CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ · PDF fileLUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chuyên đề LTĐH 1 Biên soạn: Trần Đình Cư BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA

TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH – 36/ kiệt 73 NGUYỄN HOÀNGTRUNG TÂM GS ĐỈNH CAO VÀ CHẤT LƯỢNG

SĐT: 01234332133 – 0978421673. TP HUẾ

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LUYỆN THI

TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

Hueá, thaùng 7/2012

* Tính đơn điệu của hàm số

* Ứng dụng tính đơn điệu hàm số chứng minh bất

đẳng thức

* Ứng dụng hàm số vào giải và biện luận phương

trình, bất phương trình, hệ phương trình

* Cực trị hàm số

* Mặt nón - Khối nón (Diện tích, thể tích)

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

Chuyên đề LTĐH Biên soạn: Trần Đình Cư1

BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1. Nhắc lại định nghĩa: Ta kí hiêu K là khoảng hoặc nửa khoảng. Giả sử hàmsố ( )y f x xác định trên K.

Hàm số f đồng biến (tăng) trên K x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến (giảm) trên Kx1, x2 K, x1 < x2 f(x1) > f(x2)

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệutrên K

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K.

a) Nếu f đồng biến trên khoảng K thì f(x) 0, x K

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f(x) 0, x K

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K.

a) Nếu f (x) 0, x K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến

trên K.

b) Nếu f (x) 0, x K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biếntrên K.

c) Nếu f(x) = 0, x K thì f không đổi trên K.

Chú ý:

Nếu khoảng K được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tụctrên đó.

www.VNMATH.com



Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a;b)thì hàm số f(x) đồng biến trên [a;b]

Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)<0 trên khoảng (a;b)thì hàm số f(x) nghịch biến trên [a;b]

II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y. Tìm các điểm ( 1,2,.., )ix i n mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại

(gọi là các điểm tới hạn của hàm sô)

– Sắp xếp các điểm ix theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

– Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến cuả hàm số.



B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:

BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

3 2 3 2 3 2) 3 24 26; ) 3 2; ) 3 3 2a y x x x b y x x c y x x x

Hướng dẫn:

a) Hàm đồng biến trên (-4;2) và nghịch biến trên các khoảng

; 4 vaø 2;

b) Hàm nghịch biến trên (0;2) và nghịch biến trên các khoảng

;0 vaø 2;

2)y'=3 1 , y'=0 x=-1 vaø y'>0 vôùi moïi x -1

Vì haøm soá ñoàng bieán treân moãi nöûa khoaûng ; 1 1; neân haøm

soá ñoàng bieán treân

c x

vaø

Hoặc ta có thể trình bày:

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đồng biến trên


4 2 4 2 4 21) 2 1; ) 2 3; ) 6 8 14

a y x x b y x x c y x x x

Hướng dẫn:

a) Hàm đồng biến trên ; 2 và (0;2), Hàm nghịch biến trên (-2;0) và

(2; )

DẠNG TOÁN 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐPhương pháp:Dựa vào quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

www.VNMATH.com



b) Hàm đồng biến trên 0; và nghịch biến trên ;0

c) Hàm đồng biến trên khoảng 2; và nghịch biến trên ;2

Nhận xét: Đối với hàm số bậc 4 luôn có ít nhất một khoảng đồng biến vàmột khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm số không thể đơn điệu trên R.


2 2

2 1 2) ; )1 1

2 1 4 3) ; )2 2

x xa y b yx xx x x xc y d yx x

Hướng dẫn:

a) Hàm đồng biến trên ; 1 vaø 1;

b) Hàm nghịch biến trên ;1 vaø 1;

c) Hàm đồng biến trên 5; 2 vaø 2;1 ,

Hàm nghịch biến trên ; 5 vaø 1;

d) Hàm đồng biến trên ; 2 vaø 2; ,

Nhận xét:

Đối với hàm số

ax . 0by a ccx d

luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên

khoảng xác định của chúng

Đối với hàm số

2ax bx cydx e

luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu .

Cả hai hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên

Bài 4. Xét tính đơn điệu của hàm số sau:

2 2 3) 2 3 ; ) 3a y x x b y x x

Hướng dẫn:

a) Ta có:



2

2

2 3 khi 1 32 3 khi 1 3

2 2 khi 1 3' ' 0 1

2 2 khi 1 3Haøm khoâng coù ñaïo haøm taïi -1 3Baûng bieán thieân:

x x x xy

x x x

x x xy y x

x xx vaø x

Haøm ñoàng bieán treân moãi khoaûng 1;1 vaø 3; , nghich bieán treân

; 1 vaø 1;3

3

2 3

) Haøm ñaõ cho xaùc ñònh treân nöaû khoaûng ;3

3 2Ta coù: y'= , 3, 0

2 33, 0 : ' 0 2. Haøm soá khoâng coù ñaïo haøm taïi x=0 vaø x=3

b

x xx x

x xx x y x

Döïa vaøo baûng bieán thieân: Haøm ñoàng bieán treân khoaûng 0;2 , nghòch bieán

treân ;0 vaø 2;3

Bài 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số siny x trên khoảng 0;2

Hướng dẫn:

Ta có:

3' 0, 0;2 ,

2 2y x x x

www.VNMATH.com



Bảng biến thiên:

BÀI TẬP ÁP DỤNG:


23 21 2) 3 8 2; )

3 1x xa y x x x b yx

Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số

3 3 2

4 2 2

4 2) 2 3 1; ) 6 93 3

) 2 5; ) 2

a y x x b y x x x

c y x x d y x x

Hướng dẫn:

)Trình baøy töông töï baøi maãu 1c); d)Trình baøy töông töï baøi maãu 2b)c

Bài 3. Chứng minh rằng

2

3

) 4 nghòch bieán treân ñoaïn 0;2

) cos 4 ñoàng bieán treânc) cos2 2 3 nghòch bieán treân

a y x

b y x x xy x x

Hướng dẫn:

2

2

) Haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn 0;2 vaø coù ñaïo haøm '( ) 04

vôùi moïi 0;2 . Do ñoù haøm soá nghòch bieán treân ñoaïn 0;2

) Haøm soá xaùc ñònh treân . Ta thaáy '( ) 3 1 sin 0,

xa f xx

x

b f x x x

) '( ) 2 sin2 1 0, vaø '( ) 0 ,4

Haøm soá nghòch bieán treân moãi ñoaïn ; 1 ,4 4

Do ñoù haøm soá nghòch bieán treân

x

c f x x x f x x k k

k k k



Bài 4.

a) Cho hàm số 2sin cosy x x . Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên

đoạn 0; vaø nghòch bieán treân ñoaïn ;

3 3

b) Chứng minh rằng với mọi 1;1m , phương trình 2s in cosx x m có

nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0;

Hướng dẫn:

) Haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn 0; vaø coù '( ) sin 2cos 1 , 0;

1Vì 0; sin 0 neân trong khoaûng 0; : '( ) 0 cos2 3

* ' 0, 0; neân haøm soá ñoàng bieán treân 0;3 3

* '

a f x x x x

x x f x x x

y x

y

0, ; neân haøm soá nghòch bieán treân ;3 3

x

b)

Ta coù:

* 0; ta coù: y(0) y y 1 5 neân phöông trình khoâng coù3 3

nghieäm thuoäc 1;1

5* ; ta coù: y( ) y y 1 . Theo ñònh lí giaù trò trung3 3 4

gian cuûahaøm soá lieân

x y

x y

5 tuïc m 1;1 1; , neân toàn taïi soá thöïc c ;4 3

sao cho y(c)=0.

2Soá c laø nghieäm cuûa phöông trình sin cos vaø vì haøm soá nghòch

bieán treân ; ,neân treân ñoaïn naøy phöông trình coù nghieäm duy nhaát.3

Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát treân 0;

x x m

BTTT: Cho hàm số 2 2( ) sin cosf x x x

www.VNMATH.com



a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên 0;

3 và nghịch biến trên

đoạn

;3

b) Chứng minh rằng với mọi 1;1m phương trình

2 2sin cosx x m

BÀI TẬP TỰ GIẢI:

Bài 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:

3 2 3 2

24 2 5 4 3

. y = 2 3 2 b. y = x 3 3 11 1c. y = x 2 1 . y = 2 15 4 2

a x x x xxx d x x x x

Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

2

2

2 1 3 3. y = b. y =3 3 1

1 4x+5. y = 2x-3- d. y =x + 2 4x -4

x x xax x

c


2 2 2 1) 2 6 ) 2 )

3 2xa y x x b y x x c yx


) sin6 treân 0; ) cot treân ;0 0;6 2

xa y x b y vaø

Bài 5 Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

a)

2

2

11

x xyx x

; b) 3 2 2y x x ; c) 2 1 3y x x

d) 22y x x e) 22y x x

f)

sin2

2 2y x x g)

sin22 2

y x x x

Bài 6. Chứng minh hàm số 22y x x nghịch biến trên đoạn [1; 2]



Bài 7.

a) Chứng minh hàm số 2y= x -9 đồng biến trên nửa khoảng [3; + ).

b) Hàm số 4y xx

nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]

Bài 8. Chứng minh rằng

a) Hàm số

32 1xy

x nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Hàm số

22 32 1x xyx

đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

c) Hàm số 2 8y x x nghịch biến trên R.

Bài 9. Chứng minh hàm số 2( ) cosf x x x đồng biến trên R

Bài 10. Cho hàm số 2( ) 2 2f x x x

a) Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng 2;

b) Chứng minh rằng phương trình 22 2 11x x có một nghiệm duynhất

www.VNMATH.com



BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Tìm m để hàm số luôn giảm (nghịch biến) trên

3 21 2 2 1 3 23

y x x m x m

Hướng dẫn:

2Haøm soá xaùc ñònh treân . Ta coù: ' 4 2 1, ' 2 5Baûng xeùt daáu '.

y x x m m

DẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN Phương pháp: Cho hàm số ( , )y f x m , m là tham số, có tập xác định Hàm số f đồng biến trên f(x) 0, x . Dấu “=” xảy ra tại hữu

hạn điểm Hàm số f nghịch biến trên f 0, x . Dấu “=” xảy ra tại hữu

hạn điểmTừ đó suy ra điều kiện của m.

Chú ý:1) Nếu 2'y ax bx c thì:

00

' 0,00

a bc

y x Ra

00

' 0,00

a bc

y x Ra

2) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c : Nếu < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

Nếu = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2ba

)

Nếu > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x)khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

3) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c với số 0:

1 2

00 0

0x x P

S

1 2

00 0

0x x P

S

1 20 0x x P



25*m=- thì y'=- 2 0, , ' 0 chæ taïi ñieåm x=2. Do ñoù haøm soá nghòch2

bieán treân5*m<- thì y'< 0, . Do ñoù haøm soá nghòch bieán treân2

x x y

x

1 2 1 2

1 2

5*m>- thì y'=0 coù 2 nghieäm phaân bieät , . Haøm soá ñoàng bieán treân2

khoaûng ; .Tröôøng hôïp naøy khoâng thoûa maõn

x x x x

x x

Cách giải sau đây không “phù hợp” ở điểm nào?

2'

Haøm soá nghòch bieán treân khi vaø chæ khi1 0 5' 4 2 1 0,

205Vaäy haøm soá nghòch bieán treân khi vaø chæ khi m -2

ay x x m x m

Nhận xét: Lời giải trên xem ra có vẻ đúng và hợp lý. Tuy nhiên về mặt lýluận thì trình bày như trên chưa thỏa đáng, hơi tự nhiên. Do đó mất đitính trong sáng và chặt chẻ trong toán học

Bài 2.Tìm a để hàm số 3 21 4 33

y x ax x luôn tăng (đồng biến) trên

Hướng dẫn:

2 2Haøm soá xaùc ñònh treân . Ta coù: ' 2 4, ' 4Baûng xeùt daáu '.

y x ax a

www.VNMATH.com



2

*-2<a<2 thì y'>0, . Do ñoù haøm soá ñoàng bieán treân

*a=2 thì y'= 2 ,y'=0 x=-2,y'>0, 2. Do ñoù haøm soá ñoàng bieán treân

moãi nöûa khoaûng ; 2 vaø 2; neân haøm soá y ñoàng bieán treân

x

x x

1 2 1 2

1 2 1 2

* 2 hoaëc 2 thì y'=0 coù 2 nghieäm phaân bieät , . Haøm soá nghòch

bieán treân khoaûng ; , ñoàng bieán treân moãi khoaûng ; vaø ; .

Tröôøng hôïp naøy khoâng thoûa maõn vaäy haøm soá

a a x x x x

x x x x

ñoàng bieán treân khi vaø chæ khi-2 a 2

Bài 3. Tìm m để hàm số cosy x m x luôn tăng (đồng biến) trên

Hướng dẫn:

Cách 1:

Haøm soá xaùc ñònh treân . Ta coù: ' 1 sinHaøm soá ñoàng bieán treân y' 0, x msinx 1, x (1)*m=0 thì (1) luoân ñuùng

1 1*m>0 thì (1) sin , 1 0 1.

1 1* m<0 thì (1) sin , 1 1

y m x

x x mm m

x xm m

0.

Vaäy -1 m 1 laø nhöõng giaù trò caàn tìm

m

Cách 2:

Haøm ñoàng bieán treân y' 0, x1 0

miny'=min 1 ;1 0 1 11 0m

m m mm

Chú ý:

Phương pháp:

Hàm số f(x,m) tăng trên '' 0, min 0,y x y x

Hàm số f(x,m) giảm trên '' 0, ax 0,y x m y x


Bài 1. Tìm m để hàm số 3

2 22 2 8 13xy m m x m x m luôn nghịch

biến (giảm) trên



Hướng dẫn:

Ta có: 2' 2 2 8y m x m x m

2

*Khi : 2 : haøm nghòch bieán treân*Khi 2 : tam thöùc baäc hai ' 2 2 8 coù =10 2

mm y m x m x m m

Bảng xét dấu của ' :

1 2 1 2

1 2

m<-2: ' 0, haøm nghòch bieán treân2 : ' 0 coù hai nghieäm x ,x tröôøng hôïp naøy haøm ñoàng bieán

treân khoaûng ; neân tröôøng hôïp naøy khoâng thoûa maõn

Vaäy m -2 laø nhöõng gia

y xm y x x

x x

ù trò caàn tìm

Bài 2. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến (giảm) trên tập xác định

2 3 2

2

1) 1 1 3 53

1 2 1)

1

a y m x m x x

m x xb y

x

Hướng dẫn:

2 2

2

2

a) ' 1 2 1 3

Haøm ñoàng bieán treân y' 0, xTröôøng hôïp 1: m 1 0* 1: tröôøng hôïp naøy khoâng thoûa maõn* m=-1:tröôøng hôïp naøy thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn

Tröôøng hôïp 1: m 1 0, lu

y m x m x

m

2ùc ñoù: '=- 2m m

Bảng xét dấu ' :

www.VNMATH.com



0* 1hoaëc m> 2 : haøm soá y ñoàng bieán treân

' 0

* =2:haøm soá y ñoàng bieán treân* 1 2, 1: tröôøng hôïp naøy khoâng thoûa maõnVaäy haøm ñoàng bieán treân khi vaø chæ khi m<-1

am do

mm m

hoaëc m 2

2

2 2

1 2 1 1 ( )) '1 1

Daáu cuûa y' laø daáu cuûa g(x),x -1Haøm y ñoàng bieán treân ; 1 vaø 1; '( ) 0, 1

* 1: tröôøng hôïp naøy thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn* m 1: 1 2 thoûa maõn

m x m x g xb yx x

g x x

mm

yeâu caàu baøi toaùnVaäy khi 1 m 2 thì haøm ñoàng bieán treân

Bài 3. Tìm m để hàm số

23 2( )2 1x mxf xx

nghịch biến trên khoảng từng

khoảng xác định.

Hướng dẫn:

Hàm số xác định trên

1\2

2

2

6 6 4'2 1

x x myx

. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

21 1' 0, 6 6 4 0,2 2

y x x x m x

' 33 6m

Bảng xét dấu ' :

m 112

' + 0 -



* Nếu 112

m tức ' 0 thì 1' 0,2

y x hay hàm đồng biến trên các

khoảng xác định

* Nếu 112

m thì ' 0y có hai nghiệm phân biệt

1

2 1

2

3 33 66

3 33 66

mxx x

mx

và rõ ràng 1 2

12

x x


x 1x

12 2x

'y - 0 + + 0 -

y

Dựa vào bảng biến thiên thì ta thấy hàm đồng biến trên

1

1;2

x và

2

1;2

x

nên ta loại trường hợp này

Kết luận: 112

m


Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định(hoặc tập xác định) của nó:

a) 3 5 13y x x b) 3

23 9 13xy x x c)

2 12

xyx

www.VNMATH.com



d)

2 2 31

x xyx

e) 3 sin(3 1)y x x f)

2 2 1x mxyx m

Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định(hoặc tập xác định) của nó:

a) 5 cot( 1)y x x b) cosy x x c) sin cos 2 2y x x x

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảngxác định) của nó:

a) 3 23 ( 2)y x mx m x m b) 3 2

2 13 2x mxy x c)

x myx m

d)

4mxyx m

e)

2 2 1x mxyx m

f)

2 22 32

x mx myx m

Bài 4. Tìm giá trị của tham số m để hàm số 3 2( ) -3x 1f x x mx đồng

biến trên R.

Bài 5. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

22 2 3 1) 2 )

1 1x m x mma y x b y

x x

Hướng dẫn:

)* 0 : haøm ñoàng bieán treân moãi khoaûng ;1 vaø 1;

* 0 : ' 0 1 . Laäp baûng bieán thieân ta thaáy, haøm soá nghòch

bieán treân moãi khoaûng 1 ;1 1;1 do ñoù khoâng thoûa maõn yeâu caàu

Vaäy

am

m y x m

m vaø m

haøm soá ñoàng bieán treân moãi khoaûng xaùc ñònh khi vaø chæ khi m 0



2

1 2

2 1) ' 11

1* ' 0, 1, Haøm soá nghòch bieán treân moãi khoaûng ;1 vaø 1;21* : phöông trình y'=0 coù hai nghieäm x 12

mb yx

m y x

m x

Bài toán này được mở rộng như sau:

1

2

3

4

) tìm giaù trò m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân ; 1

)tìm giaù trò m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân 2;

) tìm giaù trò m ñeå haøm soá nghòch bieán treân khoaûng coù ñoä daøi baèng 2

)tìm giaù tr

a

a

a

a

2

5 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

ò m ñeå haøm soá nghòch bieán treân moãi khoaûng 0;1 1;2

)goïi x , laø hai nghieäm cuûa phöông trình 1 0. Tìm m ñeå

2 ; 3 53 ; 5 12

vaø

a x x m

x x x x mx x x x m

Bài 6. Với giá trị nào của m, hàm số: 3 23 2 3y mx x m x nghịch

biến trên R.

Bài 7. Tìm điều kiện của tham số a để hàm số sin - cos2 2x xy ax đồng

biến trên R

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định trên

Ta có:

1 2' os sin sin2 2 2 2 2 4

x x xy c a

Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi

2' 0, sin ,

2 2 2xy x a x

2 22 2

a a

www.VNMATH.com



BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Tìm giá trị của m để hàm số

3 2

41) luoân nghòch bieán treân khoaûng ;1

2) 3 1 4 nghòch bieán treân khoaûng 1;1

mxyx m

y x x m x m

Hướng dẫn:

1. Sai lầm thường gặp:

2

2

2

4'( ) 0, ;1 ' 0, ;1

4 0 2 2

mycbt f x x y xx m

m m

Nguyên nhân sai lầm:

Khi giải và biện luận bất phương trình có mẫu thức chứa tham số 2

x m phải đặt

điều kiện x m , ;1x

Lời giải đúng

2

2

2

Haøm soá ñaõ cho xaùc ñònh treân \{-m}4y'= , .

' 0, ;1 4 0 2 22 1

;1 1;1

m x mx m

y x m mycbt m

m mm

BTTT: Tìm m để hàm số

3 5( )

2xf xx m

đồng biến trên 2;

2. Cách 1:


Ta có: 2' 3 6 1y x x m

DẠNG 3: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN TẬP CON CỦA Phương pháp: Hàm số ( , ) taêng x I y' 0, x I min y' 0, x Iy f x m Hàm số ( , ) giaûm x I y' 0, x I max y' 0, x Iy f x m



Hàm số nghịch biến trên (-1;1) ' 0, 1;1y x , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn

điểm

Ta có : ' 9 3 1 6 3y m m

TH 1: Nếu '' 0 2y m thì ' 0,y x hàm đồng biến trên .

Trường hợp này loại vì yêu cầu bài toán nghịch biến trên (-1;1)

TH 2: Nếu '' 0 2y m thì y’=0 có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x (giả sử

là 1 2 )x x .

x 1x 2x

'y + 0 - 0 +

Dựa vào bảng xét dấu y’ ta thấy hàm số nghịch biến trên (-1;1)

1 21 1 (*)x x

Hướng 1:

1 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 . 1 01 1 0 1* ( )

1 1 0 1 1 . 1 0

x xx x x xI

x x x x x x

Áp dụng định lí Vi-et để giải hệ (I) ta được 10m

Hướng 2: Phương trình y’=0 có hai nghiệm là 1

1 2

2

3 6 33 ,

3 6 33

mxx x

mx

1

2

1 2* 10

1 10x m

mx m

Cách 2:

www.VNMATH.com



2

2

2

1;1

1

Haøm soá ñaõ cho xaùc ñònh treâny'=3x 6 1Haømsoá nghòch bieán treân 1;1 ' 0, 1;1

3 6 1 , 1;1

min ( ), vôùi ( ) 3 6 1

Haøm soá ( ) nghòch bieán treân 1;1 vaø lim (x

x my x

m x x x

m g x g x x x

g x g x

1) 2; lim ( ) 10.

Baûng bieán thieânxg x

m -10

@ Bài toán trên ta có thể mở rộng như sau: Tìm m để hàm số

Đồng biến trên [2; )

Đồng biến trên ;0

Bài 2. Tìm m để các hàm số sau:

3 2

3 2

3 2

) 2 2 1 ñoàng bieán treân khoaûng 1;

) 3 2 ñoàng bieán treân khoaûng 3;0

1) 2 1 1 ñoàng bieán treân khoaûng 2;3

a y x x mx

b y mx x x m

c y mx m x m x m

Hướng dẫn:

a) Cách 1:


Ta có: 2' 6 4y x x m

Hàm số đồng biến trên (1; ) ' 0, 1;y x , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn

điểm

Ta có : ' 4 6y m



TH 1: Nếu '

2' 03y m thì ' 0,y x hàm đồng biến trên

hàm đồng biến trên 1; . Trường hợp này ta nhận

TH 2: Nếu '

2' 03y m (*)thì y’=0 có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x

(giả sử là 1 2 )x x .

x 1x 2x

'y + 0 - 0 +

Dựa vào bảng xét dấu y’ ta thấy hàm số đồng biến trên (1; ) thì điều kiện là

2 1x

2 4 6 1

6m

2m kết hợp điều kiện (*) thì 223

m

Hợp hai trường hợp 23

m và 223

m ta được kết quả cuối cùng là 2m

Cách 2:

2

2

1

' 0, 1; ( ) 6 4 , 1

Haøm soá g(x) 6 4 lieân tuïc treân 1; . Ta coù: g'(x)>0, 1

g(x) ñoàng bieán treân khoaûng 1; vaø lim ( ) 2, lim ( )

Baûng bieán thieân.xx

ycbt y x g x x x m x

x x x

g x g x

Döïa vaøo baûng bieán thieân suy ra: 2 -m m -2

www.VNMATH.com



2

2

2

3 0

) ' 0, 3;0 3 2 3 0, 3;0

2 3 , 3;03

2 3Haøm soá g(x) lieân tuïc treân 3;0 . Ta coù: g'(x)<0, 3;03

1 g(x) nghòch bieán treân khoaûng 3;0 vaø lim ( ) , lim ( )9

Baûx x

b ycbt y x mx x x

xm xx

x xx

g x g x

ng bieán thieân.

1Döïa vaøo baûng bieán thieân suy ra: m -9

2

22

2

) ' 0, 2; 4 1 1 0, 2;

4 14 1 4 1, 2; , 2;4 1

4 1Haøm soá g(x) lieân tuïc treân 2; . Ta coù: g'(x)<0, 2;4 1

g(x) nghòch bieán treân khoaûng 2; vaø

c ycbt y x mx m x m x

xx x m x x m xx x

x xx x

2

9lim ( ) , lim ( ) 013

Baûng bieán thieân.xx

g x g x

9Döïa vaøo baûng bieán thieân suy ra: m

13

Cách 2:

Cách 2: Phương pháp tam thức bậc hai

Ta có: 2' 4 1 1y mx m x m

+ TH1: m=0: Hàm nghịch biến trên R nên loại



+TH2: 0m , 2' 3 7 4m m

ta dễ dàng lập luân để suy ra được m không thể < 0. Do đó m > 0

* Nêu 4' 0 13

m (*)thì hàm đồng biến trên R nên đồng biến trên 2;

* Nếu 0 143

m

m

(I) thì y'=0 có hai nghiệm phân biệt 1 2;x x giả sử 1 2x x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đồng biến trên 2; thì điều kiện là

2

22 1 3 7 4 92 2

13m m m

x mm

kết hợp điều kiện (I) thì trường

hợp này hàm đồng biến trên 2; 9 4;1 ;13 3

m

(**)

Kết hợp (*) và (**) ta được 9m13

Cách 3:

Các trường hợp khác tương tự trên. Bây giờ ta xét trường hợp 0

Xét phương trình: ' 0y có hai nghiệm phân biệt1 2x x , khi đó để hàm số đồng

biến trên khoảng (2; ) thì điều kiện là1 2 1 22 2 2 0x x x x

Đặt: 2x t , dẫn tới ta có phương trình sau: 2 4 2 1 13 9 0mt m t m , với

điều kiện 1 2 0t t 000

SP

. Giải 3 điều kiện trên và kết hợp với kết quả

413

m ta có được kết quả cuối cùng: 913

m

Bài 3. Tìm m để hàm số 3 2( ) 3 2 1 12 5 2f x x m x m x đồng biến trên

khoảng ; 1 2;

Sai lầm thường gặp:

www.VNMATH.com



2

2

2

2

2

'( ) 0, 2; 3 6 2 1 12 5 0, 2;

'( ) 0, ; 1 3 6 2 1 12 5 0, ; 1

3 6 5 12 1 , 2;

3 6 5 12 1 , ; 1

3 6 5( ) 12 , 2;1

( )

f x x x m x m xycbt

f x x x m x m x

x x m x x

x x m x x

x xg x m xx

g x

2

12

22

3 6 5 12 , ; 11

61 1min ( ) 12 3. o:g'(x)=0m ax ( ) 12 61 2

3

x

x

x x m xx

xg x mTa c

g x mx

Do đó: g’(x)>0 trên khoảng ; 1 2;

Khi đó:

2

2

min ( ) 12

m ax ( ) 12x

x

g x m

g x m

(2) 5 12 7 512 12( 1) 7 12

g mm

g m

Nguyên nhân sai lầm:

Cách giải trên chỉ phù hợp với f(x) đồng biến trên ; 1 và 2; . Còn với

yêu cầu f(x) đồng biến trên ; 1 2; thì cần kiểm tra thêm điều kiện

f(-1)<f(2)

Lời giải đúng:



2

2

2

2

'( ) 0, 2; 3 6 2 1 12 5 0, 2;

'( ) 0, ; 1 3 6 2 1 12 5 0, ; 1

( 1) (2) 18 15

3 6 5 12 1 , 2;

3 6 5 12 1 , ; 1

1518

(

f x x x m x m x

ycbt f x x x m x m x

f f m

x x m x x

x x m x x

m

g

2

2

21

2

2

3 6 5) 12 , 2;1

3 6 5( ) 12 , ; 11

56

6min ( ) 12 1 13m ax ( ) 12 . o:g'(x)=061 25 3

6

x

x

x xx m xx

x xg x m xx

m

g x m xg x m Ta c

xm

Khi đó:

2

2

min ( ) 12

m ax ( ) 12

56

x

x

g x m

g x m

m

(2) 5 127 5( 1) 7 12

12 125

6

g mg m m

m

Bài 4. Tìm tất cả các tham số m để 3 23y x x mx m nghich biến trên đoạn có

độ dài bằng 1.

Phương pháp:

Để hàm số 3 2y ax bx cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1; x2)bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

Tính y.

Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

www.VNMATH.com



00

a(1)

Biến đổi 1 2x x d thành 2 21 2 1 2( ) 4x x x x d (2)

Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Hướng dẫn:

2

1 2 1 2

' 3 6 coù ' 9 3 Neáu 3 thì y' 0, x . Khi ñoù haøm soá luoân ñoàng bieán treân . Do ñoù

m 3 khoâng thoûa yeâu caàu baøi toaùn Neáu m<3, do ñoù y'=0 coù hai nghieäm x , vaø haøm soá

y x x m mm

x x x

1 2 2 1

2

2 1

nghòch bieán treân

ñoaïn ; vôùi ñoä daøi .

9Haøm soá nghich bieán treân ñoaïn coù ñoä daøi l=1 14

x x l x x

x x m

2 1Coù hay khoâng yeâu caàu baøi toaùn thoûa 1?l x x

Bài 4. Tìm m sao cho:

2 6 2 nghòch bieán treân 1;2

mx xyx

Hướng dẫn:

Ta có:

22

2 2

2

4 14 ( )' , vôùi ( ) 4 142 2

Haøm nghòch bieán treân 1; ' 0, 1;

( ) 4 14 0, 1; (*)

mx mx g xy g x mx mxx x

y x

g x mx mx x

Cách 1: Dùng tam thức bậc hai

Nếu m=0 thì (*) không thỏa mãn

Nếu 0m thì g(x) có 24 14m m

Bảng xét dấu '



Nếu 702

m thì g(x)>0 với mọi x . Trường hợp này loại

Nếu 70 hoaëc2

m m . Khi đó g(x)=0 có hai nghiệm 1 2 1 2,x x x x

x 1x 2x

( )g x - 0 + 0 -

Với

2 2

1 2

2 4 14 2 4 14;m m m m m mx xm m

Ta có : g(x)

2

1

;0

;

x x

x x.

Vì vậy, 2

2

14( ) 0, 1; 1 3 4 145

g x x x m m m m

Cách 2:

2 1;

14(*) ( ), 1; min ( )4

m h x x m g xx x


Bài 1. Tìm điều kiện của tham số m sao cho

3 2 2

2

) 2 7 7 2 1 2 3 ñoàng bieán treân khoaûng 2;

1 1) ñoàng bieán treân khoaûng 1;

2

a y x mx m m x m m

mx m xb y

x m

Đáp số:

5) 1 ; )0 12

a m b m

Bài 2. Tìm điều kiện của tham số m sao cho:

3 2 21 2 3 2 2 1 ñoàng bieán treân 2;y x m x m m x m m

Đáp số: 223

m

www.VNMATH.com



Bài 3. Tìm điều kiện của tham số m sao cho:

3 21 1 3 2 1 ñoàng bieán treân 2;3

y mx m x m x

Đáp số:

5 3 14 21) ) 1 ; )0 1; 2) 2 ; 3) ; 4)2 2 5 3

a m b m m m m

Bài 4 Tìm m để hàm số:

a) 3

2( 1) ( 1) 13xy m x m x đồng biến trên khoảng (1; +).

b) 3 23(2 1) (12 5) 2y x m x m x đồng biến trên khoảng (2; +).

c)

4 ( 2)mxy mx m

đồng biến trên khoảng (1; +).

d) x myx m

đồng biến trong khoảng (–1; +).

e)

2 22 32

x mx myx m

đồng biến trên khoảng (1; +).

f)

22 32 1x x myx

nghịch biến trên khoảng

1 ;2

.

Bài 5. Xác định m để hàm số 3 23 2 4y x x mx đồng biến trên khoảng

1;

Bài 6. Cho hàm số 3 24 3y x m x mx . Tìm m để

a) Hàm số tăng trên R

b) Hàm số tăng trên khoảng [2; )

c) Nghịch biến trên khoảng

1 1;2 2

d) Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

Bài 7: Cho hàm số

1xyx m

. Tìm m để hàm số:



a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Tăng trên khoảng (0; )

Bài 8. Cho hàm số

2 2

1x x myx

. Với giá trị nào của m:

a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (2;4)

Bài 9. Tìm tham số m sao cho 3 24 6 2 1 1y mx x m x tăng trên

khoảng (0;2)

Bài 10. Cho hàm số 4 2 22y x mx m . Với giá trị nào của m:

a) Hàm số nghịch biến trên 1;

b) Hàm số nghịch biến trên (-1;0) và (2;3)

Bài 11. Tìm m để hàm số:

a) 3 23y x x mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

b) 3 21 1 2 3 13 2

y x mx mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng

3.

c) 3 21 ( 1) ( 3) 43

y x m x m x đồng biến trên một khoảng có độ dài

bằng 4

www.VNMATH.com



BÀI TẬP MẪU:

Bài tập 1: Chứng minh rằng

sin tan 2 , 0;

2x x x x

Hướng dẫn:

22 2

Xeùt haøm soá sin tan -2 lieân tuïc treân nöûa khoaûng 0;2

1 1' cos 2 cos 2, 0;2cos cos

suy ra haøm soá ñoàng bieán treân 0; vaø (0) , 0;2 2 2

y x x x

y x x xx x

f f x ñpcm

Bài tập 2: Chứng minh rằng

3

32 4

)sin , 0; ; )sin , 0;2 3! 2

sin)cos 1 , 0; ; ) cos , 0;2 24 2 2

xa x x x b x x x

x x xc x x d x xx

Hướng dẫn:

) Xeùt haøm soá sin - , haøm nghòch bieán treân 0;

2a y x x

DẠNG 4: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNGTHỨC

Phương pháp:Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, , ). Xét hàm số y = f(x)trên tập xác định do đề bài chỉ định. Xét dấu f (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến. Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý:1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) vàquay lại tiếp tục xét dấu h (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).



'( ) cos 1 0, 0; ( ) laø haøm nghòch bieán treân 0;2 2

( ) (0) 0 sin , 0;2

f x x x f x

f x f x x x

3

2

)Xeùt haøm soá sin - lieân tuïc treân nöûa khoaûng 0;6 2

Ta coù: y'=cos -1 '' sin 0, 0; (theo caâu a)2 2

xb y x x

xx y x x x

Do đó: 'y đồng biến trên

0; '(0) '( ), 0; '( ) 0

2 2f f x x f x

Suy ra : Hàm y đồng biến trên

0;

2

( ) (0), 0;2

f x f x ñpcm

2 4

3

) Xeùt haøm soá: f(x) cos -1 - lieân tuïc treân nöûa khoaûng 0;2 24 2

'( ) sin 0, 0; (theo caâu b) ( ) (0) 0, 0;6 2 2

Tañöôïcñpcm

x xc x

xf x x x x f x f x

3

332 2 2 4 6

3 2 4 4 2

32 2 4

) theo keát quaû caâu b), ta coù: sin - , 0;6 2

sin sin1 1 16 6 2 12 216

sin 1 12 24 24 9

sinVì x 0; 1 0 12 9 2 2

xd x x x

x x x x x x xx x

x x x x xx

x x x xx

2 4

3

4

Maët khaùc theo caâu c) 1 cos ,x 0;2 24 2

sinSuy ra: cos ,x 0; ( )2

x x x

x x ñpcmx

Nhận xét:

www.VNMATH.com



3sin sin sinTa coù: 0<sinx<x 0< 1, 0; neân , 3

2

sinDo ñoù ta coù keát quaû sau: Vôùi 3, ta luoân coù cos , 0;2

x x xxx x x

x x xx

Bài tập 3. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 11 , 0;2sin

xx x

Hướng dẫn:

2 2

3 3

3 3

3

3

1 1Xeùt haøm soá y= lieân tuïc treân nöûa khoaûng 0;2sin

2 cos sinTa coù: f'(x)= . Theo keát quaû caâu d, baøi taäp 2 ta ñaõ chöùng minh

sinsinñöôïc cos , 0; co

2

x x

x x x

x x

x x x xx

3s sin 0, 0;2

'( ) 0, 0; ( )2 2

x x x

f x x f x f ñpcm

Bài tập 4.

3 12.sin tan 2Vôùi 0 . Chöùng minh raèng: 2 2 22

xx xx

Hướng dẫn:

1sin tan2.sin tan 2.sin tan 2

1 3sin tan2 2

Ta coù: 2 2 2 2 .2 2.21 3Ta chöùng minh: 2 2 sin tan , 0;2 2 2

1 3Xeùt haøm soá: y=f(x)=sin tan lieân tuïc treân nöûa khoaûng 0;2 2 2

co'( )

x xx x x x

x x xx x x x

x x x

f x

2

2

s 1 2cos 10, 0; ( ) ñoàng bieán treân 0;

2 22cosx x

x f x ñpcmx

Bài tập 5.

Chöùng minh ñaúng thöùc sau vôùi moïi soá töï nhieân n >1: 1 1 2n n

n nn nn n

Hướng dẫn



*0;1 ,

Baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh töông ñöông vôùi: 1 1 2, 0;1

Xeùt haøm f(x)= 1 1 , 0;1 '( ) 0, 0;1

haøm giaûm treân 0;1 ( ) (0) 2, 0;1

n

n n

n n

nÑaët x nn

x x x

x x x f x x

f x f x

Bài tập 6. Cho 0. Chöùng minh raèng x z y x y zx y zz y x y z x

Hướng dẫn

2 2 2 2

Xeùt haøm soá ( )=

1 1 1 1Ta coù: f'(x)= 0, 0

( ) laø haøm ñoàng bieán x 0 f(x) f(y)=0

x z y x y zf xz y x y z x

y z y z xx y x x y x

f x ñpcm

Bài tập 7.

3Cho a,b,c>0. Chöùng minh raèng:2

a b ca b b c c a

Hướng dẫn:

2

1 1 1 3Ñaët , , 1 vaø baát ñaúng thöùc ñaõ cho1 1 1 2

1 1 2 2Giaû söû z 1 xy 1 neân ta coù:1 1 1 1

1 1 1 2 1 2 1 ( ), vôùi 1.1 1 1 1 1 11

Ta coù: '( ) 0 (

a b cx y z xyzb c a x y z

zx y xy z

z t f t t zx y z z t tz

f t f t 3) (1) , 12

f t ñpcm


Bài 1. Cho hàm số ( ) 2sin tan 3f x x x x

) Chöùng minh haøm soá ñoàng bieán treân nöûa khoaûng 0;2

)Chöùng minh raèng: 2sin tan 3 , 0;2

a

b x x x x

www.VNMATH.com



Bài 2.

3

) Chöùng minh raèng: tan , 0;2

)Chöùng minh raèng: tan , 0;3 2

a x x x

xb x x x

Bài 3.

4Cho haøm soá f(x)= tan , 0;2

x x x

) Xeùt chieàu bieán thieân treân ñoaïn 0;4

4) Töø ñoù suy ra raèng: tan , 0;4

a

b x x x

Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau

2

3 3

)sin vôùi moïi x>0, sin vôùi moïi x<0

b)cos 1- , 02

)sin vôùi moïi x>0, sin vôùi moïi x<06 6

)sin tan 2 , 0;2

a x x x xxx x

x xc x x x x

d x x x x

Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau

2

) 1 , ) 1 , 02

x x xa e x x b e x x

Bài 6. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

2

2 2

1)ln 1 ; 0 )ln 1 , 02

1)ln 1 ln , 0 )1 ln 1 11

a x x x x b x x x

c x x x d x x xx

Bài 7. Tìm số thực a nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng 20 : ln 1 axx x x

Bài 8. Tìm tất cả các giá trị của a để : 1 , 0xa x x



Bài 9.

1 1Cho 0. Chöùng minh raèng: 2 22 2

b a

a ba ba b

Bài 10. Chöùng minh raèng: 2 3 2 3 , 0y xx x y y x y

Bài 11.

Cho , , 0, .Chöùng minh raèng:x b b

x a ax a b a bx b b

Bài 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

2 1sin tan , 03 3 2

x x x vôùi x b)

tan , 0tan 2a a vôùi a bb b

c) sin sin , 0

2a a b b vôùi a b

d) tan tan , 0

2a a b b vôùi a b

e)

2sin , 0

2xx vôùi x

f) 3 3 5

sin , 06 6 120x x xx x x vôùi x

g) sin cos 1, 0

2x x x vôùi x

www.VNMATH.com



BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình 22 2 11x x có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn:

2Xeùt haøm soá : 2 2, haøm naøy lieân tuïc treân 2;

' 0, 2; , limx

y x x

y x y

2

2

Döïa vaøo baûng bieán thieân ta thaáy ñoà thò haøm soá 2 2 luoân caét ñöôøng thaúng

y=11 duy nhaát taïi moät ñieåm.Do ñoù phöông trình 2 2 11 coù duy nhaát nghieäm

y x x

x xBTTT: Dựa vào tính đơn điệu của hàm số giải phương trình

3 23 4 7x x x x

Hướng dẫn: 0;D

DẠNG 5: DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠ NG TRÌNH:Phương pháp: Chú ý 1: Nếu hàm số ( )y f x luôn đơn điệu nghiêm ngoặc trên D (hoặc

luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến trên D) thì số nghiệm của phươngtrình ( )f x m không quá 1 nghiệm và ( ) ( )f x f y khi và chỉ khi x y

Chú ý 2:Nếu hàm số ( )y f x luôn đơn điệu nghiêm ngoặc trên D (hoặc luôn đồng

biến, hoặc luôn nghịch biến trên D) và hàm số ( )y g x luôn đơn điệu nghiêmngoặc trên D (hoặc luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến trên D) thì số nghiệmcủa phương trình ( ) ( )f x g x không quá 1 nghiệm trên D

Từ đó: Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, tathực hiện các bước sau: Chọn được nghi ệm x0 của phương trình. Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một

hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tạimột điểm duy nhất có hoành độ x 0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phươngtrình (*).



Bài 2. Giải bất phương trình: 5 1 3 4x x

Hướng dẫn:

1Ñieàu kieän: . Xeùt haøm soá: ( ) 5 1 3, haøm naøy lieân tuïc treân5

1 1 1; ; '( ) 0, ; f(x) ñoàng bieán treân ; vaø f(1)=45 5 5

Khi ñoù baát phöông trình ñaõ cho ( ) (1)

x f x x x

f x x

f x f 1.....x

BTTT: Giải bất phương trình: 5 2 3 9x x

Bài 3. Giải các phương trình:

2 2

33 2 2

)3 2 9 3 4 2 1 1 0

) 4 5 6 7 9 4

a x x x x x

b x x x x x

Hướng dẫn:

2 2

2 2

2

)Ta coù:

pt (-3 ) 2 3 3 2 1 2 2 1 3

3 , 2 1; , 0

2 3 3 (*)

Xeùt haøm soá : ( ) 2 3 lieân tuïc treân 0; , ( ) ñoàng bieán treân 0;

Khi ñoù, phöông trình (*) ( )

a

x x x x

Ñaët u x v x u v

pt u u v v

f t t t f t

f u 1( )5

f v u v x

3 23 2

2 3

3 23 2

33 3 2 3

3

4 5 6)Ñaët 7 9 4. Khi ñoù phöông trinh ñaõ cho

7 9 4

4 5 64 5 6( )

3 4 2 1 1 (2)

(2) coù daïng: ( ) ( 1) (3).Xeùt haøm ( ) ,

x x x yb y x x

x x y

x x x yx x x yI

y y x x x y y x x

f y f x f t t t haøm naøy ñoàng bieán treânt

3 2

Do ñoù: 1. Luùc ñoù heä (I) trôû thaønh:

4 5 6 1 5 1 55, ,2 2 1

y x

x x x yx x x

y x

Bài 4. Giải hệ phương trình:

www.VNMATH.com



2 3 4 4 (1)

2 3 4 4 (2)

x y

y x

Hướng dẫn:

Cách 1:

3 42Ñieàu kieän:3 42

Tröø (1) cho (2) ta ñöôïc: 2 3 4 2 3 4 (3)3Xeùt haøm soá ( ) 2 3 2 3, haøm lieân tuïc treân ñoaïn ;44

3'( ) 0, ;4 . Do ñoù: (3) ( ) ( )4

Thay

x

y

x x y y

f t t t

f t t f x f y x y

2

x=y vaøo (1) ta ñöôïc 2 3 4 439 0

2 2 3 4 9 ...119 38 33 09

x y

xxx y x

x x x

Cách 2:

Tröø (1) cho (2) ta ñöôïc: 2 3 2 3 4 4 02 3 2 3 4 4

02 3 2 3 4 4

2 1 0 (*)2 3 2 3 4 4

2 1Vì 0 neân (*) x=y2 3 2 3 4 4

Do ñoù: (3) ( ) ( )Böôùccoøn laïi gioáng

x y y x

x y y x

x y y x

x yx y y x

x y y xf x f y x y

treân

@ Bài toán trên ta có thể mở rộng như sau: Tìm m để hệ phương trình

2 3 4 (1)

2 3 4 (2)

x y m

y x m

a) Có nghiệm



b) Vô nghiệm

Bài 5. Giải hệ phương trình sau:

3

3

2 (1)2 (2)

x x yy y x

Hướng dẫn:

Cách 1:

3Xeùt haøm soá ( ) 3 '( ) 0,( ) (1)

Heä phöông trình trôû thaønh:( ) (2)

Neáu ( ) ( ) ( do (1) vaø(2) daãn ñeán maâu thuaãn)Neáu ( ) ( ) ( maâu thuaãn)

Do ñoù: , th

f t t t f t tf x yf y x

x y f x f y y xx y f x f y y xx y 3eá vaøo heä ta ñöôïc: 0...x x

Cách 2:

3 3 2 2

2 2

Tröø (1) cho (2) ta ñöôïc: 3 3 0 3 0

3 3 0 ....2 4

x y x y x y x y xy

y yx y x x y


Bài 1. Giải phương trình: 33 1 log 1 2x x x

Hướng dẫn:

3 3 3

3

1Ñieàu kieän: -2

3 1 2 log 1 2 3 log 3 1 2 log 1 2

Xeùt haøm soá ( ) log , lieân tuïc treân 0; , '( ) 0, 0;

( ) laø haøm ñoàng bieán treân 0; neân phöông trình(*) (3 ) (1 2 )

3

x x x

x

x

x

pt x x x x x

f t t t f t t

f t f f x

2

2 1 3 2 1 0(**)Xeùt haøm soá: f(x)= 3 2 1 '( ) 3 ln3 2 ''( ) 3 ln 3 0

x

x x x

x xx f x f x

( ) 0 coù nhieàu nhaát hai nghieäm, vaø f(0)=f(1)=0 neân phöông trình ñaõ chocoù hai nghieäm x=0,x=1f x

Bài 2. Giải phương trình: 3 33 log 5 log 3 2x x x x

www.VNMATH.com



Hướng dẫn:

3 3

3 3

Ñieàu kieän : 52log 5 log 33

Xeùt haøm soá ( ) log 5 log 3 lieân tuïc treân khoaûng 5;

vaø '( ) 0, 5; ( ) ñoàng bieán treân 5;

2Xeùt haøm soá g( ) lieân tuïc treân khoaûng3

xxpt x xx

f x x x

f x x f x

xxx

5; , ( ) nghòch bieán treân 5;

Maët khaùc: (8) (8) 2. do ñoù phöông trình coù nghieäm duy nhaát 8

g x

f g x


3 3

6 6

3 3 (1)1 (2)

x x y yx y

Hướng dẫn:

3

Töø (2) suy ra: 1 , 1.Töø (1) ( ) ( ) (*) haøm soá ( ) 3 , lieân tuïc treân 1;1 ta coù:

'( ) 0, 1;1 ( ) nghòch bieán treân ñoaïn 1;1

Do ñoù (*) thay vaøo (2) ta ñöôïc

x y f x f yXeùt f t t t

f t t f t

x y 6

1nghieäm cuûa heä laø2

x y


0 0y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät

hoaëc. 0 . 0

0 0CD CT CD CT

CT CT

a a

y y y yx x

Ñieàu kieän : 0, 0. Ta coù0

1(1) 1 0 ......11 0

1 1Phöông trình coù 2 nghieäm phaân bieät ;

1 1

x yx y

x yxy

xy

x xy y

Bình luận:



Caùch giaûi sau ñaây sai:1Ñieàu kieän : 0, 0.Xeùt haøm soá f(t)=t- , \ {0} '( ) 0, \ {0}

Doñoù:(1) ( ) ( ) !Sai do haøm soá f(t) ñôn ñieäu treân hai khoaûng rôøi nhau( ví duï (-1) (1) 0)

x y t f t tt

f x f y x yf f

Các em thử bài này xem sao? Giải hệ phương trình sau:

3

1 1 (1)

2 1 (2)

x yx y

y x


2 2

ln 1 ln 1 (1)

2 5 0 (2)

x y x y

x xy y

Hướng dẫn:

2 2

ln 1 ln 1 (1)

2 5 0 (2)Ñieàu kieän: 1, 1(1) ln 1 ln 1 (3)

Xeùt haøm soá: ( ) ln 1 , lieân tuïc treân 1; .

Ta coù: '( ) , 1; vaø '( ) 0 01

'( ) 0, 1;0 ( ) lie

x y x y

x xy yx yx x y y

f t t t

tf t t f t tt

f t t f t

ân tuïc vaø ñoàng bieán treân 1;0

'( ) 0, 0; ( ) lieân tuïc vaø ñoàng bieán treân 0;

Khi ñoù: phöông trình (3) f(x)=f(y) x=yVôùi x=y thay vaøo phöông trình (2) x=0 y=0

f t t f t


sin sin

sin sin 2

x y x y

x y

Hướng dẫn:

Xét hàm số ( ) sin ,f t t t t

'( ) 1 cos 0,f t t t . Suy ra hàm số đồng biến trên .

Do đó: (1) ( ) ( )f x f y x y . Vậy hệ đã cho trở thành:

www.VNMATH.com



...2s inx+sin 2 sinx2

x yx y

y


Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) 5 5x x b) 5 3 1 3 4 0x x x

c) 5 7 16 14x x x x d) 2 215 3 2 8x x x

Hướng dẫn câu c)

5;D . Xét hàm số: ( ) 5 7 16f x x x x x .

Hàm số đồng biến trên 5; (1)

Và (9) 0 (2)f . Từ (1) và (2) phương trình có nghiệm duy nhất là 9x

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) 5 5 51 2 3 0x x x b) ln( 4) 5x x

c) 3 4 5x x x d) 2 3 5 38x x x

Hướng dẫn câu c)

Xét hàm số

3 4( ) 15 5

x x

f x , '( ) 0,f x x nên hàm đã cho nghịch

biến trên . Mặt khác: (2) 0f . Phương trình có duy nhất nghiệm 2x

Từ đây ta có thể phát triển thành bài toán sau:

Giải phương trình: sinx osx sinx cos sinx cos3.3 4.4 5.5c x x .

Lời giải xin dành cho các em học sinh

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a) 3 541 5 7 7 5 13 7 8x x x x b)

22 7 2 7 35x x x x x

Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:



a)

3 2

3 2

3 2

2 12 12 1

x y y yy z z zz x x x

b)

3 2

3 2

3 2

222

x y y yy z z zz x x x

c)

3 2

3 2

3 2

6 12 86 12 86 12 8

y x xz y yx z z

d)

tan tan52 34

,2 2

x y y x

x y

x y

e)

sin sin 3 3

5, 0

x y x y

x y

x y

f)

sin2 2 sin2 22 3

0 ,2

x y y xx y

x y

g)

cot cot5 7 20 ,

x y x yx yx y

HD: a, b) Xét hàm số 3 2( )f t t t t

c) Xét hàm số 2( ) 6 12 8f t t t

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

www.VNMATH.com



PHÖÔNG PHAÙP:

Cho haøm soá ( , ) 0, xaùc ñònh vôùi moïi (*) Bieán ñoåi (*) veà daïng ( ) ( )Xeùt haøm soá ( ) lieân tuïc treân K Duøng tính ñôn ñieäu haøm soá ñeå keát luaän

f x m x Kf x f m

f x

BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. 2Tìm tham soá m ñeå phöông trình 3 1 coù nghieäm thöïcx x m

Hướng dẫn:

2

22 2

Xeùt haøm soá ( ) 3 1 vaøHaøm soá f(x) lieân tuïc treân .

0 6 6 6f'(x)=0 3 1 3 ,6 6 33 1 9

6 6Döïa vaøo baûng bieán thieân,suy ra: ( ) maø ( ) , do ñoù m3 3

thì phöôn

f x x x y m

xx x x f

x x

f x f x m

g trình coù nghieäm thöïc

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 25 1 5 6x x x x m

Hướng dẫn:

Đặt 2 25 1 4 2 5 6t x x t x x

PT 2 4 1;5 2;2 22tt m khi x t

Xét hàm số

2 4( ) 2;2 2 ( ) 1 ( ) 0 1 2;2 22tf t t t f t t f t t

f(t) = m có nghiệm 2 2 1 2m .

BTTT: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

DẠNG 6: DÙNG ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ ĐỂ GIẢI VÀ BIỆN LUẬNPHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ



23 6 18 3 2 1x x x x m

@ Nhận xét: Qua các bài trên ta thấy

Khi đặt ẩn phụ t, ta cần phải tìm điều kiện của t tức là tìm miền giá trị của t,nếu không chú ý đến điều kiện này sẽ đưa đến kết quả sai

Qua các bài trên ta thấy chỉ cần căn cứ trên bảng biến thiên của hàm số- đểkết luận về số nghiệm của phương trình dạng f(x)=m mà không nhất thiếtphải vẽ đồ thị hàm số

Bài 3. Xác định m để bất phương trình 22 1 2 0m x x có tập nghiệm là .

Hướng dẫn:

Ta có:

2

2

22 1 2 0, ,2 1xm x x x m xx

Xét hàm số :

2

2 2

2( ) ,2 1

2'( ) 0, neân haøm nghòch bieán treân2 1 2 1

lim ( ) 2 ; lim ( ) 2

Do ñoù: 2x x

xg x xx

g x xx x

g x g x

m

Bài 4. Cho hệ phương trình:2 23

3x xy y mxy x y

a) Giải hệ phương trình khi m=5

b) Định các giá trị m để hệ có nghiệm

Hướng dẫn:

a) Đặt 2, 4 0S x y

S PP xy

Hệ đã cho được viết lại

2 2 2 3 0 (*)3 33

S P m S S mx y xy mS P P Sxy x y

www.VNMATH.com



Khi m= 5. Hệ 1 4 ( )(*) ; 1;1

2 1S P loai

x yS P

b) Để hệ có nghiệm thì hệ2 3 0 (*)

3S S mP S

có nghiệm thỏa

2 4 0S P

2 4 0S P 2 4 12 0 ; 6 2;S S S

Xét hàm 2( ) 3f S S S , ; 6 2;S

Hàm này nghịch biến trên ;6 và ( ) 6 45f S f ;

Đồng biến trên 2; và ( ) (2) 5.f S f Vậy 5m

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1. Tìm giá trị m để phương trình sau đây có nghiệm: 1x x m

Hướng dẫn:

Xét hàm số 1y x x hàm số xác định trên 0;

Ta có: '( ) 0, 0;f x x . Do đó hàm tăng trên 0;

(0) 1; lim ( )

xf f x

Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0m

Bài 2. 4 2Tìm tham soá m ñeå phöông trình 1 (1) coù nghieäm thöïcx x m

(Gợi ý :Bài này sau khi hoc xong hàm lũy thừa ta có được công thức tính đạo hàmhàm lũy thừa và áp dụng vào bài này để tính đạo hàm )

Hướng dẫn:



4 2

3 3 4 6 32 2 24 4 4

Xeùt haøm soá ( ) 1 - vaøHaøm soá ( ) lieân tuïc treân 0; .

1 1 1 1'( )= 0, vì = 02 1 1 1

neân '( ) 0, 0 ( ) nghòch bieán treân nöûa khoaûng 0; vaø

f x x x y mf x

x x x xf xxx xxx x x

f x x f x

lim ( ) 0,

neân 0 ( ) 1, 0; .Vaäy :0 1 thì phöông trình coù nghieäm thöïcxf x

f x x m

Bài 3. Cho phương trình: 2 2tan cot t anx cot 3 0x x m x

a) Giải phương trình khi m=5

b) Định m để phương trình có nghiệm

Bài 4. Cho phương trình:

6 6

2 2

os sin tan2 (*)os sinc x x m xc x x

a) Giải phương trình khi 14

m

b) Vơi giá trị nào của m thì phương trình (*) vô nghiệm

Bài 5. Định m để phương trình :

1 1 1sin cos 1 t anx cot2 s inx cos

x x x mx

có nghiệm thuộc

0;2

Bài 6. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 22 1x x m

b) 2 2 (2 )(2 )x x x x m

Bài 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

mxxxx 11 22

Hướng dẫn:

www.VNMATH.com



Xét hs: 2 2( ) 1 1f x x x x x nờn2 2

2 1 2 1'( )2 1 2 1

x xf xx x x x

2 2 2 2

(2 1)(2 1) 0'( ) 0

(2 1) ( 1) (2 1) ( 1)x x

f xx x x x x x

1 12 20( )

x x

x l

'(0) 1 0,f x R HS )(xf đồng biến trên R. lim ( ) 1; lim ( ) 1x x

f x f x

PT có nghiệm khi: -1 < m < 1.

BÀI TẬP CHỌN LỌC VÀ NÂNG CAO:

Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 0; 1 3 :

m x x x x2 2 2 1 (2 ) 0

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

x x m x x2 210 8 4 (2 1). 1

Bài 3. Giải và biện luận phương trình: mx m x mx x x x2 2 3 21 .( 2 2) 3 4 2

Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệmphân biệt:

x x

x x a

x x m b2

33 32

2 ( 2 5)

log ( 1) log ( 1) log 4 ( )

log ( 2 5) log 2 5 ( )

Bài 5. Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:2 21 1 1 19 ( 2)3 2 1 0 x xm m

Bài 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm với 2 :x2 2

3

3 5

x y

x y m

Bài 7. Tìm m để phương trình: 22 0,54(log ) log 0 x x m có nghiệm thuộc (0, 1).

Bài 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 25 1 5 6 x x x x m

Bài 9. Cho hệ phương trình:2 23

3x xy y mxy x y

a) Giải hệ phương trình khi m=5

b) Định các giá trị m để hệ có nghiệm



Bài 10. Tìm giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất :

0)23(log)6(log 225,0 xxxm

Bài 11. Tìm m để phương trình 4 42 sin cos cos 4 2sin 2 0x x x x m có nghiệm

trên 0; .2

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Bài 1. Đặt 2t x 2x 2 . (2)

2t 2m (1 t 2),do x [0;1 3]t 1

Khảo sát2t 2g(t)t 1

với 1 t 2. g'(t) 5. Vậy g tăng trên [1,2]

Do đó, ycbt bpt2t 2mt 1

có nghiệm t [1,2] t

m g t g1;2

2max ( ) (2)3

Bài 2. Nhận xét: 2 2 21 0 8 4 2(2 1) 2( 1) x x x x

(pt)2

2 2

2 1 2 12 2 01 1

x xmx x

. Đặt2

2 11

x tx

Điều kiện : –2< t 5 .

Rút m ta có: m=22 2tt

. Lập bảng biên thiên 1245

m hoặc –5 < 4 m

Bài 3. : (pt) 3 3( 1) 1 ( 1) ( 1) mx mx x x .

Xét hàm số: f(t)= 3 t t , hàm số này đồng biến trên R.

( 1) ( 1) f mx f x 1 1 mx x

Giải và biện luận phương trình trên ta có kết quả cần tìm.

1 1 m phương trình có nghiệm x = 21

m

m = –1 phương trình nghiệm đúng với 1 x

Các trường hợp còn lại phương trình vô nghiệm.

Bài 4.

2

33 3

22 ( 2 5)

log ( 1) log ( 1) log 4 ( )

log ( 2 5) log 2 5 ( )

x x

x x a

x x m b

www.VNMATH.com



Giải (a) 1 < x < 3.

Xét (b): Đặt 22log ( 2 5) t x x . Từ x (1; 3) t (2; 3).

(b) 2 5 t t m . Xét hàm 2( ) 5 f t t t , từ BBT 25 ; 64

m

Bài 5. Đặt t = 21 13 x . Vì [ 1;1] x nên [3;9]t . (3)2 2 1

2

t tmt

.

Xét hàm số2 2 1( )

2

t tf tt

với [3;9]t . f(t) đồng biến trên [3; 9]. 4 f(t) 487

.

4847

m

Bài 6. Đặt 2 2( ) 3 (3 ) 5 f x x x 2 2

3( )3 (3 ) 5

x xf xx x

2 22

2 3( ) 0 6 14 (3 ) 3

2 18 27 0

xf x x x x x x

x x

Phương trình thứ hai có ' 81 54 135 9.15 , và hai nghiệm: 1,29 3 15

2 x

Dễ kiểm tra rằng cả hai nghiệm này đều bị loại vì nhỏ hơn 2. Vậy, đạo hàm

của hàm số không thể đổi dấu trên 2; , ngoài ra (3) 0 f nên

( ) 0, 2 f x x . Do đó, giá trị nhỏ nhất của ( )f x là (2) 7 6 f .

Cũng dễ thấy lim

x

f x . Từ đó suy ra: hệ phương trình đã cho có nghiệm

(với 2x ) khi và chỉ khi 6 7 m .

Bài 7. PT 22 2log log 0; (0; 1) (1) x x m x

Đặt: 2logt x . Vì: 20limlog

x

x và1

limlog 0

x

x , nên: với (0;1) ( ; 0) x t

Ta có: (1) 2 0, 0 (2) t t m t 2 , 0 m t t t

Đặt:2 , 0 : ( )

: ( )

y t t t Py m d

Xét hàm số: 2( ) y f t t t , với t < 0 ( ) 2 1 f t t

1 1( ) 02 4

f t t y

Từ BBT ta suy ra: (1) có nghiệm (0; 1)x (2) có nghiệm t < 0



(d) và (P) có điểm chung, với hoành độ t < 0 14

m .

Vậy, giá trị m cần tìm: 1 .4m

Bài 8. Đặt 2 25 1 4 2 5 6 t x x t x x

PT 2 4 2;2 22

tt m t

Xét hàm số

2 4( ) 2;2 2 ( ) 1 ( ) 0 1 2;2 22

tf t t t f t t f t t

f(t) = m có nghiệm 2 2 1 2 m .

Bài 9.

c) Đặt 2, 4 0S x y

S PP xy

Hệ đã cho được viết lại

2 2 2 3 0 (*)3 33

S P m S S mx y xy mS P P Sxy x y

Khi m= 5. Hệ 1 4 ( )(*) ; 1;1

2 1S P loai

x yS P

d) Để hệ có nghiệm thì hệ2 3 0 (*)

3S S mP S

có nghiệm thỏa

2 4 0S P

2 4 0S P 2 4 12 0 ; 6 2;S S S

Xét hàm 2( ) 3f S S S , ; 6 2;S

Hàm này nghịch biến trên ;6 và ( ) 6 45f S f ;

Đồng biến trên 2; và ( ) (2) 5.f S f Vậy 5m

Bài 10. 0)23(log)6(log 225,0 xxxm )23(log)6(log 2

22 xxxm

www.VNMATH.com



3813

236023

22

2

xxmx

xxxmxx

Xét hàm số 13,38)( 2 xxxxf ta có 82)(' xxf , 0)(' xf khi

4x , do đó )(xf nghịch biến trong khoảng )1;3( , 6)1(,18)3( ff . Vậy hệ

phương trình trên có nghiệm duy nhất khi 186 m

Bài 11. Ta có 4 4 21sin os 1 sin 22

x c x x và 2os4 1 2sin 2 .c x x

Do đó 21 3sin 2 2sin 2 3x x m .

Đặt sin 2t x . Ta có 0; 2 0; 0;1 .2

x x t

Suy ra 23 2 3 , 0;1f t t t m t

Ta có bảng biến thiên

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên 100; 22 3

m



BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa hệ thức

1 13cos cos cos thì ñeàucos cos cos 6

A B C ABCA B C

Hướng dẫn:

3cos cos cos 1 4sin sin sin 12 2 2 2

1 3Xeùt haøm soá ( ) , lieân tuïc treân 1;2

3 3Ta coù: '( ) 0, t 1; ( ) ñoàng bieán treân 1;2 2

A B CÑaët t A B C t

f t tt

f t f t

16Döïa vaøo baûng bieán thieân suy ra 2 ( )3

16 3Ñaúng thöùc ( ) xaûy ra khi cos cos cos hay ABC ñeàu3 2

f t

f t t A B C

Bài 2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC nhọn ta luôn có:

2 1sin sin sin tan tan tan3 3

A B C A B C

Hướng dẫn:

Ta để ý rằng: A B C

bđt

2 1 2 1 2 1sin tan - sin tan - sin tan - 03 3 3 3 3 3

A A A B B B C C C

Xét hàm số :

2 1( ) sin tan , 0;3 3 2

f t t t t t

DẠNG 7: DÙNG ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH HỆ THỨC LƯỢNGGIÁC

www.VNMATH.com



2 2

2 1 1 1'( ) cos 1 cos cos 1. 0; cos 0.3 3 23cos os

f t t t t Dot tx c t

Theo bất đẳng thức cosi thì ta đc

1'( ) .3 1 0, 0; .3 2

f t t

Do đó hàm số f(t) đồng biến trên

0;

2.

0; 0 ( ) (0) 02

t t f t f

Từ đó: 2 10, ( ) (0) 0 sin sin 03 3

A f A f A A A

Tương tự, ta cũng có: 2 1sin sin 03 3B B B ;

2 1sin sin 03 3C C C .......

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có các góc đều nhọn thì :

sin sin sin t anA tan tan 2A B C B C

Hướng dẫn:

Xét hàm số : f(x)=sinx+tanx-2x, với

0;

2x



BÀI 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ;a b có thể a là ; b là và điểm

0 ;x a b

a) Nếu tồn tại h>0 sao cho 0 0 0 0( ) ( ), ; vaø x xf x f x x x h x h thì ta nói

hàm số f(x) đạt tại x0.

c) Nếu tồn tại h>0 sao cho 0 0 0 0( ) ( ), ;f x f x x x h x h vaø x x thì ta

nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

www.VNMATH.com



Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại

(điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại( giá trị cực tiểu)

của hàm số . Kí hiệu là : ( )CD CTf f , con điểm M(x0;f(x0)) được gọi là của đồ

thị hàm số.Các điểm cực đại và cực tiểu nói chung là . Giá trị cực đại(giá trịcực tiểu) còn gọi là được gọi chung là điểm cực trị của hàm số

2. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng

;a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x 0 thì f’(x0)=0

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0.

Chú ý:

Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0hoặc không có đạo hàm.

Ví dụ minh họa:

Ta thấy 1x thì ' 0y và đạt cực đại tại 1, 1CDx y và 'y không có đạo

hàm tại 0x nhưng vẫn đạt giá trị cực tiểu tại 0x , 0CTy

Đạo hàm 'f có thể bằng 0 tại điểm0x nhưng hàm f không đạt cực trị tại

điểm0x



Ví dụ minh họa:

Mặc dù '( ) 0f x tại 2x nhưng không có cực trị taại 2x

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên(a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.

Ví dụ minh họa

Mặc dù tại 3x đạo hàm không xác định (không có đạo hàm tại hai điểm này)nhưng hàm vẫn không có cực trị tại 2 điểm này vì hàm số không xác định trên bất kì

khoảng ;a b nào của hai điểm này

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0,

f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.

b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

www.VNMATH.com



B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

Tìm f (x).

Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạohàm.

Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại xi.

Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

Tính f (x).

Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …).

Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).

Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i.

Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i.

Chú ý:

Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0hoặc không có đạo hàm.

Đạo hàm 'f có thể bằng 0 tại điểm 0x nhưng hàm f không đạt cực trị tại

điểm 0x

BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:

3 2

3 2

1 5) 33 3

) 3 3 5

a y x x x

b y x x x

Hướng dẫn:

DẠNG 1: TÌM CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO QUY TẮC



2

10) Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi ñieåm -1; (-1)3

22Haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi ñieåm 3; (3) -3

) ' 3 1 0, haøm khoâng coù cöïc trò

a x f

x f

b y x x

Chú ý:

Nếu y’ không đổi dấu thì hàm không có cực trị. Đối với hàm bậc 3 thì điềukiện cần và đủ để hàm đạt cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt

Bài 2. Tìm cực trị hàm số:

4 2

4 2

) 6 8 1) 2 1a y x x xb y x x

Hướng dẫn:

)Haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x=-2,giaù trò cöïc ñaïi (-2) 25, haøm khoâng coù cöïc tieåua y

x -2 1

'y + 0 - 0 -

y

Nhận xét: Ta thấy đạo hàm triệt tiêu tại 1x nhưng qua điểm này y’ không đổidấu nên nó không phải là điểm cực trị

b) Haøm ñaït cöïc ñaïi taïi caùc ñieåm x= 1, vôùi giaù trò cöïc ñaïi laø y( 1)=2 vaø haøm ñaïtcöïc tieåu taïi x=0, giaù trò cöïc tieåu laø y(0)=1

Nhận xét: Đối với hàm bậc 4, vì đạo hàm là đa thức bậc 3 nên hàm chỉ có thể có



một cực trị hoặc ba cực trị. Hàm số có một cực trị khi phương trình y’=0 có một

hoặc hai nghiệm ( 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép), hàm số có 3 cực trị khi phươngtrình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài 3. Tìm cực trị của hàm số sau:

2

2

22

2

1 2 3) )1825) )

1 2 5

x x xa y b yxx

xx xc y d yx x x

Hướng dẫn:

a) Hàm đạt cực đại tại 12,4CDx y ; Hàm đạt cực tiểu tại

14;8CTx y

b) Hàm đạt cực đại tại 1 2, 2 2CDx y ;

Hàm đạt cực tiểu tại 1 2; 2 2CTx y

c) Hàm số đồng biến trên ; 1 , 1; nên hàm không có cực trị

d) Hàm đạt cực đại tại 1 13,3 4CDx y ;

Hàm đạt cực tiểu tại 4; 0CTx y

Bài 4. Tìm cực trị hàm số:

)

) 2

) 3

a y x

b y x x

c y x x

Hướng dẫn:



Haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x=1, ñaït cöïc tieåu taïi x=0

)Haøm xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân

3 3 neáu x>03 neáu x 0 2y= , ' , ' 0 1

33 neáu x< 0 + neáu x< 02

c

xx x xy y x

xx x xx

Hàm đạt cực tiểu tại x=1, đạt cực đại tại x=0

Nhận xét: Ta thấy các trường hợp này, mặc dù hàm không có đạo hàm tại 0xnhưng vẫn đạt cực trị tại 0x

Bài 5. Tìm cực trị các hàm số sau:

2

2

3 2

) 4

) 2 3

) 3

a y x x

b y x x

c y x x

Hướng dẫn:

2

2

) Haøm ñaõ cho lieân tuïc vaø xaùc ñònh treân 2;2

24 2' , 2;2 , ' 04 2

a

xxy x yx x


Haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x= 2, cöïc tieåu taïi x=- 2



2

2

2

)Haøm ñaõ cho lieân tuïc vaø xaùc ñònh ; 3 3;

2 3' , ; 3 3;3

2 3 0' 0 2

; 3 3;

Haøm khoâng coù ñaïo haøm taïi x= 3

b

x xy xx

x xy x

x

Hàm đạt cực tiểu tại x=2, hàm không có cực đại

Nhận xét: Mặc dù 3x là điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm, tuy nhiên

hàm số không xác định trên bất kì khoảng ;a b nào của hai điểm này nên hai điểm

này không phải là hai điểm cực trị hàm số

2

3 2

)Haøm ñaõ cho xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân ;3

3 2' , 3, 0

2 3' 0 2, haøm soá khoâng coù ñaïo haøm taïi x=0 vaø x=3

Haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x=2, ñaït cöïc tieåu taïi x=0

c

x xy x x

x xy x

Nhận xét: Lý luận tương tự câu b) 3x ở câu c) cũng không phải là điểm cực trịnhưng 0x lại là điểm cực trị của hàm số


) 2sin2 3) 3 2cos os2a y xb y x c x



Hướng dẫn:

)Haøm ñaõ cho xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân

y'=0 x= ,4 2

8 khi k=2n'' 8sin2 , ''

4 2 8 khi k=2n+1

Vaäy haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x= ,ñaït cöïc tieåu taïi x= 2n+14 4 2

a

k k

y x y k

n

)Haøm ñaõ cho xaùc ñònh vaø lieân tuïc treânsin 0

y'=0 ,21 2cos32

2 2'' 2cos 4cos2 , '' 2 6cos 3 03 3

'' 2cos( ) 4 0,

2Vaäy haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x=

bx kx

kx kx

y x x y k

y k k k

2 ,ñaït cöïc tieåu taïi x=k3k


Áp dụng quy tắc 1


3 2 3 2

4 2 4 2

3 2 3

1. y = + -3x+2 b. y = -x 2 33

. y = -x 2 d. y = x +2x -3e. y = -5x + 3x - 4x + 5 f. y = - x

a x x x x

c x - 5x


2 2

2

2

2

3 -1 3 5 ( - 4). . .2 4 1 2 5

9 -2 2. -3 . .-2 2 1 4

x x x xa y b y c yx x x x

x x xd y x e y f yx x x

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số



2

2

32

2 2

x+1. y = 25 - x b. y = c. y = 3 1x 1

x x. y = e. y = f. y = 2 4 510 - x 6

a x x

d x xx

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:

2. y = sin2x b. y = cosx - sinx c. y = sin xa

Áp dụng quy tắc 2:


1 2: 32 1mC y x

mx


2) os 3 ) sin os2 2x xa y c x b y c


a) 2 33 2y x x b) 3 22 2 1y x x x c)

3 21 4 153

y x x x

d) 4

2 32xy x e) 4 24 5y x x f)

42 3

2 2xy x

g)

2 3 62

x xyx

h)

23 4 51

x xyx

i)

2 2 153

x xyx

Bài 8.Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) 3 4( 2) ( 1)y x x b)

2

2

4 2 12 3x xyx x

c)

2

2

3 4 41

x xyx x

d) 2 4y x x e) 2 2 5y x x f) 22y x x x

Bài 9.Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) 3 2 1y x b)

3 2

2 1xyx

c) 24siny x x





TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạohàm.

2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0.

Chú ý:

Hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d có cực trị Phương trình y = 0 có hai

nghiệm phân biệt.

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng haicách:

+ 3 20 0 0 0( )y x ax bx cx d

+ 0 0( )y x Ax B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y .

Hàm số

2

' 'ax bx cya x b

= ( )( )P xQ x

(aa 0) có cực trị Phương trình y = 0

có hai nghiệm phân biệt khác ''ba

.

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0) bằng haicách:

00

0

( )( )

( )P x

y xQ x

hoặc 00

0

'( )( )

'( )P x

y xQ x

Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại đểloại bỏ nghiệm ngoại lai.

Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa,nhất là định lí Vi–et.

BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Tìm m để hàm số 3 23 12 2y mx x x đạt cực đại tại 2x

DẠNG 2: Tìm điều kiện hàm có cực trị



Hướng dẫn:

Haøm soá lieân tuïc vaø xaùc ñònh treân'(2) 0

Haøm ñaït cöïc ñaïi taïi 2 2''(2) 0y

x my

Chú ý: ta có thể giải bài toán trên theo cách sau:

Ñeå haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x=2 thì y'(2)=0 m=-2Vôùi m=-2 ta thöû laïi ta thaáy thoûa

Bài 2. Xác định giá trị m để hàm số

2 1( ) x mxy f xx m

đạt cực đại tại 2x

Hướng dẫn:

Haøm soá lieân tuïc vaø xaùc ñònh treân \ { }'(2) 0

Haøm ñaït cöïc ñaïi taïi 2 3''(2) 0

my

x my

Nhận xét: Khi tính đạo hàm cấp hai của hàm số trên và giải hệ bất phương trình

tương đối dài dòng.

Tuy nhiên ta có thể trình bày theo cách sau

3Ñeå haøm ñaït cöïc ñaïi taïi 2 thì '(2) 0

1

2 Vôùi -3 : ' 0

4

mx y

m

xm y

x


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt cực đại tại 2x , vậy 3m thỏa.

Tương tự: 1m

Bài 3. Tìm m để hàm

2 21

x mxymx

có cực trị.

Hướng dẫn:



2

2

1Haøm soá lieân tuïc vaø xaùc ñònh treân \ { }

Neáu m=0 thì y=x 1 coù moät cöïc trò1Neáu m 0: haøm xaùc ñònh vôùi moïi x

Haøm soá ñaït cöïc trò khi phöông trình mx 2 0 coù hai nghieäm phaân bi

m

mx m

2

eät1 01khaùc 1 11 0

mm

m mm

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị m, hàm số

2 31 11

x m m x my

mx

Hướng dẫn:

2 22 2

2 2

2 2

Haøm ñaõ cho xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân \{m}2 1 ( )y'= , , ( ) 2 1

Daáu cuûa g(x) cuõng laø daáu cuûa y' vaø ' 1 0,

g(x) luoân coù 2 nghieäm phaân bieät x=m-1;g

x mx m g x x m g x x mx mx m x m

m m m

x=m+1 thuoäc taäp xaùc ñònh


Bài 5. Cho hàm số 4 3 24 3 1 1.y x mx m x Tìm m để:

a) Hàm có ba cực trị

b) Hàm có cực tiểu mà không có cực đại

Hướng dẫn:

2

Haøm ñaõ cho xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân0

y'=0( ) 2 6 3 3 0xg x x mx m

Nhận xét:



1. Nếu g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 thì hàm có hai cực tiểu và mộtcực đại

2. Nếu g(x)=0 có một nghiệm x=0 thì hàm chỉ có một cực tiểu

3. Nếu g(x)=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm đạt cực tiểu tại x=0

Từ nhận xét trên ta thấy hàm có ít nhất một cực trị

) Haøm coù ba cöïc trò khi vaø chæ khi g(x)=0 coù hai nghieäm phan bieät 0

1 7 1 7; ;3 3

1) Theo nhaän xeùt treân ta thaáy haøm chæ ñaït cöïc tieåu vaø khoâng coù cöïc ña

a

m

mb

ïi

1 7 1 7 Haøm soâ khoâng coù ba cöïc trò3 3

m

Chú ý:

Đối với hàm trùng phương 4 0y ax bx c a

Ta có:

32

0' 4 2 ' 0

4 2 0 (1)x

y ax bx yax b

Hàm có ba cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

00

bab

Khi đó:

Hàm có hai cực tiểu, một cực đại khi a>0

Hàm có hai cực đại, một cực tiểu khi a<0

Hàm có một một cực trị (1) có một nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc

có nghiệm x=0

0(0) 0f

Khi đó:

Hàm có cực tiểu khi a>0

Hàm có cực đại khi a<0



Bài 6. Tìm các hệ số a,b,c,d sao cho hàm số 3 2( ) axy f x bx cx d đạt cực

tiểu tại 0x , (0) 0f và đạt cực đại tại 1x , (1) 1f .

Hướng dẫn:

'(0) 0 0Haøm ñaït cöïc tieåu taïi x=0 (1)

''(0) 0 2 0

'(1) 0 3 2 0Haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x=0 (2)

''(1) 0 6 2 0Maët khaùc:

(1) 1 0(3)

(0) 0 1Giaûi heä (1),(2),(3) t

f cf b

f a b cf a b

f df a b c

a ñöôïc a=-2,b=3,c=d=0Thay vaøo vaø kieåm tra laïi thì thoûa maõn


Bài 1. Tìm m để hàm số 3 23 1 1y x m x x có cực đại, cực tiểu

Hướng dẫn:

Ta có: 2' 3 6 1 1y x m x . Hàm đạt cực đại, cực tiểu khi y’=0 có hai nghiệm

phân biệt

3 33' 0

3 33

m

m

Bài 2. Tìm m để hàm số 3 22 3y m x x mx m có cực đại, cực tiểu

Hướng dẫn:

Haøm coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu khi phöông trình y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät2 0 2

' 0 3 1m m

m


2mx x myx m

không có cực đại, cực tiểu

Hướng dẫn:



2 2

2

2 2

4

2'

Haøm soá khoâng coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu khi y' khoâng ñoåi daáu qua nghieämg(x)= 2 0 voâ nghieäm hoaëc coù nghieäm keùp

m=0, y'=0, x -m m=0 thoûam 0: Ta coù '=m 0, 0

mx m xyx m

mx m x

m g

( ) coù hai nghieäm phaân bieät neân khoâng coùgiaù trò cuûa tham soá m ñeå g(x)=0 voâ nghieäm hay coù nghieäm keùp.Vaäy: chæ coù m =0 thoûa yeâu caàu baøi toaùn

x

Bài 4. Tìm m để hàm số 3 23 1 1y mx mx m x không có cực trị

Hướng dẫn:

2Ta coù: ' 3 6 1 (*)0 : khi ñoù y'=1>0, x neân haøm khoâng coù cöïc trò

m 0: Haøm khoâng coù cöïc trò khi phöông trình y'=0 voâ nghieäm hoaëc coù1nghieäm keùp ' 0 0<m .4

1Vaäy 0 m thì haøm4

y mx mx mm

khoâng coù cöïc trò.

Bài 5. Xác định m để hàm số 4 21 32 2

y x mx có cực tiểu mà không có cực đại

Hướng dẫn:

2

2

0' 0

Haøm coù cöïc tieåu maø khoâng coù cöïc ñaïi khi y'=0 coù moät nghieäm duy nhaát vaøy' ñoåi daáu khi ñi qua nghieäm ñoù voâ nghieäm hoaëc coù nghieäm keùp x=0

m 0

xy

x m

x m

B

ài 6. Tìm m để hàm số

2 1x mxyx m

đạt cực tiểu tại 1x

Hướng dẫn:

'(1) 0Haøm ñaït cöïc tieåu taïi 1 0

''(1) 0y

x my

Bài 7. Tìm hệ số a, b, c sao cho hàm số 3 2( ) axf x x bx c đạt cực trị bằng 0

tại điểm 2x và có đồ thị hàm số đi qua A(1;0)



Hướng dẫn:

'( 2) 0 4 12Haøm ñaït cöïc trò baèng 0 taïi x=-2

( 2) 0 4 8Ñoà thò ñi qua A(1;0) neân (1) 0 1 0Giaûi heä ta ñöôïc : 3; 0; 4

f a bf a b c

f a b ca b c

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:

a) 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m b) 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x

c)

2 2 4( 1) 1x m m x myx m

d)

2 21

x mx myx m

Bài 2. Tìm m để hàm số:

a) 3 2( 2) 3 5y m x x mx có cực đại, cực tiểu.

b) 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m có cực đại, cực tiểu.

c) 3 2 23 ( 1) 2y x mx m x đạt cực đại tại x = 2.

d) 4 22( 2) 5y mx m x m có một cực đại 1 .2

x

e)

2 2 2x mxyx m

đạt cực tiểu khi x = 2.

f)

2 2( 1) 4 21

x m x m myx

có cực đại, cực tiểu.

g)

2

1x x myx

có một giá trị cực đại bằng 0.

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

a) 3 23 3 3 4y x x mx m b) 3 23 ( 1) 1y mx mx m x

c)

2 53

x mxyx

d)

2 2( 1) 4 21

x m x m myx

Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:



a) 3 2y ax bx cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 427

tại x = 13

b) 4 2y ax bx c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại

x = 3 .

c)

2

1x bx cyx

đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.

d)

2ax bx abybx a

đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.

e)

2

2

21

ax x byx

đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.



Phương pháp:

Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Biểu diễn điều kiện của bài toán thông qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thịhàm số, từ đó ta tìm được điều kiện của tham số

Chú ý:

Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độcác cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta dùng định lí viet

Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kếtquả sau:

Kết quả 1: Cho hàm đa thức ( )y P x . Giả sử

ax ( ) ( )y b P x r x . Khi đó, nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì

giá trị cực trị của hàm số là 0 0( ) ( )y x r x và ( )y r x gọi là phương

trình quỹ tích các điểm cực trị

Kết quả 2: Cho hàm phân thức ( ) , ( ) 0( )u xy v xv x

.Khi đó, nếu x0 là

điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là 00

0

'( )( )

'( )u x

y xv x

và ( )y r x gọi là phương trình quỹ tích các điểm cực trị

Hai kết quả trên các em dễ dàng chứng minh được.

BÀI TẬP MẪU:

Bài 1. Tìm m để hàm số 3 21 2 1 23

y x mx m x có hai điểm cực trị dương.

Hướng dẫn:


Ta có: 2' 2 2 1y x mx m

Hàm số có hai cực trị dương ' 0y có hai nghiệm dương phân biệt

DẠNG 3:Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa điều kiện nào đó



' 0 10 2

10

mSmP

Bài 2. Tìm m để đồ thị hàm số

2 3 2 11

mx mx myx

có cực đại và cực tiểu và hai

điểm đó nằm về hai phía của trục Ox.

Hướng dẫn:

2

2

2

1 2

1 2

1 1

2 5 1'1

' 0 2 5 1 0, 1 (1)

1Haøm coù hai cöïc trò (1) coù hai nghieäm phaân bieät x , 1 6

0Hai ñieåm cöïc trò naèm veà hai phía truïc Ox y(x ) ( ) 0

Ta coù: y(x ) 2 1 ;

mx mx myx

y mx mx m x

mx

my x

m x

2 2

1 2

y(x ) 2 1

1 1y(x ) ( ) 0 .Vaäy laø nhöõng giaù trò caàn tìm2 2

0 0

m x

m my xm m

Bài 3. Tìm m để hàm số 3 22 12 13y x mx x có cực đại, cực tiểu và các điểm

này cách đều trục tung.

Hướng dẫn:

2 2

1 2

1 2 1 2 1

1 2

' 2 3 6 ' 0 3 6 0 (*)

Vì (*) luoân coù hai nghieäm phaân bieät neân haøm soá luoân coù hai cöïc trò ;

Hai cöïc trò naøy caùch ñeàu truïc tung vì

0 0x

y x mx y x mx

x x

x x x x x x

x x m

Bài 4. Tìm m để hàm số 3 2 22 1 3 2 4y x m x m m x có cực đại, cực

tiểu nằm về hai phía trục tung

Hướng dẫn:



2 2

1 2 1 2 1 2

' 3 2 2 1 3 2

Haøm coù cöïc daïi vaø cöïc tieåu naèm veà hai phía truïc tung y'=0 coù hai nghieämphaân bieät , thoûa 0 0 1 2

y x m x m m

x x x x x x m

Bài 5. Tìm m để hàm số 2 3 1y x m x x m có cực đại, cực tiểu thỏa

. 1CD CTx x

Hướng dẫn:


Ta có: 2' 3 2 3 2 1y x m x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa . 1CD CTx x

' 0 21 1

mP m

Bài 6. Tìm m để hàm số 3 21 11 3 23 3

y mx m x m x có cực đại và cực

tiểu và đồng thời hoành độ cực đại cực tiểu1 2,x x thỏa 1 22 1x x

Hướng dẫn:


Ta có: 2' 2 1 3 2y mx m x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu 1 2,x x

00

2 6 2 6' 02 2

mm

m

Theo định lí Vi-ét và yêu cầu bài toán ta có:

1 2

1 2

1 2

2 122 132

3 2

x x

m mx x

m mm

x xm

So sánh điều kiện, 23

m hoặc m=2 là giá trị cần tìm



BTTT: Cho haøm soá 3 23 1 9 , vôùi m laø tham soá thöïcy x m x x m

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá khi 1m

b) Tìm m ñeå haøm coù cöïc trò 1 2;x x sao cho 1 23 2 6x x m

Ñaùp soá: 1; 3m m


22 3 22

x x myx

có cực đại và cực tiểu và các điểm

cực đại cực tiểu1 2,x x thỏa

2 18x xy y

Hướng dẫn:

1

2 1

2

2

2 2

1

2

Ta coù: Vôùi 0 vaø 2

( )' 2 , ( ) 2 22 2

Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu khi vaø chæ khi y'=0 coù hai nghieäm phaân bieätkhaùc -2 m>0. Khiñoù:

4 3

4 3x

x xx

m x

m g xy vôùi g x x mx x

y xy y

y x

8 0m


22 3x x myx m

có cực đại và cực tiểu và các điểm cực

đại cực tiểu 1 2,x x thỏa 2 1

8x xy y

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định trên \ { }m

Ta có:

22

2

2 4 2' , ' 0 2 4 2 0(1)2

x mx my y x mx mx

Hàm có cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt2 2

0 012 0

mm

mm m m

Vì phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là 4 3y x nên



2 1

8x xy y

1 2

1 522

1 52

mx x

m

Kết hợp điều kiện hàm có cực trị suy ra được

1 52

m hoặc

1 52

m là

những giá trị cần tìm

Bài 9. Tìm tham số m để hàm số 4 2 22 1y x m x có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của

tam giác vuông.

Hướng dẫn:


Ta có: 2 2' 4y x x m . Với 0m hàm có ba cực trị. Khi đó tọa độ các điểm cực

trị là 4 40;1 ; ;1 ; ;1A B m m C m m .Ba điểm cực trị lập thành tam giác ABC

vuông (tại A) nên . 0AB AC

1m là những gí trị cần tìm

Bài 10. Tìm tham số m để hàm số 4 2 42 2y x mx m m có 3 điểm cực trị là 3

đỉnh của tam giác đều.

Hướng dẫn:

2

4

4 2

4 2

0' 0 .

(2)Ñoà thò haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu khi vaø chæ khi phöông trình (2)coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 0 m>0

0; 20

Khi ñoù: y'=0 ; 2

; 2

xy

x m

A m mx

x m B m m m m

x m C m m m m

3

.

Haøm coù ba cöïc trò laäp thaønh tam giaùc ñeàu 3AB BC

mAB AC


Bài 1. Xác định giá trị m để hàm số 3 26 3 2 6y x x m x m đạt cực đại và



cực tiểu, đồng thời hai cực trị cùng dấu

Hướng dẫn:

1 2

1 2 1 2

Haøm coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu khi vaø chæ khi y'=0 coù hai nghieäm phaân bieät x ,m<2.Tacoù:

14( ). ( ) 0 2 2 2 2 2 2 0 7

214Keát hôïp ñieàu kieän: 27

x

my x y x m x m m x m

m

m

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị tham số m để

2 2 3 21

x m x my

xcó giá trị cực

trị đồng thời 2 2 12CD CTy y

Hướng dẫn:

22

2 2

1 2

1 1 2 2

2 2 21 2

2 2 ( )' , 1, ( ) 2 21 1

Haøm ñaït cöïc ñaïi, cöïc tieåu khi g(x)=0 coù hai nghieäm , phaân bieät khaùc -11m>- .Goïi ;2 2 ; ;2 2 laø caùc ñieåm cöïc trò2

y 2 16

x x m g xy x g x x x mx x

x x

A x x m B x x m

y m

2

2 21 2

8.

1 1Xeùt ( ) 2 16 8,m>- haøm f(m) ñoàng bieán treân ;2 2

1 1 1 1neân ( ) . Vaäy :y , ;2 2 2 2

m

f m m m

f m f y m

Bài 3. Tìm m để đồ thị hàm số 3 23y x x mx m có cực đại, cực tiểu và hai

điểm này đối xứng nhau qua 1 52 2

y x

Hướng dẫn:

Tập xác định: D . Đạo hàm: 2 2' 3 6y x x m

Ta có: 2 2' 0 3 6 0y x x m (1)

Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y có hai nghiệm phân biệt



2' 9 3 0m 3 3m

Gọi 1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số và I là trung điểm của

đoạn AB . Do 1 2,x x là nghiệm của (1) nên theo định lí Vi-ét, ta có:

1 2 2x x , 2

1 2.3mx x

Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5:2 2

y x

ABI

Đường thẳng và AB có hệ số góc lần lượt là:

1

12

k

3 3 2 2 22 1 2 1 2 12 1

22 1 2 1

3x x x x m x xy ykx x x x

2 2

1 2 1 2 1 23x x x x x x m

2

24 63m m

22 63m

1 2. 1AB k k

21 2 6. 12 3

m 0m .

Với 0m :

2 1 1

2 2

0 0' 3 6 0

2 4x y

y x xx y

Đồ thị hàm số có hai cực trị là 0;0 , 2; 4A B

Trung điểm của AB là: 1; 2I

Hơn nữa I . Vậy: 0m thoả yêu cầu bài toán.

Bây giờ ta hãy xét bài toán sau theo cách nhìn khác. Từ đó, các em có thể chọnra cách giải cho riêng mình.

Bài tập: Cho hàm số 3 2 23y x mx m m . Tìm giá trị m để hàm có giá trị cực

đại và cực tiểu, đồng thời các cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 1 12 2

y x

Hướng dẫn:



Ta có:0

' 02

xy

x m

. Hàm có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi 0m

Cách 1: Trong trường hợp hai cực trị có tọa độ thuận lợi

Gọi 2 3 20; ; 2 ; 4A m m B m m m m là hai cực trị của hàm số. Gọi M là trung

điểm của AB 3 2; 2M m m m m

Điều kiện cần: Để hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng 1 1:2 2

d y x ,

điều kiện cần là điểm M nằm trên 1d m

Điều kiện đủ: Khi 1 2; 4m AB

hệ số góc của đường thẳng AB là

2k . Do đó, AB vuông góc với đường thẳng d.

Kết luận: 1m

Cách 2: Áp dụng cho trường hợp có hai cực trị không thuận lợi

Ta có: 2 21 ' 23 3

my x y m x m m

. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

của hàm số là 2 22y m x m m .

Điều kiện cần: Để hai điểm A,B đối xứng qua đườ ng thẳng d điều kiện cần làđường thẳng AB vuông góc với đường thẳng 1d m

Điều kiện đủ:

- Khi 1 , (1;0)m A B M là trung điểm của AB và M thuộc d .

- Khi 1 , ( 1;2)m A B M là trung điểm của AB và M d .

Kết luận: 1m

Bài 4. Tìm m để hàm

2

1x mxyx

có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị

bằng 10.

Hướng dẫn:

Hàm đã cho xác định trên \ {1}. Hàm có cực trị khi 1m

Đường thẳng đi qua các điểm cực trị có phương trình là 2y x m . Do đó, các



điểm cực trị là 1 1 2 2; 2 ; ; 2A x x m B x x m 2 100 4AB m

Vậy, m=4 là gí trị cần tìm


2 2 21

x mxyx

có cực đại và cực tiểu, và

khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng : 2 0x y bằng nhau

Hướng dẫn:

21 2

1 1 2 2

1 2

Haøm ñaït cöïc ñaïi, cöïc tieåu khi ( ) 2 2 -2 0 coù hai nghieäm ,3phaân bieät khaùc -1 m<2

Goïi ;2 ; ;2 laø caùc ñieåm cöïc trò

1Theo giaû thieát: d ; ; 3 2 2 3 2 22

g x x x m x x

A x x m B x x m

A d B x m x m m


2 21

x mxyx

có cực tiểu nằm trên Parabol:

2 4y x x

Hướng dẫn:

2

2 2

1 2

1 1

2 1

2 2 ( )' , 11 1

Haøm coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu g(x)=0 coù hai nghieäm phaân bieät , khaùc 1-3

1 3 2 2 3y'=0

1 3 2 2 3

x x m g xy xx x

x xm

x m y m m

x m y m m

Bảng biến thiên

1 1Döïa vaøo baûng bieán thieân thì A ; laø ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá

A (P) m=-2

x y



Bài 7. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm 2;0A sao cho khoảng cách

từ điểm cực đại của đồ thị hàm số 3 3 2y x x đến d là lớn nhất.

Hướng dẫn:

' 0 1y x . Điểm cực đại của đồ thị hàm số là 1;0M . Hạ ,MH d ta có

, Ox.

khaùc d ñi qua A 2;0 . Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng d laø: 2MH MA MH MA H A d MA dMaët x

Bài 8. Tìm các giá trị của m để hàm số 4 22 1y x mx m có ba điểm cực trị,

đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kínhđường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Hướng dẫn :

Hàm có ba cực trị 0m . Gọi các điểm cực trị là 2; 1 ;A m m m

0; 1B m ; 2; 1 .C m m m Dễ thấy tam giác ABC cân tại BÀI và tâm I của

đường tròn ngoại tiếp thuộc trục tung. Giả sử 0;I b , ta có:

22

2

11 11 1 5

1 1 2

mm m m bIA IB

mm b

Bài 9. Cho hàm số 3 2 2 33 3 1y x mx m x m m , m là tham số.

Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại cực tiểu với mọi m. Tìm m để các điểm

cực trị và điểm I(1;1) tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5

Hướng dẫn:

Bước 1: Các cực trị của hàm số là 1;2 2 ; 1; 2 2A m m B m m

Bước 2: Phương trình đường thẳng AB: 2 0x y . Từ đó suy ra A,B,I lập thành ba

đỉnh của một tam giác

Bước 3: Để ý 2AB R nên đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn có đườngkính AB hay IAB vuông tại I



Đáp số:1

35

m

m



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm m để hàm số :

a) 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m đạt cực trị tại hai điểm x1, x2

sao cho: 1 21 2

1 1 1 ( )2x x

x x.

b) 3 21 13

y x mx mx đạt cực trị tại hai điểm x 1, x2 sao cho: 1 2 8x x .

Bài 2. Tìm m để hàm số :

a)

2 21

x mx myx m

có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng

dấu.

b)

2 2( 1) 4 21

x m x m myx

có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực

đại, cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.

c)

2 34

x x myx

có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả 4M m .

d)

22 3 22

x x myx

có 12CÑ CTy y .

Bài 3. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) 3 2 4y x mx có hai điểm cực trị là A, B và 2

2 900729mAB .

b) 4 2 4y x mx x m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận

gốc toạ độ O làm trọng tâm.

c)

2 2x mx myx m

có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung.

Chứng minh hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.

d)

2

1x mxyx

có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.

e)

2 2 51

x mxyx

có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với



đường thẳng y = 2x.

f)

2 2 3x x myx m

có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.


a) 3 22 12 13y x mx x có hai điểm cực trị cách đều trục tung.

b) 3 2 33 4y x mx m có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường

phân giác thứ nhất.

c) 3 2 33 4y x mx m có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với

đường thẳng (d): 3 2 8 0x y .

d)

2 2(2 1) 11

x m x myx

có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường

thẳng (d): 2 3 1 0x y .


a)

2 ( 1) 2 1x m x myx m

có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất

của mặt phẳng toạ độ.

b)

2 2 22 (4 1) 32 22

mx m x m myx m

có một điểm cực trị nằm trong góc phần

tư thứ hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.

c)

2 2 2( 1) 4mx m x m myx m

có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư

thứ nhất và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.

d)

2 2(2 1) 11

x m x myx

có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành

(tung).

Bài 6. Cho hàm số 3 21 7 1 163

y x m x x m . Xác định m để:

a) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu

b) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu 1 2; 1;x x



Bài 7. Cho hàm số 3 2 36 5y x mx m x . Xác định m để

a) Hàm số không có cực trị

b) Hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm1 2;x x thoả mãn

1 2 4 2x x


22 2 11

x mx myx

. Xác định m để

a) Hàm số có cực đại, cực tiểu

b) Hàm số có các điểm cực trị1 2;x x thoả 1 22 1 0x x

Baøi 9. Cho haøm soá 4 2 22 coù ñoà thò laø (C ) vôùi m laø tham soámy x mx m m

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá khi 1m

b) Tìm m ñeå (Cm) coù ba ñieåm cöïc trò vaø ba ñieåm cöïc trò naøy laäp thaønh

moät tam giaùc coù moät goùc baèng 1200

Höôùng daãn:

2

0' 0

xy

x m

Ñeå haøm coù ba cöïc trò thì 0m

Toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò 20; ; ; ; ;A m m B m m C m m . Tam giaùc ABC

caân taïi A. Ñeå tam giaùc ABC coù moät goùc baèng 1200 thì 0120BAC

4

4 3

1 1cos cos ,2 3

m mBAC AC AB mm m

Baøi 10. ÑHB 2011. Cho 4 22 1y x m x m , m laø tham soá thöïc

1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá vôùi m=1

2. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá coù ba cöïc trò A, B, C sao cho OA=BC, trong ñoù O

laø goác toïa ñoä, A laø cöïc trò thuoäc truïc tung, B vaø C laø hai cöïc trò coøn laïi.

Baøi 11. CÑ2009. Cho 3 22 1 2 2y x m x m x

1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá vôùi m=2



2. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu vaø caùc ñieåm cöïc trò coù

hoaønh ñoä döông.



Những chú ý khi giải toán:

1) Hàm số đa thức:

Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.

Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:

1 1 1

2 2 2

( )( )

y f x Ax By f x Ax B

Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.

2) Hàm số phân thức

2( )( )( )P x ax bx cy f xQ x dx e

.

Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì 00

0

'( )'( )P x

yQ x

.

Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai

điểm cực trị ấy là:

'( ) 2'( )P x ax byQ x d

.

BÀI TẬP MẪU:

Bài 1.Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị củ a đồ thị hàm số

3 23 6 8y x x x

Hướng dẫn:


1 3' 0

1 3

xy

x

Ta có: 2( ) 2 2 1 6 1f x x x x x

Tọa độ các điểm cực trị thỏa hệ:

2

' 06 1

2 2 1 6 1

yy x

y x x x x

DẠNG 4: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị



Vậy các điểm cực trị nằm t rên đường thẳng 6 1y x

Bài 2. Tìm tham số m 3 2 7 3y x mx x có đường thẳng đi qua các điểm cực

đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7.

Hướng dẫn:

Hàm số có CĐ, CT 23 2 7 0f x x mx có 2 nghiệm phân biệt

2 21 0 21m m . Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

2 71 23 21 39 9 9

mf x x m f x m x

Với 21m thì phương trình 0f x có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y

f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: 1 2 0f x f x suy ra

2 21 1 1 2 2 2

7 72 221 3 ; 21 39 9 9 9

m my f x m x y f x m x

Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (): 2 72 21 39 9

my m x

Ta có () y 3x 7 2 2 3 10452 21 .3 1 219 2 2

m m m

Bài 3. Tìm tham số m để 3 2 23y x x m x m có các điểm cực đại và cực tiểu đối

xứng nhau qua đường thẳng (): 1 52 2

y x .

Hướng dẫn:

Hàm số có CĐ, CT 2 23 6 0f x x x m có 2 nghiệm phân biệt

29 3 0 3m m . Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

2

21 21 33 3 3

mf x x f x m x m

Với 3m thì phương trình 0f x có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số

y f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: 1 2 0f x f x nên



2 2

2 21 1 1 2 2 2

2 23 ; 33 3 3 3

m my f x m x m y f x m x m

Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d): 2

22 33 3

my m x m .

Các điểm cực trị 1 1 2 2, , ,A x y B x y đối xứng nhau qua 51:2 2

y x

(d) () tại trung điểm I của AB (*) . Ta có 1 2 1

2I

x xx suy ra

(*)

2

22

2 13 1 03 2 052 1 1 03 1 1

3 3 2 2

m mm

m m mm m


Bài 1. Cho hàm số 3 2 23 1 2 7 2 2 2y x m x m m x m m .

Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng quacực đại, cực tiểu đó.

Hướng dẫn:

Tập xác định: D

Đạo hàm: 2 2' 3 6 1 2 7 2y x m x m m

2 2' 0 3 6 1 2 7 2 0y x m x m m (1)

Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y có hai nghiệm phân biệt

2 2' 9 1 6 7 2 0m m m 23 8 1 0m m

4 17 4 17m m

Lấy y chia cho y’, ta có:

2 3 21 2 21 . ' 8 1 5 3 23 3 3

y x m y m m x m m m

Gọi 1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì1 2,x x là nghiệm

của (1)



Ta có:

2 3 21 1 1 1

1

1 2 21 . ' 8 1 5 3 23 3 3

' 0

y x m y x m m x m m m

y x

2 3 21 1

2 28 1 5 3 23 3

y m m x m m m

Tương tự ta cũng có:

2 3 22 2

2 28 1 5 3 23 3

y m m x m m m

Vậy phương trình đ ường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:

2 3 22 28 1 5 3 23 3

y m m x m m m .


2 8x mxyx m

. Xác định m để hàm số có cực trị, khi đó viết

phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn:

Cách 1

Ta có:

22 82 my x mx m

Tập xác định: \D m

Đạo hàm:

2 2

2

2 8' x mx myx m

Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y hay 2 22 8 0g x x mx m (1)

có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khác m

' 00g m

2

2

2 8 02 8 0mm

2 2m m (*)

Gọi 1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì1 2,x x là

nghiệm của (1)



Khi đó:

21

22

2 8' 0

2 8

x m my

x m m

Toạ độ điểm A thoả hệ:

21

2 22

1 1 1 1 121

2 82 8 2 82 2 2 8 2

2 8

x m m

m my x m x m x m m m x mx m m

21

1 1

2 82

x m my x m

Tương tự ta cũng có toạ độ của B:

22

2 2

2 82

x m my x m

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: 2y x m

Cách2

Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu: 2 2m m

Toạ độ các điểm cực trị thoả hệ:

2 2

2

2 8 08

x mx mx mxyx m

2 2

2 2 2 2 2

2 8 0

8 2 8 2

x mx m

x mx x mx m x mx myx m x m

2 22 8 02

x mx mx m x m

yx m

2 22 8 02

x mx my x m x m

2y x m là phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu.

Cách 3



Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu: 2 2m m

Gọi 1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì1 2,x x là

nghiệm của (1)

Đặt 2 8,u x x mx v x x m

Ta có:

1 1 1

1 1 11 1

' 22

1'

u x u x x my y x mv x v x

Tương tự ta cũng có: 2 22y x m

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: 2y x m .

Bài 3. Tìm m để hàm số 3 21 82 10 73 3

y x x m x có cực đại và cực tiểu ,

đồng thời các điểm cực trị nằm về hai phía đường thẳng.

Hướng dẫn:

Hàm số có cực đại và cực tiểu 1110

m .

Gọi 1 1 2 220 22 20 22; . 1 ; ; . 1

3 3m mA x x B x x

là hai điểm cực trị của đồ

thị hàm số. A và B nằm khác phác phía đối với đường thẳng : 1 0x y khi vàchỉ khi

1 1 2 2

2

1 2

20 22 20 22. 1 1 . 1 1 03 3

1920 19 11 1 0 203 510 2 0

m mx x x x

mmx x mm

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :

a) 3 22 1y x x x b) 2 33 2y x x c) 3 23 6 8y x x x



d)

22 13

x xyx

e)

2 12

x xyx

Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua haiđiểm cực trị của đồ thị hàm số:

a) 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m b)

2 6x mxyx m

c) 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m d)

2 21

x mx myx m

Bài 3. Tìm m để hàm số 3 22 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x có đường thẳng đi qua

hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1.

Bài 4. Tìm m để 3 22 3 1 6 1 2f x x m x m m x có CĐ, CT nằm trên

đường thẳng (d): y 4x.

Hướng dẫn:

Ta có: 26 1 1 2 0f x x m x m m

2 1 1 2 0g x x m x m m

Hàm số có CĐ, CT 0g x có 2 nghiệm phân biệt

2 13 1 0

3g m m

Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:

2

2 1 3 1 1 1 2f x x m g x m x m m m

Với 13

m thì phương trình 0g x có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số

y f (x) đạt cực trị tại x1, x2.

Ta có: 1 2 0g x g x nên suy ra

2 2

1 1 1 2 23 1 1 2 ; 3 1 1 2y f x m x m m m y m x m m m

Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (): 2

3 1 1 1 2y m x m m m .

Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y 4x thì () (d)



2 3 1 2 3 1 2 03 1 4 11 1 2 01 1 2 0m mm mm m mm m m

Bài 5. Cho hàm số 3 23 3 1y x x mx m . Tìm m để hàm số có hai cực trị, đồng

thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng : 3 8 0x y một

góc 045

Hướng dẫn:

Bước 1: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 1 1y m x

Bước 2: Sử dụng công thức góc tạo bởi hai đường thẳng

1 2

3cos , os , 4

2( )

md c n nm l



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Đình Cư (2011). Bài giảng luyện thi đại học cấp tốc chuyên đề hàm số.

2. Trần Sĩ Tùng (2011). Tuyển tập 200 câu khảo sát hàm số.

3. Nguyễn Phú Khánh, Nguyễn Tất Thu (2006). Chuyên đề hàm số

4. Bộ đề thi đại học các năm của BGD và ĐT

5. Bộ đề thi thử các trường Bắc -Trung-Nam (2012).

Documents

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ · PDF fileLUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chuyên đề LTĐH 1 Biên soạn: Trần Đình Cư BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA