Chuyen de luong giac

GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt

Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt

1

PHAÀN I: HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC .

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số.

a. y=f(x)=x.Cos3x . b. 1+Cosx

y=f(x)=Cosx

. c. 1+Cosx

y=f(x)=1-Cosx

. d.

21+Cos xy=f(x)=

1+Cosx.

Bài giải.

a. f(x) có nghĩa với mọi x thuộc R. Nên tập xác định D=R.

b. f(x) có nghĩa khi Cosx 0, suy ra π

x +k2π, k Z2

. Nên tập xác định là

πD=R\ +k2π,k Z

2

.

c. f(x) có nghĩa khi 1-Cosx0 osx 1 x k2 , C k Z . Nên tập xác định

là D=R\ k2π,k Z .

d. f(x) có nghĩa khi 1+Cosx0 osx 1 x k2 , C k Z . Nên tập xác định

là D=R\ +k2π,k Z .

Baøi 2 :Tìm taäp xaùc ñònh haøm soá sau :

2

2 2

2

2 cot1/ cot(2 ) 2 / tan(3 ) 3/

4 3 cos 1

sin 2 14 / 5 / tan 6 / sin

cos 1 3 1

3 27 / 1 cos 8 / 9 / cot( ) tan(2 )

sin cos 3 3

1 1 sin10 / 11/ 12 /

4 5cos 2sin2sin 3 cot 3

xy x y x y

x

x xy y y

x x

y x y y x xx x

xy y y

x xx x

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D

0 0

, ( )

, ( )

x D f x M

x D f x M

.

- Số m dược gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D

0 0

, ( )

, ( )

x D f x m

x D f x m

a. y=f(x)=2+3Cosx. b. y=f(x)=3-4Sin2x.Cos

2x. c. y=f(x)=2.Sin

2x-2Cos2x.

Bài giải.

a. 1 osx 1 3 3. osx 3 1 2 3. osx 5C C C .

+ 2 3. osx 1 2C x k . Suy ra ( ) ( 2 ) 1R

Min f x f k .

+ 2 3. osx 5 2C x k . Suy ra ax ( ) ( 2 ) 5R

M f x f k .

b. y=f(x)=3-Sin22x.

2 2 20 2 1 0 2 1 3 3 2 2Sin x Sin x Sin x .

+ 23 2 2

4 2Sin x x k

. Suy ra ( ) 2

4 2RMin f x f k



2

+ 23 2 3

2Sin x x k

. Suy ra ax ( ) 3

2RM f x f k

.

c. y=f(x)=1-3Cos2x

1 os2x 1 3 3. os2x -3 4 1 3. os2x -2C C C .

+ 1 3. os2x=-2 x=kC . Suy ra ( ) 2R

Min f x f k .

+ 1 3. os2x=4 x= +k2

C

. Suy ra ax ( ) 42R

M f x f k

.

Baøi 4 : Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau :

22 2

2

1 4cos1/ 2 3cos 2 / 3 4sin cos 3/

3

4 / 2sin cos 2 5 / 3 2 | sin | 6 / 3 1 sin 1

xy x y x x y

y x x y x y x

Bài 5. T×m GTLN vµ GTNN cña çc hµm sè sau:

a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. 1 cosx

ysinx cosx 2

c.

2 cosxysinx cosx 2

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

* Dạng cơ bản.

- x= +k2

Sinx=Sinx= - +k2

- x= +k2

Cosx=Cosx=- +k2

- Tanx=Tan x= +k

- Cotx=Cot x= +k

Bài 1. Giải các phương trình

a. 3

Sinx=-2

. b. Sin2x = -1. c. 2 1

Sin x=4

.

Bài 2. Giải các phương trình:

a. Sinx

=0Cosx-1

. b. Cos3x-Sin2x=0.

Bài giải.

a. Điều kiện x k2π Sinx

=0 Sinx=0 x=kCosx-1

.

Mà x k2π nên nghiệm là x= +k2π .

b.

2

10 5os3x=Sin2x=Cos 2

22

2

x k

C x

x k

.

Bài 3. Giải các phương trình.

a. Sin 3x + Sin5x =0. b.tanx.tan2x=-1 .

Bài giải.

B

A

sin=a=OK

sin

cos

O H

K

M



3

a. 4

Sin3x=-Sin5x=Sin(-5x)

2

x k

x k

.

b. Điều kiện 2

4 2

x k

x k

-1

t anx.tan2x=-1 tanx= 2tan2x 2

Cot x x k

.

Mà 2

x k

nên phương trình vô nghiệm.

Baøi 4 : Giaûi phöông trình :

11 sin 7 sin 2 sin 0

2

2 2sin 3 0 8 sin 3 0

3 2sin( ) 2 0 9 sin 3 cos 03

4 2sin(2 ) 1 0 10 sin 2 cos3 06

5 3sin(3 ) 2 0 11 sin(2 ) sin( ) 04 3 4

6 2sin( 3 ) 3 0 12 sin(3 ) cos(2 ) 03 6 3

13 s

x x x

x sinx x

x x x

x x x

x x x

x x x

2

in(2 ) cos( ) 03 3

x x

Baøi 5: Giaûi phöông trình :

11 cos 7 cos 2 cos 0

2

2 2cos 3 0 8 cos cos3 0

3 2cos( ) 2 0 9 cos3 sin 03

4 2cos(2 ) 1 0 10 cos 2 sin 3 06

5 3cos(3 ) 2 0 11 cos(2 ) cos( ) 04 3 4

6 2cos( 3 ) 3 0 12 cos(3 ) sin(2 ) 03 6 3

13 c

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

2

os(2 ) sin( ) 03 3

x x

Baøi 6: Giaûi caùc phöông trình :



4

1 tan 3 5 cot 3 0

22 tan 2 1 0 6 cot(3 ) 1 0

3

33 3 tan(3 ) 1 0 7 3cot(2 ) 3 0

4 2

24 3 tan(2 ) 3 0 8 4cot(2 ) 5 0

3 5

9 tan(3 ) tan 0 13 cot(24

x x

x x

x x

x x

x x x

) cot( ) 04 4

2 310 tan(2 ) tan( ) 0 14 cot( 2 ) cot( ) 0

3 3 2 4

5 511 tan( ) cot(2 ) 0 15 cot( 3 ) tan(2 ) 0

3 3 3 3

4 512 tan(3 ) cot( 2 ) 0 16 cot(2 ) tan( ) 0

3 3 6 6

x

x x x x

x x x x

x x x x

Baøi 7: Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc :

2 2

1 2sin 2 sin 0 8 sin cos 2 1 0

4 22 sin(2 ) 2cos( ) 0 9 cos cos 2 1 0

3 3

23 2sin( ) sin( 2 ) 0 10 sin( ) cos( 2 ) 1

3 3 6 3

3 24 3 cos( ) sin(3 ) 0 11 cos( 2 ) cos( ) 1 0

2 2 3 3

25 sin (5 ) cos (

5

x x x x

x x x x

x x x x

xx x x

xx

2 2

) 0 12 tan 5 .tan 14

26 cot(3 ). tan( ) 1 13 tan .tan(2 ) 1 0

3 3 6

7 tan 2 .tan 3 1

x x

x x x x

x x

Baøi 8: Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc sau :

1>3sinx+2=0 2>-2sinx-3=0 3> 2 cos 1 0x

4>3cosx+5=0 5> 3 tan 3 0x 6>3cot 3 0x

Lo¹i Dùng Công thức hạ bậc 1. 4cos

2(2x - 1) = 1

2. 2sin2 (x + 1) = 1

3. cos2 3x + sin

2 4x = 1

4. sin(1 - x) = 2

3

5. 2cosx + 1 = 0

6. tan2 (2x –

3

) = 2

7. cos2 (x –

5

) = sin

2(2x +

4

5

)

Lo¹i Dùng Công thức cộng, biến đổi

1. sin2x + cos2x = 2 sin3x 2. cos3x – sinx = 3 (cosx –sin3x )



5

3. 05cos2

15sin

2

3)3

2cos( xxx

4. sin3x = 2 cos(x – /5) + cos3x

5. sin(x + /4) + cos(x + /4) = 2 cos7x

6. Tìm tất cả các nghiệm x );2

3(

của pt: sinxcos

8

+ cosxsin

8

= 1

2

Lo¹i Bài toán biện luận theo m 1. Giải và biện luận

2sin(1-2x) = m

2. 3cos23x = m

3. sin3x + cos3x = m

4. m.sin2 2x + cos4x = m

5. Giải và biện luận

sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x


(3m + 5).sin(x + /2) = (2m + 3)cosx -m


cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x

8. Cho pt sin4x + cos

4x = m

a) Xác định m để pt có nghiệm

b) Giải pt với m = ¾

Lo¹i Tổng hợp

1. cos22x – sin

28x = sin( x10

2

17

)

2. sin23x – cos

24x = sin

25x – cos

26x

3. xx

xcos2

sin1

2sin

4. xxx 4sin

2

2sin

1

cos

1

5. Tìm tất cả các nghiệm x )3;2

(

của pt:

sin(2x + )2

7cos(3)

2

5 x = 1 + 2sinx

6. Giải pt:

4sin3xcos3x +4cos

3xsin3x + 3 3 cos4x = 3

7.

)8

(cos2)8

cos()8

sin(32 2 xxx

= x))3

x)cos(-3

cos(x(sin43 2

8. 4sin32x + 6sin

2x = 3

9. Tìm nghiệm nguyên của pt:

1)80016093(8

cos 2

xxx

PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Dạng: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. Sinx+Cos2x=1. b.

14.Sinx=

Sinx.

Bài giải.

a. 2inx=0

inx+Cos 1 inx 1-Sinx 0Sinx=1 2

2

x kS

S x Sx k

.

b. Điều kiện 0Sinx x k .

2

1inx=

1 1 624.Sinx= Sin x=

1 5Sinx 4inx=-

2 6

x kS

S x k

.

Bài 2. Giải các phương trình sau:



6

a. 2.Sin2x-5Sinx+3=0. b. 2.Sin

2x-3Cosx=0

Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau :

1/ 2sin2x+3sinx+1=0 2/ sin

2x+sinx-2=0 3/

22sin (2 3)sin 3 0x x

4/ 6-4cos2x-9sinx=0 5/

24sin 2( 3 1)sin 3 0x x 6/ sin23x-2sin3x-3=0

7/ sin2x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin

2x+cos

2+sinx-1=0 9/ cos

2x+sinx+1=0

10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos2x+cos2x+sinx+2=0 12> sin cos 2 4 0

6 3x x


1/ 3cos2x+2cosx-1=0 2/2sin

2x+5cosx+1=0 3>cos

2-4cosx+5/2=0

4/cos2+cosx-2=0 5/16-15sin

2x-8cosx=0 6/4sin

22x+8cos

2x-8=0

7/2 25 4sin 8cos 4

2

xx 8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin

2x-2cos

2x+cos2x=0

10>sin2x+cos2x+cosx=0 11>

2cos( ) cos(2 ) 2 0

3 3x x

12>(1+tan2x)(cosx+2)-sin

2x=cos

2x


1>tan2x-tanx-2=0 2>

2cot (1 3)cot 3 0x x

3>23cot 4cot 3 0x x 4>

2

34 tan 2 0

cosx

x

D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè

lîng gi¸c

1/ 2cos2x - 4cosx =1

sinx 0

2/ 4sin3x + 3 2 sin2x = 8sinx

3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/ 1-5sinx + 2cosx = 0

cosx 0

5/ Cho 3sin3x - 3cos2x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) vµ cos2x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2)

T×m n0 cña (1) ®ång thêi lµ n0 cña (2) ( nghiÖm chung sinx = 1

3)

6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx +3

cotx - 2 = 0

b / 2

4cos x

+ tanx = 7 c / sin

6x + cos

4x = cos2x

8/ sin(5π

2x +2

) - 3cos(7

2x

) = 1 + 2sinx

9/2sin x -2sinx +2 = 2sinx -1 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0

11/ tanx + cotx = 4 12/ 2 4sin 2x +4cos 2x -1

= 02sinxcosx

13/ sin 1 cos 0x x 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0

15/ 2 44sin 2 6sin 9 3cos2

0cos

x x x

x

16/ 2cosx - sinx = 1



7

17. 4 4 1sin x cos x

2 18. 4 4

sin x cos x cos2x

19. 4 4x

4 4

1sin x sin

20. 2 2 22 2 3

sin x sin x sin x3 3 2

21. 6 6 4 45sin x cos x sin x cos x

6 22. 6 6 1

2

sin x cos x sinxcosx 0

23. 4 4 4 44sin x cos x sin x cos 4x 24. 24 4 21

2

sin x cos x sin xcos x sinxcosx

25. 3 3 2cos xcos3x sin xsin3x=

4 25. 3 3 3

cos 4x cos xcos3x sin xsin3x

* Dạng: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos. - Cách giải:

2 2 2 2 2 2

b c.sinx+bcosx=c .sinx+ cosx=

aa

a b a b a b

.

Đặt 2 2 2 2

os ; a b

C Sina b a b

.

Ta có phương trình cơ bản 2 2

csinx.cos +cosx.sin =

a b

2 2Sin x+ =

c

a b

.

- Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 3.Sin2x-Cos2x=1. b. Cos2x- 3Sin2x= 2 . c. Cos2x-Sin2x= 2 .

d. Cos2x- 3Sin2x=1. e. 3Cosx+3Sinx=3

Bài giải.

a.

2 2

a= 3;b=1;c=1

a +b =2

3 1 1Sin2x- Cos2x=

2 2 2

πx= +kπ

π 1 π 6Sin 2x- = =Sin

π6 2 6x= +kπ

2

.

b.

2 2

a=1;b= 3;c= 2

a +b =2

1 3 3Cos2x- Sin2x=

2 2 2

πx=- -kπ

π 2 π 24Sin -2x = =Sin

7π6 2 4x=- -kπ

24

c.

2 2

a=1;-b=1;c= 2

a +b = 2

1 1Cos2x- Sin2x=1

2 2

π π π

Sin -2x =1=Sin x= +kπ4 2 8

d.



8

2 2

a=1;b= 3;c=1

a +b =2

1 3 1Cos2x- Sin2x=

2 2 2

x=kππ 1 π

Sin -2x = =Sin6 2 6 x=-

3k

e.

Đưa về dạng Cosx+ 3Sinx= 3

2 2

a=1;b= 3;c= 3

a +b =2

1 3 3Cos2x+ Sin2x=

2 2 2

x= +k2ππ 3 π 6

Sin +x = =Sin6 2 3

x= k22

D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx 1. NhËn d¹ng:

2. Ph¬ng ph¸p:

§¨c biÖt :

1. π π

sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - )3 6

2. sin cos 2 sin( ) 2 cos( )4 4

x x x x

3. π π

sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + )3 6

gi¶i ph¬ng tr×nh:

1. 3cosx sinx 2 , 2. cosx 3sinx 1

3. 3

3sin3x 3cos9x 1 4sin 3x , 4. 4 4 1

sin x cos (x )4 4

5. 3(1 cos2 )

cos2sin

xx

x, 6.

2 1sin 2 sin

2 x x

a.sinx b.cosx c

Çch 1: asinx + bcosx = c

§Æt cosx=2 2

a

a + b ; sinx=

2 2

b

a + b

2 2a +b sin(x +α) = c

Çch 2: b

a sinx + cosx = ca

§Æt b

= tanα a sinx +cosx.tanα = ca

c

sin(x +α) = cosαa

Çch 3: §Æt x

t = tan2

ta cã

2

2 2

2t 1- tsinx = ; cosx =

1+ t 1+ t2(b+c)t -2at -b+c = 0

Chó ý: §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm: 2 2 2a +b c



9

7. 1

3sinx +cosx =cosx

8. tan 3cot 4(sin 3cos ) x x x x

9. cos7x - 3sin7x + 2 = 0 ; 2π 6π

x ( ; )5 7

10. 2sin15x + 3 cos5x + sin5x = 0 (4)

611. sinx +3cosx + = 6

4sinx +3cosx +1 12.

13sinx +cosx = 3+

3sinx +cosx +1

13. ( cos2x - 3 sin2x) - 3 sinx – cosx + 4 = 0 14. 2

cosx -2sinx.cosx= 3

2cos x +sinx -1

15.2

1+cosx +cos2x +cos3x 2= (3- 3sinx)

2cos x +cosx -1 3 16.cos7x sin5x 3(cos5x sin7x)

Baøi 9: Giaûi caùc phöông trình :

1/ 2 sin cos 2 2 / cos 3 sin 2

3/ sin 7 3 cos7 2 4 / 3 cos sin 2

5 / 5cos 2 12sin 2 13 6 / 2sin 5cos 4

7 / 3sin 5cos 4 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x

PHAÀN IV: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙCTỔNG HỢP

Chú ý. Các phương trình sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng và hạ bậc

công thức biến đổi tổng thành tích, tích thàng tổng, hạ bậc

Áp dụng các công thức ở trên giải các phương trình sau đây:

a.

pt

( vì )

b.

pt

c.

Tới đây biết giải rồi chứ? cos6x = 0 hoặc

d.



10

gép cos3x + cos7x và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Đặt nhân tử chung sau khi xuất hiện

nhân tử.

e.

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.

f.

Đây là bài toán mà các số hạng đều là bậc hai nên ta sẽ hạ bậc nó.

lưu ý:

pt

( bỏ mẫu)

pt

( biến tổng thành tích)

BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO

1. Giải phương trình: .

Phương trình

.

2. Giải phương trình lượng giác

Đáp số:

3. Giải phương trình:

Phương trình đã cho tương đương với

*

* .

http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22#1



http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=43






11

Giải khác.

4. Giải phương trình lượng giác sau:

5. Giải phương trình: .

Từ phương trình đã cho ta có :

6. Giải phương trình : .








12

7. Giải phương trình :

Phương trình đã cho

8. Giải phương trình:


<=>

<=> <=>

<=> <=>

<=> <=>







13

10. Giải phương trình

11. Giải phương trình lượng giác sau:


<=> <=>

<=> <=>

13. Giải phương trình lượng giác:

Phương trình đã cho tương đương với

Đáp số :













14

Các nghiệm số là

D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp ®èi víi sinx vµ cosx 1. NhËn d¹ng:

2. P.Ph¸p:

Gi¶i ph¬ng tr×nh

1. 3sin2x - 3 sinxcosx+2cos

2x =2 2. 4 sin

2x + 3 3 sinxcosx - 2cos

2x=4

3. 3 sin2x+5 cos

2x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin

3x + cosx = 0

5. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3 )cos

2x – 5 - 3 = 0

6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx – sinx = 0

8. tanxsin2x - 2sin

2x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos

4x - 4sin

2xcos

2x + sin

4x = 0

10. 4cos3x + 2sin

3x - 3sinx = 0 11. 2cos

3x = sin3x

12. cos3x - sin

3x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos

3x

14. sin3(x - /4) = 2 sinx

D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx

1. NhËn d¹ng:

2. Ph¬ng ph¸p:

a sinx cosx b.sinxcosx c

a sinx cosx b.sinxcosx c

2 2

3 2 2

a.sinx b.cosx 0 (1)

a.sin x b.sinxcosx c.cos x d (2)

a.sin x b.sin xcosx c.sinxcos x d.sinx e.cosx 0 (3)

§¼ng cÊp bËc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0

Çch 1: Thö víi cosx = 0; víi cosx 0, chia 2 vÕ cho cos2x ta ®îc:

atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1)

Çch 2: ¸p dông c«ng thøc h¹ bËc

§¼ng cÊp bËc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0

HoÆc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0

XÐt cos3x = 0 vµ cosx 0, chia 2 vÕ cho cos3x ta ®îc ph¬ng tr×nh bËc 3 ®èi víi tanx



15

1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)

3. sin2x 2 sin x 14

3. tanx 2 2sinx 1

1. 1 + tanx = 2sinx + 1

cos x 2. sin x + cosx=

1

tanx -

1

cot x

3. sin3x + cos

3x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin

3x+ cos

3x = sin2x

5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6. 2 sin2x(sin x + cosx) = 2

7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8. 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx

9. 1 + sin3

2x + cos32

x =

3

2sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2

11.* cos4x + sin

4x - 2(1 - sin

2xcos

2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0

12. sin cos 4sin2 1x x x 13. sinxcosx + sinx +cosx = 1

14. cosx + 1

cosx + sinx +

1sinx

= 10

3

D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx

Gi¶i ph¬ng tr×nh

1/ sin2 x + sin

23x = cos

22x + cos

24x 2/ cos

2x + cos

22x + cos

23x + cos

24x = 3/2

3/ sin2x + sin

23x - 3cos

22x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin

2(π 5x

+4 2

) - 2cos2 9

2

x

5/ cos4x – 5sin4x = 1 6/ 4sin3x - 1 = 3 - 3 cos3x

7/ sin22x + sin24x = sin26x 8/ sin2x = cos22x + cos23x

9/ (sin22x + cos42x - 1): sinxcosx = 0 10/ 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x

* a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x + cosx t 2

at + b2t -1

2 = c bt2 + 2at – 2c – b = 0

* a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x - cosx t 2

at + b21- t

2 = c bt2 - 2at + 2c – b = 0

C«ng thøc h¹ bËc 2 cos2x = 1 cos2

2

x ; sin2x=

1-cos2x

2

C«ng thøc h¹ bËc 3 cos3x= 3cosx +cos3x

4 ; sin3x=

3sinx -sin3x

4



16

11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 12/ 8cos3(x + π

3) = cos3x

13/ sin5x

5sinx = 1 14/ cos7x + sin22x = cos22x - cosx 15/

sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 16/ 3cos4x – 2cos23x =1

17/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x víi x (0;π)

18/ sin24x - cos26x = sin(10,5π+10x ) víiπ

x (0; )2

19/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 3 cos4x = 3

20/ cos4xsinx - sin22x = 4sin2(4 2

x ) -

7

2 víi x -1 < 3

21/ 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x = 0 22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x

D¹ng 7: Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c bËc cao

Gi¶i ph¬ng tr×nh

1. sin4

2

x+cos

4

2

x=1-2sinx 2. cos

3x-sin

3x=cos

2x-sin

2x

3. cos3x+ sin

3x= cos2x 4.

4 4sin x +cos x 1= (tanx +cotx)

sin2x 2

5. cos6x - sin

6x =

13

8cos

22x 6. sin

4x + cos

4x =

7 π πcot(x + )cot( -x)

8 3 6

7. cos6x + sin

6x = 2(cos

8x + sin

8x) 8. cos

3x + sin

3x = cosx – sinx

9. cos6x + sin

6x = cos4x

10. sinx + sin2x + sin

3x + sin

4x = cosx + cos

2x + cos

3x + cos

4x

11. cos8x + sin

8x =

1

8 12. (sinx + 3)sin

4 x

2 - (sinx + 3)sin

2 x

2 + 1 = 0

D¹ng 8: Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0

1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0

3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin

2 x = 0

5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ 3

2sin2x + 2 cos

2x + 6 cosx = 0

7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4

8/ sin3 sin5

3 5

x x 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 =

1

cosx

10/ cos8x + sin

8x = 2(cos

10x + sin

10x) +

5

4cos2x 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

14/ 2sin3x - 1

sinx = 2cos3x +

1cosx

15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - 1

cosx) = 0

16/ cos3x + cos

2x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos

3x + sinx = 0

* a3 b

3=(a b)(a

2 ab + b

2) * a

8 + b

8 = ( a

4 + b

4)2

- 2a4b

4

* a4

- b4

= ( a2

+ b2)(a

2 - b

2) * a

6 b

6 = ( a

2 b

2)( a

4 a

2b

2 + b

4)



17

18/ sin2x = 1+ 2 cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x = 2

1-cos2x

sin 2x

20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 1

sin2x 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0

22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

24/ 2 2π

sin(x + )4

=1 1

+sinx cosx

25/ 2tanx + cotx =2

3sin 2x

26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8

1.

1 12 2 sin x

4 sin x cosx

2 sin x

sin x cosx 42 2 sin(x ) 2 2 sin x

4 sin x cosx 4 sin x cosx

sin(x ) 0 x k

4 412 sin x 2 0

sin x cosx 0 sin2x 04 sin x cosx

2sin x cosx 1 sin2x 1

x k sin2x sin 1 0

4 2x k (k Z)

4

sin2x 1 2x k2 x k

2 4

2. C1. )cos(sincossin xx2xx 5533

xx2x2x 3553coscossinsin

x2xx2x1x2xx21x 332323coscoscossin)cos(cos)sin(sin

3 3 3

cos2x 0 cos2x 0 cos2x 0

x m x k x m (m Z)

tgx 1 4 2 4 4 2sin x cos x tg x 1

C2. )cos(sincossin xx2xx 5533 )cos(sin)cos)(sincos(sin xx2xxxx 552233

)sin(coscos)sin(cossincossinsincoscossin xxxxxxxxxxxx 223223552323

xx

0xx0xx0xx

0xxxx22

33

223322

sincos

sincos

sincos

sincos)sin)(cossin(cos

Z)(k cossincossincos

sincos

2

k4

x0x20xxxx

0xx 2222

3. x3x2x 222coscossin

1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos6x(cos 4x cos 2x) (1 cos6x) 0

2 2 2

0xx2x340x3xx320x32xx32 2 coscoscos)cos(coscoscoscoscos

Z)(k cos cos cos

3

k6

x2

k4

xk2

x0x30x20x

4. )cos(sincossin xx2xx 8866



18

xx2x2x 6886coscossinsin

x2xx2x1x2xx21x 662626coscoscossin)cos(cos)sin(sin

Z)(m coscos

cossin

cos

2

m4

x

k4

x

2m

4x

1tgx0x2

1xtg0x2

xx0x2

666

5. 2xxxx cossin cossin

4xxxx2 cossin cossin

2kx0x21x22x224xx2x21x21 22

sin cos cos cossin sinsin

6 . x28

13xx 266

cossincos

x28

13xx 23232

cos)(sin)(cos

x28

13xxxxxx 2224422

cos)cossinsin)(cossin(cos

x213x228x2x28

13x2

4

1x2

2

11x2 22222

cos)sin(coscos)sinsin(cos

06x213x220x2

x213x21280x2

x213x2280x2

222coscos

cos

cos)cos(

cos

cossin

cos

(loaïi) cos cos cos 6x22

1x20x2 Z)(k

k

6x

2k

4x

7. x22tgx31 sin (*) . Ñaët tgxt

k4

x1tgx1t01t2t31t01ttt3t1

t4t31 223

2))(((*)

8. tgx32x2x3 cossin

2tgx32tgx3x2tgx3x2xtgx3 )(coscoscos

3

2

kx2kx

tg3

2tgx

1x

tg Z)(k

cos

8. 3

sin x 2 sin x

4

(*) . C1. Ta coù : 2 sin x sin x cosx

4

3 3 3 31

2 2 sin x (sin x cosx) sin x (sin x cosx)

4 4 2 2

x4xxx2xx22

1 33sin)cos(sinsin)cos(sin(*)

Vì : coù ta cos cho trình phöôngcuûa veá haiChia . trình phöôngmaõn thoûa khoângcos 0x0x 3

Z)(k ))(()()(

k4

x1tgx01xtg31tgxxtg1tgx41tgx 223

C2. x4xxxxx4xx 23sin)cos)(sincos(sinsin)cos(sin(*)



19

0xx2xx2x3xx4xx21xx 22 cossincossinsincossin)cossin)(cos(sin

02x2x2x2x03x2x1x2x 22 )(cossin)(coscos)cos(sin)sin(cos

Z)(k (loaïi) cos

)sin)(cos(cos

k4

x1tgx

2x20xx2x2

9. 2x43xx4 44 sin)cos(sin 2x43x22

114 2 sin)sin(

3

2

3x41x4x432x22x43 2

cos)cos(cossinsinsin

Z)(k

2

k12

x2

k4

x

10. 8 8 6 6

2(sin x cos x) sin x cos x 8 6 6 8

2cos x cos x sin x 2sin x

6 2 6 2 6 6

cos x(2cos x 1) sin x(1 2sin x) cos xcos2x sin xcos2x

6 6 6

x mcos2x 0 cos2x 0 cos2x 0 4 2

x m (m Z)

tgx 1 4 2sin x cos x tg x 1x k

4

11.8 8 10 10

5sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x

4

10 8 8 85

2cos x cos x 2sin x sin x cos2x 0

4

8 2 8 2 8 85 5

cos x(2cos x 1) sin x(1 2sin x) cos2x 0 cos x cos2x sin x cos2x cos2x 0

4 4

8 8

8 8

cos2x 05 k

cos2x cos x sin x 0 x54 4 2sin x cos x 1 vo â nghieäm

4

12. 04

3x2x2 22 cossin 03x214x214 2 )cos()cos(

03x24x2403x244x244 22 coscoscoscos

1 3cos2x cos cos2x 1 (loaïi) 2x k2 x k (k Z)

2 3 2 3 6

13. 03xtg4xtg 24

2 2

tg x 1 tg x 3 tgx 1 tg tgx 3 tg x k x k (k Z)

4 3 4 3

14. x22x2 24coscos

4 2 2 2

cos 2x cos 2x 2 0 cos 2x 1 cos 2x 2 1 (loaïi)

Z)(k sin

2

kxkx20x2

15. 03x4x2 42 sincos 03x4x21 422 sin)sin(

03x4x4x41 442 sinsinsin Z)(k cossin

k2

x0x1x2



20

16.2 2

cos x cos 2x 1 011x4x4x011x2x 242222 coscoscos)cos(cos

4 2 2 25

4cos x 5cos x cos x 0 cos x 1 (loaïi) cosx 0 x k (k Z)

4 2

17. x231x2 4coscos

)coscos(cos)cos(cos 1x4x431x21x231x2 244224

5

2x21

0x

5

2x2

0x

5

1x

1x01x6x5 22

2

24

cos

sin

cos

sin

cos

cos

coscos

3 3sin x 0 cos2x cos x k x k2 (k Z) vôùi cos

5 2 5

18. (1) sin 2xtgx2 22 . Ñieàu kieän : 0x cos

C1. x2xxx22x

xx21 2222

2

22

cossincossin

cos

sinsin)(

x2x1x2x2x2x1xx12 22422222coscoscoscoscoscoscos)cos(

4 2 2 2 2 21

2cos x cos x 1 0 cos x 1 (loaïi) cos x 2cos x 1 2cos x 1 0

2

Z)(k cos

2

k

4xk

2x20x2

C2. xtg22xtgxtgxtg22xtgxtg1

xtg21 24222

2

2

)(

4 2 2 2

tg x tg x 2 0 tg x 1 tg x 2 (loaïi) tgx 1 tg x k (k Z)

4 4

19. 07x213x8 4 cossin

06x26x807x2113x8 2424 sinsin)sin(sin

4 2 2 2 21 1 1

4sin x 13sin x 3 0 sin x sin x 3 1 (loaïi) 2sin x 1 cos2x

4 2 2

Z)(k coscos

k6

x2k3

x232

1x2

20. 0x5x33 44 cossin

0x5xx21330x5x133 442422 cos)coscos(cos)cos(

1x22

0x3x212

0x3x4

0xx6x8

22

2

224

cos

cos

)cos(

cos

cos

coscoscos

1cosx 0 cos2x cos x k 2x k2 x k x k (k Z)

2 3 2 3 2 6

21. 2xgxtg 22 cot 2xtg

1xtg

2

2 (1) . Ñieàu kieän : 0tgx

(1) 01xtg01xtg2xtg 2224 )(

2

tg x 1 tgx 1 tg x k (k Z)

4 4

22. (1)

cos

2x

1xtg4

2

4 . Ñieàu kieän : 0x cos



21

4 2 4 2 2 23

(1) 4tg x 1 tg x 2 4tg x tg x 3 0 tg x 1 tg x (loaïi)

4

tgx 1 tg x k (k Z)

4 4

23.

8

1xx 88 cossin

8

1xx2xx

8

1xx 442442424 cossin)cos(sin)(cos)(sin

4

2 2 4 2 41 1 1 1 1

(1 sin 2x) 2(sin x cosx) 1 sin 2x sin 2x 2 sin2x

2 8 4 2 8

1x2x22x2888

1x2

8

1x2

4

1x21 442442 sinsinsinsinsinsin

4 2 2 2

sin 2x 8sin 2x 7 0 sin 2x 1 sin 2x 7 1 (loaïi)

0x2 cos Z) (k

2

k

4xk

2x2

24. 03xx5x212 )cos(sin)sin( 03xx5xx2 2 )cos(sin)cos(sin

3 2sin x cosx 1 sin x cosx 2 (loaïi) sin x sin

2 4 2 4

3x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z)

4 4 4 4 2

25. 07xx12x215 )cos(sin)sin(

07xx12xx5 2 )cos(sin)cos(sin

7 2 7sin x cosx 1 sin x cosx sin x sin sin x sin

5 4 2 4 4 5 2

3x k2 x k2 x k2 x k2 (k Z

2 4 4

26. 0xxx4x3 4224 sinsincoscos

27. 2

2

4 22 cos x 5 cosx 15 0

cosxcos x

28. 2

2

1 1cos x 2 cosx 2 0

cosxcos x

2 2

1 1 1 1cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cosx

cosx cosx cosx cosx

1 1cosx 0 (1) cosx 2 (2)

cosx cosx

.Ñieàu kieän : 0x cos

nghieäm) (voâ coscos)( 1x0x11 22

Z)(k cos)(coscoscos)( 2kx1x01x01x2x2 22

29.

x

1x

x

1x

2

2

cos

cos

cos

cos

2 2

1 1 1 1cosx 2 cosx cosx cosx 2 0

cosx cosx cosx cosx



22

1 1cosx 1 (1) cosx 2 (2)

cosx cosx

.Ñieàu kieän : 0x cos

nghieäm) (voâ coscos)( 01xx1 2

Z)(k cos)(coscoscos)( 2kx1x01x01x2x2 22

30. 2

2

1 1cos x 2 cosx 1

cosxcos x

2

1 1cosx 2 2 cosx 1

cosx cosx

2

1 1cosx 2 cosx 1 0

cosx cosx

01

x

1x01

x

1x 2

cos

cos]

cos

[cos

01xx2 coscos

1 5 1 5cosx 1 (loaïi) cosx cos x k2 (k Z)

2 2

31. 2

2

1 12 cos x 7 cosx 2 0

cosxcos x

2 2

1 1 1 12 cosx 2 7 cosx 2 0 2 cosx 7 cosx 6 0

cosx cosx cosx cosx

1 1 3cosx 2 (1) cosx (2)

cosx cosx 2

. Ñieàu kieän : 0x cos

Z)(k

(loaïi) cos

coscoscoscos)(

2kx

121x

21x01x2x1 2

21

(2) 2cos x 3cosx 2 0 cosx cos cosx 2 (loaïi) x k2 (k Z)

2 3 3

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : 2kx v Z)(k

2k3

x

32. 2

2

1 1sin x sin x 0

sin xsin x

2

1 1sin x sin x 2 0

sin x sin x

1 1sin x 1 (1) sin x 2 (2)

sin x sin x

. Ñieàu kieän : 0x sin

nghieäm) (voâ sinsin)( 01xx1 2

Z)(k sin)(sinsinsin)(

2k2

x1x01x01x2x2 22

33. 2

2

1 14 sin x 4 sin x 7 0

sin xsin x

2 2

1 1 1 14 sin x 2 4 sin x 7 0 4 sin x 4 sin x 15 0

sin x sin x sin x sin x

1 3 1 5sin x (1) sin x (2)

sin x 2 sin x 2

. Ñieàu kieän : 0x sin

nghieäm) (voâ sinsin)( 02x3x21 2



23

21

(2) 2sin x 5sin x 2 0 sin x 2(loaïi) sin x sin

2 6

7x k2 x k2 (k Z)

6 6

34. C1 : (*) )cot(cot 6gxtgx2xgxtg 22

Ñieàu kieän : Z)(k sincossin

2

kx0x20xx

6gxtgx22gxtgx 2 )cot()cot((*) 08gxtgx2gxtgx 2 )cot()cot(

tgx cot gx 2 (1) tgx cot gx 4 (2)

Z)(k )()(

k4

x4

tg1tgx01tgx01tgx2xtg2tgx

1tgx1 22

)sin(sinsin cossin cossin

sin

cos

cos

sin)(

62

1x21x22xx4xx4

x

x

x

x2 22

7 72x k2 2x k2 x k x k (k Z)

6 6 12 12

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :

k4

x Z)(k

k12

7xk

12x

C2 : Ñaët

gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt 2222cotcot)cot(cot 2xgxtg 22 cot

42xgxtg2 22 cot

2t2t

2t4t 2

Khi cot 2gxtgx2t 01tgx01tgx2xtg2tgx

1tgx 22 )(

Z)(k

k4

x4

tg1tgx

Khi 4 cot4 gxtgxt xx4xx4x

x

x

x 22cossin cossin

sin

cos

cos

sin

1 2sin2x 1 sin2x sin

2 6

7 72x k2 2x k2 x k x k (k Z)

6 6 12 12

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø :

k4

x Z)(k

k12

7xk

12x

35. (*) )cot(cot 06gxtgx5xgxtg 22


2

kx0x20xx

06gxtgx52gxtgx 2 )cot()cot((*) 04gxtgx5gxtgx 2 )cot()cot(

tgx cot gx 1 (1) tgx cot gx 4 (2)

nghieäm) (voâ )( 01tgxxtg1tgx

1tgx1 2

)sin(sinsin cossin cossin

sin

cos

cos

sin)(

62

1x21x22xx4xx4

x

x

x

x2 22



24

7 72x k2 2x k2 x k x k (k Z)

6 6 12 12

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : Z)(k

k12

7xk

12x

36. (1) )cot(cot

cos

01gxtgx4xg3x

3 2

2 .


2

kx0x20xx

01gxtgx4xg3xtg1301gxtgx4xg3x

31 222

2 )cot(cot)()cot(cot

cos

)(

02gxtgx42gxtgx302gxtgx4xgxtg3 222 )cot(])cot[()cot()cot(

04gxtgx4gxtgx3 2 )cot()cot( (*)

Ñaët : gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt 2222cotcot)cot(cot 2xgxtg 22 cot

42xgxtg2 22 cot

2t2t

2t4t 2

22

(*) 3t 4t 4 0 t 2 t (loaïi)

3

Khi : 1x2xx2xxx

x

x

x2t 22 sincossincossin2

sin

cos

cos

sin

2x k2 x k (k Z)

2 4

37. (1) )cot(

sin

04gxtgx5xtg2x

2 2

2


2

kx0x20xx

04gxtgx5xtg2xg121 22 )cot()cot()(

04gxtgx52gxtgx204gxtgx5xgxtg2 222 )cot(])cot[()cot()cot(

0gxtgx5gxtgx2 2 )cot()cot( (*)

Ñaët : gxtgx2xgxtggxtgxtgxtgxt 2222cotcot)cot(cot

2xgxtg 22 cot

42xgxtg2 22 cot

2t2t

2t4t 2.

25

(*) 2t 5t 0 t t 0 (loaïi)

2

Khi sinsincossin)cos(sin

sin

cos

cos

sin

5

1x2xx5xx2

2

5

x

x

x

x

2

5t 22

2x k2

x k x k (k Z)

2x k2 2 2 2

38.3

(sinx cosx) 2(1 sin2x) sinx cosx 2 0

3 2

(sinx cosx) 2(sinx cosx) sinx cosx 2 0

ñaët t sin x cosx 2 cos x

4

. ñieàu kieän: t 2 .

Phöông trình trôû thaønh :3 2 2

t 2t t 2 0 (t 2)(t +1) = 0 t = 2

39. 2(sinx cosx) tgx cot gx



25

sin x cosx2(sin x cosx)

cosx sinx

2(sinx cosx)sinxcosx 1

ñaët t sin x cosx 2 cos x

4


Phöông trình trôû thaønh :3 2

t t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 0 t = 2

40.3 3

sin x cos x sin2x sinx cosx (sinx cosx)(1 sinxcosx) 2sinxcosx sinx cosx

2

t 1ñaët t sin x cosx 2 cos x sin x cosx

4 2


Phöông trình trôû thaønh : 3 2 2

t 2t t 2 0 (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = 1 t = 2 (loaïi) t = 1

41.

1 1 10cosx sin x

cosx sin x 3

1 10(sin x cosx) 1

sin x cosx 3

2

t 1ñaët t sin x cosx 2 cos x sin x cosx

4 2

.

ñieàu kieän: t 2 .Phöông trình trôû thaønh :

3 2 22 19 2 19

3t 10t 3t 10 0 (t 2)(3t 4t 5) = 0 t = 2 t = t = (loaïi)

3 3

42.2

(cos4x cos2x) 5 sin3x

2 2 2 2

VT (cos4x cos2x) (2sin3xsinx) sin 3xsin x 4 . VP 5 sin3x 4

Vaäy phöông trình töông ñöông vôùi heä :

2 2 2cosx 0sin 3xsin x 1 sin x 1

x k2

sin3x 1 2sin3x 1 sin3x 1

43.2

(cos4x cos2x) 5 sin3x

2 2 2 2

VT (cos4x cos2x) (2sin3xsinx) sin 3xsin x 4 . VP 5 sin3x 4


2 2 2cosx 0sin 3xsin x 1 sin x 1

x k2

sin3x 1 2sin3x 1 sin3x 1

44.sinx cosx 2(2 sin3x)

VT sin x cosx 2 sin x 2

4

. VP 2(2 sin3x) 2


x k2sin x 1 x k2 4

vo â nghieäm4 4m2

sin3x 1 x2 sin3x 16 3

Vaäy phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm.

45.13 14

sin x sin x 1

13 14 2 2

sin x sin x sin x sin x . Vì 13 2

cosx 1 cos x cos x ; 14 2

sinx 1 sin x sin x



26

Vaäy13 14

sin x sin x 1 . Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi:

13 2 2 11

14 2 2 12

cos x cos x cos x(cos x 1) 0 cosx 0 cosx 1 x k mx2

sin x 1 sin x 0 2sin x sin x sin x(sin x 1) 0x k2

46. )sin(cossin x322xx (1)

VT sin x cosx 2 cos x 2

4

2122x322VP )()sin(

Vaäy

2 cos x 2 cos x 1 cos x 1 (1)4(1) 4 4

2 sin3x 1 sin3x 1 (2)2(2 sin3x) 2

2k4

x2k4

x1)( ( k Z)

theá vaøo (2) ta coù : 3 3 2

sin3x sin k6 sin 1

4 4 2

Vaäy phöông trình voâ nghieäm

47. x35x2x4 2sin)cos(cos

4xx34xx32VT 222 sinsin)sinsin( . 415x35VP sin

Vaäy

(2) 1xsinsin

(1) sin

sin

sin

sin

sinsin

sin

sinsin)( 3

22222

4x31x

1x31x

1x31xx3

4x354xx341

Khi Z)(k sin

2k2

x1x

theá vaøo (2) ta coù : 143x3 sin thoûa maõn

Khi Z)(k sin

2k2

x1x

theá vaøo (2) ta coù : 1143x3 sin khoâng thoûa

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : Z)(k

2k2

x

48. . x2xx25 2cossinsin (1)

5x25VT 2 sin Daáu baèng xaûy ra sin2x = 0 Z)(k

2

kx (*)

5xx41x2xVP 22 cossincossin

Daáu baèng xaûy ra

2

1tgx

2

x

1

x

cossin (**)

Theá (*) vaøo (**) khoâng thoûa neân phöông trình voâ nghieäm

49. 4xx3x2x23 cossincossin (1)

2x2

1x

2

3x2

2

1x2

2

31 cossincossin)(

cos sin2x sin cos2x sin sin x cos cosx 2 sin 2x cos x 2

6 6 3 3 6 3

(*)



27

Vì sin 2x 1

6

vaø cos x 1

3

neân (*)

2sin 2x 1 sin 2x 1 sin k4 1 sin 1

6 6 3 6 2x k2

3x k2cos x 1 x k2 x k2

33 3 3

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :

2k3

x (k Z)

50. 1xx2 coscos

2xx31xx32

1 coscos)cos(cos (*)

Vì 1x3 cos vaø 1x cos neân (*)

2kx1x1341x

1x3x41x

1x31x

3 coscos

coscos

cos

cos

cos (k Z)

51. 1xx2 2 cos (*)

Vì 1x2 cos vaø 11x 2 neân (*) 0x10

0x1x211x 2

coscos

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x = 0

52. 2xx3 coscos (*)

Vì 1x3 cos vaø 1x cos neân (*)

2kx1x134

1x1x3x4

1x1x3

1x3 cos

cos

coscos

cos

cos

cos (k Z)

53.2 2

cos x 2cosx tg x 1 0

2 2cosx 1

(cosx 1) tg x 0

tgx 0

Z)(k cossin

cos

2kx1x0x

1x

54.2 2

4sin x 2 3tgx 3tg x 4sinx 2 0

2 2

4sin x 4sinx 1 3tg x 2 3tgx 1 0

2 2sin x 1/ 2 (1)

(2sin x 1) ( 3tgx 1) 0

tgx 3 / 3 (2)

5(1) x k2 x k2 (k Z)

6 6

theá vaøo (2) ta coù nghieäm

2k

6x , (k Z)

55.2

x 2xsinx 2cosx 2 0

2 2 2

x 2xsinx sin x cos x 2cosx 1 0

0x2kx

002k2k2kx

xx1xxx

01xxx 22

sinsinsin

cos

sin)(cos)sin(

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :x = 0

56.

2

xcos2x 1

2

2 2

2x 0x x

(1 cos2x) 0 2sin x 0 x 0

sin x 02 2



28

57.Ñaïi hoïc An Giang khoái D naêm 2000

2 2 23

sin x sin 2x sin 3x

2

cos2x cos4x cos6x 0 cos4x(2cos2x 1) 0

1 kcos4x 0 cos2x x x k

2 8 4 3

58. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 1999

1 12 2 sin x

4 sin x cosx

2 sin x

sin x cosx 42 2 sin x 2 2 sin x

4 sin x cosx 4 sin x cosx

sin x 0 sin x 02 sin x 04 44

sin x cosx 0 sin2x 012

2sin x cosx 1 sin2x 1sin x cosx

x k sin2x sin 1 0

4 2

x ksin2x 04

sin2x 1 2x 2k x k

2 4

59.Hoïc Vieän Quan Heä Quoác Teá khoái D naêm 1999

cosx cos2x cos3x cos4x 0 5x x 5x x

4cosx.cos .cos 0 cosx 0 cos 0 cos 0

2 2 2 2

.

2kx k x x 2k

2 5 5


3 3 5 5

sin x cos x 2(sin x cos x)

3 3 2 2 5 5

(sin x cos x)(sin x cos x) 2(sin x cos x)

3 2 2 3 5 5 3 2 2 3 2 2

sin xcos x sin xcos x sin x cos x sin x(cos x sin x) cos x(cos x sin x)

3 3

3 3

cos2x 0 cos2x 0 cos2x 0 kco2xsin x cos2x cos x x

sin x cosx tgx 1 4 2sin x cos x


2 2 2

sin x cos 2x cos 3x 1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x

(cos2x cos4x) (1 cos6x) 0

2 2 2

2

2cos3xcosx 2cos 3x 0 2cos3x(cosx cos3x) 0 4cos3x.cos2x.cosx 0

k kcos3x 0 cos2x 0 cosx 0 x x x k

6 3 4 2 2

62. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái B naêm 1999



29

6 6 8 8

sin x cos x 2(sin x cos x)

6 2 6 2

sin x(1 2sin x) cos x(2cos x 1) 0

6 6k

cos2x(sin x cos x) 0 cos2x 0 x

4 2


sinx cosx sinx cosx 2 .

Bình phöông 2 veá ta ñöôïc k

cos2x 1 sin2x 0 x

2

64. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái B naêm 2000

6 613

cos x sin x

8

2

cos2x(2cos 2x 13cos2x 6) 0

1 kcos2x 0 cos2x 6 (loaïi) cos2x x x k

2 4 2 6


1 3tgx 2sin2x (*)

Ñaët : t tgx .2 3 2

2

4t (*) 1 3t (1 3t)(1 t ) 4t 3t t t 1 0

1 t

2

(t 1)(3t 2t 1) 0 t 1 x k

4

66. Hoïc Vieän Quaân Y khoái B naêm 2001

3sinx 2cosx 2 3tgx

3tgxcosx 2cosx 2 3tgx cosx(3tgx 2) 2 3tgx .Ñaët : t tgx

3tgx 2 0 tgx 2/ 3 tg x k

cosx 1 cosx 1 x 2k

67. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haø Noäi khoái B naêm 2000

3

4cos x 3 2 sin2x 8cosx

3 2

4cos x 6 2 sinxcosx 8cosx 2cosx(2cos x 3 2 sinx 4) 0

22

2cosx(2sin x 3 2 sin x 2) 0 cosx 0 sin x 2 (loaïi) sin x

2

3x k x 2k x 2k

2 4 4

68. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haø Noäi khoái B naêm 2001

tgx 2cot g2x sin2x (*) .

Ñieàu kieän : sin2x 0 . Ñaët : t tgx

2

2 2 2 2

2 2

1 t 2t 1 2t(*) t 2. t 1 tg x 1 sin x cos x

2t t1 t 1 t

kcos2x 0 (thoûa maõn ñieàu kieän) x

4 2

69. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haûi Phoøng khoái B naêm 2001



30

3

sin x 2 sin x (*)

4

.

Ñaët : t x x t

4 4

3 3 2

(*) sin t 2 sin t sin t sin t cost sin t(1 cot t) sin t cost

4

cost 0 cost 0

cost(1 sin t cot t) 0 t k x k

sin t cost 1 sin2t 2 (voânghieäm) 2 4

70. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP Hoà Chí Minh khoái D naêm 2000

4 4

4(sin x cos x) 3sin4x 2

2 21

4 1 sin 2x 3 sin 4x 2 2sin 2x 3 sin 4x 2

2

1 3 1 2cos4x 3 sin 4x 1 cos4x sin 4x cos 4x cos

2 2 2 3 3

2 k k4x 2k x x

3 3 4 2 12 2

71. Ñaïi Hoïc Thaùi Nguyeân khoái D naêm 1997

2

4cos x cos3x 6cosx 2(1 cos2x)

2 3 2

4cos x (4cos x 3cosx) 6cosx 4cos x

3 2

4cos x 3cosx 0 cosx(4cos x 3) 0 cosx 0 x k

2

72. Ñaïi Hoïc Thaùi Nguyeân khoái D naêm 2000

sin2x 4(cosx sinx) m

a) Giaûi phöông trình treân khi m 4

b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình treân coù nghieäm?

Giaûi

a) Khi m 4 , phöông trình coù daïng :

sin2x 4(cosx sinx) 4 (1 sin2x) 4(cosx sinx) 3 0 2

(cosx sinx) 4(cosx sinx) 3 0

cosx sin x 1

2 cos x 1 x 2k x 2k

cosx sin x 3 (voânghieäm) 4 2

b) 2

sin2x 4(cosx sinx) m (cosx sinx) 4(cosx sinx) m 1 0 (*)

Ñaët : t cosx sin x 2 cos x t 2

4

.

2

(*) t 4t m 1 0

Neáu /

5 m 0 m 5 phöông trình voâ nghieäm

Neáu /

5 m 0 m 5 phöông trình coù hai nghieäm / /

1 2t 2 t 2 2 (loaïi)

Vaäy phöông trình coù nghieäm khi

/ / /

12 t 2 2 2 2 2 2 6 4 2 6 4 2

6 4 2 5 m 6 4 2 1 4 2 5 m 1 4 2

72. Ñaïi Hoïc Vaên Hoùa Haø Noäi khoái D naêm 2001



31

sinx 2cosx cos2x 2sinxcosx 0

2

sinx 1 2sin x 2cosx(1 sinx) 0

s inx 1

s inx 1

(1 s inx)(2sin x 2cosx 1) 0 1sin x sin2(sin x cosx) 1

4 2 2

3x 2k x 2k x 2k

2 4 4

. Trong ñoù laø goùc coù

1sin

2 2

73. Ñaïi Hoïc Y Khoa Haø Noäi khoái B naêm 1997

4 6

cos x sin x cos2x

4 6 4 4 6 4

cos x sin x cos x sin x sin x sin x 0

4 2

2

s inx 0

sin x(sin x 1) 0 x k

1 sin x 0 (vo â nghieäm)

.


x 3x x 3x 1cosx.cos .cos sin x.sin .s in

2 2 2 2 2

1 1 1cosx(cosx cos2x) sin x(cosx cos2x)

2 2 2

2 2

cos x cosxcos2x sinxcosx sinxcos2x 1 cosxcos2x sinxcos2x sin x sinxcosx

cos2x(cosx sinx) sinx(sinx cosx) (cosx sinx)(cos2x sinx) 0 2 2

(cosx sinx)(1 2sin x sinx) 0 (cosx sinx)(2sin x sinx 1) 0

1 5tgx 1 sin x 1 sin x x k x 2k x 2k x 2k

2 4 2 6 6

.


2 2 2

sin 3x sin 2x sin x 0

2 21 cos6x 1 cos2x 1

sin 2x 0 (cos2x cos6x) sin 2x 0

2 2 2

2 2 2 2

sin4xsin2x sin 2x 0 2sin 2xcos2x sin 2x 0 sin 2x(2cos2x 1) 0

1 ksin2x 0 cos2x x x 2k

2 2 3

.


2(cot g2x cot g3x) tg2x cot g3x .

Ñieàu kieän : sin2x 0 ; sin3x 0 ; cos2x 0

cos2x cos3x sin2x cos3x2(cot g2x cot g3x) tg2x cot g3x 2

sin2x sin3x cos2x sin3x

2

32sin x cosx 2sin x(cos2x cos x)

0 sin x 0 (loaïi)

sin2xsin3x sin3x cos2x sin2xsin3x cos2x

do ñk sin2x 0

Vaäy phöông trình voâ nghieäm.

77. Ñaïi Hoïc Y Döôïc TP. Hoà Chí Minh khoái B naêm 1997

3

sinxsin2x sin3x 6cos x

2 3 3

2sin xcosx 3sinx 4sin x 6cos x

3 2 2

tg x 2tg x 3tgx 6 0 (tgx 2)(tg x 3) 0 tgx 2 tg tgx 3



32

x k x k

3


Xaùc ñònh a ñeå hai phöông trình sau töông ñöông

2cosxcos2x 1 cos2x cos3x

2

4cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)

Giaûi

2 2

2cosxcos2x 1 cos2x cos3x cos3x cosx 2cos x cos3x cosx 2cos x

cosx 0 cosx 1/ 2

2

4cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)

2 3 2

4cos x (4cos x 3cosx) acosx 2(4 a)cos x

3 2

4cos x (4 2a)cos x (a 3)cosx 0 cosx(2cosx 1)(2cosx a 3) 0

1 a 3cosx 0 cosx cosx

2 2

Hai phöông trình sau töông ñöông

a 3 a 3 a 3 a 3 11 1 0 a 5 a 1 a 3 a 4

2 2 2 2 2


Xaùc ñònh a ñeå phöông trình sau coù nghieäm : 6 6

sin x cos x a sin2x

Giaûi

6 6 2 23

sin x cos x a sin2x 1 sin 2x a sin2x 4 3sin 2x 4a sin2x (*)

4

Ñaët : t sin2x 0 t 1 . 2

(*) 3t 4at 4 0

Vôùi t 0 ta co ù f(0) 4 0 phöông trình (1) luoân coù hai nghieäm thoûa maõn ñieàu kieän 1 2

t 0 t

Nhö vaäy , phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm khi vaø chæ khi phöông trình (1) coù nghieäm thoûa maõn

1 2t 0 t 1 f(1) 0 4a 1 0 a 1/ 4

80. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2002 khoái B

2 2 2 2

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x

1 cos6x 1 cos6x 1 cos10x 1 cos12x

2 2 2 2

(cos12x cos10x) (cos8x cos6x) 0 cosx(cos11x cos7x) 0 cosxsin9xsin2x 0

k ksin2x 0 cos9x 0 x x

2 9

81. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2002 khoái D

Tìm x thuoäc ñoaïn [0;14] nghieäm ñuùng phöông trình : cos3x 4cos2x 3cosx 4 0

Giaûi

3 2

cos3x 4cos2x 3cosx 4 0 4cos x 3cosx 4(2cos x 1) 3cosx 4 0

3 2 2 2

4cos x 8cos x 0 4cos x(cos x 2) 0 cosx 0 cosx 2 (loaïi) x k

2

Vì x 0;14 k 0 k 1 k 2 k 3

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø:3 5 7

x x x x

2 2 2 2



33

82. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2002 khoái A

Tìm x thuoäc ñoaïn x 0;2 nghieäm ñuùng phöông trình :

cos3x sin3x5 sin x cos2x 3 (*)

1 2sin2x

Giaûi

Ñieàu kieän : 1 2sin2x 0 sin2x 1/ 2 (a)

(*) 5 sinx 2sinxsin2x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin2x)

5 sinx cosx cos3x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin2x)

5 sinx sin3x cosx (cos2x 3)(1 2sin2x)

2

5cosx 1 2sin2x (cos2x 3)(1 2sin2x) 5cosx cos2x 3 5cosx 2cos x 2

2

2cos x 5cosx 2 0 cosx 2 (loaïi) cosx 1/ 2 (thoûa ñk (a))

x 2k

3

. Vì x 0;2 nghieäm cuûa phöông trình laø:

5x x

3 3


2 2 2x x

sin tg x cos 0 (*)

2 4 2

Ñieàu kieän : cosx 0 x k

2

2

2

2

1 cos x 1 cos x

1 cosx sin x 1 cosx2 2(*) tg x 0 0

2 2 2 2cos x

2 2

2

2

1 sin x sin x 1 cosx sin x 1 cosx. 0 0 sin x (1 cosx)(1 sin x) 0

2 2 2(1 sin x) 21 sin x

(1 cosx)(1 cosx) (1 cosx)(1 sinx) 0 (1 cosx)(sinx cosx) 0

cosx 1 tgx 1 x 2k x k

4


2cotgx tgx 4sin2x (*)

sin2x

Ñieàu kieän : k

sin2x 0 x

2

cosx sin x 2 2cos2x 2(*) 4sin2x 4sin2x

sin x cosx sin2x sin2x sin2x

2 2 2

2cos2x 4sin 2x 2 cos2x 2(1 cos 2x) 1 2cos 2x cos2x 1 0

cos2x 1 (loaïi) sin2x 0 vì sin2x 0

x k

cos2x 1/ 2 3


2

5sinx 2 3(1 sinx)tg x (*)

Ñieàu kieän : cosx 0 x k

2



34

2 2

2 2

sin x sin x(*) 5sin x 2 3(1 sin x) 5sin x 2 3(1 sin x)

cos x 1 sin x

2

2 23sin x

5sin x 2 (5sin x 2)(1 sin x) 3sin x 2sin x 3sin x 2 0

1 sin x

1 5sin x 2 (loaïi) s inx x 2k x 2k (thoûa maõn ñk)

2 6 6


(2cosx 1)(2sinx cosx) sin2x sinx

(2cosx 1)(2sinx cosx) 2sinxcosx sinx

2cosx 1 0 cosx 1/ 2

(2cosx 1)(2sin x cosx) sin x(2cosx 1)

sin x cosx 0 tgx 1

x 2k x k

3 4

86. Ñaïi Hoïc Daân Laäp Vaên Lang naêm 1997 khoái B & D

3cosx cos2x cos3x 1 2sinxsin2x

2 3 2

3t 2t 1 4t 3t 1 4(4 t )t (t cosx)

2t 0 cosx 0

2t 2t 0 x k x 2k

t 1 cosx 1 2

87. Ñaïi Hoïc Thuûy Saûn naêm 1997 khoái A

4 4x x

cos sin sin2x

2 2

2 2x x

cos sin sin2x cosx 2sin x cosx

2 2

cosx 0 5x k x 2k x 2k

sinx 1/ 2 2 6 6

88. Trung Hoïc Kyõ Thuaät Y Teá 3 naêm 1997

2

(2sinx 1)(2sin2x 1) 3 4cos x

2

2sinxsin2x 2sinx 2sin2x 1 3 4(1 sin x)

2 2

8sin xcosx 2sinx 4sinxcosx 4sin x sinx 0 4sinxcosx 1 2cosx 2sinx

x ksin x 0

5 54sin x cosx 2(sin x cosx) 1 0 x 2k x 2k x 2k x 2k

6 3 6 3

5 5x k x 2k x 2k x 2k x 2k

6 3 6 3

89. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái A

Cho phöông trình :5 5 2

4cos xsinx sin xcosx sin 4x m (*) . Bieát x laø moät nghieäm cuûa

(*) . Haõy giaûi phöông trình (*) trong tröôøng hôïp ñoù .

Giaûi

4 4 2 2 2

4sinxcosx(cos x sin x) sin 4x m 2sin2xcos2x sin 4x m sin 4x sin4x m 0 (1)

Vì x laø nghieäm cuûa phöông trình (*) neân x cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình (1)

Nghóa laø :sin4x sin4 0 vaäy töø (1) m 0



35

Vaäy phöông trình trôû thaønh : 2

sin 4x 0 k ksin 4x sin 4x 0 x x

sin 4x 1 4 8 4

90. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái D

Tìm caùc giaù trò m ñeå phöông trình sau coù nghieäm .

Cho phöông trình :4 4 6 6 2

4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m .

Giaûi

4 4 6 6 2 2 2 21 3

4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m 4 1 sin 2x 4 1 sin 2x sin 2x m

2 4

2 2

4t 3t m (t sin 2x 0 t 1) . Ñaët :

2 / /

f(t) 4t 3t f (t) 8t 3;f (t) 0 t 3/ 8 f(3/ 8) 9/16

Laäp baûng xeùt daáu ñaïo haøm treân ñoaïn 0;1 ta coù : f(0) 0 ; f(1) 1

Vaäy phöông trình coù nghieäm khi : 9

m 1

16

91. Ñaïi Hoïc Luaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái A

Cho phöông trình :2 2

cos4x cos 3x asin x

a) Giaûi phöông trình treân khi a 1

b) Xaùc ñònh tham soá a ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x treân khoaûng 0;

12

Giaûi

a) 2 2 2

1 cos6x 1 cos2xcos4x cos 3x asin x 2cos 2x 1 a

2 2

2 3

4cos 2x 2 1 4cos 2x 3cos2x a(1 cos2x)

3 2 2

a(t 1) 4t 4t 3t 3 (t cos2x) a(t 1) (t 1)(4t 3)

Khi a 1 phöông trình trôû thaønh :

2k

(t 1) (t 1)(4t 3) t 1 cos2x 1 2x k x

2

b) 2 2 2

cos4x cos 3x asin x a(t 1) (t 1)(4t 3) (*) (t cos2x)

3 3x 0; 0 x 0 2x cos2x 1 t 1

12 12 6 2 2

2 /3 3

(*) a 4t 3 f(t) f (t) 8t 0 vôùi t ;1 vaø f 0 ; f 1 1

2 2

Laäp baûng xeùt daáu ñaïo haøm treân khoaûng3

;1

2

ta thaáy phöông trình coù nghieäm khi 0 a 1

92. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông naêm 1997 khoái D

22tgx cot gx 3

sin2x

2sin x cosx 13 (1)

cosx sin x sin x cosx

.

Ñieàu kieän :

sin x 0

sin x cosx 0

cosx 0



36

2 2 2 2

2sin x cos x 3sinxcosx 1 1 sin x 3sinxcosx 1 sin x 3sinxcosx

sin x 0 (loaïi)

tgx 3 x k

3sin x 3 cosx

93. Ñaïi Hoïc Baùch Khoa Haø Noäi naêm 1994

2 2

4sin 2x 6sin x 9 3cos2x0 (*)

cosx

.

Ñieàu kieän : cosx 0

2 2

(*) 4(1 cos 2x) 3(1 cos2x) 9 3cos2x 0 2cos 2x 3cos2x 1 0

2cos2x 1 1 cos2x 0 cosx 0 (loaïi)2cos x 0

x k

cos2x 1/ 2 cos2x 1/ 2 cos2x 1/ 2 3cos2x 1/ 2

94. Ñaïi Hoïc Baùch Khoa Haø Noäi naêm 1996

Tìm nghieäm cuûa phöông trình :4 4

sin x cos x cos2x (1)

thoûa maõn baát phöông trình :2

1

2

1 log (2 x x ) 0 (2)

Giaûi

4 4 2 21

sin x cos x cos2x 1 sin 2x cos2x cos 2x 2cos2x 1 0

2

cos2x 1 x k

2

2

2

21

21

2

2

1 x 22 x x 0

2 x x 0 1 x 2

1 log (2 x x ) 0 x 1log (2 x x ) 1

1 x 0x x 0x 0

Nghieäm cuûa (1) thoûa (2) khi

1 k 2

k 0

1 k 0

. Vaäy x 0

95. Ñaïi Hoïc Kyõ Thuaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1994

cos3x 1 3sin3x

2 2 2

1 3 sin3x 0 sin3x 3 / 3

cos 3x 1 2 3 sin3x 3sin 3x 4sin 3x 2 3 sin3x 0

ksin3x 0 3x k x

3


3 31

sin x cosx cos xsin x

4

2 21 1 1 1 1

sin x cosx(sin x cos x) sin2x cos2x sin 4x

4 2 4 4 4

ksin 4x 1 4x 2k x

2 8 2


4 2 2 4

3cos x 4cos xsin x sin x 0

4 2 2 2

tg x 4tg x 3 0 tg x 1 tg x 3 tgx 1 tgx 3 x k x k

4 3



37


3

sin x 2 sin x

4

3

31

(sin x cosx) 2 sin x (sin x cosx) 4sin x

2

3

3 2 3 2 3

3

sin x cosx 4sin x(tgx 1) 4tgx(1 tg x) tg x 3tg x 3tgx 1 4tgx 4tg x

cosx cos x

3 2 3 2 3

3tg x 3tg x tgx 1 0 tg x 3tg x 3tgx 1 4tgx 4tg x

tgx 1 tgx 3 x k x k

4 3

99. Ñaïi Hoïc Y Döôïc TP. Hoà Chí Minh naêm 1998

21 2 5

tg x 0

2 cosx 2

2 2

1 1 2 5 1 41 0 4 0

2 cosx 2 cosxcos x cos x

2

1 12 0 cosx x 2k

cosx 2 3

100. Ñaïi Hoïc Y Döôïc Haø Noäi naêm 1996

0,25 4

x xlog sin sin x log sin cos2x 0

2 2

4 4

x xlog sin sin x log sin cos2x

2 2

2cos2x sin x sin x 1 sin x 1/ 2 sin x 1(loaïi) sin x 1/ 22sin x sin x 1 0

x x xxsin sin x 0 sin sin x 0 sin sin x 1sin sin x 0

2 2 22

1 7sinx x 2k x 2k

2 6 6

101. Ñaïi Hoïc Giao Thoâng Vaän Taûi naêm 1995

2

tg2x cot gx 8cos x

2sin2x cosx

8cos x (*)

cos2x sin x

. Ñieàu kieän :

cos2x 0

sin x 0

2 2cosx 0sin2xsin x cos2x cosx

(*) 8cos x cosx 8cos x cos2xsin x

8cosx cos2xsin x 1cos2xsin x

cosx 0 cosx 0 cosx 0

(thoûa maõn ñieàu kieän )

4cos2xsin2x 1 2sin 4x 1 sin 4x 1/ 2

k 5 kx k x x

2 24 2 24 2


2

(sin2x 3 cos2x) 5 cos 2x

2



38

21 3

4( sin2x cos2x) cos 2x 5 0

2 2 2

. Ñieàu kieän

2

4cos 2x cos 2x 5 0 cos 2x 5/ 4 (loaïi) cos 2x 1

2 2 2 2

72x 2k x k

6 12


a) 3(cot gx cosx) 2(tgx sinx) 5

b) 3(cot gx cosx) 5(tgx sinx) 2 (*)

Ñieàu kieän

cosx 0

sin x 0

cosx sin x(*) 3(cot gx cosx 1) 5(tgx sin x 1) 0 3 cosx 1 5 sin x 1 0

sin x cosx

cosx sin x cosx sin x sin x sin x cosx cosx3 5 0

sin x sin x

cosx sin x cosx sin x 0 (1)3 5

(cosx sin x cosx sin x) 0 3 5sin x cosx (2)

sin x cosx

2t 1 2

(1) t 2t 1 0 (t sin x cosx 2 sin x t 2)

4t 1 2 (loaïi)

1 2 3sin x sin x 2k x 2k

4 4 42

3 5 3(2) tgx tg x k

sin x cosx 5


tgx cot gx 2(sin2x cos2x)

Ñieàu kieän :

cosx 0

sin2x 0

sin x 0

sin x cosx 1tgx cot gx 2(sin2x cos2x) 2(sin2x cos2x) 2(sin2x cos2x)

cosx sin x sin x cosx

22

2(sin2x cos2x) 1 sin2x(sin2x cos2x) 1 sin 2x sin2x cos2x

sin2x

2cos2x 0 k k

cos 2x sin2x cos2x (thoûa maõn ñieàu kieän) x x

tg2x 1 4 2 8 2

105. Hoïc Vieän Quan Heä Quoác Teá naêm 1995 khoái D

2

sinx sinx sin x cosx 1 (*)

Ñieàu kieän : sinx 0

2 21 1

(*) sin x sin x cos x cosx sin x sin x cos x cosx

4 4



39

2 2

1 1sin x cosx

sin x cosx1 1 2 2sin x cosx

1 12 2 cosx sin x 1sin x cosx

2 2

2

2 2

cosx 0 cosx 0cosx 0 cosx 0

sin x sin x 1 01 5

sin x cos x sin x 1 sin x sin x (vì sin x 0)

sin x 0 2

cosx sin x 1 cosx sin x 1x 2kcosx 1

x 2k x 2k

106. Ñaïi Hoïc Kieán Truùc Haø Noäi naêm 1995 khoái A

1 1 1

cosx sin2x sin 4x

Ñieàu kieän : sin4x 0

1 1 1 1 1 1

cosx sin2x sin 4x cosx 2sin x cosx 2sin x cosx cos2x

2

2sinxcos2x cos2x 1 0 2sinxcos2x 1 cos2x 2sinxcos2x 2sin x

sin x 0 (loaïi)

2kx x 2k

cos2x sin x cos x 6 3 2

2

107. Ñaïi Hoïc Kinh Teá Quoác Daân naêm 1998 khoái A

1cosx cos2x cos4x cos8x

16

(*)

Xeùt sinx = 0 thì phöông trình khoâng thoûa.

Vaäy (*) 1

sin x cosx cos2x cos4x cos8x sin x

16

2k 2ksin16x sin x x x

15 17 17

108. Ñaïi Hoïc Kinh Teá naêm 1994

Cho phöông trình :

6 6

2 2

cos x sin x2mtg2x

cos x sin x

a) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm.

b) Giaûi phöông trình khi 1

m

8

Giaûi

6 6 6 6

2 2

cos x sin x cos x sin x 2msin2x2mtg2x (*)

cos2x cos2xcos x sin x

. Ñieàu kieän : cos2x 0

6 6 2 23

cos x sin x 2msin2x 1 sin 2x 2msin2x sin 2x 8msin2x 4 0 (1)

4

Ñaët

2 2

2 /

2

3t 4 3t 4t sin2x ( 1 t 1) (1) 3t 8mt 4 0 8m f(t) f (t) 0

t t

Laäp baûng xeùt daáu treân khoaûng (–1;1) ta coù : f(–1)= –1 ; f(1) = 1 ; f(0) =



40

Vaäy phöông trình coù nghieäm khi :

8m 1 m 1/ 8

8m 1 m 1/ 8

b) Vaäy khi 1

m

8

thì phöông trình voâ nghieäm .

108. Ñaïi Hoïc Kinh Teá naêm 1995

2

cosx(2sin x 3 2) 2cos x 11 (*)

1 sin2x

. Ñieàu kieän : sin2x 1 x k

4

2 2

(*) sin2x 3 2 cosx 2cos x 1 1 sin2x 2cos x 3 2 cosx 2 0

cosx 2 (loaïi)

x k x 2k (loaïi) x k

4 4 4cosx 2 / 2

109. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1995

4sin2x 3cos2x 3(4sinx 1)

2

8sinxcosx 3(1 2sin x) 12sinx 3

2 2 2

sin x 0

sin x(4cosx 3sin x 6) 0

4cosx 3sin x 6 (voâ ngghieäm vì a b 25 c 36)

x k


2

tg x tgx.tg3x 2

Ñieàu kieän :

cosx 0

cos3x 0

2

2sin xsin2x 2sin x cosx

tg x tgx.tg3x 2 tgx(tgx tg3x) 2 2 2

cosx cosx cos3x cosx cosx cos3x

2 2 4 2 4 2

sin x cosxcos3x cos x 1 4cos x 3cos x 4cos x 4cos x 1 0

2 2k

(2cos x 1) 0 cos2x 0 2x k x (thoûa maõn ñieàu kieän)

2 4 2


3

tgx cot gx 2cot g 2x

Ñieàu kieän :

cosx 0 sin x 0 ksin2x 0 x

sin2x 0 2

3 3 3 3sin x cosx 2cos2x

tgx cot gx 2cot g 2x 2cot g 2x 2cot g 2x cot g2x cot g 2x

cosx sin x sin2x

2k

cot g2x 0 cot g 2x 1 (loaïi) 2x k x (thoûa maõn ñieàu kieän)

2 4 2

112. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1997

Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm:4 4 6 6 2

4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m

Giaûi

Ta coù : 4 4 6 6

1 1sin x cos x (3 cos4x) ; sin x cos x (5 3cos4x)

4 8

Khi ñoù phöông trình coù daïng :

2 21

3 cos4x (5 3cos4x) sin 4x m 2cos 4x cos4x 1 2m . Ñaët : t cos4x t 1

2



41

Phöông trình coù daïng : 2 /

1f(t) 2t t 1 2m f (t) 4t 1 0 t

4

Laäp baûng xeùt daáu ñaïo haøm treân ñoaïn t 1 ta coù : 1 9

f( 1) 2 ; f(1) 0 ; f

4 8

Döïa vaøo ñoù ta suy ra phöông trình coù nghieäm 9 9

2m 2 2m 1

8 16


1 12 2 sin x (*)

4 sin x cosx

Ñieàu kieän :

cosx 0 ksin2x 0 x

sin x 0 2

sin x cosx 0 tgx 1sin x cosx(*) 2(sin x cosx)

sin2x 1 sin2x 1sin x cosx

nx k 2x 2m x k x m x

4 2 4 4 4 2


12tgx cot g2x 2sin2x

sin2x

Ñieàu kieän :

cosx 0

sin2x 0

sin2x 0

2sin x cos2x 1 sin xsin2x

2 2sin2x 2 cos2x 2sin 2x 1 0

cosx sin2x sin2x cosx

2 2 2

4sin x cos2x 2(1 cos 2x) 1 0 2(1 cos2x) cos2x 3 cos 2x 0

2cos2x 1 (loaïi) (vì sin2x 0) 1

2cos 2x cos2x 1 0 cos2x

cos2x 1/ 2 2

22x 2k x k

3 3

115. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1998

cos4x 6sinxcosx 1

2sin2x 0

1 2sin 2x 3sin2x 1 0 sin2x 0 x k

sin2x 3/ 2 (loaïi) 2


2 2 2

sin x cos 2x cos 3x 1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x

cos2x cos4x 1 cos6x 0

2 2 2

2

2cos3xcosx 2cos 3x 0 2cos3x(cosx cos3x) 0 4cos3xcos2xcosx 0

x k x k x k

6 3 4 2 2

117. Ñaïi Hoïc Luaät Haø Noäi naêm 1995

4 4

cos x sin x 1

4



42

2

2 1 cos 2x

1 cos2x 21

2 2

2 2

(1 cos2x) (1 sin2x) 1 cos2x sin2x 1 2 cos 2x 1

2

1cos 2x x k x k

2 2 42

118. Ñaïi Hoïc Moû Ñòa Chaát naêm 1995

3

3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x

3

3sin3x 4sin 3x 3 cos9x 1 sin9x 3 cos9x 1

1 3 1 1 2 7 2sin9x cos9x sin 9x x k x k

2 2 2 3 2 18 9 54 9

119. Ñaïi Hoïc Moû Ñòa Chaát naêm 1995:

sin5x1

5sin x

sin5x 5sinx (sinx 0) sin5x 5sinx

sin5x sinx 4sinx 2cos3xsin2x 4sinx 4cos3xsinxcosx 4sinx cos3xcosx 1

2

cos4x cos2x 2 2cos 2x cos2x 3 0 cosx 3/ 2 (loaïi) cos2x 1

2

1 cos2x 0 2sin x 0 sinx 0 (loaïi)

Vaäy phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm .

120. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông Haø Noäi naêm 1995

4cosx 2cos2x cos4x 1

2

4cosx 2cos2x 1 cos4x 4cosx 2cos2x 2cos 2x

2cosx 0

4cosx 2cos2x(1 cos2x) 4cosx 4cos2x cos x

cos2x cosx 1

cosx 0 x k

2

2

cosx 1cosx 1

cos2x 1 2cos x 1 1

cos2x cosx 1 cosx 1 x 2k

cosx 1 cosx 1

(vo â nghieäm)cos2x 1 cos2x 1

121. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông naêm 1995

8 8 217

sin x cos x cos 2x

16

4 4 2 4 4 217

(sin x cos x) 2sin x cos x cos 2x

16

2

2 4 2 21 2 17

1 sin 2x sin 2x cos 2x (*) . Ñaët : t sin 2x 0 t 1

2 16 16

2

2 2 2t 1 (loaïi)t 2 17 1

(*) 1 t (1 t) 2t t 1 0 sin 2x

t 1/ 22 16 16 2



43

2

1 2sin 2x 0 cos4x 0 4x k x k

2 8 4

122. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông Haø Noäi naêm 1995

3

2cos x cos2x sinx 0 3 2 2

2cos x 2cos x 1 sinx 0 2cos x(1 cosx) (1 sinx) 0

(1 sinx)(cosx sinx)(cosx sinx 2) 0 (1 sinx)(cosx sinx) 0

sin x 1

x k2 x k

tgx 1 2 4

123. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông TP. Hoà Chí Minh naêm 1997

9sinx 6cosx 3sin2x cos2x 8

2

9sinx 6cosx 6sinxcosx 1 2sin x 8

2

2sin x 9sinx 7 6cosx(sinx 1) 0 (sinx 1)(2sinx 7) 6cosx(sinx 1) 0

sin x 1

(sin x 1)(2sin x 6cosx 7) 0 x 2k

2sin x 6cosx 7 (voâ nghieäm) 2

124. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haø Noäi naêm 1997

5cosx cos2x 2sinx 0

2 2

sin x 0

5cosx cos2x 2sin x

5cosx (2cos 1) 4sin x

2 2 2

sin x 0 sin x 0 sin x 0

cosx 3 (loaïi) cosx 1/ 25cosx (2cos 1) 4(1 cos x) 2cos x 5cosx 3 0

sin x 0 sin x 3 / 2tgx 3 x k

cosx 1/ 2 3cosx 1/ 2

125. Ñaïi Hoïc Toång Hôïp TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái D

2

(3 2sin x)cosx (1 cos x)1

1 sin2x

(*)

Ñieàu kieän :sin 2x 1

2 2

(*) 3cosx sin2x 1 cos x 1 sin2x cos x 3cosx 2 0 cosx 1 cosx 2 (loaïi)

cosx 1 (thoûa ñk) x 2k

126. Ñaïi Hoïc Toång Hôïp TP. Hoà Chí Minh naêm 1994

6 6

16(sin x cos x 1) 3sin6x

2 33

16 1 sin 2x 1 3(3sin2x 4sin 2x)

4

3 2 2

4sin 2x 4sin 2x 3sin2x 0 sin2x(4sin 2x 4sin2x 3) 0

2

sin2x(4sin 2x 4sin2x 3) 0 sin2x 0 sin2x 1/ 2 sin2x 3/ 2 (loaïi)

k 5x x k x k

2 12 12

127. Ñaïi Hoïc Taøi Chính – Keá toaùn naêm 1997

(1 tgx)(1 sin2x) 1 tgx (*).

Ñieàu kieän :cosx 0



44

2

2(cosx sin x)(cosx sin x) cosx sin x

(*) (cosx sin x)(cosx sin x) cosx sin x

cosx cosx

2 2

cosx sin x 0 tgx 1

x k x k

cos2x 1 4cos x sin x 1

128. Ñaïi Hoïc Xaây Döïng Haø Noäi naêm 1994

6 6

sin x cos x sin2x

2 23

1 sin 2x sin2x 3sin 2x 4sin2x 4 0

4

sin2x 2 (loaïi)

x 2k x 2k

sin2x 2/ 3 sin

129. Trung Hoïc Kinh Teá naêm 2002

cos4x sinx sin7x cos2x

cos4x cos2x sin7x sinx 2cos3xcosx 2sin4xcos3x

cos3x 0 sin 4x cosx sin x

2

130. 2 2(sinx cosx)cosx 3 cos2x

2

2 sin2x 2 2cos x 3 cos2x

2 2 2

2 sin2x ( 2 1)cos2x 3 2 phöông trình voâ nhgieäm vì a b c

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI VỚI 1 HÀM LƯỢNG GIÁC


a) 22 3 5 0sin x sinx . b) 26 1 0cos x cox

c) 22 2 0cos x cos x d) 2 2 3 2 2 0cot x cot x

Bài 2. Giải phương trình sau:

a) 26 5 7 0cos x sinx b) 2tanx cotx

c) 2 1 0cos x cosx d) 22 3 42

xcos x cosx cos

Bài 3. Giải phương trình sau:

a) 22 2 1 0cos x sin x cosx b) 2 2 12

2cos x cos x

c) 4 4 2sin x cos x cos x d) 2 32 3tan x

cosx


a) 2

33 3cotx

sin x b) 34 3 2 8cos x sinx cosx

c) 2 24 2 6 9 3 2

0sin x sin x cos x

cosx

d)

12 2 8 7cos x cosx

cosx

Bài 5. Giải phương trình lượng giác sau:

a) 3( os2x+cot2x)

2(1 sin 2 )cot 2 os2x

cx

x c

b)

2 2

1 30

. . 4sin x cos x sinx cosx

c) 4 | | 2 2 3sinx cos x d) 26 7 0sinx cos x sinx



45

Bài 6. Chứng minh rằng phương trình: 2 0cosx mcos x luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 7. Cho phương trình: 2 (2 1) 1 0cos x m cosx m

a) Giải pt khi 3

2m .

b) Tìm m để phương trình có nghiệm trên 3

( ; )2 2

.

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS


a) 4sinx – 3cosx = 2 b) sinx - 3 cosx = 1

c) 3 sin3x + cos3x = 1 d) sin4x + 3 cos4x = 2


a) 3sinx + 4cosx = 5 b) cos7 3sin7 2x x

c) 3cos3 sin3 2x x d) 5cos2x – 12cos2x = 13


a) 2

3cos3 + 4sin3x + = 33cos3 + 4sin3x - 6

xx

b) 2sin12x + 3 cos5x + sin5x = 0

c) cos5x – sin3x = 3 (cos3x – sin5x)


a) cosx + 3 sinx = 3 - 3

cosx + 3sinx + 1

b) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin33x

c) 4sin3x - 1 = 3sinx - 3 cos3x


a) cos5x –sin5x = sin7x – cos7x

b) 3 3 2sinx cosx sinx cosx

c) cos2x - 3 sin2x = 1 + sin

2x

Bài 13. Giải phương trình:

a) 2 22 3 0sin x sinxcosx cos x b) 2 23 4 5 2sin x sinxcosx cos x

c) 2 2 1 0cos x sin x d) 2 22 3 3 2 4 4cos x sin x sin x


a) 3 3 1 0sin x cos x b) 3 2 02 2

x xcos sin



46

c) 3 2 4 2 5 0sin x cos x d) 3 22 2

x xsin cos


a) 22 3 3 2 4 0cos x sin x b) 2 94 5 0

2sinxcosx sin x

c) 2 22 3 0cos x sinxcosx sin x d) 23 2 2 1 0cos x sin x

Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau:

y = cosx + 2sinx + 3

2cosx - sinx + 4 trong khoảng ( - ; )

Bài 17. Tìm m để pt : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có 2 nghiệm.

Bài 18. Tìm m để pt : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. Các phương trình đưa về pt lượng giác cơ bản

Bài 1: Giải phương trình:

a/. 2cosx-1 2sinx+cosx sin 2x-sinx ; b/.cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

c/. 3 3 3sin xcos3x + cos x sin3x = sin 4x ; d/. sinx+ sin3x sin 2x = cosx+cos3x cos2x

e/.sinx + cosx + 1 + sin2x +cos2x = 0 ; f/. 22sinx + 1 3cos4x+ 2sinx - 4 4cos x = 3

Bài 2: Tìm nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho:

a/. 1

sin 2x = - 2

với 0 x ; b/. 3

cos x-52

với x

Bài 3: Tìm x thuộc 0;14 nghiệm đúng phương trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0

Một số bài tập thuộc dạng pt bậc 2 đối với một hàm lượng giác

Giải các phương trình:

a/. 2 2cos 3x.cos2x - cos x = 0 ; b/. 25sinx - 2 = 1-sinx .t an x

c/. cosx 2sinx +3 2 2cosx -1

11 sin 2x

; d/. 34cos x +3 2sin 2x = 8cosx

e/.2 24sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x

=0 cosx

; f/. 8 8 217

sin x + cos x = cox 2x16

Một số bài tập thuộc dạng : Asinx + Bcosx = C Giải các phương trình:

a/. 33sin3x 3cos9x = 1+4sin 3x ; b/.

3 18sinx =

cosx sinx /.

9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 ; d/. sin2x + 2cos2x = 1+ sinx - 4cosx

Documents

Chuyen de luong giac