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8/18/2019 Chuleta Temas 12
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1
Métodos numéricos: chuleta oficial
Tema 1: Introducción al Análisis Numérico
‡ f Õ(x0) = 1
h
3f (x0) − f (x0 − h)
4+
h
2f ÕÕ(ξ ) , ξ ∈ (x0 − h, x0) .
‡ f Õ(x0) = 1h
3f (x0 + h) − f (x0)
4− h
2f ÕÕ(ξ ) , ξ ∈ (x0, x0 + h) .
‡ f Õ(x0) = 1
2h
3f (x0 + h) − f (x0 − h)
4− h
2
6 f (3)(ξ ) , ξ ∈ (x0 − h, x0 + h) .
‡ f Õ(x0) = 1
2h
3f (x0 − 2h) − 4f (x0 − h) + 3f (x0)
4+
h2
3 f (3)(ξ ) , ξ ∈ (x0 − 2h, x0)
‡ f Õ(x0) = 1
2h
3−3f (x0) + 4f (x0 + h) − f (x0 + 2h)
4+
h2
3 f (3)(ξ ) , ξ ∈ (x0, x0 + 2h) .
‡ f Õ(x0) = 1
6h
3−2f (x0−3h)+9f (x0−2h)−18f (x0−h)+11f (x0)
4+
h3
4 f (4)(ξ ) , ξ ∈ (x0−3h, x0) .
‡ f Õ(x0) = 1
6h
3−11f (x0)+18f (x0+h)−9f (x0+2h)+2f (x0+3h)
4− h
3
4 f (4)(ξ ) , ξ ∈ (x0, x0+3h) .
‡ f Õ(x0) = 1
12h
3f (x0−2h)−8f (x0−h)+8f (x0+h)−f (x0+2h)
4+
h4
30f (5)(ξ ) , ξ ∈ (x0−2h, x0+2h) .
‡ f Õ(x0) = 1
12h
3−25f (x0)+48f (x0 + h) −36f (x0 + 2h)+16f (x0 + 3h) −3f (x0 + 4h)
4+
h4
5 f (5)(ξ ) ,
ξ ∈ (x0, x0 + 4h) .
‡ f ÕÕ(x0) = 1
h2
3f (x0 − h) − 2f (x0) + f (x0 + h)
4− h
2
12f (4)(ξ ) , ξ ∈ (x0 − h, x0 + h) .
‡ (an)n∈N convergente a ¸. Orden de convergencia p, con p ≥ 1 si
ĺımn
Î an+1 − ¸ ÎÎ an − ¸ Î p = K ”= 0 , con 0 < K
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Tema 2: Resolución numérica de sistemas lineales
‡ Los valores propios de la matriz n×n A = tridiag(−1,α, −1) son λ j = α−2cos( jθ), j = 1, . . . , n ,donde θ = π/(n + 1); A es definida positiva si α ≥ 2.
‡ A diagonal dominante si |aii| ≥ qnj=1i”=j
|aij |, i = 1, 2, . . . , n; estrictamente diagonal dominante si
las desigualdades se verifican estrictamente.
‡ Si una matriz A es estrictamente diagonal dominante, entonces es invertible.
‡ Normas: ÎxÎ2 =Ò
x21 + · · · + x2n, ÎxÎ1 =
nÿi=1
|xi|, ÎxÎ∞ = máx1≤i≤n
|xi|.
‡ Escalado de Î · Î2 y Î · Î1: 1√ n Ò
x21 + · · · + x2n ,
1
n (|x1| + · · · |xn|)
‡ ÎAÎ1 = máx1≤ j≤nqni=1 |aij| (suma de columnas) ÎAÎ∞ = máx1≤i≤nqn j=1 |aij | (suma de filas)ÎAÎ2 =
Ò ρ(AtA) (ρ(C ) radio espectral de C )
‡ Condicionamiento de A: cond (A) = ÎAÎ ÎA−1Î = K ηÎ(A)
Teorema: Sistema lineal Ax = b y su perturbación (A + ∆A)x̃ = b + ∆b.
‡ Si ∆A = 0, entonces Îx − x̃Î
ÎxÎ ≤K (A)
Î∆bÎ
ÎbÎ .
‡ Si ∆b = 0, entonces Îx − x̃Î
Îx̃Î ≤ K (A)Î∆AÎÎAÎ .
‡ Si Î∆AÎ 0.
‡ Coste computacional: sustitución hacia atrás n2, Gauss 2n3/3; Cholesky n3/3.
Segundo semestre, curso 2015/2016
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Método iterativos x(0) dado , x(k+1) = B x(k) + c , k ≥ 0
‡ Método iterativo consistente si c = (I − B)A−1b‡ Un método iterativo convergente a la solución del sistema lineal Ax = b debe ser consistente.
‡ Consideremos un método consistente. El método es convergente si y sólo si ρ(B)