Chuyen de Giai Tich to Hop

ỦỦYY BBAANN NNHHÂÂNN DDÂÂNN TTỈỈNNHH TTIIỀỀNN GGIIAANNGG TTRRƯƯỜỜNNGG ĐĐẠẠII HHỌỌCC TTIIỀỀNN GGIIAANNGG

KKHHOOAA SSƯƯ PPHHẠẠMM

��

CCCCCCCCHHHHHHHHUUUUUUUUYYYYYYYYÊÊÊÊÊÊÊÊNNNNNNNN �� TTTTTTTTOOOOOOOOÁÁÁÁÁÁÁÁNNNNNNNN SSSSSSSS�� CCCCCCCC��PPPPPPPP

GGGGGGGGIIIIIIII��IIIIIIII TTTTTTTTÍÍÍÍÍÍÍÍCCCCCCCCHHHHHHHH TTTTTTTT�� HHHHHHHH��PPPPPPPP

Giáo viên HD : Võ Hoài Nhân Trung SVTH : Nguy(n H)ng �i*p MSSV : 106121009

TTTThaùng 5, naêm 2010

M�C L�C PH�N I : C� B�N ...................................................................................... 1 A. Lý thuy�t : ................................................................................... 1 I. Hai qui t�c c� b�n : ................................................................... 1 1. Qui t�c c"ng : .......................................................................... 1 2. Qui t�c nhân : ......................................................................... 2 II. Hoán v) : .................................................................................... 3 III. Ch+nh h,p : ............................................................................. 4 IV. T1 h,p : .................................................................................... 5 V. Các chú ý khi gi�i bài t6p :........................................................ 6 VI. M"t s9 sai l;m th=>ng m�c ph�i trong khi gi�i toán : .......... 8 B. Các dBng bài t6p th=>ng gCp .................................................. 13 I. VDn EF 1 : Bài toán E�m s9 ...................................................... 13 1. DBng 1 : Bài toán E�m s9 c� b�n : ....................................... 13 2. DBng 2 : Bài toán E�m ph9i h,p EiFu kiHn nâng cao (E�m có l6p, các bài toán vF chia h�t, tìm tDt c� các =Mc s9 …).......... . 18 3. DBng 3 : Tính t1ng trong bài toán E�m.............................. . 25 II. VDn EF 2 : Bài toán s�p x�p .................................................... 27 III. VDn EF 3 : Bài toán vF t6p h,p .............................................. 30 IV. VDn EF 4 : Bài toán hình hTc ................................................. 32 V. VDn EF 5 : Bài t6p áp dUng công thWc .................................... 35 1. DBng 1 : X�n gi�n biYu thWc, rút gTn, gi�i ph=�ng trình, bDt ph=�ng trình .......................................................................... 35 2. DBng 2 : ChWng minh các hH thWc t1 h,p ........................... 40 3. DBng 3 : Tìm giá tr) lMn nhDt, nhZ nhDt ............................... 45

VI. Bài t6p t1ng h,p .................................................................... 47 PH�N II : NÂNG CAO..................................................................... 48 I. Ch+nh h,p l6p ........................................................................... 48 II. Hoán v) lCp ( t1 h,p phWc ) ...................................................... 49 III. T1 h,p lCp................................................................................ 49 IV. Nguyên lí bù tra ...................................................................... 51 IV. Bài t6p t1ng h,p ...................................................................... 52

CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP

SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 1

PPHHẦẦNN II :: CCƠƠ BBẢẢNN

AA.. LLÝÝ TTHHUUYYẾẾTT ::

I. HAI QUI TẮC CƠ BẢN :

1. Qui tắc cộng :

- Một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện , phương án B có n

cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì

công việc đó có m + n cách thực hiện.

- Tổng quát :

Một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án

1 2 3, , ...., kA A A A . Phương án 1A có thể thực hiện theo 1n cách, phương án 2A có

thể thực hiện theo 2n cách,…, phương án kA có thể thực hiện theo kn cách.

Các phương án ở các cách không trùng nhau. Khi đó công việc có thể thực hiện theo : 1 2 3 ... kn n n n cách.

Ví dụ : Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường

thủy. Cần chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ?

Giải

Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 2 phương án : đường bộ

hoặc đường thủy

Đường bộ : 3 đường có 3 cách chọn.

Đường thủy : 2 đường có 2 cách chọn.

Và 2 phương án này độc lập với nhau. Vậy theo qui tắc cộng ta có tất cả:

3 + 2 = 5 cách chọn.

Ví dụ : Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia, 5 loại nước ngọt.

Một thực khách cần chọn đúng một loại thức uống. Hỏi có bao nhiêu cách

chọn ?

Giải

Thực khách có 3 phương án chọn :

Hoặc chọn rượu : 3 cách chọn

Hoặc chọn bia : 4 cách chọn

Hoặc chọn nước ngọt : 5 cách chọn

Theo qui tắc cộng thực khách có tất cả : 3 + 4 + 5 = 9 cách chọn 1 loại

thức uống.



2. Qui tắc nhân :

- Một công việc nào đó có thể bao gồm 2 công đoạn A và B. Nếu công

đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện

công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thự hiện.

- Tổng quát : Một công việc nào đó có thể bao gồm k công đoạn 1 2 3, , ...., kA A A A ..

Nếu công đoạn 1A có 1n cách thực hiện và ứng với mỗi cách trong công

đoạn 1A có 2n cách thực hiện công đoạn 2A , ứng với mỗi cách trong công

đoạn 2A có 3n cách thực hiện công đoạn 3A ,…, ứng với mỗi cách trong

công đoạn 1kA có n k cách thực hiện công đoạn kA .

Khi đó công việc có thể thực hiện theo : 1 2 3. . ... kn n n n cách.

Ví dụ : Từ Hà Nội đến Huế có 3 cách đi : máy bay, ô tô, tàu hỏa. Từ

Huế đến Sài Gòn có 4 cách đi: máy bay, ô tô, tàu hỏa, tàu thủy. Hỏi có bao

nhiêu cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn ?

Giải

Ta có thể xem việc đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn như một công việc tiến

hành theo 2 giai đoạn liên tiếp nhau :

Giai đoạn 1 : đi từ Hà Nội đến Huế : có 3 cách đi.

Giai đoạn 2 : từ Huế đến Sài Gòn : ứng với mỗi cách đi ở giai đoạn 1 ta

đều có 4 cách để hoàn thành giai đoạn 2.

Vậy theo nguyên lí nhân có tất cả :3.4 12 cách đi Hà Nội – Huế - Sài

Gòn.

Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể được

tạo thành từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 ?

Giải

Số cần lập có dạng : 1 2 3 1, ( 0)a a a a , để lập được số như thế ta thực hiện

các giai đoạn sau :

Chọn 1a : có 4 cách chọn.

Chọn 2a : với mỗi cách chọn 1a có 3 cách chọn 1 2a a

Chọn 3a : với mỗi cách chọn 2a có 2 cách chọn 1 2 3a a a

Vậy theo nguyên tác nhân có tất cả : 4.3.2 24 số thỏa yêu cầu bài toán.



II. HOÁN VỊ :

- Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử 1n . Mỗi kết quả của sự

sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần

tử đó.

- Nhận xét : Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp

xếp. Chẳng hạn hai hoán vị abc và acb của 3 phần tử a, b, c là khác nhau.

- Số các hoán vị : Kí hiệu nP là số các hoán vị của n phần tử :

. -1 ....2.1 !nP n n n

Thật vậy để có một hoán vị ta có thể chọn phần tử đứng đầu theo n

cách, sau đó ta chọn phần tử thứ 2 theo (n-1) cách,…, chọn phần tử n theo

1 cách duy nhất. Do đó ta có tổng số hoán vị là : n.(n-1)…2.1 - Qui ước : 0! 1 .

Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào một bàn

dài có 3 chỗ ngồi ?

Giải

Cần sắp xếp 3 bạn vào 3 chỗ vậy mỗi cách sắp là hoán vị của 3 phần tử,

có tất cả 3 1.2.3 3! 6P cách sắp.

Các hoán vị đó là : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Ví dụ : Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số

2, 6, 7, 9 ?

Giải

Mỗi số được thành lập là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy ta có tất cả là :

4 4! 24P (số).

- Hoán vị vòng : Cho tập A gồm n phần tử 1n . Mỗi kết quả

của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A theo một vòng kép kín được

gọi là một hoán vị vòng của n phần tử đó.

- Số hoán vị vòng của n phần tử là :

1 -1 ! nP n .

Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn

tròn ?

Giải

Vị trí tương đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị

vòng họ theo một chiều nhất định ( chẳng hạn n hoán vị ABC…KL,

BCA…LA, CD…LAB là như nhau ) nghĩa là trong các hoán vị vòng không

có phần tử nào là cuối cùng hoặc phần tử thứ nhất. Vậy số cách sắp xếp là :



-1

!-1 ! n

nn P

n .

Ví dụ : Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm A, B, …, L làm đỉnh ?

Giải

Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo 2n cách khác

nhau mà đa giác vẫn không thay đổi nên số đa giác là :

-1-1 !

2 2n

nP .

III. CHỈNH HỢP :

- Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử 1n . Kết quả của việc lấy

k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

- Số các chỉnh hợp : Kí hiệu Akn là số chỉnh hợp chập k của n phần tử

1 k n

!. -1 ... - 1

- !kn

nA n n n k

n k

Thật vậy để lập một chỉnh hợp chập k của n phần tử ta chọn phần tử

đứng đầu theo n cách, sau đó chọn phần tử thứ hai theo ( n - 1) cách,…,

phần tử thứ k theo n - ( k-1) cách. Do đó ta có tổng số chỉnh hợp chập k

của n phần tử là . -1 ... - 1n n n k .

- Chú ý : Mỗi hoán vị n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n

của n phần tử đó. Vì vậy : n

n nP A

Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các

chữ số 1, 2, … 9 ?

Giải

Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 5 chữ

số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp theo một thứ tự nhất định. Mỗi

số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9.

Vậy số các số đó là : 59 120A .



IV. TỔ HỢP :

- Định nghĩa : Cho tập A có n phần tử 1n . Mỗi tập con gồm k

phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Chú ý : Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 k n .Tuy

vậy tập hợp không có phần từ nào là tập rỗng nên ta qui ước gọi tổ hợp

chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

- Số các tổ hợp : Kí hiệu knC là số các tổ hợp chập k của n phần tử

0 k n , ta có :

!

! - !k

n

nC

k n k

Để tính tổng số tổ hợp ta lập luận như sau : Giả sử từ n phần tử đã

cho ta tạo nên knC chỉnh hợp. Đem mỗi tổ hợp chập k này hoàn vị theo mọi

cách sẽ có k! chỉnh hợp chập k. Do đó toàn bộ knC tổ hợp chập k của n phần

tử sẽ ứng với k! knC chỉnh hợp chập k. Do đó :

! k kn nk C A

- Tính chất của các số knC :

11 1

, 0

, 1 .

k n kn n

k k kn n n

C C k n

C C C k n

Ví dụ : Cho tập 1,2,3,4,5A . Có bao nhiêu tổ hợp chập 3 của 5

phần tử của A ? Liệt kê chúng.

Giải

Có tất cả

3

5

5!10

3! 5 3 !C

tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A.

Các tổ hợp đó là :

1,2,3 ; 1,2,4 ; 1,2,5 ; 2,3,4 ; 2,3,5 ; 3,4,5 ; 1,3,4 , 1,3,5 ; 2,3,4 , 1,4,5 .

Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại

biểu gồm 5 người. Hỏi :

a) Có bao nhiêu cách lập ?

b) Có bao nhiêu cách lập đoàn dại biểu trong đó có 3 nam, 2 nữ ?

Giải

a) Mỗi đoàn đại biểu được lập là một tổ hợp chập 5 của 10. Vì vậy số

đoàn đại biểu có thể có là : 510

10!252

5!(10 - 5)!C .

b) Chọn 3 người từ 6 người nam : có 36C cách chọn

Chọn 2 người từ 4 người nữ : có 24C cách chọn

Theo nguyên tắc nhân có tất cả 3 26 4. 120C C cách lập đoàn.



V. CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP :

1. Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện

đặc biệt (trường hợp số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện

ràng buộc khác của bài toán… ).

2. Phân biệt hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp :

Hoán vị Tổ hợp Chỉnh hợp

- Các phần tử chỉ xuất

hiện một lần.

- Lấy ra hết n phần tử

để sắp xếp.

- Các phần tử xếp có

thứ tự.


hiện một lần.

- Lấy ra k phần tử

trong n phần tử để sắp

xếp.

- Các phần tử xếp có

thứ tự.


hiện một lần.

- Lấy ra k phần tử

trong n phần tử để sắp

xếp.

- Các phần tử xếp

không có thứ tự.

3. Ta thường bị lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ

bản là sắp xếp có thứ tự hay không. Để phân biệt ta làm như sau : đầu tiên

ta đưa ra một đáp án của bài toán sau đó ta đảo vị trí các phần tử trong đáp

án , nếu :

Tạo nên đáp án mới có thứ tự tổ hợp

Không tạo nên đáp án mới không có thứ tự chỉnh hợp.

Ví dụ : Một lớp có 37 người, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ 3

người để :

a) Phân công trực nhật lớp

b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ.

Phân tích

Giả sử ba bạn được chọn theo thứ tự là A, B, C

Đối với câu a : nếu ta đổi lại tổ được chọn là B, C, A ta thấy tổ này vẫn

không thay đổi so với tổ ban đầu tổ hợp

Đối với câu b : theo cách chọn thì A : lớp trưởng, B : lớp phó, C : thủ quĩ,

nếu ta đổi lại tổ được chọn là B, C, A ta được ban cán sự mới là B : lớp

trưởng, C : lớp phó, A : thủ quĩ tổ này đổi khác so với tổ ban đầuchỉnh

hợp.

4. Dựa vào công thức liên hệ tổ hợp và chỉnh hợp : !k kn nA k C ta còn

có thể giải bài toán đếm bằng cách " chọn và sắp ".



Lấy lại ví dụ ở trên : Một lớp có 37 người, chọn ra một tổ 3 người để :

a) Phân công trực nhật lớp

b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ.

Giải

a) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có : 337C cách

Sau đó ta sắp 3 người được chọn để thành lập 1 tổ : có 1 cách sắp duy

nhất.

Vậy ta có tất cả : 1. 337C = 7770 (cách).

b) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có : 337C cách

Sau đó ta sắp 3 người được chọn vào 3 chỗ để thành lập 1 tổ : có 3!

cách sắp.

Vậy ta có tất cả : 3!. 337C = 46620 (cách).

5. Khi giải bài toán đếm người ta có thể giải theo hai cách chính sau

đây :

Tính trực tiếp : tính thẳng yêu cầu bài toán nêu ra

Tính gián tiếp : đôi khi tính trực tiếp yêu cầu bài toán trở nên khó

khăn, phức tạp, có nhiều khả năng có thể xảy ra người ta thường nghĩ ngay

đến phương pháp tính gián tiếp. Cách tính gián tiếp dựa trên nguyên lí

“ Đếm những cái không cần đếm ( dễ dàng ) để biết những cái cần đếm

( phức tạp) ”.

Các từ cần lưu ý : “có ít nhất 1”, "có tối đa 1", ”A và B không đứng

cạnh nhau”, “không đồng thời có mặt”, " bắt đầu bởi"…

Ví dụ : Có bao nhiêu cách xếp 5 người thành một hàng ngang sao

cho A không đứng cạnh B ?

Phân tích

Gọi các vị trí trong hàng theo thứ tự là 1, 2, 3, 4, 5.

Nếu ta đếm trực tiếp : xuất phát từ A, trong mỗi trường hợp của A sẽ

xuất hiện nhiều trường hợp khác nhau của B lúc này việc tính toán trở nên

khó khăn.

Nếu ta đếm gián tiếp : đếm phần không cần đếm “A, B luôn đứng cạnh

nhau” xem như A, B là một chỗ, ta lấy cách xếp 5 người tùy ý trừ đi trường

hợp “A, B luôn đứng cạnh nhau” sẽ thu được kết quả bài toán. Việc đếm

gián tiếp trong trường hợp này dễ dàng hơn nhiều.

Giải

Xem A và B như một chỗ, ta có 4! = 24 cách xếp. Nhưng A có thể đứng

bên trái hoặc bên phải B nên ta có 24.2 = 48 cách xếp A đứng cạnh B.

Toàn bộ có 5! = 120 cách xếp

Vậy số cách xếp A không đứng cạnh B là : 120 – 48 = 72 cách.



VI. MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI TRONG KHI GIẢI TOÁN :

1. Sai lầm 1 : nhầm lẫn giữa tổ hợp và chỉnh hợp.

* Bài toán 1 :

"Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn ra 6 học

sinh gồm 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 đôi diễn văn nghệ. Hỏi có bao

nhiêu cách ghép ? "

Lời giải 1 : - Chọn 3 nam trong 10 nam : có 3

10 720A cách

- Chọn 3 nữ trong 12 nam : có 312 1320A cách

Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là : 720.1320 950400 cách


10 120C cách

- Chọn 3 nữ trong 12 nam : có 312 220C cách

Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là : 120.220 26400 cách


10 120C cách


Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là : 120.220 26400 cách

Vì một đôi gồm 2 bạn ( 1 nam, 1 nữ ) nên chọn ra 1 bạn nam ( trong 3

bạn nam ) và một bạn nữ ( trong 3 bạn nữ ) có : 3.3 = 9 cách.

Vậy có tất cả là : 3 310 129. . 9.120.220 237600C C cách


10 120C cách


Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là : 120.220 26400 cách

Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! cách ghép các đôi này với nhau ( là

số hoán vị 3 học sinh nam hoặc 3 học sinh nữ ).

Vậy có tất cả là : 3 310 123!. . 6.120.220 158400C C cách.

Phân tích

Lời giải 1 : là lời giải sai vì bài toán không yêu cầu thứ tự khi chọn ra các

học sinh.

Lời giải 2 : lời giải sai chọn ra 6 học sinh thỏa yêu cầu bài toán hoàn

toàn đúng nhưng bài toán chưa dừng lại ở đó mà cần đưa ra kết quả là số

cách ghép đôi.

Lời giải 3 : lời giải sai nhầm lẫn trong bước cuối là chỉ chọn ra 1 đôi nam

và nữ ( đề bài yêu cầu chọn ra 3 đôi ).

Lời giải 4 : là lời giải đúng.



2. Sai lầm 2 : Sai lầm trong việc chọn các phần tử còn lại :

* Bài toán 2 : " Một nhóm học sinh gồm các bạn A, B, C, D, E. Cần chọn ra 3 bạn hỏi có

bao nhiêu cách chọn ?"

Lời giải 1 : - Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn.

- Chọn tiếp 1 bạn trong 4 bạn còn lại : có 4 cách chọn.

- Cuối cùng chọn 1 bạn trong 3 bạn còn lại : có 3 cách chọn.

Vậy theo qui tắc nhân ta có tất cả : 5.4.3 = 60 cách chọn.

Lời giải 2 :

- Đầu tiên chọn 1 bạn : có 5 cách chọn.

- Chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại : có 24 6C cách chọn.

Vậy ta có tất cả : 245. 5.6 30C cách chọn.

Lời giải 3 : Chọn 3 bạn trong 5 bạn là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử.

Số cách chọn là : 35 10C cách.

Phân tích

Lời giải 1 : đây là lời giải sai, ở đây ta đã sắp đặt thứ tự cho việc chọn ra 3

bạn trong khi đề bài không yêu cầu dẫn đến kết quả đếm bị trùng nhau, ví

dụ :

Đầu tiên chọn một bạn trong 5 bạn ta có 5 cách chọn

- Giả sử lần đầu ta chọn A, lần 2 ta chọn B, lần 3 ta chọn C thì kết quả

3 bạn được chọn là A, B, C.

- Giả sử lần đầu ta chọn B, lần 2 ta chọn A, lần 3 ta chọn C thì kết quả

3 bạn được chọn là B, A, C. Do yêu cầu bài toán là chỉ cần chọn ra 3 bạn

không phân biệt bạn nào trước bạn nào sau nên kết quả A, B, C và B, A, C là

như nhau, vì vậy cách chọn sẽ bị trùng.

Lời giải 2 : lời giải sai, chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại ta dùng chỉnh hợp

là chính xác nhưng ở đây ta đã ấn định thứ tự cho vị trí thứ nhất nên kết

quả là sai.

Lời giải 3 : lời giải đúng.

* Bài toán 3 :

"Một nhóm gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ra 6 học

sinh sao cho có ít nhất 6 học sinh nữ được chọn ?"

Lời giải 1 : Tính trực tiếp :

- Trường hợp 1 : 2 nữ, 4 nam có : 2 415 30C C cách chọn.




- Trường hợp 5 : 6 nữ có : 615C cách chọn.



Vậy có tất cả : 2 415 30C C . 3 3

15 30C C . 4 215 30C C . 5 1

15 30C C . 615C = 5413695 cách chọn.

Lời giải 2 : Tính gián tiếp :

- Chọn 6 học sinh bất kì : có 645C cách chọn.

- Chọn 1 nữ, 5 nam : có 1 515 30.C C cách chọn.

- Chọn 6 nam : có 630C cách chọn.

Vậy ta có tất cả : 645C - ( 1 5

15 30.C C + 630C ) = 5413695 cách chọn.

Lời giải 3 :

- Bước 1 : chọn 2 nữ ( vì có ít nhất 2 nữ ) có 215C cách chọn.

- Bước 2 : chọn 4 bạn còn lại trong 43 bạn có 443C cách chọn.

Khi đó 6 bạn được chọn luôn thỏa mãn điều kiện có ít nhất 2 bạn nữ.

Vậy có tất cả : 215C . 4

43C = 12958050 cách chọn.

Phân tích

Lời giải 1 +2 : đều là lời giải đúng.

Lời giải 3 : là lời giải sai. Thoạt tiên ta có cảm giác đây là lời giải hay,

chính xác, ngắn gọn nhưng trong lời giải mắc phải sai lầm. Chọn 2 bạn nữ

và 4 bạn nam ta dùng tổ hợp là chính xác nhưng kết quả lại sai.

Nguyên nhân sai lầm : qui tắc nhân là có phân biệt thứ tự :

Đầu tiên chọn 2 bạn nữ không biệt thứ tự là đúng, ta coi hai bạn nữ

làm thành nhóm 1, nhưng khi ta dùng qui tắc nhân ta đã đặt thứ tự cho

nhóm 1 nên cách đếm có thể bị trùng.

Chẳng hạn :

- Giả sử 2 bạn nữ được chọn là A, B; sau đó chọn tiếp 4 bạn là D, E, F,

G giả sử rằng trong 4 bạn vừa được chọn có bạn G là nữ. Vậy 6 bạn là : A, B,

D ,E ,F, G.

- Giả sử trường hợp khác 2 bạn nữ được chọn là A, G; sau đó chọn

tiếp 4 bạn là D, E, F, B. Vậy 6 bạn là : A, G, D ,E ,F, B. Nhóm này trùng với

nhóm ở trường hợp trên.

3. Sai lầm 3 : Xét thiếu các trường hợp trong bài toán giải bằng phương pháp gián tiếp.

* Bài toán 4 : “ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu

khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại

dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ? ”

Giải

Loại 1 : chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có 1020C cách.

Loại 2: chọn 10 câu ko thoả mãn đầu bài ( có không quá 2 trong 3 loại

dễ, trung bình và khó).

- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có 1016C cách.



- Trường hợp 2 : chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có 1013C cách.

- Trường hợp 3 : chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có 1011C

cách.

Vậy có tất cả 10 10 10 1020 16 13 11 176541C C C C đề kiểm tra.

Lời giải trên là đúng nhưng khi thay đổi đề một chút đôi khi ta phạm

phải sai lầm là liệt kê thiếu trường hợp khi dùng cách giải gián tiếp : * Bài toán 5 :

“ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu

khó người ta chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại

dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ? ”

Lời giải 1 : Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có 7

20C cách.

Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.

- Trường hợp 1 : chọn 7 câu dễ trong 9 câu có 79C cách.

- Trường hợp 2 : chọn 7 câu trung bình có 1 cách.

- Trường hợp 3 : chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có 716C cách.


- Trường hợp 5 : chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có 711C

cách.

Vậy có 7 7 7 7 720 9 16 13 111 63997C C C C C đề kiểm tra.

Lời giải 2 : Loại 1 : chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có 7

20C cách.

Loại 2 : chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.

- Trường hợp 1 : chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có 716C cách.


- Trường hợp 3 : chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.

Vậy có 7 7 7 720 16 13 11 64034C C C C đề kiểm tra.

Lời giải 3 : Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có 7

20C cách.

Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.

- Trường hợp 1 : 7 câu chọn ra chỉ có 1 loại : 7 79 7C C ( là một loại dễ

hoặc trung bình ).

- Trường hợp 2 : 7 câu chọn ra có đủ hai loại :

* Dễ và trung bình : 7 7 716 9 7C C C ( trong 16 câu dễ và trung bình thì

khi chọn ra 7 câu thì 7 câu đó hoặc thuộc cả 2 loại hoặc chỉ thuộc một loại )

* Dễ và khó : 7 713 9C C

* Trung bình và khó : 7 711 7C C



Vậy có 7 7 7 7 720 16 13 9 11 1 64071C C C C C đề kiểm tra.

Phân tích

Lời giải 1 : lời giải sai, quên loại trừ các trường hợp có thể trùng nhau, ví

dụ như ở Loại 2 : Trường hợp 3 chứa cả Trường hợp 1 và Trường hợp 2 nên

kết quả cuối cùng là không chính xác.

Lời giải 2 : lời giải sai, tương tự Lời giải 1, thiếu liệt kê các trường hợp bị

trùng nhau, ví dụ ở Loại 2 : Trường hợp 1 và Trường hợp 2 số lần đếm bị

trùng nhau ( 7 câu toàn dễ đều xuất hiện trong 2 trường hợp).

Lời giải 3 : lời giải đúng.



BB.. CCÁÁCC DDẠẠNNGG BBÀÀII TTẬẬPP TTHHƯƯỜỜNNGG GGẶẶPP

I. VẤN ĐỀ 1 : BÀI TOÁN ĐẾM SỐ

1. Dạng 1 : Bài toán đếm số cơ bản :

Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau ?

Giải

Gọi 1 2 3 4n a a a a là số cần lập

Để lập được số n ta phải thực hiện các công đoạn sau :

Chọn a1 : 9 cách chọn ( do 1 0a )

Chọn a2 : 9 cách chọn


Chọn a4 : 7 cách chọn Vậy ta có tất cả 9.9.8.7 4536 số n.

Ví dụ : Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số

1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số thỏa mãn :

a. Bắt đầu bởi chữ số 5.

b. Bắt đầu bởi 23.

Giải

a. Gọi 1 2 3 4 5n a a a a a là số cần lập với a1 = 5. Để lập được số n ta tiến hành :



Chọn a4 : 2 cách chọn Chọn a5 : 1 cách chọn

Vậy theo nguyên lí nhân ta có tất cả 1.4.3.2.1 24 số n.

b. Gọi 1 2 3 4 5n a a a a a là số cần lập với a1 = 2, a2 = 3


Chọn a4 : 2 cách chọn Chọn a5 : 1 cách chọn

Vậy ta có tất cả 1.1.3.2.1 6 số n.

Ví dụ : Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác

nhau trong đó có 2 chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau ?

Giải

Xem 1 và 2 như một số, ta có 4! = 24 số sao cho 1 đứng cạnh 2. Nhưng 1

có thể đứng bên trái hoặc bên phải 2 nên ta có 24.2 = 48 số sao cho 1 đứng

cạnh 2.

Toàn bộ có 5! = 120 số

Vậy có tất cả : 120 – 48 = 72 số sao cho 1 không đứng cạnh 2.



Ví dụ : Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ

0, 2, 3, 6, 9 ?

Giải

Gọi 1 2 3 4 5n a a a a a là số cần lập

Vì n chẵn 5a chẵn nên 5 0,2,6a

Có 2 trường hợp :

Trường hợp 1 : 5 0a

Chọn 1a có 4 cách chọn




Vậy trường hợp này có 1.4.3.2.1 24 số n.

Trường hợp 2 : 5 0a






Vậy trường hợp này có 2.3.3.2.1 36 số n.

Kết luận : Cả hai trường hợp ta có : 24 + 36 = 60 số n.

Ví dụ : Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số gồm

4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ?

Giải

Gọi 1 2 3 4n a a a a là số có 4 chữ số khác nhau bất kì

Chọn 1a : có 4 cách chọn




Vậy ta có : 4.4.3.2 = 96 số n

Để n chia hết cho 5 thì 4 0,5a

Trường hợp : 4 0a




Vậy ta có : 1.4.3.2 = 24 số

Trường hợp : 4 5a






Vậy ta có : 1.3.3.2 = 18 số

Vậy ta có tất cả : 96 - (24+18) = 54 số n thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ : Cho các số 1, 2, 5, 7, 8 có bao nhiêu cách lặp ra một số gồm 3 chữ

số khác nhau từ 5 chữ số đã cho, sao cho :

a. Số tạo thành là một số chẵn.

b. Số tạo thành là một số không có chữ số 7.

c. Số tạo thành là một số nhỏ hơn 278.

Giải

Gọi 1 2 3a a a là số cần lặp

a. Vì n chẵn nên 3a chẵn, do đó

Có 2 cách chọn 1a



Vậy ta có 2.3.4 = 24 số

b. Số tạo thành là một số không có chữ số 7 nên có tất cả 34 24A số.

c. Có hai trường hợp :

Trường hợp 1 1a ta có 1 cách chọn 1a

4 cách chọn 2a

3 cách chọn 3a

Ta có : 1.3.4 = 12 số

Trường hợp 1 2a ta có 1 cách chọn 1a

Nếu 2 7a : có 2 cách chọn 2a , 3 cách chọn 3a . Vậy có 1.2.3 = 6 số

Nếu 2 7a : có 1 cách chọn 2a , cách chọn 3a . Vậy có 1.1.2 = 2 số

Vậy khi 1 2a có 6 + 2 = 8 số

Theo qui tắc cộng ta có : 12 + 8 = 20 số n thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ : Có bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các

chữ số đôi 1 khác nhau ?

Giải

Gọi n N và 0 < n < 1000 n có tối đa 3 chữ số

Nếu n có 1 chữ số : có 9 số

Nếu n có 2 chữ số : có 2 110 9

10! 9!A - A = - = 81

8! 8!số (trong đó 1

9A là số các

số bắt đầu là 0 ).

Nếu n có 3 chữ số : có 3 210 9

10! 9!A - A = - = 684

7! 7!số (trong đó 2

9A là số các

số bắt đầu là 0 ).

Vậy có tất cả là : 9 + 81 + 684 = 738 số.



Ví dụ : Cho 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số

khác nhau nhỏ hơn 600.000 ?

Giải

Gọi 1 2 3 4 5 6n a a a a a a là số cần lập

Để số n < 600.000 thì 1 61 5, 1,3,5,7,9 a a . Ta xét riêng hai trường hợp:

Trường hợp 1 : 6 1,3,5a



Chọn 2 3 4 4, , ,a a a a : có 48A cách

Trường hợp 2 : 6 7,9a




Vậy có tất cả : 4 48 83.4. 2.5. 36960 A A .

Ví dụ : Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500.000 ?

Giải

Gọi 1 2 3 4 5 6n a a a a a a là số cần lập

1 65,6,7,8,9 ; 1,3,5,7,9 a a

Trường hợp 1a lẻ :

Chọn 1a : có 3 cách



Trường hợp 1a chẵn :




Vậy ta có tất cả : 4 48 83.4. 2.5. 36960 A A số n.

Ví dụ : Có bao nhiêu số nguyên dương gồm các chữ số khác nhau nhỏ

hơn 104 ?

Giải

Gọi n là số thỏa yêu cầu bài toán. T a có các trường hợp sau ( loại trừ cả

trường hợp số 0 đứng đầu ) :

Trường hợp 1 : n có 1 chữ số : có 9 số

Trường hợp 2 : n có 2 chữ số : có 199.A số





Vậy có tất cả 1 2 39 9 99 9. 9. 9. 5274 A A A số.

Ví dụ : Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số

đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước ?

Giải

Các số phải tìm có 5 chữ số chọn trong tập hợp :

1,2,3,4,5,6,7,8,9E

Với mỗi cách chọn 5 số bất kì trong E thì chỉ có một cách sắp xếp theo

thứ tự tăng dần. Do đó số các số tự nhiên cần tìm là số tổ hợp chập 5 của 9

phần tử.

Vậy ta có tất cả là 59 126C số.

Mở rộng yêu cầu bài toán :

1. Tìm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong số đó chữ số đằng

sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước ?

Giải

Lúc này số có 5 chữ số phải tìm có các chữ số được chọn trong tập hợp

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9E

Với cách chọn 5 số bất kì trong E thì chỉ có một cách xếp theo thứ tự

giảm dần. Lập luận như trên số các số phải tìm là : 5

10 252C số

2. Tìm tất cả các số lẻ có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số

đằng sau lớn hơn số đứng liền trước ?

Giải

Gọi A là tập hợp các số có dạng 1 2 3 4 4 3 2 19 9 0 a a a a a a a a

Gọi B là tập hợp các số có dạng 1 2 3 4 4 3 2 17 7 0 bb b b b b b b

Gọi A là tập hợp các số có dạng 1 2 3 4 4 3 2 15 5 0 c c c c c c c c

Ta nhận thấy :

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

, , , 1,2,3,4,5,6,7,8

, , , 1, 2,3,4,5,6

, , , 1, 2,3,4

a a a a

b b b b

c c c c

Lập luận tương tự như trên ta có :

Tập A có : 48C số

Tập B có : 46C số

Tập C có : 44C số

Vậy có tất cả : 48C + 4

6C + 44C = 86 số thỏa yêu cầu bài toán.



Ví dụ : Có bao nhiêu số từ 100 đến 999 gồm 3 chữ số theo thứ tự tăng dần

hay giảm dần ?

Giải

Số có 3 chữ số theo thứ tự tăng dần : 310C

Số có 3 chữ số theo thứ tự giảm dần : 310C

Số có số 0 đứng ở đầu : 29C

Vậy có tất cả : 3 3 210 10 9 204 C C C số .

Ví dụ : Từ các chữ số 1, 2, ,3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

có 6 chữ số đôi một khác nhau thỏa tổng 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ

số sau một đơn vị ?

Giải

Ta có : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Vậy tổng 3 chữ số đầu là 10.

Dễ thấy : 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 3 + 5

Vậy có 3 cách chọn cho nhóm 3 chữ số đầu là 1, 3, 6 hoặc 1, 4, 5 hoặc 2, 3,

5 .

Với 1 cách chọn nhóm 3 chữ số thì có 3! cách để lập ra 1 2 3a a a

Với 3 số còn lại thì có 3! cách lập ra 4 5 6a a a

Vậy ta có tất cả : 3 . 3! . 3! = 108 số thỏa yêu cầu bài toán.

2. Dạng 2 : Bài toán đếm phối hợp điều kiện nâng cao ( đếm có lập, các

bài toán về chia hết, tìm tất cả các ước số …).

Các dấu hiệu chia hết :

- Số chẵn : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.

- Số lẻ : tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9.

- Số chia hết cho 2 : số chẵn

- Số chia hết cho 3 : có tổng các chữ số chia hết cho 3. Ví dụ : 276, 801,…

- Số chia hết cho 4 : có tận cùng là 00 hayhai chữ số cuối hợp thành số

chia hết cho 4. Ví dụ : 1800, 19708,…

- Số chia hết cho 5 : tận cùng là 0 hoặc 5. Ví dụ : 90, 95,…

- Số chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và 3. Ví dụ : 30, 210,…

- Số chia hết cho 8 : có tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số

chia hết cho 8. Ví dụ : 81000, 197080, 98016…

- Số chia hết cho 9 : có tổng các số chia hết cho 9. Ví dụ : 450, 981,…

- Số chia hết cho 10 : số tận cùng là 0.



Ví dụ : Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số

là 1 số lẻ ?

Giải

Gọi 1 2 3 4 5n a a a a a là số thỏa yêu cầu bài toán. Ta có 2 khả năng :

Khả năng 1 : Nếu 1 2 3 4 a a a a là số chẳn thì ta phải chọn 5a là số lẻ

có 5 cách chọn 5a

Khả năng 2 : Nếu 1 2 3 4 a a a a là số lẻ thì ta phải chọn 5a là số chẳn

có 5 cách chọn 5a

Tóm lại sau khi chọn 1 2 3 4, , ,a a a a rồi luôn có 5 cách chọn 5a . Do đó :

Chọn 1a : có 9 cách chọn 1 0a

Chọn 2 3 4, ,a a a : mỗi số có 10 cách chọn


Vậy ta có : 39.10 .5 450000 số.

Ví dụ : Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng

12 ?

Giải

Gọi 1 2 3 4n a a a a là số thỏa yêu cầu bài toán

Số n có thể được lập từ :

Trường hợp 1 : 1,2,3,6 : có 24 số n được lập

Trường hợp 2 : 1,2,4,5 : có 24 số n được lập

Trường hợp 3 : 0,1,2,9 :

Chọn 1a : 3 cách chọn




Vậy trường hợp này có : 3.3.2.1 18 số n.

Trường hợp 4 : 0,1,3,8 : tương tự trên có 18 số n




T rường hợp 8 : 0,2,4,6 : tương tự trên có 18 số n


Vậy tổng cộng có : 2.24 7.18 174 số n.

Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, chia hết cho 4 tạo bởi các

chữ số 1, 2, 3, 4, 5 trong :

a. Các chữ số có thể tùy ý

b. Các chữ số phải khác nhau.



Giải

a. Các số tự nhiên chia hết cho 4 tận cùng bởi các cặp chữ số : 12, 24, 32,

44, 52.

Sắp xếp các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 vào ba vị trí đầu còn lại có 35 = 125 cách

Vậy có tất cả : 35 .5 = 625 số.

b. Các số tự nhiên chia hết cho 4 tận cùng bởi các cặp chữ số : 12, 24, 32,

52.

Sắp xếp 3 chữ số còn lại vào 3 vị trí đầu có 3! cách.

Vậy có tất cả : 4.3! = 24 số.

Ví dụ : Cho chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy

từ 7 số trên sao cho :

a. Chữ số dầu tiên là 3.

b. Không tận cùng bằng chữ số 4.

Giải

Gọi 1 2 3 4 5n a a a a a là số thỏa yêu cầu bài toán

a. Chọn 1a : có 1 cách

Chọn 2 3 4 5, , ,a a a a : mỗi số có 7 cách chọn.

Vậy có tất cả : 1.7.7.7.7 2401 số n.

b. Số các số tự nhiên có 5 chữ số lấy từ 7 chữ số : 57 16807 số

Số các số tự nhiên có 5 chữ số và tận cùng là 4 lấy từ 7 chữ số : 47 2401

số.

Vậy có tất cả : 16807 - 2401 = 14406 số thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lặp được bao nhiêu số gồm 8

chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn mỗi số khác có mặt 1 lần ?

Giải

Xét một hộc có 8 ô trống :

Có 7 cách lấy chữ số 0 bỏ vào hộc ( ô đầu không được chứa số 0)

Có 7 cách lấy chữ số 2 bỏ vào hộc ( do còn 7 ô trống )




Có 1 cách lấy 3 chữ số 1 bỏ vào hộc ( do còn 3 ô trống )

Vậy ta có tất cả : 7.7.6.5.4.1 = 5880 số thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không số nào gặp

lại đúng 3 lần ?

Giải

Gọi 1 2 3 4n = a a a a là số thỏa yêu cầu bài toán

Bước 1 : Tính tất cả các số có 4 chữ số :


Chọn 2 3 4, ,a a a : mỗi số có 10 cách chọn ( các số có thể trùng nhau ).

Vậy có tất cả : 39.10 9000 số.



Bước 2 : Tính các số có 4 chữ số và có chữ số lặp lại đúng 3 lần , ta có

các trường hợp sau :

Trường hợp 1 : 1 2 3 a a a

Chọn 1 2 3, ,a a a : 9 cách chọn 1 0a



Chọn 1a : có 9 cách 1 0a

Chọn 2 3 4, ,a a a : 9 cách chọn





Chọn 1a : có 9 cách 1 0a


Vậy ở bước 2 ta có : 9.9 9.9 9.9 9.9 324 số

Vậy ta có tất cả : 9000 324 8676 số.

Ví dụ : Trong 3 chữ số 1, 2, 3, 4 có thể tạo được bao nhiêu số tự nhiên

gồm 5 chữ số trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên ? Giải

Các tập hợp các chữ số sử dụng :

1 2 3

4 5 6

2,3,4,2,2 ; 2,3,4,2,3 ; 2,3,4,2,4

2,3,4,3,3 ; 2,3,4,3,4 ; 2,3,4,4,4

S S S

S S S

Xét tập 1S : xét 1 hộc có 5 ô trống :

Có 5 cách xếp số 3 vào hộc

Có 4 cách xếp số 4 vào hộc

Có 1 cách xếp 3 chữ số 2 vào hộc

Vậy ta có : 5.4.1 = 20 số

Tương tự cho 4 6,S S mỗi trường hợp ta có 20 số.

Xét tập 2S : xét hộc có 5 ô trống :

Có 5 cách xếp chữ số 4 vào hộc

Có 24C cách xếp chữ số 2 vào hộc

Có 1 cách xếp 2 chữ số 3 vào hộc

Vậy ta có : 5. 24C .1 = 30 số

Tương tự cho 3 5,S S mỗi trường hợp ta có 20 số.

Vậy ta có tất cả : 3.20 + 3.30 = 150 số.



Ví dụ : Có thể lặp được bao nhiêu số gồm 8 chữ số lấy từ các chữ số 1, 2, 3,

4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt lần, còn các chữ số khác có

mặt 1 lần ?

Giải

Xét hộc có 8 ô trống :

Có 28C cách chọn 2 ô để xếp chữ số 1 vào

Có 26C cách chọn 2 ô để xếp chữ số 6 vào

Có 4! cách xếp 4 số còn lại vào 4 ô

Vậy ta có tất cả : 28C . 2

6C .4! = 10080 số.

Ví dụ : Cho các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lặp được bao nhiêu số

gồm 10 chữ số chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần,

các chữ số khác có mặt đúng 1 lần ?

Giải

Gọi 1 2 10...n a a a là số có 10 chữ số

Tính các số n ( kể cả vị trí đầu bằng 0 ) Có 3

10C cách chọn 3 vị trí để xếp số 6 vào

Ứng với mỗi cách xếp 3 chữ số 6 ta có 7! cách xếp 7 chữ số còn lại vào 7

vị trí còn lại.

Vậy trường hợp này ta có : 310C .7! = 604800 số

Tính các số n với chữ số đầu tiên là 0 : Có 3

9C cách chọn 3 vị trí để xếp số 6 vào

Ứng với mỗi cách xếp 3 chữ số 6 ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6

vị trí còn lại.

Vậy trường hợp này ta có : 39C .6! = 60480 số

Vậy ta có tất cả : 604800 - 60480 = 544320 số n thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ : Từ 5 số 0, 1, 3, 6, 9 có thể tạo thành bao nhiêu số gồm 4 số khác

nhau và số đó chia hết cho 3 ?

Giải

Gọi số cần tạo là n = abcd, a 0, a + b + c + d 3

Trường hợp 1 : không xuất hiện số 9 :

a,b,c,d 0,1,3,6 a + b + c + d = 10 ( loại )


a,b,c,d 0,1,6,9 a + b + c + d = 16( loại )


a,b,c,d 0,1,3,9 a + b + c + d = 13 ( loại )


a,b,c,d 1,3,6,9 a + b + c + d = 19 ( loại )


a,b,c,d 0,3,6,9 a + b + c + d = 18 ( nhận )



Chọn a : có 3 cách

Chọn b, c, d : có 33A = 6 cách

Vậy có tất cả : 3 . 6 =18 số cần tìm.

Ví dụ : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

gồm 3 chữ số đôi một khác nhau mà không chia hết cho 9.

Giải

Gọi 1 2 3a a a a là số thỏa yêu cầu bài toán

1 2 3b b b b là số gồm 3 chữ số khác nhau

1 2 3c c c c là số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.

Ta có : -a b c

Tìm b : Chọn 1b : có 5 cách chọn

Chọn 2b : có 5 cách chọn

Chọn 3b : có 4 cách chọn

Vậy có 5.5.4 = 100 số b

Tìm c : các bộ ba lập từ các số đã cho mà tổng chia hết cho 9

là 0,4,5 ; 1,3,5 ; 2,3,4

Trường hợp : 0,4,5

Chọn 1c : có 2 cách



Vậy ta có 2.2.1 = 4 số











Vậy ta có 4 + 6 + 6 = 16 số c

Do đó ta có :100-16 = 84 số n.

Ví dụ : Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9 ?

Giải

Các số có 6 chữ số viết theo thứ tự tăng dần là : 100008, 100017,

100026,…,999999.



Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành cấp số cộng là 100017,

100035, …, 999999 với công sai d = 18. Do đó ta có :

100017 -1 .18 999999 50000n n

Vậy có tất cả 50000 số thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

có 6 chữ số đôi 1 khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ

hơn tổng của 3 chữ số sau 1 đơn vị ?

Giải

Gọi 1 2 3 4 5 6n a a a a a a là số thỏa yêu cầu bài toán

Điều kiện : 1 2 3 4 5 6 1a a a a a a

Vì 1 2 3 4 5 6 21 nên 1 2 3 4 5 6 11a a a a a a

Các số 1 2 3 4 5 6, , , , ,a a a a a a có thể được lấy từ :

Trường hợp 1 : 1,3,6 ; 2,4,6 : có 3!.3! 36 số n

Trường hợp 2 : 1,4,5 ; 2,3,6 : có 3!.3! 36 số n

Trường hợp 3 : 2,3,6 ; 1,4,6 : có 3!.3! 36 số n

Vậy ta có tổng cộng : 36 + 36 + 36 = 108 số.

Ví dụ : Có bao nhiêu số khác nhau ( không được bắt đầu bằng chữ số 0)

nhỏ hơn 2.108, chia hết cho 3, có thể viết bởi các số 0, 1, 2 ?

Giải Các số đó là 12, 21, … , 122222220. Bằng cách bổ sung các chữ số 0 ở

trước nếu cần, ta xem mọi số đều có 9 chữ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a a . Xét ba số

liên tiếp :

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

0

1

2

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a

trong đó 1a là 0 hoặc 1, còn 2 3 4 5 6 7 8, , , , , ,a a a a a a a có thể lấy các giá trị 0, 1, 2.

Ta phải loại trường hợp : 1 2 3 4 5 6 7 8 0a a a a a a a a . Ta phải có

1 2 3 4 5 6 7 8 3a a a a a a a a . Tổng của tám chữ số đầu có thể bằng

3n – 2 hay 3n – 1. Trong mỗi trường hợp 9a chọn từ 0, 1, 2 theo chỉ một

cách sao cho tổng của tất cả chín chữ số bằng 3n.

Vậy có tất cả : 72.3 -1 = 4373 số thỏa điều kiện đề bài.

Ví dụ : Số 35280 có bao nhiêu ước số ?

Giải

Ta có : 4 2 2 135280 2 .3 .7 .5

Do đó các ước số của 35280 phải có dạng 2 .3 .7 .5x y z t

Chọn số 2x : có 5 cách chọn ( 0,1,2,3,4 )do x

Chọn số 3y : có 3 cách chọn ( 0,1,2 )do y

Chọn số 7z : có 3 cách chọn ( 0,1, 2 )do z



Chọn số 5t : có 5 cách chọn ( 0,1 )dot

Vậy có tất cả : 5.3.3.2 =90 ước số của 35280.

Ví dụ : Số 210 có bao nhiêu ước số ?

Giải

T a sẽ giải bài toán theo cách khác ở trên

Ta có : 210 2.3.5.7 , có tất cả 4 thừa số nguyên tố

Ước số của 210 :

Có 1 chữ số : 14C số

Có 2 chữ số : 24C số

Có 3 chữ số : ( 34C +1) số ( do 210 cũng là ước của chính nó).

Vậy có tất cả : 14C + 2

4C + 34C +1=16 ước số.

3. Dạng 3 : Tính tổng trong bài toán đếm.

Dựa vào vai trò bình đẳng các chữ số hiện diện ta tìm số lần xuất

hiện của từng số trong cùng đơn vị từ đó tính được kết quả.

Ví dụ : Tính tổng của tất cả các số có n chữ số , , , ,...,a b c d l với

1 , , , ,..., 9a b c d l .

Giải

Mọi chữ số đều có khả năng hiện diện như nhau. Nếu a hiện diện ở vị trí

thứ k kể từ phải sang trái thì giá trị của nó là -1.10ka và trường hợp này xảy ra

(n-1)! lần nên a đóng góp vào tổng S một lượng là :

-1 -2 10 -1-1 ! 10 10 ... 10 1 -1 ! .

9

nn nn a n a

Vậy 10 -1

-1 ! ...9

n

S n a b c l .

Ví dụ : Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ 1, 3, 5, 7,

8 ?

Giải

Cần tính tổng :

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

.........

n n n n n

a b c d e

a b c d e

a b c d e

với , , , , 1,i i i i ia b c d e i n lấy từ 1,3,4,5,7,8

Xét 1 2 ... nA e e e (tổng đơn vị), do ie lấy từ 1,3,4,5,7,8 và vai trò bình

đẳng của các số nên .1 .3 .4 .5 .7 .8A x x x x x x với x là số lần xuất

hiện của 1, 3, 4, 5, 7, 8 trong 1 2, ,..., ne e e .



Do vai trò bình đẳng của các số ta có thể cho 1e = 1 mà vẫn không làm

mất tính tổng quát.

Tìm x tức là đi giải bài toán sau “ Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau

đôi 1 gồm 5 chữ số lập từ 1, 3, 4, 5, 7, 8 mà chữ số cuối là 1 ”. Dễ dàng tìm

được 45x = A = 120

Vậy n

ii=1

A = e = 140 1+ 3 + 4 + 5 + 7 + 8 = 140.28 = 3360

Tương tự ta có : 3360 n n n n

i i i ii=1 i=1 i=1 i=1

d = c = b = a

Vậy kết quả cần tính : 4 3 2 1S = 10 .3360 +10 .3360 +10 .3360 +10 .3360 + 3360.

Ví dụ : Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau ? Tính tổng của chúng.

Giải

Có 310A số có 3 chữ số, trong đó có 2

9A số bắt đầu bằng 0. Vậy có : 3 210 9 648A A số có ba chữ số khác nhau.

Có 310

1A

2cặp như

0 3 5

9 6 4( có tổng của hai vị trí tương ứng bằng 9 ) với tổng

các số đó là : .999 359640310

1A

2

Trong đó có 210

1A

2 cặp bắt đầu bằng 0 như

0 7 5

0 3 5 ( có tổng của hai vị trí

tương ứng bằng 10 ) với tổng các số đó là : 2 .110 396010

1A

2

Kết quả : 359640- 3960 = 355680 . Ví dụ : Tính tổng S của tất cả các hoán vị của số 123456.

Giải

Có 6P= 3.4.5.6

2cặp như

3 4 1 5 2 6

4 3 6 2 5 1

trong đó hai số tương ứng có tổng là 7.

Vì mỗi cặp như vậy là 777777 nên S = 3.4.5.6.777777 = 46666620 .

Ví dụ : Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Xét tập hợp E gồm các số 7 có chữ

số khác nhau viết từ các số đã cho. Chứng minh tổng S tất cả các số trong

tập E chia hết cho 9.

Giải

Từ 7 chữ số đã cho ta lập được 7! = 5040 số có các chữ số đôi một khác

nhau, trong các số đó ta luôn tìm được các cặp số sau cho tổng là 8888888

Ta có tất cả 5040

= 25202

cặp số như thế.

Vậy tổng của các số thuộc tập E là :

S = 2520.8888888

Vì 2520 chia hết cho 9 nên S chia hết cho 9.



II. VẤN ĐỀ 2 : BÀI TOÁN SẮP XẾP

Ví dụ : Có 12 người gồm 10 nam, 2 nữ

a. Có bao nhiêu cách chọn một tổ gồm 8 người, không phân biệt nam nữ.

b. Có bao nhiêu cách chọn tổ gồm 8 người nam.

Giải

a. Chọn 8 người trong 12 người là số tổ hợp chập 8 của 12 phần tử. Có

812

12!495

8!4!C cách.

b. Chọn 8 người nam trong 10 người nam là số tổ hợp chập 8 của 10 phần

tử. Có 810

10!45

2!8!C cách.

Ví dụ : Có 12 học sinh ưu tú. Cần chọn ra 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu

cách chọn nếu chọn :

a. Tùy ý

b. Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi

c. Sao cho 2 học sinh A và B cùng không đi.

Giải

a. Chọn tùy ý 4 học sinh trong 12 học sinh là số tổ hợp chập 4 của 12

phần tử. Có 412

12!C = = 495

4!8!cách

b.Nếu A và B cùng đi ta chỉ cần chọn thêm 2 học sinh trong số 10 học

sinh còn lại, có : 210

10!C = = 45

2!8!cách

c. Do A và B cùng không đi nên ta chỉ việc chọn 4 học sinh từ 10 học sinh

còn lại, có 410

10!C = = 210

6!4!cách.

Ví dụ : Cô A có 11 người bạn thân, trong đó có 6 nữ. Cô A định mời ít nhất

3 người trong 11 người đó đến dự tiệc. Hỏi có bao nhiêu cách mời ?

Giải

Mời 0 trong 11 người có 011C cách



Tương tự như vậy khi mời 3, 4, 5, 6 ,7 ,8 , 9 ,10, 11 người.

Vậy để mời ít nhất 3 người thi có :

3 4 11 0 2 11 0 1 211 11 11 11 11 11 11 11 11

11

C C ... C C C ... C - C C C

2 - 1+11+ 55 = 1981.

Ví dụ : Một đội văn nghệ có 20 người ( 10 nam, 10 nữ ). Hỏi có bao nhiêu

cách chọn 5 người sao cho :

a. Có đúng 2 nam trong 5 người.

b. Có ít nhất 2 nam, ít nhất 1 nữ.



Giải

a. Chọn 2 nam trong 10 nam : có 210C cách

Chọn 3 nữ trong 10 nữ : có 310C cách

Vậy có tất cả : 2 310 10C .C = 5400 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

b. Có các trường hợp sau :

Có 2 nam, 3 nữ : có 5400 cách

Có 3 nam, 2 nữ : có 3 210 11C .C = 5400 cách

Có 4 nam, 1 nữ : có 4 110 10C .C = 2100 cách

Vậy có tất cả : 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.

Ví dụ : A có 12 người bạn thân, trong một tuần lễ mỗi đêm A sẽ đi thăm 1

người bạn. Hỏi A có bao nhiêu kế hoạch nếu :

a. Có thể thăm một bạn nhiều lần.

b. Không thăm 1 bạn quá một lần.

Giải

a. Mỗi đêm từ thứ 2 đến thứ 7 bạn A đều có 12 cách lựa chọn để đi thăm

bạn. Vậy có tất cả : 712 cách đi thăm bạn.

b. Đêm thứ nhất chọn 1 trong 12 bạn để thăm : có 12 cách

Đêm thứ 2 chọn 1 trong 11 người bạn còn lại để thăm : có 11 cách.


………………………………………………………………………


Vậy có tất cả :12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách đi thăm.

Ví dụ : Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người Pháp, 2 người Nga, ngồi trên

một ghế dài sao cho người cùng quốc tịch nhồi gần nhau ?

Giải

Xếp theo quốc tịch có :có 2! = 2 cách

Xếp chỗ cho 3 người Pháp : có 3! cách

Xếp chỗ cho 2 người Nga : có 2! cách

Vậy có tất cả : 2.3!.2! = 24 cách xếp.

Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào 1 ghế dài

sao cho :

a. C ngồi ở giữa.

b. A, E ngồi ở đầu hai ghế.

Giải

a. Vì C ngồi ở giữa nên ta chỉ xếp 4 học sinh còn lại vào 4 ghế, có : 4! Cách

xếp.

b. Số cách xếp A, E ngồi 2 đầu ghế là : 2!

Xếp 3 học sinh còn lại vào 3 ghế : 3! Cách

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán là : 2!.3! = 12 cách.



Ví dụ : Có 5 thẻ trắng, 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5.

Có bao nhiêu cách sắp xếp các thẻ này thành 1 hàng sao cho không có 2

thẻ cùng màu nằm kề nhau.

Giải

Có 2 khả năng :

1. Khả năng 1 : Các thẻ trắng ở vị trí số lẻ : có 5! cách xếp

Các thẻ đen ở vị trí số chẵn : có 5! cách xếp

Vậy trường hợp này có : 5!.5! = 14400

2. Khả năng 2 :

Các thẻ trắng ở vị trí số chẵn : có 5! cách xếp

Các thẻ đen ở vị trí số lẻ : có 5! cách xếp

Vậy trường hợp này có : 5!.5! = 14400

Vậy ta có tất cả : 14400 + 14400 = 28800 cách xếp.

Ví dụ : Một ban giám khảo gồm 9 người. Mọi tài liệu của kì thi được bảo

quản trong tủ sắt. Hỏi cần có bao nhiêu ổ khóa cho tủ sắt đó và mỗi ổ khóa

cần bao nhiêu chìa khóa và chia số chìa khóa này cho ban giám khảo sao

cho đảm bảo nguyên tắc : tủ chỉ được mở khi có ít nhất 2

3 thành viên ?

Giải

Trước hết nhận xét rằng để mở tủ sắt cần có ít nhất 2

.9 = 63

thành viên.

Như vậy trong 5 thành viên bất kì nào cũng có ổ khóa mà họ không mở

được. Mặt khác các nhóm 5 thành viên tương ứng với các ổ khóa khác

nhau ( nếu không thì hai nhóm 5 thành viên gộp lại sẽ có ít nhất 6 người

mà không mở được tủ). Vậy tủ phải có ít nhất 59 126C ổ khóa.

Tiếp theo, sau khhi có nhóm 5 thành viên thì một người còn lại phải có

chìa khóa để mở ổ khóa mà nhóm 5 người không mở được ( vì cứ 6 người

trở lên mới mở được tủ ).Vậy phải có ít nhất 594. 504C chìa khóa.

Từ 126 ổ khóa và 504 chìa khóa ta chia chìa cho các thành viên như sau :

cứ mỗi ổ khóa, chia chìa ổ đó cho 4 thành viên sao cho các bộ thành viên

sẽ có các chìa khác ổ ( số bộ 4 thành viên đúng là 49 126C ).

Ví dụ : Một cặp vợ chồng mời 2n người dự tiệc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp

khách và 2 vợ chồng ngồi vào 1 bàn tròn sao cho chồng luôn ở vị trí đối

diện với vợ.

Giải

Có 2n khách và người chồng nên có 2n +1 cần quan tâm( vì vợ luôn

ngồi đối diện chồng ). Do đó có 2n cách chọn vị trí cho người chồng.

ứng với 1 vị trí người chồng 2n! cách xếp 2n khách ( hoán vị tròn ).

Vậy số cách xếp chỗ ngồi bàn tiệc là : 2n.(2n)! cách.



Ví dụ : Một bàn dài có 2 dãy ghế ngồi đối diện nhau mỗi dãy có 6 ghế.

Người ta muốn sếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường

B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu :

a. Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác

trường.

b. Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường.

Giải

a. Bước 1 : xếp chỗ cho 2 nhóm học sinh trường A và trường B : có 2 cách

xếp.

Bước 2 : trong nhóm học sinh trường A có 6! cách xếp 6 học sinh vào 6

chỗ, tương tự có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ còn lại. Nên có

tất cả là : 2.6!.6! = 1036800 cách xếp.

b. Học sinh thứ nhất của trường A vào trước : có 12 cách chọn chỗ ngồi,

sau đó chọn 1 học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh trường A đã

ngồi : có 6 cách chọn học sinh trường B.

Học sinh thứ 2 của trường A còn 10 chỗ để chọn : có 10 cách chọn chỗ

ngồi cho học sinh thứ 2 của trường A. Chọn 1 học sinh trường B ngồi đối

diện với học sinh thứ 2 của trường A : có 5 cách chọn. Tiếp tục lí luận như

trên.

Vậy có tất cả : 12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.1.1 = 33177600 cách.

III. VẤN ĐỀ 3 : BÀI TOÁN VỀ TẬP HỢP

Lưu ý : Tập A có n phần tử thì số tổng số tập con của A là : 0 1 2 ... 2n nn n n nC C C C ( tập con).

Ví dụ : Cho tập X có 10 phần tử. Tìm số tập con khác rổng chứa một số

chẵn các phần tử.

Giải

Số tập con của X có 2 phần tử là 210C





Vậy số tập con thỏa mãn yêu cầu đề bài là : 2

10C + 410C + 6

10C + 810C + 10

10C = 511.



Ví dụ : Cho tập A có n phần tử 7n . Tìm n biết rằng số tập con có 7

phần tử của A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A ?

Giải

Với điều kiện , 7n N n . Ta có :

7 310 2 - 6 . - 5 - 4 -3 2.4.5.6.7 5.6.7.8 11nC C n n n n n .

Ví dụ : Cho tập A có n phần tử 4n . Tìm n biết rằng trong số các tập

con của tập A có đúng 16 tập có số phần tử là số lẻ ?

Giải

Số tập con của A là : 0 1 2 ... 2n nn n n nC C C C

Ta có :

5

2 2.16

2

n

n

n

n

Vì 5( ) 2xf x x có 5'( ) 2 ln 2 1 0, 6xf x x nên x = 8 là nghiệm duy

nhất phương trình ( ) 0f x

Vậy n = 8.

Ví dụ : Cho tập 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9E hỏi có bao nhiêu tập con của E

chứa số 9.

Giải

Gọi 1E = 0,1,2,...8 E . 1E có 9 phần tử, số tập con của 1E là 92

Vậy số tập con chứa số 9 là tập con của 1E 9

Nên số tập con của E có chứa số 9 là : 92 = 512 tập.

Ví dụ : Phải chia nhóm du khách n người thành 2 nhóm : nhóm tham

quan cồn Thới Sơn và nhóm tham quan trại rắn Đồng Tâm. Hỏi có bao

nhiêu cách chia ?

Giải

Gọi A là tập có n phần tử. Gọi P là số cách chia A thành hai tập khác rỗng.

Ta có 2P là số tập con khác rỗng của A. Vậy 2P là số các tập con có 1, 2, 3,

…, n-1 phần tử của A.

Vậy 1 2 1 02P C C ... C 2 C C 2 2n n n nn n n n n

Vậy 12 2P 2 1

2

nn

(cách chia).



IV.VẤN ĐỀ 4 : BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Ví dụ : Cho đa giác lồi n cạnh

a. Tìm số đường chéo của đa giác này.

b. Tìm số tam giác có đỉnh là đỉnh n giác.

c. Tìm số giao điểm các đường chéo. Biết rằng không có 3 đường chéo

nào đồng qui.

Giải

a. Cứ 2 đỉnh thì cho ta một đường chéo hoặc một cạnh của đa giác do đó

số đường chéo của đa giác là : 2

n

n n - 3C - n =

2

b. Cứ 3 đỉnh thì ta lập được một tam giác, do đó ta có : 3nC tam giác có

đỉnh của n giác.

c. Do không có 3 đường chéo nào đồng qui nên cứ 4 đỉnh cho ta 2 đường

chéo và một giao điểm chéo, do đó số giao điểm của các đường chéo đa

giác là : 4nC .

Ví dụ : Trên một mặt phẳng cho thập giác lồi. Xét tất cả các tam giác mà 3

đỉnh của nó là ba đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó có bao

nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đều không phải là 3 cạnh của thập

giác.

Giải

Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh thập giác là 310 120C tam giác

Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của thập giác : mỗi cạnh bất kì của thập

giác cùng với 6 đỉnh ( 10 đỉnh bỏ đi 2 đỉnh thuộc cạnh đang xét và 2 đỉnh

thuộc 2 cạnh kề với nó ) sẽ tạo nên 6 tam giác chứa cạnh đó. Vậy số tam

giác có 1 cạnh là cạnh của thập giác là : 10 . 6 = 60

Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của thập giác : 1 đỉnh cùng 2 cạnh liên

tiếp chung đỉnh đó tạo được một tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh thập giác.

Do đó với 10 đỉnh thì có 10 tam giác có 2 cạnh là cạnh thập giác.

Vậy ta có : 120 - 60 +10 = 50 tam giác thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ : Cho đa giác đều 1 2 3 2... 2nA A A A n . Biết rằng số tam giác có các

đỉnh là 3 trong 2n điểm nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4

trong 2n điểm. Tính n.

Giải

Số tam giác có các đỉnh chọn từ 2n đỉnh đã cho là 32nC

Vì là đa giác đều có 2n đỉnh nên có n đường chéo là đường kính mà cứ 2

đường chéo loại này tạo ra một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật là 2nC ( hình )

Ta có :



3 22

2

20.

2 2 1 2 2 60. 1

9 8 0

1

8

n nC C

n n n n n

n n

n

n

Vậy n = 8.

Ví dụ : Cho 2 đường thẳng song song, trên đường thẳng thứ nhất có 10

điềm, trên đường thẳng thứ 2 có 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác được tạo

thành bởi các điểm đã cho ?

Giải

Có hai loại tam giác được tạo dựng từ các điểm

Loại thứ nhất : có 1 đỉnh nằm trên đường thẳng thứ nhất, 2 đỉnh nằm

trên đường thẳng thứ hai : có 22010.C tam giác

Loại thứ hai : có 2 đỉnh nằm trên đường thẳng thứ nhất, 1 đỉnh nằm trên

đường thẳng thứ hai : có 210C .20 tam giác

Vậy tất cả có : 2 220 1010.C + C .20 = 2800 tam giác.

Ví dụ : Cho tam giác ABC. Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5

đường thẳng song song với BC, 6 đường thẳng song song với AC. Hỏi các

đường thẳng này tạo thành bao nhiêu tam giác, bao nhiêu hình thang

( không kể các hình bình hành ) ?

Giải

Một nhóm 3 đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nào cùng

một họ tạo thành một tam giác nên ta có : 4.5.6 = 120 tam giác.

Một hình thang được tạo bởi một nhóm 4 đường thẳng, trong đó có hai

đường thẳng cùng thuộc một họ và hai đường thẳng con lại thuộc hai họ

khác nhau, nên ta có tất cả là : 2 1 1 1 2 1 1 1 24 5 6 4 5 6 4 5 6. . . . . . 720C C C C C C C C C hình thang.

Ví dụ : Cho n điểm 1 2 3, , ,..., nA A A A trong mặt phẳng sao cho không có 3

điểm nào thành hàng. Có bao nhiêu p giác với các đỉnh là p trong số n

điểm đã cho.

Giải

Ta có :

2p đa giác :

1 2 2 3 1 2 3 -1 -1 1 -1 -2 1 1 -1 2... , ... ,..., ... , ... , ... ,..., ...p p p p p p p p p p pA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

( hoán vị vòng theo hai hướng thực ra chỉ là một đa giác).

2p chỉnh hợp chập p của n điểm đã cho ứng với một đa giác

Vậy số đa giác thật sự là : -1 !

2 2

pn

nA

n đa giác.



Ví dụ : Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng nối các cặp điểm

trong 5 điểm đó không có 2 đường thẳng nào song song, vuông góc hay

trùng nhau. Qua mỗi điểm ta vẽ các đường thẳng vuông góc với tất cả các

đường thẳng không đi qua nó. Không kể 5 điểm đã cho, số giao điểm của

các đường thẳng vuông góc đó nhiều nhất là bao nhiêu.

Giải

Gọi 5 điểm đó là A, B, C, D, E. Có 24C đường thẳng không đi qua đỉnh A nên

từ A vẽ được 6 đường thẳng vuông góc với các đường thẳng không đi qua A;

tương tự từ B vẽ được 6 đường thẳng vuông góc với các đường thẳng không

đi qua B. Đáng lẽ hai nhóm này cắt nhau tại 6. 6 = 36 điểm ( không kể A và

B ) nhưng vì có 23C = 3 đường thẳng không đi qua hai điểm A và B nên 3

đường thẳng vuông góc với chúng vẽ từ A và 3 đường thẳng vuông góc với

chúng vẽ từ B đôi một song song nhau nên số giao điểm 2 nhóm đường

thẳng chỉ còn 36 – 3 = 33 điểm. Có 5 102C cách chọn các cặp điểm như A, B

nên có 33 . 10 = 330 giao điểm các đường thẳng vuông góc. Thế nhưng cứ

mổi điểm như A, B, C thì 3 đường cao của tam giác ABC đồng qui tại một

điểm thay vì thay vò cắt nhau tại 3 điểm nên số giao điểm giảm đi 2. Vì có 53C = 10 tam giác như ABC nên sô 1ggiao điểm giảm đi 10 . 2 = 20.

Vậy số giao điểm nhiều nhất của các đường vuông góc là : 320 – 20 = 310.

Ví dụ : Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không

có 3 đường chéo nào đồng qui. Hỏi chúng tạo thành :

a. Bao nhiêu tam giác.

b. Bao nhiêu tứ giác.

c. Bao nhiêu n giác.

Giải

a. Cứ 3 đường thẳng thỏa đề bài sẽ tạo thành một tam giác nên ta có tất

cả : 3nC tam giác.

b. Khi hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều thì đa giác không đổi nên

có tất cả : 1

n -1 !2

đa giác.

c. Cứ 4 đường thẳng xác định 3 tứ giác gồm 1 lồi, 1 lõm không tự cắt và 1

chéo. Chẳng hạn với 4 đường thẳng trong hình vẽ ta có 3 tứ giác BCFE,

AFDB và ACDE nên có 4n3.C tứ giác.



V. VẤN ĐỀ 5 : BÀI TẬP ÁP DỤNG CÔNG THỨC

1. Dạng 1 : Đơn giản biểu thức, rút gọn, giải phương trình, bất phương

trình :

* Với các phương trình, bất phương trình thuộc loại này, cách giải tiến hành như sau :

Bước 1 : Đặt diều kiện để phương trình, bất phương trình có nghĩa.

Ngoài các điều kiện chung ( mẫu số khác không, biểu thức trong căn bậc

chẵn không âm … ) ta lưu ý điều kiện sau : ,k kn nA C có nghĩa cần có

0 ,0n k n , n và k là số nguyên.

Bước 2 : dùng công thức tính , ,k kn n nA C P và các phép tính toán đặc biệt

là các phép tính giai thừa đưa về các biểu thức đại số thường gặp.

Nghiệm tìm được ở bước 2 phải đối chiếu lại với điều kiện ( lưu ý về

tính nguyên của nghiệm ) để loại bỏ các nghiệm không phù hợp.

* Một số công thức thường sử dụng : 1. Giai thừa : ! . -1 ...1n n n

Số hoán vị n phần tử của một tập hợp : ! . -1 ...1nP n n n

Số chỉnh hợp chập k của tập hợp n phần tử :

!

- !k

n

nA

n k

Số tổ hợp chập k của tập hợp n phần tử :

!

- ! !kn

nC

n k k

2. Các quan hệ :

1 11

1 ! ! 1

2 ! ! 1 2

.

1 1 1 1-

-

k n kn n

k k kn n n

k k

n k n

n n n

n n n n

C C

C C C

A P C

ab b a a b



Ví dụ : Tính giá trị biểu thức :

4 31 3

1 !n nA A

Mn

nếu 2 2 2 21 2 3 42 2 149 1n n n nC C C C

Giải

Điều kiện : *n N

Ta có :

2

1 ! 2 ! 3 ! 4 !1 2 2 149

-1 !2! !2! 1 !2! 2 !2!

1 3 41 2 2 3 149

2 2

4 - 45 0

5

-9

n n n n

n n n n

n n n nn n n n

n n

n

n

Vậy n = 5

Vậy 6 6 3.

4

4 3A + 3AM =

7!

Ví dụ : Giải phương trình :

3 2 13 1 ! 1

2x xA A x

Giải

Điều kiện : 3, 2x x Z

Ta có :

2

! ! 11 3 1 !

3 ! 2 ! 2

11 1 !

2

2 1 1 1 !

2 1 1 2 ! 1 1

2 2 ! 3,

2 2

4

x xx

x x

x x x

x x x x

x x x x x x x

x do x x Z

x

x

Rõ ràng x = 4 thỏa mãn điều kiện nên x = 4 là nghiệm của phương trình.



Ví dụ : Tìm k sao cho 3 số 1 27 7 7, ,k k kC C C lập thành cấp số cộng.

Giải

Điều kiện :

7 2

0 0 5,

k

k k k N

k N

Ba số 1 27 7 7, ,k k kC C C lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi :

2 1

7 7 7

2

7! 7! 7!

7 ! ! 7 2 ! 2 ! 7 1 ! 1 !

5 4 0

4

1

k k kC C C

k k k k k k

k k

k

k

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên k = 1, k = 4 là giá trị cần tìm.

Ví dụ : Tìm số tự nhiên n thỏa phương trình :

2 -2 2 3 3 -32 3 100 1n nn n n n n nC C C C C C

Giải

Điều kiện để (1) có nghĩa là 3,n n N

Áp dụng tính chất : -k n kn nC C , ta thấy :

2 22 2 3 3

22 3

2 3 2 3

3

2

2

1 2 100

100

100 0

60 0

4 4 15 0

4 0 4 15 0,

4

n n n n

n n

n n n n

C C C C

C C

C C do C C

n n

n n n

n n n n N

n

Rõ ràng n = 4 thỏa mãn điều kiện nên n= 4 là nghiệm của phương trình.

Ví dụ : Giải bất phương trình : 1 22 2

51

2n nn n nC C A

Giải

Điều kiện : 2 ,n n Z

Ta có :



3 2

2 ! 2 ! 5 !1 .

1 !3! !2! 2 2 !

1 2 1 2 5 1

6 2 2

9 6 0

n n n

n n n

n n n n n n

n n n

mọi 2n đều là nghiệm.

Ví dụ : Giải bất phương trình với hai ẩn n, k với , 0n k

25

360 1!

knn

PA

n k

Giải

Điều kiện để (1) có nghĩa là :

2

, 0

,

2,

n k

k

n k

n k Z

n k

n k N

Ta có

601 4 5

1

4 5 1 60 1

n nn k

n n n k

Vì 1 0 1 1n k n k n k

- Ta nhận thấy nếu 4n thì

4 5 72 3 72n n VT

Do đó mọi 4n không thỏa mãn (3)

- Xét lần lượt các khả năng :

1) Nếu n = 0. Do 0 0n k k

Khi n = k = 0 thì 3 4.5.1 20 0 VT n k thỏa mãn (3)

2) Nếu n = 1.0

01

kDo k n

k

Thử lại thì 1, 0; 1, 1n k n k đều thỏa mãn (3)

3) Nếu n = 2 khi đó :

3 6.7. 3 60

603

42

3 1

2

k

k

k

k



4) Nếu n = 3 khi đó :

3 7.8. 4 60

604

56

4 1

3

k

k

k

k

Vậy bất phương trình (1) có các nghiệm ;n k sau :

0,0 ; 1,0 ; 1,1 ; 2,2 ; 3,3 .

Ví dụ : Giải phương trình : 4 5 613 1n n nC C C

Giải

Điều kiện : 5,n n Z

Ta có 5 61 11 3n nC C ( áp dụng công thức 1

1k k kn n nC C C

)

1 ! 1 !3

4 !5! 5 !6!

1 3

4 6

6

n n

n n

n

n

Rõ ràng n = 6 thỏa mãn điều kiện 5,n n Z . Vậy nghiệm phương trình

đã cho là : n = 6. Ví dụ : Giải hệ phương trình :

2 5 90 1

5 2 80 2

x xy y

x xy y

A C

A C

Giải

Điều kiện để (1) và (2) có nghĩa là :

0

0

,

y x

y

x y N

Coi hệ (1), (2) là hệ phương trình đối với 2 ẩn là ,x xy yA C ta tính được

20

10

xy

xy

A

C

Ta có :

! 20 !10

! 2 2!

2

x xy yA x C x

x

x

Khi đó :



2 220 20 0

5

4

xy yA A y y

y

y

So lại với điều kiện thì chỉ có 2,5 là nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ : Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa :

11 1: : 21: 60 :10 1y y y

x x xA A C

Giải

Điều kiện để (1) có nghĩa là :

1 0

1

,

1

1 2

,

y

x y

x y N

y

x y

x y N

Từ 1

1

60

10

yxyx

A

C

1

1

6

6

! 6 3!

3

yy x

yx

y

P C

C

P

y

y

Thay y = 3 vào (1) , và ta có

2

3

1

2

21 7

60 3 2 21

7 55 42 0

7

6

7

x

x

A x

A x x

x x

x

x

So với điều kiện (2) thì chỉ có 7,3 là nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ : Tìm miền giá trị của hàm số :

2 81

xxf x C

Giải

Hàm số f x xác định khi và chỉ khi

1 04

1 2 89

2 8 0

xx

x xx

xx Z

x Z



Vậy tập xác định của hàm số là 4,5,6,7,8,9

Vì thế miền giá trị của hàm số là 0 2 4 6 8 105 6 7 8 9 10, , , , ,C C C C C C

Do 0 105 10C C nên miền giá trị của hàm số là 1,9,15,28,35

2. Dạng 2 : Chứng minh các hệ thức tổ hợp :

Ví dụ : Cho k, n là số nguyên dương với k < n, chứng minh rằng :

1 1 1 1 11 2 3 1... 1k k k k k k

n n n n k kC C C C C C

Giải

Áp dụng công thức tổ hợp ta có : -1

-1 -1

-1-1 -2 -2

-1-2 -3 -3

-11

-1-1

......................

k k kn n n

k k kn n n

k k kn n n

k k kk n n

k kk k

C C C

C C C

C C C

C C C

C C

Cộng từng vế đẳng thức trên và ước lượng số hạng đồng dạng ở hai vế thì

ta có 1 1 1 1 11 2 3 1...k k k k k k

n n n n k kC C C C C C (điều cần chứng minh ).

Ví dụ :

1. Cho n, k là các số nguyên và 3 k n . Chứng minh 1 2 3

33 3k k k k kn n n n nC C C C C

2. Cho n, k là các số nguyên và 4 k n . Chứng minh 1 2 3 4

44 6 4k k k k k kn n n n n nC C C C C C

Giải

1. Áp dụng công thức tổ hợp ta có :

1 1 1 23 2 2 1 1 1 1

1 1 2 2 3

1 2 3

2

3 3

k k k k k k kn n n n n n n

k k k k k kn n n n n n

k k k kn n n n

C C C C C C C

C C C C C C

C C C C

2. Tương tự bài 1)

14 3 3

1 1 22 2 2 2

1 1 2 2 31 1 1 1 1 1

1 1 2 2 3 3 4

1 2 3 4

2

3 3

4 6 4 .

k k kn n n

k k k kn n n n

k k k k k kn n n n n n

k k k k k k k kn n n n n n n n

k k k k kn n n n n

C C C

C C C C

C C C C C C

C C C C C C C C

C C C C C



Ví dụ : Chứng minh : 1! 2nn với , 3n Z n

Giải

Dùng phương pháp qui nạp :

Khi 3n ta có : 23! 6 2 4 ( đúng ).

Giả sử bài toán đúng với , , 3n k k Z k nghĩa là :

1! 2 1kk

Ta chứng minh bài toán đúng khi 1n k nghĩa là :

1 ! 2kk

Nhân 2 vế của 1 với 1k . Ta có :

1! 1 2 1kk k k

Vì khi 4 1 2k k nên 1 12 1 2 .2 2k k kk

Vậy 1 ! 2kk

Kết luận : 1! 2nn với , 3n Z n .

Ví dụ : Cho 2n là số nguyên chứng minh rằng :

1 2 3 11 2 3 ... 1n nP P P P n P

Giải

Ta có :

1

1

! 1 !

1 ! 1

1 1

k k

k

P P k k

k k

P k

Áp dụng liên tiếp (1) ta có :

2 1 1

3 2 2

2 1 1

1 1

2

...................

1n n n

P P P

P P P

P P P

P P n P

Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có :

1 1 2 3 12 3 ... 1n nP P P P P n P

Do 1 1P nên ta được : 1 2 3 11 2 3 ... 1n nP P P P n P ( điều cần chứng

minh ).

Ví dụ : Chứng minh rằng :

100

50100

21

10C

Giải

Viết lại (1) dưới dạng tương đương sau :

50100100

1 12

2 10C

Ta có :



50100100 100

1 1 50!

2 2 50!50!

1.2.3...100

2.4.6...100 2.4.6...100

1.3.5...97.993

2.4.6.8...100

C

Mà ta có : 1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

..........

97 98

98 99

99 100

100 101

Nhân từng vế các bất đẳng thức trên ta được

2

2

1.3.5...99 2.4.6...100 1

2.4.6...100 3.5.7...999 101

1 1

101 10

14

10

P

P

P

Từ 3 , 4 2 đúng điều cần chứng minh.

Ví dụ : Chứng minh với các số tự nhiên :

1. 11,1k k

n n

n kC C k n

k

2. 11 , 1r r rn n nnC r C rC n r

Giải

1. Ta có :

1

1 ! 1 !!

! ! !

1

kn

kn

n k kC n

C n k k n

n k

k

Vậy : 11,1k k

n n

n kC C k n

k

2. Ta có :



1

!

! !

!1

1 ! 1 !

1 .

r r r rn n n n

r

n

rn

r rn n

nC n r r C n r C rC

nn r rC

n r r

nr rC

r n r

r C rC

Ví dụ :

1. Chứng minh : 1.1! 2.2! 3.3! ... . ! 1 ! 1n n n

2. Rút gọn : 2 32

1 2...

2 2 2nn

nT P P P

Giải

1.Ta có : . ! 1 1 ! 1 ! !k k k k k k .Do đó :

1.1! 2.2! 3.3! ... . !

2! 1! 3! 2! ... 1 ! !

1 ! 1

n n

n n

n

2. Ta có :

2 11 1 1

2 2

2 2 2 2k k

k kk k k k

k P PkP P

Do đó :

2 32

3 3 2 12 41 0 2 1 1

2 20

1 2...

2 2 2

...2 2 2 2 2 2

2 !2.

2 2 2

nn

n nn n

nn n

nT P P P

P P P PP P

nP P

Ví dụ : Cho các số nguyên dương k, n. Chứng minh :

1 2 ...T k k k n chia hết cho n.

Giải

Ta có : ! !

1 2 ... ! !! ! !

kn k

k n k nT k k k n n C n

k k n

Vì số tổ hợp là số nguyên nên T chia hết cho n.

* Kết quả : tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!

1 2, 1 2 6

1 2 3 24

1 2 3 4 120

n n n n n

n n n n

n n n n n



3. Dạng 3 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất :

Ví dụ : Cho số nguyên n > 2 không đổi. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé

nhất của pnC với 1,2,3,..., .p n

Giải

Vì p n pn nC C nên chỉ cần xét p từ 1 đến phần nguyên của

1

2

n là

1

2

nm

Xét

1

1 ! 1 !! 1

! ! !

pnp

n

n p pC n n p

C n p p n p

Ta thấy tỉ số 1

pnp

n

C

C nghịch biến với p, do đó :

11

2

mn p p p

Do đó : 1 2 3 1 1... ...m m nn n n n m nC C C C C C

Vậy :

Số pnC bé nhất khi p =1 hoặc p = n - 1 là 1 1n

n nC C n

Số pnC lớn nhất khi

1

2

np

với n lẻ, hoặc

2

np với n chẵn, gộp lại là

2

np

.

* Áp dụng : 1. Chứng minh rằng : 1 1000 1001

2001 2001 2001 2001k kC C C C với 0 2001,k k N

Giải

Ta có 10002001C là số lớn nhất trong tất cả các số 2001,0 2001kC k

Mà k n kn nC C nên 1000 1001

2001 2001C C

Do đó : 1000

2001 2001

1 10012001 2001

1 1000 1001

2001 2001 2001 2001.

k

k

k k

C C

C C

C C C C

2. Cho hai số tự nhiên p và q khác 0 sao cho tổng p + q = a với a là một số tự

nhiên đã biết. Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của p!.q! ?

Giải

Đặt m = p!.q!, vì m có tính đối xứng đối với p, q nên ta có thể giả sử p q

2p p + q = a .

Nếu a chẵn ta có : p2

a



Nếu a lẻ ta có : a -1

p2

Do đó :

p + q ! a!C C =

p!q! p!q!

a!p!q!

C

a!m

C

p pp q a

pa

pa

Vì a không đổi nên :

m nhỏ nhất paC lớn nhất khi :

a)2

ap q nếu a chẵn. Do đó giá trị nhỏ nhất của m là

2

!2

a

b)-1 1

;2 2

a ap q

nếu a lẻ. Do đó giá trị nhỏ nhất của m là

-1 1! !

2 2

a a

m lớn nhất paC nhỏ nhất khi 11 p

q ap C C a . Do đó giá trị nhỏ

lớn nhất của m là !

-1 !a

aa



VI. BÀI TẬP TỔNG HỢP :

1. Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 3

chữ số khác nhau không chia hết cho 3 ?

Đáp số : 60 số

2. Người ta lập tất cả tích của 2 số nguyên từ 1 đến 100. Hỏi có bao

nhiêu tích là bội của 3?

Đáp số : 2739

3. Trong 3 lần chọn ngẫu nhiên 3 chữ số thì có mấy trường hợp :

a.Có 2 lần lặp lại

b.Có 1 lần lặp lại

Đáp số : 270, 720

4. Với các chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lặp được bao nhiêu số mỗi số

gồm 4 chữ số khác nhau. Trong đó có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số chia

hết cho 3 ?

Đáp số : 42 số, 18 số.

5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt

đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không

quá 1 lần ?

Đáp số : 11340 số .

6. Trong buổi họp mặt có 5 nam sinh và 5 nữ sinh. Có bao nhiêu

cách sắp xếp xung quanh bàn tròn sao cho không có 2 nam sinh, 2 nữ sinh

ngồi cạnh nhau ?

Đáp số : 2.5!.5! cách.

7. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số được viết duy nhất bởi ba

chữ số 1, 2, 3 trong đó chữ số 2 xuất hiện 2 lần ?

Đáp số :2 57 .2

2

C

8. Giải phương trình : 4 5 613n n nC C C .

Đáp số : n =6

9. Giải bất phương trình : 2 4 6 2 2003... 2 1nx x x xC C C C .

Đáp số : 1002x

10. Đặt 2 2 22 3

1 1 1T ...

A A An

. Rút gọn T, chứng minh T < 1.

Đáp số : 1

T 1n

11. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1

khác nhau. Tính tổng của chúng ?

Đáp số : 9333240.

12. Tìm miền giá trị các hàm số :

a. 73x

xf x A b. 2 8

3x

xf x C Đáp số : a. 1,2,3 ; b. 1,9,15,28,35



PPHHẦẦNN IIII :: NNÂÂNNGG CCAAOO

I. CHỈNH HỢP LẶP :

Trong định nghĩa chỉnh hợp mỗi phần tử chỉ xuất hiện không quá

một lần nếu ta bỏ đi hạn chế ấy thì ta có khái niệm chỉnh hợp lập.

1. Định nghĩa :

Chỉnh hợp lập chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k

phần tử đã cho, trong đó đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, 3, …, k lần

trong nhóm tạo thành.

Ví dụ : abcd, aabe, adbc, … là các chỉnh hợp chập 4 có lặp của n

mẫu tự a, b, c, d, l…

2. Số các chỉnh lặp chập p của n phần tử :

- Kí hiệu k

nA là số chỉnh lặp chập p của n phần tử :

. ....k k

nk

A n n n n

- Để có được công thức knA ta lập luận như sau :

Chọn phần tử thứ nhất : có n cách chọn

Chọn phần tử thứ hai : có n cách chọn

……………………………………….

Chọn phần tử thứ k : có n cách chọn

Vậy ta có tất cả : . .... k

k

n n n n .

Ví dụ : Một người muốn mời một trong số n bạn đến chung vui. Hỏi

có bao nhiêu cách lựa chọn?

Giải

Với mỗi bạn người đó có 2 cách lựa chọn : mời hoặc không mời

Kết quả người đó có 2n cách lựa chọn ( kể cả không mời người nào ).

Ví dụ : Chúng ta muốn thiết lập ít nhất 18000 từ khóa khác nhau chỉ

dùng 26 chữ cái tiếng Anh. Các từ khóa có chiều dài càng ngắn càng tố. Hỏi

chúng ta cần dùng từ khóa có chiều dài nhất là bao nhiêu là đủ số lượng

theo yêu cầu ?

Giải

Ta thấy rằng tổng số các từ có chiều dài n là số các chỉnh hợp lặp của 26

chữ cái, nghĩa là có 26n chữ cái khác nhau có chiều dài n. Do 1 2 326 26 26 18278

nên chúng ta chỉ cần từ khóa có chiều dài không quá 3 là đủ số lượng theo

yêu cầu.



II.HOÁN VỊ LẶP (TỔ HỢP PHỨC ) :

- Tổng số cách để phân phối n đối tượng phân biệt vào k hộp

1 2, ,..., kH H H sao cho 1r đối tượng phân biệt vào trong hộp 1H , 2r đối tượng

phân biệt vào trong hộp 2H ,…, kr đối tượng phân biệt vào trong hộp kH là :

1 2 1 2

!

, ,..., ! !... !k k

n n

r r r r r r

trong đó 1 2 ... kn r r r

- Để có được sự phân phối đó ta tiến hành k bước như sau :

Thứ nhất chọn 1r đối tượng vào hộp 1H : có 1r

nC cách.

Thứ hai chọn 2r đối tượng trong số 1n r đối tượng vào hộp 2H : có

2

1

rn rC cách.

…………………………………………………….

Cuối cùng còn kr đối tượng vào hộp kH : có k

k

rrC cách.

Theo nguyên lí nhân tổng số cách phân phối là :

1 2

1

1 2 1 2

!. ...

, ,..., ! !... !k

k

rr r

n n r r

k k

n nC C C

r r r r r r

.

Ví dụ : Với các mẫu tự của chữ LAP LAI có thể tạo ra bao nhiêu chữ

khác nhau ( không cần có nghĩa ) ?

Giải

Mỗi chữ là một hoán vị của 6 mẫu tự gồm 2 mẫu tự L, 2 mẫu tự A, 1 mẫu

tự B và 1 mẫu tự I.

Vậy có tất cả : 6 6!

1802,2,1,1 2!2!1!1!

chữ

Ví dụ : Để chia 17 người thành bốn nhóm : nhóm 5 người, nhóm 2

người, nhóm 7 người, nhóm 3 người ta có tất cả :

17 17!49008960

5,2,7,3 5!2!7!3!

( cách ).

III.TỔ HỢP LẶP :

1. Định nghĩa : Cho tập hợp A có n phần tử, một tổ hợp chập k có lặp lại

gọi là tổ hợp lặp của n phần tử đó là một nhóm không kể thứ tự gồm k vật

trong đó mỗi vật có thể lặp lại nhiều lần.

Ví dụ : abcd, aabc, aaaa,… là các tổ hợp chập 4 có lặp lại của tập

gồm n phần tử a, b, c, d,…,l.

2. Định lí : Có tất cả 1kn kC tổ hợp lập chập k của n phần tử.



Trong một số bài toán đếm chúng ta thường gặp hoặc đưa về dạng :

"Có bao nhiêu cách phân phối r vật giống nhau vào n hộp phân biệt". Áp

dụng định lí trên ta có tất cả : 1rn rC cách.

Ví dụ : Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của phương trình

1 2 3 4 5 17x x x x x

Giải

Để đếm số nghiệm tự nhiên của phương trình chúng ta xem sự phân

phối của 17 vật giống nhau vào 5 hộp được dán nhãn 1 2 3 4 5, , , ,r r r r r . Số vật

trong hộp ir thể hiện giá trị của ir . Khi đó chúng ta thấy rằng mỗi sự phân

phối tương ứng 1-1 với nghiệm tự nhiên của phương trình đã cho. Như vậy

phương trình có : 17 175 17 1 21 5985C C nghiệm tự nhiên.

* Vài dạng khác của bài toán trên :

1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương 1, 1,5ix i của phương trình

1 2 3 4 5 17x x x x x

Giải

Vẫn với 5 hộp như trên nhưng do điều kiện ở đây là 1x nên trước tiên

ta phải bố trí mỗi hộp 1 vật trước. Như vậy ta còn lại 17 5 12 vật, sau đó

đem phân phối 12 vật này vào 5 hộp. Vậy phương trình có tất cả : 12 125 12 1 16 1820C C nghiệm nguyên dương.

2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương 1, 1,5ix i của phương trình

1 2 3 4 5 17x x x x x

thỏa điều kiện 1 2 3 4 51, 3, 2, 2, 1x x x x x .

Giải

- Ta xét trường hợp 1, 1,5ix i , với điều kiện này thì phương trình có

tất cả : 12 125 12 1 16 1820C C nghiệm nguyên dương.

- Ta xét trường hợp 1 2 3 4 52, 4, 3, 2, 2x x x x x như vậy ta còn lại

17 (2 4 3 2 2) 5 phân phối vào 5 hộp. Vậy trong trường hợp này ta

có : 5 55 5 1 9 126C C nghiệm.

Vậy phương trình có tất cả : 1820 126 1694 nghiệm thỏa yêu cầu bài

toán.



IV. NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ :

- Kí hiệu A là số phần tử trong tập hợp A

- Nguyên lí cộng tổng quát cho tập hợp A và B : A B A B A B

- Nguyên lí này được lí giải như sau : do tập A và B có thể có phần

chung do đó có thể có phần tử được đếm đến 2 lần trong A và trong

B nên cần trừ đi một lần trong A B . Bằng qui nạp ta chứng minh

được nguyên lí bù trừ tổng quát sau.

Định lí : Cho 1 2, ,..., nA A A là các tập hữu hạn. Khi đó tập 1 2 ... nA A A

cũng hữu hạn và khi đó :

1 21 1

1

1

1 2

...

...

1 ...

n

n i i ji i j n

i j ki j k n

n

n

A A A A A A

A A A

A A A

trong đó tổng 1 i j n có 2

nC số hạng, tổng1 i j k n có 3

nC số hạng,….

Ví dụ : Có bao nhiêu xâu nhị phân ( xâu có thứ tự được thành lập từ

0, 1 ) có độ dài là 10 hoặc bắt đầu bởi 00 hoặc kết thúc bởi 11 ?

Giải

Đặt A là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài là 10 bắt đầu bởi 00.

B là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài là 10 kết thúc bởi 11.

kết quả cần tính là : A B A B A B

với 8

8

6

2 256

2 256

2 64

A

B

A B

256 256 64 448A B A B A B xâu nhị phân thỏa yêu cầu

bài toán.



* Dùng nguyên lí bù trừ ta chứng minh được kết quả bài toán sau :

"Chúng ta có n vật xếp thành hàng ngang. Ta tiến hành xáo trộn các vật và

sắp xếp lại sao cho không có vật nào ở lại vị trí ban đầu. Số cách xáo trôn có thể có là :

1! ! ! ! ! !

! ! ... 1 ... 12! 3! ! 2! 3! !

n nn n n n n nn n

n n

.

Ví dụ : Có 10 lá thư khác nhau được bỏ một cách ngẫu nhiên vào

trong 10 bao thư. Hỏi có bao nhiêu cách mà :

a. Không có lá thư nào bỏ đúng vào bao thư của nó ?

b. Có đúng 1 bỏ đúng vào bao thư của nó ?

c. Có ít nhất 2 lá thư nào bỏ đúng vào bao thư của nó ?

Giải

a. Theo công thức ta có :

10! 10! 10! 10! 10! 10! 10! 10! 10!1334961

2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10!

cách thỏa yêu cầu bài toán.

b. Trường hợp có đúng một lá thư bỏ đúng vào bao thư của nó.Vậy lá thư

ấy là một trong 10 lá thư và 9 lá thư còn lại không có lá thư nào bỏ đúng

vào bao thư của chúng. Do đó theo nguyên lí nhân ta có :

9! 9! 9! 9! 9! 9! 9! 9!10. 1334960

2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!

cách thỏa yêu cầu bài toán.

c. Ta có tất cả : 10! 1334961 1334960 958879 cách thỏa yêu cầu bài toán.

IV. BÀI TẬP TỔNG HỢP :

1. Có 4 học sinh ưu tú A, B, C, D chia nhau giải nhất 5 môn Toán,

Văn, Lý, Hóa, Anh văn. Kết quả có thể xảy ra theo bao nhiêu cách ?

Đáp án : 54 cách

2. Có bao nhiêu số điện thoại :

a.Gồm 7 chữ số

b.Không quá 7 chữ số.

Đáp án : 7

7 10 110 ,10

9

3. Có bao nhiêu số được tạo ra từ tất cả các chữ số 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 sao

cho các chữ số lẻ luôn chiếm hàng lẻ ?

Đáp án :4! 3!

.2!2! 2!

số

4. Có bao nhiêu nghiệm nguyên dương của phương trình :

1 2 3 4 13x x x x

thỏa 1 32, 2x x .

Đáp số : 7 77 4 1 10C C

Documents

Chuyen de Giai Tich to Hop