdtTxt =⇒+=


ðổi cận :

+=→=

=→=

Tatax

Ttx 0

Vậy : ( ) ( )∫ ∫+ +

=−Ta

T

Ta

T

dttfdtTtf

Hay : ( ) ( )∫ ∫+

=Ta

a

T

dxxfdxxf0

(ñpcm)

Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau : Nếu hàm số ( )xf liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn

có : ( ) ( )∫ ∫−

=T

T

T

dxxfdxxf0

2

2


a) ( )∫ −=1

0

61 1 dxxxI b) ( )∫

−

++=1

1

222 1lncos.sin dxxxxxI

c) ∫ +=

π

023 cos49

sin.dxx

xxI d) ∫ +

=π

024 cos1

sin.dxx

xxI

e) ∫−

+=

2

2

2

5 21

sinπ

π

dxxx

Ix

f) ∫− +

+=

1

12

2

6 1

sindx

x

xxI

g) ( )∫ ++=∗π2

0

27 sin1sinln dxxxI h) dxxI ∫ −=∗

π2009

0

8 2cos1

Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [ ]ba, , thì ta có :

[ ]∫ ∫−=b

a

b

a

b

avduuvudv

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải ñặt xu ln= hay xu alog= . *ưu tiên 2 : ðặt ??=u mà có thể hạ bậc.

BÀI TẬP



a) ∫=1

0

1 . dxexI x b) ∫=2

0

22 cos.

π

xdxxI c) ∫=e

xdxI1

3 ln

Bài làm :

a) ðặt :

=⇒=

=⇒=xx evdxedv

dxduxu

Vậy : ( ) 11..1

0

1

0

1

0

1

0

1 =−−=−=−== ∫∫ eeeedxeexdxexI xxxx

b) ðặt :

=⇒=

=⇒=

xvxdxdv

xdxduxu

sincos

22

Vậy : ( )1sin.24

sin.2cos..2

0

2

0

2

20

1

0

1 ∫∫∫ −=−−==

ππ

π πxdxxxdxxxxdxexI x

Ta ñi tính tích phân ∫2

0

sin.

π

xdxx

ðặt :

−=⇒=

=⇒=

xvxdxdv

dxduxu

cossin

Vậy : 1sincos.coscos.sin. 20

20

2

0

20

2

0

=+−=+−= ∫∫ππ

π

π

π

xxxdxxxxdxx

Thế vào (1) ta ñược : 4

8.

21

0

1

−== ∫π

dxexI x

c) ðặt :

=⇒=

=⇒=

xvdxdv

dxx

duxu1

ln

Vậy : 1ln.ln.ln01

11

1

3 =−=−== ∫∫ee

ee

e

xxxdxxxxdxI


a) ∫=π

0

1 sin. xdxeI x b) ∫=4

022 cos

π

dxx

xI c) ( )∫=

πe

dxxI1

3 lncos

Bài làm :

a) ðặt :

−=⇒=

=⇒=

xvxdxdv

dxedueu xx

cossin

Vậy : ( )∫∫ ++=+−==π

πππ

00

0

1 11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI xxx


ðặt :

=⇒=

=⇒=

xvxdxdv

dxedueu xx

sincos

Vậy : IxdxexexdxeJ xxx −=−== ∫∫π

ππ

00

0

sin.sin.cos.

Thế vào (1) ta ñược : 2

112 11

+=⇒+=

ππ e

IeI

b) ðặt :

=⇒=

=⇒=

xvdxx

dv

dxduxu

tancos

12

Vậy : ( )2

2ln

4cosln

4tantan.

cos40

4

0

40

4

022 +=+=−== ∫∫

ππ π

π

π

π

xxdxxxdxx

xI

c) ðặt : ( ) ( )

=⇒=

−=⇒=

xvdxdv

dxxx

duxu lnsin1

lncos

Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) JedxxxxdxxI

ee

e

++−=+== ∫∫ 1lnsinlncos.lncos1

11

3π

ππ

π

ðặt : ( ) ( )

=⇒=

=⇒=

xvdxdv

dxxx

duxu lncos1

lnsin

Vậy : ( ) ( ) ( ) 3

11

1

3 0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI

ee

e

−=−== ∫∫π

ππ

Thế vào (1) ta ñược : ( )2

112 33

+−=⇒+−=

ππ e

IeI


a) ∫ −=2ln

0

1 . dxexI x b) ( )∫ −=e

dxxI1

22 ln1

c) ∫

−=2

23 ln

1

ln

1

e

dxxx

I d) ( )∫ ++=1

0

24 1ln dxxxI

e) ( )∫=3

4

5 tanln.sin

π

π

dxxxI f) ( )∫=e

dxxI1

26 lncos

g) ∫=∗4

0

27 2cos

π

xxI h) ∫ ++

=∗2

0

7cos1

sin1π

dxex

xI x

Tích phân hàm trị tuyệt ñối, min , max :


Muốn tính ( )∫=b

a

dxxfI ta ñi xét dấu ( )xf trên ñoạn [ ]ba, , khử trị tuyệt ñối

Muốn tính ( ) ( )[ ]∫=b

a

dxxgxfI ,max ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba,

Muốn tính ( ) ( )[ ]∫=b

a

dxxgxfI ,min ta ñi xét dấu ( ) ( )xgxf − trên ñoạn [ ]ba,


a) ∫ −=4

1

1 2dxxI b) ∫ −+=2

0

21 32 dxxxI

Bài làm : x 1 2 4 a) x-2 - 0 +

Vậy : ( ) ( )4

2

22

1

24

2

2

1

4

1

1 222

2222

−+

−=++−=−= ∫∫∫ x

xxxdxxdxxdxxI

( ) ( ) ( )[ ]2

54288

2

1224 =−−−+

−−−=

b) Lập bảng xét dấu [ ]2,0,322 ∈−+ xxx tương tự ta ñược

( ) ( )∫∫∫ −++−+−=−+=2

1

21

0

22

0

21 323232 dxxxdxxxdxxxI

.

Tính ∫ −=1

0

dxaxxI a với a là tham số :

Bài làm : x ∞− a ∞+ x-a - 0 + (Từ bảng xét dấu trên ta có thể ñánh giá ). Nếu 0≤a .

43

33

32

1

32

1

0

32

1 =

++−+

−−=

xxx

xxxI


( )∫∫ −=

−=−=−=

1

0

1

0

232

1

0 23

1

23

aaxxdxaxxdxaxxIa

Nếu 10 << a .

( ) ( )∫ ∫∫ −+−−=−=a

a

a dxaxxdxaxxdxaxxI0

122

1

0

223

1

3232

32132

0

32 aaxaxxax

a

a

+−=

+−+

−=

Nếu 1≥a .

( )∫∫ +−=

−−=−−=−=

1

0

1

0

232

1

0 23

1

23

aaxxdxaxxdxaxxIa

Tính : a) ( )∫=2

0

21 ,1min dxxI ( )∫=

3

0

22 ,max dxxxI

Bài làm : a) Xét hiệu số : ( ) [ ]2,01 2 ∈∀− xx

Vậy : ( )3

4

3,1min

2

1

2

0

32

1

1

0

22

0

21 =+=+== ∫∫∫ x

xdxdxxdxxI

b) Xét hiệu số : ( ) [ ]3,01 ∈∀− xxx tương tự như trên ta có .

( )6

55

32,max

3

1

31

0

23

1

21

0

3

0

22 =+=+== ∫∫∫

xxdxxxdxdxxxI


a) ( )∫−

−=3

2

21 3,min dxxxI b) ( )∫=

2

0

2 cos,sinmax

π

dxxxI c) ∫ −=4

3

0

3 cossin

π

dxxxI

d) ( )∫−

−=3

2

24 34,max dxxxI d) ∫

−−+−+=∗

5

1

4 1212 dxxxxxI

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp ñơn giản của tích phân Abel Dạng 1: ( )∫ ++ dxcbxaxxR 2, ở ñây ta ñang xét dạng hữu tỷ.

∆−

++

∆−=++→

<∆

> 2

2 21

40

0 bax

acbxax

a

( ) ( )dtttSdxcbxaxxRbax

t

∫∫∆−

+=

+=++2

22 1,, Tới ñây , ñặt ut tan= .


Dạng 2:

∆−

+−

∆−=++→

<∆

< 2

2 21

40

0 bax

acbxax

a


t

∫∫∆−

+=

−=++2

22 1,, Tới ñây , ñặt ut sin= .

Dạng 3:

−

∆−

+∆=++→

>∆

>1

2

40

02

2 bax

acbxax

a


t

∫∫∆

+=

−=++2

22 1,, Tới ñây, ñặt u

tsin

1= .

Dạng 4 (dạng ñặc biệt) : ( ) ∫∫

+=

++=

+++βα

ζµαβαx

ttt

dt

cbxaxx

dx

122

Một số cách ñặt thường gặp :

( )dxxaxS∫ − 22, ñặt π≤≤= ttax 0cos.

( )dxxaxS∫ + 22, ñặt 22

tan.ππ

<<−= ttax

( )dxaxxS∫ − 22, ñặt ππ

ktt

ax +≠=

2cos

( )dxcbxaxxS∫ ++2, ñặt ( )

>±±=++

=++−=++

>±=++

0;.

0;

0;

2

0002

2

atxacbxax

cbxaxxxtcbxax

ccxtcbxax

∫

++

m

dcx

baxxS , ñặt 0; ≠−

++

= cbaddcx

baxt m

Tính : ( )∫

++=

32 74xx

dxI

Bài làm :

( ) ( )∫∫+= +

=++ 2

3232 374 xt t

dt

xx

dx

ðặt : ( )duudtut 1tan3tan3 2 +=⇒=

Ta có ( )( ) ∫∫ =

+

+=

uu

udu

u

duuI

tan3tan332

2

cos3

1

1tan.33

1tan3

Cxx

xC

t

tCu +

++

+=+

+=+=

74

2

3

1

13

1sin

3

122


Tính : a) ∫++

=12 xx

xdxI b) ∫

−−=

122 xxx

dxI

Bài làm :

a) ∫∫∫+

=+

−=

+

+

=++

3

12222 1

13

2

1

4

3

2

11 xt

dtt

t

x

xdx

xx

xdx

( )

Cxxxxx

Ctttdtt

tI

xt

+

+++++−++=

+++−+=+

−= ∫

+=

12

1ln

2

11

1ln2

11

2

3

1

13

2

1

22

22

3

122

b)ðặt : 2

1

t

dtdx

tx −=⇒=

( )C

t

t

dt

xxx

dxI

tx

++

−=+−

−=−−

= ∫∫=

2

1arcsin

1212 122

Cx

Cx ++

−=++

−=2

1arcsin

2

11

arcsin

Tìm các nguyên hàm sau

a) ∫ +++=

3 11 xx

dxI b) ∫ +++

=11 xx

dxI

Bài làm : a)ðặt : dxdttxtxt =⇒+=⇒+= 566 611

Vậy : ∫∫∫+=+=

+

−+−=+

=+++

=66 1

2

123

5

3 1

1166

11 xtxt

dtt

tttt

dtt

xx

dxI

Cxxxx

Ctttt

+++−+++−+=

++−+−=

11ln6161312

1ln6632

663

23

b) ∫ ∫∫∫+

−

+=

+−+=

+++=

−dx

x

xdxxdx

x

xx

xx

dxI

1

2

11

2

1

2

11

112

1

( )11

2

1

2

1dx

x

xxx ∫

+−+=

Xét dxx

x∫

+1 ðặt : ( )

dtt

tdx

tx

x

xt

2221

2

1

11

−−=⇒

−=⇒

+=


Vậy : ( )

OKt

dttdx

x

x

x

xt

=−

−=+

∫∫+

=1

2

2

12

1

Tìm các nguyên hàm sau :

a) ∫ += dxxxI 9. 22 b) ∫ += dxxxI 4.16 22

Bài làm :

a)ðặt : dtt

tdx

t

txtxx

2

222

2

9

2

99

+=⇒

−=⇒−=+

Vậy :

( ) ( )

( )( ) C

xx

xxxx

Ct

tt

dttt

t

dtt

tdt

t

t

t

t

t

tI

+

+−−+−−

+−−=

+

−−−=

+−−=

−−=

−

−−

+=

∫

∫∫

42

2

42

4

4

53

5

24

2

222

2

2

1

94

65619ln162

4

9

16

1

4

6561ln162

416

16561162

16

1

81

16

1

4

9.

2

9.

2

9

b)ðặt : dtt

tdx

t

txtxx

2

222

2

4

2

44

+=⇒

−=⇒−=+

( ) ( )

( )( )

C

xx

xxxx

Ct

tt

dttt

t

dtt

tdt

t

t

t

t

t

tI

+

+−−+−+

+−−=

+

−−−=

+−−=

−−=

−

−−

+=

∫

∫∫

42

2

42

4

4

5

3

5

24

2

222

2

2

4

644ln36

4

4

64ln36

4

25636

16

4

4.

2

4.

2

416


a) ∫ −=1

2

1

21 dxxxI b) ∫

−

− −=

8

3

21

dxxx

dxI

Bài làm :

( )∫∫ −−=−=1

2

1

21

2

1

21 121

2

1dxxdxxxI


ðặt : tdtdxtx cos2

1sin12 =⇒=−

ðổi cận :

=→=

=→=

21

02

1

πtx

tx

Vậy : ( )2

0

2

0

2

0

21 2sin

2

11

8

12cos1

8

1cos

4

1πππ

+=+== ∫∫ tdtttdtI

b) ðặt : dxtdtxt =−⇒−= 21

ðổi cận :

=→−=

=→−=

38

23

tx

tx

Vậy : ( ) ∫∫∫ −=

−=

−=

−

−

3

22

3

22

8

3

2 12

12

1 t

dt

tt

tdtdxxx

dxI


a) ∫+

=121

xx

dxI b) dxxxI ∫ −= 2

2 4 c)( )∫

+=

323

4x

dxI

d) ∫ += dxxI 24 1 d) ∫

−−

−+=∗ dx

x

xI

11

112

2

5 d) dxx

I11

12

6

++=∗

Bất ñẳng thức tích phân :

Nếu ( ) [ ] ( ) 0,0 ≥⇒∈∀≥ ∫ dxxfbaxxf

b

a

Nếu ( ) ( ) [ ] ( ) ( )dxxgdxxfbaxxgxf

b

a

b

a

∫∫ ≥⇒∈∀≥ ,

Nếu ( ) [ ] ( ) ( ) ( )abMdxxfabmbaxxfm

b

a

−≤≤−⇒∈∀≤≤ ∫,

Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và các bước chặn sinx,cosx

BÀI TẬP

( )16

00028

1 ππ=

+−

−=

2ln1ln2

1ln

1

1ln

3

2

=

−−=+−

−=t

t


Chứng minh các bất ñẳng thức sau :

a) ( )∫ ≤−1

0 4

11 dxxx b)

2

1

15

2 2

12

≤+

≤ ∫ dxx

x c) ( )∫ ≤−++1

0

211 dxxx

Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có :

( ) ( ) [ ]1,04

1

2

11

2

∈∀=

−+≤− x

xxxx

Vậy : ( )4

1

4

11

1

0

1

0

=≤−∫ ∫dxdxxx (ñpcm)

b) Xét hàm số : ( ) [ ]2,112

∈∀+

= xx

xxf

ðạo hàm :

( )( )

( )

−=

=⇔=′

+

−=′

1

10

1

122

2

x

xxf

x

xxf

Ta có : ( )

( )

=

=

5

22

2

11

f

f

Vậy :

[ ]

2

1

15

2

2

1

15

2

2,12

1

15

2

2

12

2

1

2

12

2

1

2

≤+

≤⇒

≤+

≤⇒

∈∀≤+

≤

∫

∫∫∫

dxx

x

dxdxx

xdx

xx

x

Áp dụng Bunhicopxki ta có : [ ]1,02111111 22 ∈∀=−+++≤−++ xxxxx

Vậy : ( ) ( )012111

0

−≤−++∫ dxxx

( )∫ ≤−++1

0

211 dxxx (ñpcm)

Chứng minh rằng : e

dxx

xe x

121

sin.3

12

π<

+∫−


Bài làm :

[ ]e

exx x 113,1 ≤⇒−≤−⇒∈∀ −

( )∫∫ +<

+⇒

− 3

12

3

12 1

1

1

sin.dx

xedx

x

xe x

Xét ( )∫ +

3

12 1

1dx

xe

ðặt : ( )dttdxtx 1tantan 2 +=⇒=

ðổi cận :

=→=

=→=

33

41

π

π

tx

tx

Do ñó : ( )( ) 121tan

1tan 3

4

3

4

2

2 ππ

π

π

π

==+

+∫∫ e

dt

te

dtt

Từ ñó ta ñược ñpcm.

Bạn ñọc tự làm : Chứng minh rằng :

a)10cos3516

2

02

πππ

≤+

≤ ∫ x

dx b)2

1sin

4

3 3

6

<< ∫

π

π

dxx

x c)8

2

46

3

6

32

πππ

π

≤−−

≤ ∫xx

dx

d*) Cho 2 hàm số liên tục : [ ] [ ] [ ] [ ]1,01,0:;1,01,0: →→ gf

Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ≤

1

0

1

0

21

0

.. dxxgdxxfdxxgxf

Một số ứng dụng của tích phân thường gặp : 1)Tính diện tích : Cho hai hàm số ( ) ( )xfxf & liên tục trên ñoạn [ ]ba, . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường là :

( ) ( )

=

=

=

=

xgy

bx

xfy

ax;

ðược tính như sau :

( ) ( )∫ −=b

a

dxxgxfS

2)Tính thể tích :

( )1

1

1

sin.22 +

<+

⇒−

xex

xe x


Nếu diện tích ( )xS của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa ñộ , là hàm số liên tục trên ñoạn [ ]ba, thì thể tích vật thể ñược tính :

( )dxxfV

b

a

∫=

Nếu hàm số ( )xf liên tục trên [ ]ba, và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các ñường:

( )

=

==

Ox

xfy

bxax ,

Khi (H) quay quanh Ox ta ñược 1 vật thể tròn xoay . Lúc ñó thể tích ñược tính :

( )[ ] dxxfV

b

a

∫= 2π

Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy 3)Tính giới hạn :

( ) ( )dxxfxf

b

a

n

i

iin ∫∑ =∆

=∞→

1

.lim ξ trong ñó

−=∆

≤≤

−

−

1

1

iix

ii

xx

xx ξ

Từ ñó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :

Viết dãy số thành dạng : ∑=

=n

i

nn

if

nS

1

1 sau ñó lập phân hoạch ñều trên [ ]1,0 , chọn

n

ixii ==ξ ta có ( )∫∑ =

=∞→

1

01

1lim dxxf

n

if

n

n

in

4)Tính ñộ dài cung ñường cong trơn: Nếu ñường cong trơn cho bởi phương trinh ( )xfy = thì ñộ dài ñường cung nó ñược tính như sau :

( ) dxyl

b

a

∫ ′+= 21 với ba, là hoành ñộ các ñiểm ñầu cung .

4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton. Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau ñó dùng ñồng nhất thức, bước cuối cùng là tính tích phân .

Hình1a hình1b


hình1c hình1d

BÀI TẬP

Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.

Bài làm : (hình 1a) Phương trình ñường tròn có dạng : 22222 xRyRyx −±=⇔=+

Do tính ñối xứng của ñồ thị nên : dxxRS

R

∫ −=0

224

ðặt : tdtRdxtRx cossin =⇒=

ðổi cận :

=→=

=→=

2

00

πtRx

tx

=→=

=→=

2

00

πtRx

tx

Vậy : ( )

( )dvdtRtxR

dttRtdtRtRS

22

0

2

2

0

22

0

22

2sin2

12

2cos12cossin4

π

π

ππ

=

+=

+=−= ∫∫

Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol 2xy = , phía trên bởi ñường thẳng ñi qua ñiểm A(1,4) và hệ số góc là k . Xác ñịnh k ñể hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .

Bài làm (hình 1b) Phương trình ñường thẳng có dạng. ( ) 41 +−= xky Phương trình hoành ñộ giao ñiểm . ( ) 0441 22 =−+−⇔+−= kkxxxkx Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử 21 xx <


Vậy diện tích là :

( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*42

1

3

1

423

41

122121

2212

23

2

2

1

2

1

−+++++−−=

−++−=−+−= ∫

kxxkxxxxxx

xkxkx

dxxxkS

x

x

x

x

Với :

( ) ( ) ( )

−−=−+=−

−=

=+

44.4

4.

212

21

22

2212

12

12

kkxxxxxx

kxx

kxx

Thế vào ( )* ta ñược :

( ) ( )

( )1641646

1

42

144

3

1164

22

222

+−+−=

−+++−−+−=

kkkk

kkkkkkS

( ) ( )[ ] 341226

1164

6

1 3232 ≥+−=+−= kkk

Vậy : 34min =S khi 2=k Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :

=

=2

2

xay

yax

Bài làm : (hình 1c) Do tính chất ñối xứng của ñồ thị mà ta chỉ cần xét 0>a

Xét :

( )( )

>

=

=++−

⇔

>

=

=

0

0

0

22

2

a

xay

ayxyx

a

xay

yax

Với yx = ta ñược :

( )( )

=

=⇔

>

=

=

lx

nax

a

xay

yx

00

2

Với 0=++ ayx ta ñược :

( )( )

=

=⇔

>

=

=++

⇔

>

=

=++

lx

nax

a

xay

aaxx

a

xay

ayx

00

0

0

02

22

2

Ta lại có :


>

=

±=

⇔

>

=

=

00

22

2

a

a

xy

axy

a

xay

yax

Vậy diện tích cần tính là :

( )dvttaa

xxa

dxa

xxadx

a

xaxS

a

aa

2

0

32

3

0

22

1

0

2

3

1

32

3=

−=

−=

−= ∫∫

Bạn ñọc tự làm : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :

a)

=

=−+

=+−

2

01

013

x

yx

yx

b)

=

=

=

4

4

2

y

xy

xy

c) 0

0

2

=

=−+

=

y

yx

yx

d)

≠

=+

0,

12

2

2

2

ba

b

y

a

x

Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

hình a hình b

hình c hình d


Với mỗi số nguyên dương n ta ñặt :

6

5555 ...321

n

nSn

++++=

Tính .lim∞→nnS

Bài làm :

5

1

5555

.1

.......3211

=

++

+

+

=

∑= n

i

n

n

n

nnnnS

n

i

n

Xét hàm số ( ) [ ]1,05 ∈∀= xxf . Ta lập phân hoạch ñều trên [ ]1,0 với các ñiểm chia :

1.....0 1210 =<<<<= − nn xxxxx và chiều dài phân hoạch n

xxl ii

11 =−= −

Chọn n

ixii ==ξ ta có ( ) ( )

5

111 .

1lim

=− ∑∑==

−∞→ n

i

nfxx

n

i

n

i

iiin

ζ

6

1limlim

1

0

5

0∫ ===⇒

∞→→

dxxSSnn

ln

Với mỗi số nguyên dương n ta ñặt :

nnnnn

Sn +++

++

++

+=

1......

3

1

2

1

1

1

Tính .lim∞→nnS

Bài làm :

+=

+++

++

++

+=

∑= 1

1.

1

1

1......

13

1

12

1

11

11

1

n

in

n

n

nnn

nS

n

i

n

Xét hàm số ( ) [ ]1,01

1∈∀

+=x

xf .

Ta lập phân hoạch ñều trên [ ]1,0 với các ñiểm chia :


1.....0 1210 =<<<<= − nn xxxxx và chiều dài phân hoạch n

xxl ii

11 =−= −

Chọn n

ixii ==ξ ta có ( ) ( )

+=− ∑∑

==−∞→

1

1.

1lim

111

n

infxx

n

i

n

i

iiin

ζ

2ln1ln1

limlim1

0

1

00

=+=+

==⇒ ∫∞→→

xx

dxSSnn

ln

Documents

Chukienthuc.com cac-pp-tim-nguyen-ham-tich-phan