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CI03 AD11 Corrigé - Déterminer les torseurs cinétique et dynamique d'un ensemble de solide CPGE MP

Sciences industrielles de l’ingénieur 26/11/2015 Page 1 sur 6

1. Virage à plat d’un avion à hélice

Figures de changement de base :

θ

1z

1x

10 zz

0y

2y

0x

1y

21 xx

1y

2z

φ

1. Déterminer le moment cinétique de 2/0 au point 2G du sous ensemble 2 dans son mouvement par rapport au repère

0R .

2/0 : Mouvement quelconque + matrice d’inertie donnée en G2 (centre de gravité) :

2/0 1 2 2 2 2. . .sin . .cos . .z x y z x

2 2

2

, 2/0 2/0 2 2 2 2

22 2 2

0 0

(2). 0 0 .( . .sin . .cos . )

0 0 ( , , )

G G

A

I B x y z

C x y z

2 , 2/0 2 2 2 2 2 2. . . .sin . . .cos .G A x B y C z

2. Déterminer le moment dynamique de 2/0 au point 2G du sous ensemble 2 dans son mouvement par rapport au repère

0R .

2 2,2/0 ,2/00

G Gd

dt car G2 centre de gravité.

2 , 2/0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0

2 2 2 20

. . . . . .sin . . . .cos . . .sin . . .cos .

. . .sin . . .cos .

Gd d

A x A x B y B y B y C zdt dt

dC z C z

dt

Avec : 2 10

.d

x ydt

2 1 2 2 2 20

( . . ) .cos . .d

y z x y x zdt

2 1 2 2 2 20

( . . ) .sin . .d

z z x z x ydt

2 , 2/0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

. . . . . . .sin . . . .cos . . .sin .( .cos . . )

. .cos . . . .sin . . .cos .( .sin . . )

G A x A y B y B y B x z

C z C z C x y

3. Montrer que le moment dynamique se réduit à 2 ,2/0 2 1G A y .

On a 0 , 0 et B2 = C2

2 , 2/0 2 1 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

. . . . . .cos . . .sin .( .cos . . ) . . .sin .

. .cos .( .sin . . )

G A y B y B x z B z

B x y

2 , 2/0 2 1 2 1. . . . . .G A y A y



2. Centrifugeuse humaine

Figures de changement de base :

ψ

1z

1x

10 zz

0y

2y

3x

3z

2x

2z

2y

= 3y

0x

1y

21 xx

1y

2z

θ

1. Définir la forme simplifiée de la matrice d’inertie du sous ensemble 1 en G1 dans la base 1.

Les plans 1 1, ,O x y et 1 1, ,O y z sont des plans de symétrie pour le solide 2 → 1 1 1, , ,O x y z est repère principal d’inertie →

1

1

1

11 1 1

0 0

(1) 0 0

0 0 ( , , )

G

A

I B

C x y z

2. Déterminer le torseur cinétique de 1/0 au point O du sous ensemble 1 dans son mouvement par rapport au repère 0.

1/0 : Mouvement de rotation autour d’un axe fixe + mais G1 n’appartient pas à l’axe de rotation + matrice d’inertie donnée en

G1 (centre de gravité), donc on utilise la méthode générale :

1

1 11

1/0 1 ,1/0

1/0

, 1/0 1 1/0

.

( ).

C G

G GG

R m V

I S

avec :

11/0 1 ,1/0 1 ,1/0. .(C G OR m V m V 11 1/0 1 1 11) .( . ) . . . .G O m a y z m a x

1 1

1

, 1/0 1 1/0 1 1 1 1

11 1 1

0 0

( ). 0 0 . . . .

0 0 ( , , )

G G

A

I S B z C z

C x y z

On déplace le moment cinétique en O :

1, 1/0 , 1/0 1 1/0

, 1/0 1 1 1 1 1

2, 1/0 1 1 1 1

. . . ( . . . )

. . . . .

O G C

O

O

OG R

C z a y m a x

C z m a z

1 1

1/0 21 1 1

. . .

( . ) .O

m a x

C m a z

3. Définir la forme simplifiée de la matrice d’inertie de l’anneau 2 en I dans la base 2.

Les plans 2 2, ,I x y et 2 2, ,I y z sont des plans de symétrie pour le solide 2 → 2 2 2, , ,I x y z est repère principal d’inertie →

2

2

22 2 2

0 0

(2) 0 0

0 0 ( , , )

I

A

I B

C x y z



4. Déterminer le torseur cinétique de 2/0 au point I du solide 2 dans son mouvement par rapport au repère 0.

2/0 : Mouvement quelconque + matrice d’inertie donnée en I (centre de gravité) :

2/0 2 ,2/0

2/0

, 2/0 2 2/0

.

( ).

C I

I II

R m V

I S

avec :

2/0 2 ,2/0 2 1. . . .C IR m V m R x (par analogie à la question 2)

, 2/0 2 2/0 2/0 2/1 1/0 2 1 2 2 2( ). . . . .sin . .cos .I II S avec x z x y z

2

, 2/0 2 2/0 2 2 2 2

22 2 2

0 0

( ). 0 0 .( . .sin . .cos . )

0 0 ( , , )

I I

A

I S B x y z

C x y z

, 2/0 2 2 2 2 2 2. . . .sin . . .cos .I A x B y C z

2 12/0

2 2 2 2 2 2

. . .

. . . .sin . . .cos .I

m R x

A x B y C z

5. Déterminer le torseur cinétique de 3/0 au point I du solide 3 dans son mouvement par rapport au repère 0.

3/0 : Mouvement quelconque + matrice d’inertie donnée en I (centre de gravité) :

3/0 3 ,3/0

3/0

, 3/0 3 3/0

.

( ).

C I

I II

R m V

I S

avec :

3/0 3 ,3/0 3 1. . . .C IR m V m R x

3

, 3/0 3 3/0 3 2 2 2

32 2 2

0 0

( ). 0 0 .( . ( .sin ). .cos . )

0 0( , , )

I I

A

I S B x y z

Cx y z

, 3/0 3 2 3 2 3 2. . .( .sin ). . .cos .I A x B y C z

3 13/0

3 2 3 2 3 2

. . .

. . .( .sin ). . .cos .I

m R x

A x B y C z

6. En déduire le torseur cinétique de l’ensemble E1=2+3 au point I dans son mouvement par rapport au repère 0.

Au point I on a : 1/0 2/0 3/0E avec :

3 13/0

3 2 3 2 3 2

. . .

. . .( .sin ). . .cos .I

m R x

A x B y C z

et 2 1

2/02 2 2 2 2 2

. . .

. . . .sin . . .cos .I

m R x

A x B y C z

Donc 2 3 1

1/02 3 2 2 3 3 2 2 3 2

( ). . .

( ). . ( ). .sin . . ( ). .cos .EI

m m R x

A A x B B B y C C z



7. Déterminer le torseur dynamique de 1/0 au point O du sous ensemble 1 dans son mouvement par rapport au repère 0.

1/0 : Mouvement de rotation autour d’un axe fixe + mais G1 n’appartient pas à l’axe de rotation + matrice d’inertie donnée en

G1 (centre de gravité) + O point fixe dans 0 :

on calcule 1 , 1/0G puis , 1/0O puis , 1/0O

11/0 1 ,1/01/0

, 1/0

.d G

OO

R m

1/0 1 1. . .CR m a x (voir question 2)

Donc 21/0 1/0 1 1 1 1

0

. . . . . .d Cd

R R m a x m a ydt

Car 1 1/0 1 1 1 10

. .d

x x z x ydt

2, 1/0 1 1 1( . ) .O C m a z (voir question 2)

O point fixe de 0 : 2, 1/0 ,1/0 1 1 1

0

( . ) .O Od

C m a zdt

Donc 2

1 1 1 11/0 2

1 1 1

. . . . . .

( . ) .O

m a x m a y

C m a z

8. À partir des données du problème, proposer sous forme d’organigramme les différentes étapes de calcul afin de

déterminer le moment dynamique au point O 2, /0O E de l’ensemble E2=1+2+3 dans son mouvement par rapport au

repère 0.

On décompose en sous système élémentaires :

2 /0 1/0 2/0 3/0E → 2, /0 , 1/0 , 2/0 , 3/0O E O O O

Calculé question 7

, 2/0I calculé question 4

, 2/0 , 2/0 2/0O I COI R car O fixe dans 0

, 2/0 ,2/00

O Od

dt

, 3/0I calculé question 5

, 3/0 , 3/0 3/0O I COI R car O fixe dans 0

, 3/0 ,3/00

O Od

dt



3. Éolienne



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