Chương 1

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN

PHI TUYẾN

Khâu rơ le hai vị trí Khâu rơ le ba vị trí

y=Ymsgn(u) mY u n u |u| Dy

0 n u |u| D

sgn( ) Õ

Õ

Khâu khuếch đại bão hòa

mY u n u |u| Dy

Ku n u |u| D

sgn( ) Õ

Õ

Khâu khuếch đại có vùng chết

K[u D u ] n u |u| Dy

0 n u |u| D

sgn( ) Õ

Õ

Khâu rơ le hai vị trí

có trễ

Khâu rơ le ba vị trí có trễ

m

m

Y u n u |u| Dy

Y u n u |u| D

sgn( )

sgn( )

Õ

Õ

Khâu khuếch đại bão hòa có trễ

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Ví dụ 3

Ví dụ 1. Hệ bồn chứa

Phương trình vi phân mô tả hệ

Đặt biến trạng thái: x1(t) = y(t)

h(x(t),u(t)) = x1(t)

Ví dụ 2. Cánh tay máy

Phương trình vi phân mô tả hệ

Đặt biến trạng thái:

Xét hệ phi tuyến được mô tả bởi hệ phương trình trạng thái phi tuyến

Ví dụ:

Giải:

Ví dụ1:

Ví dụ1:

Ví dụ 2:

Ví dụ 2:

Ví dụ 2:

Khâu rơ le hai vị trí

Khâu rơ le ba vị trí

Khâu khuếch đại bão hòa

Khâu khuếch đại bão hòa

Khâu khuếch đại có vùng chết

Khâu khuếch đại có vùng chết

Khâu rơ le hai vị trí có trễ:

Khâu rơ le hai vị trí có trễ:

Do đó hàm mô tả của khâu rơ le hai vị trí có trễ:

Ví dụ:

Ví dụ:

Giải:

Ví dụ:

Ví dụ:

Ví dụ:

Ví dụ:

Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov, hãy cho

biết tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng.

21

1 2

1

sin 1( ( ), ( )) 5

5

( ( ), ( ))

xx

f x t u t

x x u

h x t u t x

Cho hệ thống phi tuyến được mô tả bởi phương trình trạng

thái sau:

Trong đó:

Giải: Để tìm điểm cân bằng ta cho u(t) = 0 và giải hệ phương

trình sau: 21 1

2 1 2

πxx =x sin -1 =0

5

x =5x -x =0

1a

2a

x 0

x 0

1b

2b

x =0.5

x =2.5

Hệ phương trình có hai nghiệm, do vậy hệ phi tuyến có 2 điểm

cân bằng a và b như sau:

Xác định mô hình toán học tuyến tính hóa của hệ thống tại điểm cân

bằng sử dụng phương pháp tuyến tính hóa của Lyapunov.

- Ví dụ

Hệ tuyến tính hóa có dạng:

- Ví dụ

1 1

2 21 2 1

2 2

,1 2 ,

1sin 1 cos

5 5 5

5 1x x u u

x x u u

f fx x

x x x

f f

x x

A

1

2

,

0

1

x x u u

f

u

f

u

B 1 2 ,

1 0

x x u u

h h

x x

C 1

1 ,

0x x u u

h

u

D

Hệ thống này có các hệ số B, C, D không phụ thuộc vào các điểm

cân bằng

• Tại điểm cân bằng a : ma trận A có dạng:

- Ví dụ

2 21

x=0,u=0

πx πx1sin -1 πx cos -1 0

A== =5 5 55 -1

5 -1

0,0

0

Vậy mô tả toán học tuyến tính hóa tại điểm cân bằng a là:

-1 0 0x= x+ u

5 -1 1

y= 1 0 x

21 0 -1 0 s+1 0

det sI-A =det s - =det =s +2s+10 1 5 -1 -5 s+1

Đa thức đặc trưng của hệ tuyến tính hóa:

Hệ tuyến tính hóa ổn định nên hệ phi tuyến ổn định tiệm cận tại điểm a

• Tại điểm cân bằng b : ma trận A có dạng:

- Ví dụ 0,5

,02,5

Vậy mô tả toán học tuyến tính hóa tại điểm cân bằng a là:

0 0 0x= x+ u

5 -1 1

y= 1 0 x

Đa thức đặc trưng của hệ tuyến tính hóa:

(*) có một nghiệm bằng 0 nên hệ tuyến tính hóa ở biên giới ổn định.

Theo Lyapunov, không kết luận được tính ổn định của hệ phi tuyến.

2 21

0,5x= ,u=0

2,5

πx πx1sin -1 πx cos 0 0

A= =5 5 55 -1

5 -1

21 0 0 0 s 0

det sI-A =det s - =det =s +s (*)0 1 5 -1 -5 s+1