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CIDEAD. 2º BACHILLERATO. Tecnología Industrial II. Tema 1.- Los circuitos digitales. Desarrollo del tema.- 1. Introducción al tema. 2. Los sistemas de numeración. 3. El sistema binario. 4. Códigos binarios. 5. El sistema octal y hexadecimal. 6. El Álgebra de Boole. Operaciones básicas. Propiedades y las puertas lógicas universales. 7. Representación de las funciones lógicas. 8. Formas canónicas de una función. 9. El mapa de Karnaugh. 10. Obtención de las funciones lógicas mediante funciones elementales. 1

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CIDEAD. 2º BACHILLERATO. Tecnología Industrial II.Tema 1.- Los circuitos digitales.

Desarrollo del tema.-

1. Introducción al tema.

2. Los sistemas de numeración.

3. El sistema binario.

4. Códigos binarios.

5. El sistema octal y hexadecimal.

6. El Álgebra de Boole. Operaciones básicas. Propiedades y las puertas lógicas universales.

7. Representación de las funciones lógicas.

8. Formas canónicas de una función.

9. El mapa de Karnaugh.

10. Obtención de las funciones lógicas mediante funciones elementales.

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1. Introducción al tema.

Un circuito digital es aquel que comunica y procesa la información de tipo digital. Es decir,utilizan solamente dos valores: el 0 y el 1 . Cuando existe tensión se procesa como uno; suausencia , como cero. Las variables analógicas, pueden tomar infinitos valores para representar unainformación .

La información de tipo digital resulta más precisa que la analógica y es menos sensible a lasperturbaciones que puedan sufrir los procesos de la comunicación o información (ruido). Por otraparte, con las variables digitales se realizan un número reducido de operaciones, utilizándose unnúmero reducido de circuitos básicos que se repiten una gran cantidad de veces, conectándose entreellos.

La información se procesa a gran velocidad y poseen los sistemas digitales un gran campode aplicaciones.

2. Los sistemas de numeración.

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para larepresentación de cantidades. Existe en ellos un elemento característico que define al sistema y sedenomina base. La base de un sistema es el número de posibles dígitos que se utilizan en dichosistema de numeración.

Los sistemas de numeración en computación , están basados en los mismos principios que elsistema de numeración decimal, representándose por cadena de símbolos, donde cada uno de ellosposee un valor dependiendo de la posición y de su propio valor; se denominan por ello, sistemasposicionales.

El sistema de numeración más empleado es el decimal, cuyos dígitos son 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7,8 y 9 . Un número cualquiera, 3456,45 se representa mediante una serie de valores de potencias dediez:

3456,45 = 3 103 + 4 102 + 5 101 + 6 100 + 4 10-1 + 5 10-2

En general un número N de base b se escribirá en serie como:

N = pn bn + pn-1 bn-1 + ... + p0 b0 + p-1 b-1 + ...

Para los circuitos digitales el sistema de numeración más adecuado será el que precise unmenor número de componentes básicos para su realización, para que el coste sea mínimo. Todos loselementos de un circuito electrónico, trabajan con una información y respuesta digital, por lo que elsistema de numeración más utilizado es el binario.

3. El sistema binario.

En el sistema binario, solamente existen dos dígitos : el 0 y el 1 . La unidad base deinformación recibe el nombre de bit. El bit que se encuentra a la izquierda de una determinada

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cantidad, se denomina bit más significativo. El que se encuentra a la derecha, se denomina bitmenos significativo.

Problema 1.- Expresar el número 1001011,101 , en decimal.

Resolución.- N = 1 26 + 0 25 + 0 24 + 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 + 1 2-1 + 0 2-2 + 1 2-3 = 515,625

Problema 2. Expresar el número 35 en el equivalente binario.

Resolución.-

Problema 3.- Expresar el siguiente número decimal en binario : 25,36.

Resolución.- Se separa la parte entera de la parte decimal : parte entera 25

Para determinar el valor de la parte fraccionaria se recurre a:

Numero final :

11001,010111 = 25,36

3

= 35

Base 2Número Cociente Resto

25 12 112 6 06 3 03 1 1

Número : 11001 = 25

Base 2Número Cociente Resto

35 17 117 8 18 4 04 2 02 1 0

Número : 100011 = 35

0,36 0,720,72 1,440,44 0,880,88 1,760,76 1,520,52 1,04

Fraccionaria : 010111

.2 =-1 =0,44

: 2=

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Problema 4.- Convertir el número 53,875 en un número binario con el mismo número dedígitos.

Resolución.-Parte entera

La parte fraccionaria será:

El número será : 110101,111

Operaciones en el sistema binario.-

a. Suma La suma en el sistema binario se realiza exactamente igual que en el caso deldecimal. La tabla de sumar es la siguiente:

Problema 5.- Realizar la suma binaria de los números:

543(10) y 226(10)

Resolución.- Lo primero es convertir los dos números decimales en binarios.

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Base 2Número Cociente Resto

53 26 126 13 013 6 16 3 03 1 1

Número : 110101 = 53

0,88 1,750,75 1,50,5 1

0 00 00 0

Fraccionaria : 111

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Suma :

543 + 226 = 7691 0 0 0 0 1 1 1 1 1+ 1 1 1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 = 29 + 28 + 1 = 769

Los convenios de los complementos. Permiten realizar operaciones básicas (sumas yrestas) , gracias a los convenios de complemento, mediante circuitos sumadores.

El complemento a dos de un número binario N de n dígitos enteros, y k fraccionarios es sudiferencia con 2n , es decir : 2n – N.

En la práctica consiste en sustituir los ceros por unos y los unos por ceros de un númerobinario, sumándole una unidad .

Para indicar si un número es positivo o negativo se asigna un bit inicial, que se coloca a laizquierda del número; se denomina el MSB . El valor cero indica que es un número positivo sin

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Base 2Número Cociente Resto

543 :2 271 1271 135 1135 67 167 33 133 16 116 8 08 4 04 2 02 1 0

Número :1000011111=543

Base 2Número Cociente Resto

226 :2 113 0113 56 156 28 028 14 014 7 07 3 13 1 1

Número :11100010 =226

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complementar y el 1 indica que es un número negativo complementado ( 0 positivo; 1 negativo).Para efectuar una diferencia entre dos número binarios, debe sumarse el minuendo al

complemento a dos del sustraendo. Si la diferencia es positiva, a la salida se obtiene el valorcorrecto; cuando ocurre el caso aparece representada según el convenio del complemento dos.

El complemento a uno de un número binario N con n dígitos enteros y k fraccionarios serásu diferencia con 2n – 2-2k ; es decir : 2n – 2-2k - N .

En la práctica se obtiene cambiando los unos por ceros y viceversa .Para efectuar una diferencia conforme al complemento uno , debe sumarse el minuendo al

complemento a uno del sustraendo sumando, además al bit menos significativo del resultado elacarreo de orden superior obtenido. Si la diferencia es positiva, a la salida se obtiene el valorcorrecto con bit de signo 0 ; en caso contrario, aparece representada según el convenio delcomplemento a uno con el bit de signo igual a 1.

Problema 6.- Realizar la diferencia 15-26

Resolución.- 15 – 26 = -11

15 =

- 26 =

Sustraendo en complemento a dos : 00110

0 0 1 1 1 1+ 1 0 0 1 1 0

1 1 0 1 0 1 El número resultante sería : 1 01011 == - 11

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Base 2Número Cociente Resto

15 :2 7 17 3 13 1 1

Número :1111=15

Base 2Número Cociente Resto

26 :2 13 013 6 16 3 03 1 1

Número :11010 = 26

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Problema 7.- Realizar la diferencia en complemento a uno. 15- 26

Resolución.- 15 – 26 = -11

El número complemento a uno será : 001010 0 1 1 1 1

+ 1 0 0 1 0 1

1 1 0 1 0 0 El número resultante sería : 1 01011 == - 11

4. Códigos binarios.

El sistema de numeración más utilizado para los circuitos digitales es el binario. Como elobjetivo es el procesamiento de la información, ha de existir una correspondencia biunívoca ysistemática entre el valor de la información que se procesa y una cierta combinación de dígitos. Estacorrespondencia recibe el nombre de código.

Los códigos binarios se clasifican en:

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Base 2Número Cociente Resto

15 :2 7 17 3 13 1 1

Número :1111=15

Base 2Número Cociente Resto

26 :2 13 013 6 16 3 03 1 1

Número :11010 = 26

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El código binario natural consiste en la representación directa de la información por mediodel equivalente, en el sistema de base dos, del número que representa el valor de la misma.

Este código utiliza al máximo las posibilidades de codificación de los n dígitos que seemplean . Los circuitos que se necesitan son más sencillos que si dichas posibilidades decodificación 2n no se utilizasen en su totalidad. Se emplean en las unidades de cálculo de lossistemas digitales.

Se denomina rango de representación al conjunto de números representables en el mismo. Elrango de representación será :

Para 8 bits : - 127 hasta + 127para 16 bits : -32767 hasta +32767para 32 bits: -2147483647 hasta +2147483647

El código BCD (Decimal Codificado en binario).- Utiliza un cuarteto o nibble (4 bits) parala representación de cada cifra decimal.

En las calculadoras , para poder representar los números, se emplea el indicador de 7segmentos. Estos códigos utilizados se conocen como BCD

El número de dígitos diferentes son 24 = 16 , representándose los diez dígitos y dejando seiscombinaciones libres.

Los códigos decimales pueden dividirse entre códigos empaquetados o ponderados, que sonaquellos cuyo número decimal equivalente se obtiene mediante la suma ponderada de los dígitosbinarios que forman el código. Se elimina el cuarteto de la izquierda del sistema desempaquetado .El cuarteto lleva una cifra en BCD , salvo el primero que lleva el signo. Entre ellos desataca :

a. Código BCD natural . Se denomina el código 8 421b. Código Aiken: los pesos son el 2, 4 ,2 y 1El código desempaquetado o no ponderado, en este sistema un número se almacena con un

byte , por cada una de las cifras . Cada byte lleva en su cuarteto de la izquierda cuatro unos y en elde la derecha la cifra BCD . El cuarteto de la izquierda de la última cifra , representa el signo. Si es1100 , es positivo, si es 1101 , es negativo. Este código recibe el nombre de exceso de tres, pues a seasigna a cada dígito decimal su equivalente binario sumándole a continuación tres .

Se entiende como peso de cada dígito al cociente que lo multiplica para obtener surepresentación nominal.

Código BCD natural (8, 4, 2, 1) El número 1001 = 1. 8 + 0. 4 + 0. 2 + 1 .1 = 9Código Aiken ( 2, 4, 2, 1 ) . El número 1111 = 1. 2 + 1. 4 + 1. 2 + 1.1 = 9El mismo número posee diferente representación de acuerdo al código que se utilice.

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Sistemas de codificación .- Una información se puede considerar como un conjunto de datoscon un significado propio constituido por cadenas de caracteres ( cifras, letras y caracteresespeciales) .

La información que necesita ser tratada por un ordenador se presenta en un determinadosistema de representación que utiliza un alfabeto que llamaremos de entrada y por un sistema decodificación lo transformamos en una información codificada que utiliza su correspondientealfabeto de salida y que será directamente reconocible y tratable por la máquina.

Todo sistema de codificación lleva consigo un código que se define como la ley decorrespondencia biunívoca entre los datos que se van a representar y su codificación. En losordenadores se utilizan sistemas de codificación binarios numéricos (BCD) y alfanuméricos.

Los códigos alfanuméricos son utilizados por los ordenadores para guardar y transmitirinformaciones , así como para enviar órdenes entre dispositivos .

El conjunto de caracteres: son las 10 cifras del sistema decimal , las letras del alfabeto(mayúsculas y minúsculas) , los signos de puntuación y los caracteres de control.

La longitud de un código binario. Es el número de bits que utiliza para codificar un carácter.El número máximo de caracteres representados es de 2n , siendo n la longitud del código.En la actualidad se utiliza los códigos de 8 bits , siendo el más utilizable el código ASCII

(American Standar Code for Information Interchange) . Se puede representar 256 caracteres , de losque 128 son gráficos.

Problema 8.-Representar el número 25 en cada uno de los códigos anteriores:

Resolución.-

El número 25 será igual a

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De acuerdo al código BCD, natural : 25 = 0010 0101De acuerdo al código BCD, Aiken : 25= 0010 1011De acuerdo al código BCD, exceso a tres ; 25 = 0101 1000

Problema 9.- Obtener la expresión decimal del número 1000110, representado en códigoBCD natural.

Resolución.- Se agrupa .- 0100 0110 = 46

5. El sistema octal y hexadecimal.

El sistema octal es un sistema de numeración cuya base es el 8; es decir, utiliza 8 símbolospara la representación e cantidades. Los símbolos son: 0 1 2 3 4 5 6 7

Es un sistema posicional y su utilización permite que se trabaje en binario con mayorsencillez. Cada símbolo octal corresponde a tres símbolos binarios.

El sistema hexadecimal es un sistema de numeración posicional cuya base es el 16; utiliza16 símbolos para la representación de cantidades. Los símbolos son:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E FSe utiliza para trabajar cómodamente con el sistema de numeración binario.

Para convertir un número de decimal a octal o hexadecimal, se divide sucesivamente porocho o dieciseis y se toma el último cociente y los restos sucesivos.

Para convertir un número octal o hexadecimal en decimal, se realiza un desarrollo en seriede potencias con base 8 o 16

Para convertir un hexadecimal u octal en binario, se efectúa sustituyendo cada símbolo enhexadecimal u octal en formato de cuatro bits o formato de tres bits , utilizando las tablas de

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Base 2Número Cociente Resto

25 :2 12 112 6 06 3 03 1 1

Número :11001 = 25

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equivalencias teniendo en cuenta su posicionamiento de los dígitos en las cantidades.Para convertir de binario a hexadecimal u octal , se hace agrupamientos de cuatro en cuatro

bits o de tres en tres bits y traducirlos en la tabla.Para convertir el hexadecimal en octal o viceversa, se recurre al puente del sistema decimal

o binario.

Problema 10.- Transformar el número 2EF en el sistema decimal.

Resolución.- 2EF = 2 162 + 14 161 + 15 160 = 751(10)

Problema 11.- Convertir el número 751 en hexadecimal.Resolución.-

Problema 12.- Convertir el número 11110110101 , en hexadecimal , en decimal y enoctal.

Resolución.- Binario .- 0111 1011 0101 Decimal 7 11 5

Hexadecimal 7 B 5 = 7B5

Binario 011 110 110 101

Octal 3 6 6 5

7B5(16) = 7 162 + 11 161 + 5 160 = 1973

3665 (8) = 3 83 + 6 82 + 6 81 + 5 80 = 1973

Problema 13.- Siendo el número hexadecimal 4DF , transformarlo en binario .Resolución.- 4 D F

4 13 15

Binario .- 0100 1101 1111 : 010011011111(2)

4DF = 4 162 + 13 161 + 15 160 = 1247

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Base 16Número Cociente Resto

751 :16 46 1546 2 14

Número :2EF = 751

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6. El Álgebra de Boole. Operaciones básicas.

En el año 1854 el matemático inglés George Boole desarrolló una teoría matemática quepermitió la representación de circuitos de conmutación. Su nombre fue la “Teoría de los CircuitosLógicos”, que se conoce como el Álgebra de Boole .

El álgebra de Boole está formado por variables lógicas y operadores lógicos . Los valores delas variables pueden ser solamente el verdadero o falso (1 o 0) .

El álgebra de Boole resulta de gran utilidad práctica en las ciencias físicas, especialmente enla informática y en electrónica. En el año 1938 Shannon extendió estas técnicas al estudio decircuitos compuestos de elementos que pueden adoptar dos estados estables.

El álgebra de Boole aplicada a los circuitos digitales se puede distinguir entre:a. Lógica positiva.- Al nivel de emisión más elevado se le asigna el estado 1 y al nivel más

bajo el estado 0. b. Lógica negativa. La asignación se hace a la inversa, e manera que el estado 0 corresponde

al nivel más elevado de tensión y el estado 1 al más bajo.Normalmente se trabaja con la lógica positiva.

Una función lógica es aquella función cuyos valores son binarios y dependen de unaexpresión algebraica formada por una serie de variables binarias relacionadas entre sí pordeterminadas operaciones.

Una función lógica expresada así : f (A,B,C) = A.B + CSignifica que :a. La función valdrá 1 si A y B valen 1 o si C vale 1 , o se cumplen ambas condiciones a la

vez.b. La función valdrá cero si A y B valen cero y C valen cero, o si las tres variables valen cero

a la vez.

El comportamiento de las funciones lógicas se expresa mediante las denominadas tablas deverdad. En la zona de entrada se representan las combinaciones de las variables y la zona de salidadonde se representa el valor de la variable de salida. El número de combinaciones posibles en unatabla de verdad de n entradas será : 2n.El número de combinaciones posibles serán 2n = 23 = 8. Para determinar su valor, se recurre a laconstrucción de la tabla de verdad:

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A B C f(A,B,C)

0 0 0 0

1 0 0 0

1 1 0 1

1 1 1 1

1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 1 0 0

Se construye la función canónica: _ _ _ _ _F = A.B.C + A.B.C + A . B . C + A . B . C + A .B . C

Habría que reducir la función canónica por diferentes métodos.

Eléctricamente se construye esta función mediante una puerta AND y una puerta OR,o mediante tres interruptores, dos colocados en serie y en paralelo con un tercero:

En el siguiente montaje se aprecia, como utilizando interruptores, es posible realizar lamisma secuencia:

Las puertas lógicas básicas son : AND ( Conjunción Y) A * B = C OR ( Disyunción O ) A + B = C

_ NEGACION A = B

Las tablas de valores y sus símbolos aparecen en la tabla adjunta:

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Las propiedades del algebra de Boole se resumen en las siguientes:a. Uniforme . Cualquier operación entre dos magnitudes binarias da otra binaria.b. Idempotencia A+A = A ;; A.A = A c. Involución : ═

A = Ad. Propiedades conmutativa , asociativa, distributiva

A+B = B+A A+(B+C) = (A+B)+C A*(B+C) = A*B+A*CA*B = B*A A*(B*C) = (A*B)*C A+(B*C) = (A+B)*(A+C)

e. Existencia de elemento neutro A + 0 = 0 A*1 = Af . Elemento opuesto

A� A� 1 A . A� 0g . Leyes de absorción.- A+ A.B = A ;;; A.(A+B) = A h . Leyes de Morgan :

A + B = A * B ;;; A * B = A + B

Puerta lógica NOR.

Representa A + B = C . En la siguiente tabla aparece la tabla de verdad y el símbolo para lafunción NOR:

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El circuito eléctrico equivalente es el siguiente:

Si consideramos la tabla de verdad, se puede observar, en las filas primera yúltima, que cuando los dos valores son nulos, el valor de la función es 1 y si los dos valores son 1,el valor de la función es 0. Esto nos permite reducir que esta tabla es semejante a la formada por :

Si se unen las dos entradas en una sola, se obtiene la función NOT

Para construir la función OR, basta integrar la salida de la NOR con una NOT:

Para construir una puerta AND, utilizando las leyes de Morgan :

A + B = A * B = A * B

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Puerta lógica NAND

La puerta lógica NAND se construye con la negación de la AND :

C = A * BLa tabla de verdad y su símbolo viene expresado a continuación:

El circuito eléctrico equivalente es el siguiente:

Según las leyes de Morgan A* B = A + B

Con estas puertas se pueden obtener todas las demás puertas lógicas.

Así la NOT .- Uniendo las dos entradas en una sola.

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La función AND se obtiene por integración de una puerta NAND y una NOT.

La puerta OR, se puede obtener a partir de las puertas NAND, usando las leyes de Morgan:

A * B = A + B = A + B Otras puertas lógicas.-

Puerta O- Exclusiva (EXOR) . La salida de un O-exclusivo de dos entradas permanece enestado 1 si solamente una de las dos entradas está en estado 1 . La tabla de verdad y susímbolo es como sigue:

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La puerta equivalente . Es la negada de O-Exclusiva . La salida de una puerta Equivalenciade dos entradas permanece en estado 1 si ambas entradas son iguales. En la figura siguientese representa la tabla de verdad y su símbolo.

7. Representación de las funciones lógicas.

Una función lógica se puede representar mediante varias fórmulas matemáticasequivalentes . La tabla de verdad es la misma, pero la expresión matemática ha de ser la mássencilla posible, para que pueda construirse de la forma más sencilla.

De toda las formas posibles que se pueden representar las funciones algebraicas, se puedenconsiderar dos maneras, llamadas formas canónicas. Se utilizan los símbolos + y *, en lugar de losv , y , ^ .

La primera forma canónica, se toma la función por medio de la suma de los productos de lasvariables cuando toman valor 1 o negadas cuando toman valor cero en el caso de que el resultadosea el uno (1).

La segunda forma canónica, se toma mediante los productos de la suma de las variables quetoman valor 0 o negadas cuando toman valor 1, tomando solamente las líneas cuyo resultado sea elcero (0).

Para obtener las formas canónicas a partir de las tablas de verdad, se debe de tener encuenta:

a. En la primera forma canónica aparecen aquellos términos que corresponden a unasalida de valor uno (1) y no figuran aquellas lineas cuya salida es el cero (0).b. En la segunda forma canónica, , figuran los términos cuyas líneas poseen salida cero(0) , no apareciendo las líneas de salida uno(1) . Se escriben directamente las variablesque presentan valor cero (0) y las negadas las correspondientes al valor uno (1) .

Si en la primera forma canónica aparece el término mi , en la segunda forma no aparecerá eltérmino M2

n-1-i , siendo n el número de variables de que depende la función.

Problema 14.- Obtener la expresión algebraica dada por la tabla de verdad de trtesvariables lógicas .

Resolución.

18

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La función canónica que la representa será la forma 1 o la dos, pues poseen el mismonúmero de saldas (1) y (0) . Cuando ocurre esto se toma la forma 1.

f(A,B,C) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C = A . B ( C + C ) +

� A . B ( C + C ) = A . B + A . B

Problema 14.- Construir la tabla de verdad correspondiente a :

f (A,B,C) = A . B + C

Resolución.- f = A . B + C = A . B ( C + C ) + C ( A + A ) = A . B . C + A . B . C + C . A+ C . A = A . B . C + A . B . C + C . A ( B + B) + C . A ( B + B) = A . B . C + A . B . C + C . A .B + C . A . B + C . A . B + C . A . B

La tabla de verdad será :

A B C f

0 0 0 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 0

1 1 0 1

1 0 1 1

0 1 1 0

1 1 1 0

Problema 15.- Obtener las formas canónicas de la siguiente tabla de verdad.

Resolución.-

19

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La primera forma canónica será : f � A ,B ,C �� A .B .C � A. B .C � A . B.C � A. B .C � A . B .C

La segunda forma canónica será : f (A,B,C) = ( A + B + C) * (A + B + C ) * ( A + B + C )

9. El mapa de Karnaugh.

En electrónica digital es muy interesante optimizar un circuito, es decir, simplificarlo. Por lotanto, simplificar la función canónica es obtener otra equivalente con el menor número de términoso de elementos para implementarlo de una forma sencilla y económica.

Existen tres métodos para simplificar las funciones canónicas:

a. Método algebraico.- Consiste en utilizar los postulados, teoremas y las propiedades delálgebra de Boole.

b. Método gráfico de Karnaugh. Se basa en la representación gráfica de la función en lo quese denomina mapa de Karnaugh .

c. Método numérico de Quine McCluskey.- Es un método fácilmente programable que seutiliza para simplificar funciones de un gran número de variables ( superior a cuatro) .

De todos los métodos anteriores, se va a estudiar el método de Karnaugh.

Es un método que se utiliza para simplificar funciones hasta seis variables . Se basa en ladeterminación , a partir de la tabla de verdad, o de las formas canónicas, de otra tabla denominadamapa de Karnaugh, que se construye situando como entradas todas las posibles combinaciones delas variables de las que depende la función que se debe simplificar , de manera que al pasar de unacolumna o fila a la contigua sólo cambie de valor una variable ; es decir, el orden de lascombinaciones de valores debe ser tal que dos adyacentes sólo se pueden diferenciar en unvalor( una secuencia válida sería : 00 01 11 10 ) . La tabla se comporta como un cilindro, esdecir que la primera columna es adyacente a la última y la primera y última fila son tambiénadyacentes.

20

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Al igual que existen dos formas canónicas de una función lógica, existen la posibilidad decrear el mapa de Karnaugh tomando los valores 1 (minterm) o tomando los valores 0 (maxterm). Elmás utilizado es el primero, aunque se van a estudiar los dos.

Método minterm .- En la casilla del cruce de la fila con columna , donde la función

toma valor 1 , se coloca el valor de 1 . A continuación se agrupan los adyacentes en gruposde 2, 4 , 8 o 16 , etc pudiendo haber intersecciones entre los grupos ( cuanto mayor sea laagrupación, mayor será la simplificación) . En la agrupación de 2 se elimina una variable, enuna agrupación de 4 se eliminan dos variables; en una agrupación de 8, se eliminan tresvariables y así sucesivamente . A cada grupo de unos le corresponde un término , donde seeliminan la o las variables que aparezcan con el valor 0 y 1 en el mismo agrupamiento y semantienen las que solamente tengan un único valor. La función resultante de lasimplificación es la que se obtiene de los agrupamientos anteriores , donde las variables quetomen el valor 1 se quedan como están y las que tienen el valor cero, se colocan negadas,relacionándose entre si mediante el producto lógico. Cuando se está trabajando en mintermla función resultante es una agrupación de variables mediante sumas.

Método maxterm.- La forma de proceder es similar al método anterior con dos

diferencias:a. En el mapa de Karnaugh se colocan en este caso los ceros donde los valores de la funciónson ceros.b. Los términos que se obtienen de cada agrupamiento, se relacionan a través de la sumalógica tomando las variables el valor verdadero cuando representen el valor 0 y falso cuandorepresenten el valor 1c. Todas las funciones resultantes de cada grupo se relacionan entre si a través del productológico, formando la función resultante.

21

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Problema 16.- Simplificar por el método de Karnaugh la función lógica que se ajusta a latabla de verdad siguiente:

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

La función canónica será : F = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C

El mapa de Karnaugh será :

Confluencia roja , se eliminan 2 variables .- ( B y C ) se mantiene A

Confluencia azul, se elimina una variable.- (A) se mantiene C*B

La función canónica resultante será F(A,B,C) = A + C*B

Problema 17.- Simplificar por el método algebraico la siguiente función :

f( A,B,C) = A . B . C + A . B . C + A . B . C Resolución.-

f (A,B,C) = A . ( B.C + B.C + B.C ) = A ( B . C + B ( C + C )) = A. ( B . C + B )

Problema 18. Dada la siguiente tabla de verdad, simplificar la función canónica usando

22

0 0 1 1

0 1 1 1

A mantiene el valor 1

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el mapa de Karnaugh.

La función canónica será : f (A , B , C) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C

El mapa de Karnaugh será :

Confluencia azul , se elimina una variable ( C ) , se mantiene A . B

Confluencia azul, se elimina una variable ( C ) , se mantiene A . B

La función canónica será : F (A,B,C ) = A . B + A . B

En definitiva, se debe de tener en cuenta lo siguiente:a. Puede ocurrir que existan varias asociaciones posibles de complejidad equivalente,

escogiéndose cualquiera de ellas.b. Puede suceder que existe un 1 aislado , sin posibilidad de reducción con ninguno

adyacente . La representación será el producto canónico completo c. Un mismo 1 puede ser usado por varias agrupaciones adyacentes y diferentes, si resulta

conveniente en el proceso.

Problema 19.- Reducir, aplicando el método de Karnaugh la función lógica cuya tabla deverdad es la siguiente :

23

0 1 0 1

0 1 0 1

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La función canónica será :

Para su reducción por el mapa de Karnaugh y considerando solamente los unos, se obtendrá:

En la confluencia roja desaparecen dos variables ( B y D ) simplifican : A . CEn la confluencia azul desaparece una variable ( C) simplifican : A . B . DPor fin en la casilla 10 el producto será : A . B . C . D

24

1 1

1 1

1

1

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La función simplificada será : F ( A, B. C, D) = A .C � A . B . D � A. B . C . D

Problema 20.- Deducir razonadamente si son equivalentes o no las siguientes formaslógicas:

a. f1 = x . y . z + x . y . z + x . y . z + x . y . z + x . y . z + x . y . z

b. f2 = ( x + y + z ) . ( x + y + z )

Resolución.- Para saber si es o no cierto, se construyen las tablas de verdad:

X Y Z f1

0 0 0 0

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

1 1 0 1

1 0 1 1

0 1 1 0

1 1 1 1

X Y Z f2

0 0 0 0

1 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 1

1 1 0 1

1 0 1 1

0 1 1 1

1 1 1 1

No son las mismas pues las tablas de verdad son diferentes.

25

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Problema 21.- El funcionamiento de un montacargas está regulado mediante trescaptadores situados debajo del mismo. Debe de funcionar en vacío (ningún captador accionado)y con cargas por debajo de 10 y superiores a 100 Kg (captadores A y B accionados) y debe deestar parado para cargas menores de 10 Kg. (captador A accionado) o superiores a 100 Kg. (lostres captadores accionados) . El captador A está accionado siempre que lo esté el B . Además, loscaptadores A y B están accionados cuando lo está el C. Se pide:

a. La tabla de verdad.b. La función lógica del automatismo.c. El diagrama lógico del circuito.

Resolución.- El montacargas se encuentra en funcionamiento, el estado es el 1 ; si estáparado, será el 0 ; el estado 1 cuando está activado el captador y cero cuando está desactivado.

Variables A, B y C , son los captadores. La tabla de verdad será :

A B C f

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 x

0 0 1 x

0 1 1 x

1 1 0 1

1 0 1 x

1 1 1 0<10 Kg >10Kg > 100 Kg.

< 100Kg

Los valores de x no se sabe cual va a ser la respuesta.

Construyamos el mapa de Karnaugh

En la confluencia roja .- ALa función será f = A + B . C

En la confluencia azul .- B . C

26

1 X 1 0

X X 0 X

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El diagrama electrónico será :Problema 22.- En un circuito de conmutación, la correspondiente entre las tres señales de

entrada y la señal de salida viene definida por la tabla de verdad adjunta:

Calcular :a. La función lógica mediante suma de productos canónicos y mediante producto de

sumas canónicas.b. Realizar un esquema del circuito con el menor número de elementos.c. Poner un ejemplo de circuito práctico con la función lógica obtenida.

Resolución.-

a. f = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C

f = A + B + C ;; función simplificada.

De las intersecciones ese obtienen : B + A + A . C + A . C = A + B + C = f

27

A

B

C

f

0 1 1 1

1 1 1 1

A

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Problema 23 .- En un automóvil de dos puertas se encienden las luces interiores cuandose desactiva alguno de los actuadores existentes en cada puerta o cuando el conductor pulsa encada puerta o cuando el conductor pulsa el actuador manual situado cerca del retrovisor.Calcular:

a. Tabla de verdad.b. El mapa de Karnaughc. Expresión lógica mínima y su diagrama lógico.

Resolución.- Las variables de las puertas se definen como A y B y el actuador del retrovisores C . Los estados activados se representan por 1 y el no activado por cero. Con sólo que exista unactuador activado, el resultado es que las luces se encenderán.

La tabla de verdad será :

a. f = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C

f = A + B + C ;; función simplificada.

28

B

Cf

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F = A + B + C

Problema 24.- En una habitación existe una instalación de alumbrado controlada desdetres puntos mediante dos conmutadores simples y un tercero de cruce o inversor. Se pide :

a. Tabla de verdad.b. Mapa de Karnaugh.c. Expresión lógica mínima y diagrama.

Resolución.-

La activación del sistema será . Cuando se active solamente uno de los tres conmutadores.

Cuando los tres conmutadores se activan.

A B C F

0 0 0 0

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 1 0

1 1 1 1

29

0 1 1 1

1 1 1 1

A

B

C

F

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La función canónica será :

F = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C

El mapa de Karnaugh será :

F = A . ( B . C + B . C ) + A . ( B . C + B . C )

10. Obtención de las funciones lógicas mediante funcioneselementales.

Cuando se diseña un circuito lógico, el primer paso consiste en confeccionar la tabla deverdad del circuito. A partir de este momento, se obtiene la función lógica o canónica ,simplificándose para que el coste de su aplicación sea la menor posible.

Esta función mínima, puede descomponerse en funciones elementales susceptibles deimplementación por medio de la puertas lógicas básicas.

Problema 25.- Una bomba se controla desde tres interuptores A, B y C de manera quefunciona solamente cuando se cierran dos de los interruptores a la vez .

30

0 1 0 1

1 0 1 0

A

B

CF

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Resolución.- Cuando el interruptor está accionado 1 ; cuando se encuentra desactivado 0

F = A . B . C + A . B . C + A . B . C

� A . B� � A� B � A � B �� A . BPor lo general, la realización de una función mediante operadores elementales no es única.

La forma más económica dependerá de la experiencia del diseñador. Las puertas más utilizadas sonlas puertas NAND , seguidas de las NOR .

Una NAND con dos variables C = A . B = A + C

Para implementar una función utilizando las NAND es necesario representarla en forma desuma de términos y si no es posible hacerlo directamente , realizar dos inversiones para tal efecto.Cada término de esta suma se introduce invertido en una entrada de una puerta NAND.

En el caso de la NOR , la expresión será :

C = A + B = A . B

El caso es análogo al de las puertas NAND , utilizándose productos de términos . Estos se

31

A

B

C

F

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introducen invertidos en las entradas NOR.

Problema 26.- Implementar con puertas NAND de la siguiente función.

F (A,B,C) = A . B . C + A . B . C + A . B . C

Solución.-

F = A . B . C + A . B . C + A . B . C =

= ( A . B . C ) . ( A . B . C ) . ( A . B . C )

Problema 27.- Un contactor para accionamiento de un motor eléctrico está gobernado portres finales de carrera A, B y C de modo que funciona si se cumple alguna de las siguientescondiciones:

A accionado, B y C en reposoA en reposo, B y C accionados.A y B en reposo y C accionadosA y B accionados y C en reposo Calcular la tabla de verdad, el mapa de Karnaugh y la expresión lógica y su diagrama.

Resolución.-A B C F

0 0 0 0

1 0 0 1

0 1 1 1

0 0 1 1

1 1 0 1

32

A

B

C

F

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0 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

F = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C

El mapa de Karnaugh será :

F = A . C + A . C

El circuito será

Problema 28.- Utilizando las leyes de Morgan, resolver la ecuación f = A . B . C + B . CUsando :

a. solamente puertas NOR.b. solamente puertas NAND.

Resolución.- a) El primer sumando será : A . B . C = A . B . C

Usando las leyes de Morgan .- A . B . C = A + B + C , que representa una puertaNOR.

El segundo sumando será : B . C = B . C = B + C que representa otra puerta NOR

33

1

11

1

A

B

F

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La representación será :Utilizando las puertas NAND f = ( A . B . C ) . (B . C ) = A . B . C + B . C

Problema 29.- Dada la función f = (( A + B) . ( C + D)) + E. F

Realizar un diseño de interruptores eléctricos.

Resolución.- Los productos (AND) son interruptores en serie. Las sumas (OR) soninterruptores en paralelo . La negación : interruptor normalmente cerrado.

Problema 30.- Dado el circuito digital:

Representar su función canónica.

Resolución.- De la primera puerta NAND : A . B

De la primera puerta NOR : C + D

Del a puerta AND .- ( A . B) . ( C + D)

De la puerta NOT .- C + D

De la puerta OR .- A . B + A . B . ( C + D ) = A . B ( 1 + ( C + D )) == A . B ( ley de absorción)

De la última puerta NAND : (C + D) . ( A . B ) = A . B + C . D =

= A . B + C . D

Problema 31.- Simplificar las siguientes funciones:

f = A . B . C + A . B .C = A . B ( C + C ) = A . B

f = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C = A . C ( B + B ) + A . B .

. ( C + C ) = A . C + A . B

34

A

B

C

D

f

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f = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C

Al ser impar recurramos al mapa de Karnaugh

f = A . B + C

Problema 31 .- Construir el circuito digital, usando las puertas básicas , correspondientea la función canónica:

f = A . B . C + A . ( B + C)

Resolución.- Problema 32.- Un zumbador debe accionarse para dar una señal de alarma cuando

cuatro relés A, B, C y D cumplen las siguientes condiciones:A y B excitados ; C y D en reposo.A y D excitados ; B y C en reposo.C excitado, los demás en reposoA , B y C excitados , D en reposo.

Construir la tabla de verdad y el mapa de Karnaugh para su simplificación.Resolución.- La tabla de verdad será :

A B C D F

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

0 0 0 1 0

1 1 0 0 1

1 0 1 0 0

1 0 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 0 1 0

0 0 1 1 0

35

111 1

1

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1 1 1 0 1

1 1 0 1 0

1 0 1 1 0

0 1 1 1 0

1 1 1 1 0Función canónica :

F = A . B . C . D + A . B . C . D + A . B . C . D + A . B . C . D

f = A . B . D + A . B . C . D + A . B . C . D

Problema 33.- Usando las propiedades del álgebra de Boole y que a, b y c son variablesbinarias, demostrar que :

( a . b ) + ( a . b ) + ( a . b ) + ( a . b ) = 1

Resolución .- a . ( b + b ) + a ( b + b ) = a + a = 1

Anexo .- Equivalencia de las puertas lógicas con circuitos eléctricos y neumáticos.

36

1

1

1 1

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