Bài 2Chương 2 (Phần 1): Phương trình vi phân dẫn nhiệt của vật rắn

2.1 Trường nhiệt độ - Gradient nhiệt độ

2.2 Định luật Fourier về dẫn nhiệt

2.3 Phương trình vi phân dẫn nhiệt

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.1p.1

2.4 Điều kiện đơn trị

2.1 Trường nhiệt độ - Gradient nhiệt độ

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.2p.2

Trường nhiệt độ (TNĐ): tập hợp giá trị nhiệt độ của tất cả các điểm trong vật tại một thời điểm nào đó

- Phân loại TNĐ:

),,( zyxft =

),,,( τzyxft =

+ Theo thời gian:

TNĐ ổn định: không biến thiên theo thời gian

TNĐ không ổn định: biến thiên theo thời gian

+ Theo tọa độ: TNĐ 1 chiều, 2 chiều hay 3 chiều.

VD: TNĐ ổn định 1 chiều: )(xft =

ntntgrad o ∂

∂=r)(

Gradient nhiệt độ:- Mặt đẳng nhiệt: quó tích cuûa caùc ñieåm coù nhieät ñoä nhö nhau taïi moät thôøi ñieåm

MĐN khoâng caét nhau

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.3p.3

- Nhiệt độ trong vật chỉ thay đổi theo phương cắt các MĐN

- Độ tăng nhiệt độ theo phương pháp tuyến với MĐN (phương ) là lớn nhất và đuợc đặc trưng bằng Gradient nhiệt độ:

nr

Gradient nhieät ñoä: là vectơ có phương trùng với phương pháp tuyến của MĐN và có độ lớn bằng đạo hàm của nhiệt độ theo phương ấy.

2.2 Định luật FOURIER (ĐL cơ bản về dẫn nhiệt)

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.4p.4

τλτ dFdntdQ

∂∂

−= (J)

Với : λ là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu (W/m.độ)

nt

dFddQq

∂∂

−== λτ

τMật độ dòng nhiệt: (W/m2)

Muoán tính ñöôïc Q truyeàn qua caàn phaûi bieát phaân boá nhieät beân trong vaättìm PT tröôøng nhieät ñoä laø nhieäm vuï cô baûn cuûa daãn nhieät.

dF

2.3 Phương trình vi phân dẫn nhiệt

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.5p.5

- Xét một phần tử thể tích dv = dx.dy.dz trong vật trong khoảng thời gian dτ, với các giả thiết:

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho phần tử dv

Vật đồng chất và đẳng hướng

Các thông số vật lý của vật là hằng số

Vật hoàn toàn cứng

Nguồn nhiệt bên trong phân bố đều qv = f(x, y, z, τ).

Dòng nhiệt đưa vào phân

tố dxdydz bằng dẫn nhiệt

Dòng nhiệt phát ratrong phân tố dxdydz do nguồn nhiệt bên

trong phát ra

Độ biến thiên nội năng trong phân tố dxdydz

=+

Phương trình vi phân dẫn nhiệt:

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.6p.6

ρρλ

τ cq

zt

yt

xt

ct v+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

(2.1)

trong đó:

c là nhiệt dung riêng của vật (J/kg.độ)

ρ là khối lượng riêng của vật (kg/m3)

λ là hệ số dẫn nhiệt của vật (W/m.độ)

qv là năng suất phát nhiệt của nguồn nhiệt bên trong vật (W/m3)

vớiρλc

a = (m/s2) gọi là hệ số khuyếch tán nhiệt, là thông số vật lý đặc trưng cho tốc độ biến thiên nhiệt độ của vật trong quá trình dẫn nhiệt không ổn định

Trong hệ tọa độ trụ (r, ϕ, z) Pt vi phân dẫn nhiệt (2.1) có dạng:

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.7p.7

ρ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+ϕ∂

∂⋅+

∂∂

⋅+∂∂

=τ∂

∂cq

ztt

r1

rt

r1

rt at v

2

2

2

2

22

2

Trong hệ tọa độ cầu (r, ϕ, ψ) Pt vi phân dẫn nhiệt (2.1) có dạng:

( )ρϕψω

ψψψτ c

qtr

trr

rtr

at v+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

⋅+∂

∂⋅=

∂∂

2

2

2222

2

sin1sin

sin11

2.4 Điều kiện đơn trị

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.8p.8

1. Điều kiện hình học: hình dáng, kích thước vật

2. Điều kiện vật lý: cho biết các thông số vật lý của vật (λ, c, ρ …) và

3. Điều kiện thời gian: cho biết qui luật phân bố nhiệt độ trong vật ở

4. Điều kiện biên: cho biết đặc điểm tiến hành quá trình trên bề mặt vật

qui luật phân bố nguồn nhiệt trong qv

một thời gian nào đó τ = 0: t = f(x, y, z)

ĐKB loại 1: cho biết nhiệt độ bề mặt tw

ĐKB loại 2: cho biết q truyền qua bề mặt

ĐKB loại 3: cho biết tf và TĐN giữa bề mặt vật với môi trường

- Theo ĐL Newton-Ricman, nhiệt lượng tỏa ra trên 1 đơn vị diện tích bề mặt vật là:

( )fw ttq −= α- Nhiệt lượng q này tiếp tục truyền trong vật bằng dẫn nhiệt:

Wntq ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−= λ

( )fww

ttnt

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λα

Hệ số tỏa nhiệt α (W/m2.độ) phuï thuoäc vaøo raát nhieàu yếu toá, trong nhieàu tröôøng hôïp coù theå xem khoâng ñoåi, do ñoù ĐKB loaïi 3 coù yù nghóa thöïc tieãn raát lôùn.

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.9p.9

ĐKB loại 4: cân bằng về dòng nhiệt qua chỗ bề mặt tiếp xúc lý tưởng

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.10p.10

w2

w1 n

tnt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λ

( Nhiệt độ hai bề mặt tại điểm tiếp xúc bằng nhau)

----------------------------------------

HẾT BÀI 2

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.11p.11

Ví dụVí dụ: : Tính toán dẫn nhiệt Tính toán dẫn nhiệt qua qua vách phẳngvách phẳng

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.12p.12

Q

T1

T2

- Vách phẳng có:

+ Diện tích F (m2)+ Bề dày δ (m)+ Hệ số dẫn nhiệt λ (W/m.K)+ Nhiệt độ 2 bề mặt vách T1 và T2

δλ TFQ Δ

=ĐL

Fourier (W)

hayλδ /

Tq Δ= (W/m2)

(Rλ được gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng)

ĐL OhmRUI =

T1 T2

λδ

λ =R

VD: Dẫn nhiệt qua vách phẳng 3 lớp

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.13p.13

3

3

2

2

1

1

41

321

41

λδ

λδ

λδ

λλλ

++

−=

++−

=

ttq

RRRttq

VD 2.1: Vaùch loø 3 lôùp: gaïch chòu löûa daøy δ1 = 230 mm, λ1 = 1,10 W/m.oC; amiaêng δ2 = 50 mm, λ2 = 0,10 W/moC; gaïch xaây döïng δ3 = 240 mm, λ3 = 0,58 W/moC. Nhieät ñoä bề mặt trong cuøng t1 = 500 oC vaø ngoaøi cuøng t4 = 50 oC.

Xaùc ñònh q daãn qua vaùch, nhieät ñoä lôùp tieáp xuùc t3.

GiaûiNhieät trôû daãn nhieät qua caùc lôùp:

1

11R

λδ

= WCm 21,010,123,0 o2 ⋅==

2

22R

λδ

= WCm 50,010,005,0 o2 ⋅==

3

33R

λδ

= WCm 41,058,024,0 o2 ⋅==

Nhieät ñoä lôùp tieáp xuùc:

( )2113 RRqtt +−= ( ) Co7,2145,021,078,401500 =+−=

∑=

Δ== 3

1iiR

tFQ

q 2m 78,40141,050,021,0

50500W=

++−

=MÑDN:

Người soạn: TS. Hà anh Tùng ĐHBK tp HCM

8/2009

p.14p.14