Lequation de la chaleur

Marguerite GISCLONUMPA, CNRS-UMR no128,

Ecole Normale Superieure de Lyon,46, allee dItalie

69364 LYON CEDEX 07FRANCE

H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Theorie et applications, MassonT. W. Korner, Fourier Analysis, Cambridge University PressLaurent Schwartz, Methodes mathematiques pour les sciences physiques, HermannA. C. Zaanen, Continuity, Integration and Fourier theory Springer VerlagPour la science, dossier hors serie, janvier 1994, les mathematiciens

1 Introduction

Lequation de la chaleur en une dimension est donnee par lequation differentielle partiellesuivante :

u

t(x, t) = c

2u

x2(x, t), x R, t > 0,

ou` c > 0 est une constante donnee, u est une fonction inconnue reelle de deux variables xet t. Lequation de la chaleur est lexemple le plus simple dune equation parabolique. Engeneral, les equations aux derivees partielles sont classees en trois categories : elliptique,parabolique et hyperbolique.

Ici, u = u(x, t) est la temperature dans un conducteur dune dimension. La valeur deu(x, t) depend du temps t 0 et de la position x. En general, la valeur de u(x, t) en t = 0est donnee.

Nous voulons donc resoudre le proble`me de Cauchy :u

t(x, t) = c

2u

x2(x, t), x R, t > 0,

u(x, 0) = f(x), x R.

2 Description physique

Considerons une barre de longueur illimitee. Pour decrire lequation de la chaleur, supposonsque le conducteur a une petite section daire s.

pic

Figure 1:

La quantite de chaleur a` travers la section au point x est (en accord avec lexpe`rience)

approximativement proportionnelle au gradientu

xen x. La quantite de chaleur dans la

1

direction des x croissants pendant un court temps t est

kux

st

ou` k est une constante strictement positive dependant du materiau. Notons que la positivitede k est en accord avec le fait que la chaleur circule du chaud vers le froid. Evidemment,

supposons que u etu

xne changent pas rapidement, k

u

xest la quantite de chaleur par

seconde et par unite despace ciculant le long des x dans la direction negative.Cherchons comment varie au cours du temps la temperature u aux differents points de

la barre. Ecrivons lequation des echanges de chaleur de lintervalle [a, b].La quantite totale de chaleur sortant de [a, b] au temps t est approximativement

k[(ux

)(b, t) (ux

)(a, t)]st (1)

Dun autre cote, supposons que b a est si petit que ut (x, t) est presque constant pourx [a, b], laugmentation de temperature etant u

tt, la meme quantite totale de chaleur

sortante est approximativement egale a`

k1(b a)sut

t (2)

ou` k1 est une constante strictement positive, la chaleur specifique par unite de volume.En general, la quantite specifique cg est donnee par unite de masse donc si le materiau

a la densite alors k1 = cg.On ecrit ensuite que les deux termes (??) et (??) sont egaux, on divise par st(b a)

et on fait tendre b a vers zero dou`u

t=

k

k1

2u

x2.

3 Historique sur lanalyse de Fourier

Le baron Jean-Baptiste Joseph Fourier (Auxerre 1768-Paris 1830) etait obsede par letudede la chaleur, le sujet chaud de lepoque. Il suivit en 1798 lexpedition de Napoleon enEgypte. De retour en France (vers 1801), il concentra son activite sur les mathematiqueset enseigna lanalyse a` lEcole Polytechnique. Vers 1802-1804, il trouva lequation de lapropagation de la chaleur dans les corps solides ; en 1807, il mit au point une methode pourla resoudre : lanalyse de Fourier. Il utilisa sa technique mathematique pour elucider denombreux exemples de propagation de la chaleur (cf le paragraphe ??).

Il remplacait une fonction unique, mais difficile a` decrire mathematiquement, par uneserie beaucoup plus maniable de fonctions sinus ou cosinus, dont la somme reconstituaitla fonction initiale. Lanalyse de Fourier defiait les theories mathematiques auxquelles sescontemporains adheraient sans reserve. Au debut du XIX sie`cle, nombre de mathematiciensparisiens parmi lesquels Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1797),Biot (1744-1862) et Poisson (1781-1840) nacceptaient pas la conjecture de Fourier. Leon-hard Euler (1707-1783) releva des lacunes dans la theorie de Fourier. Aussi, lorsque Fourierexposa sa conjecture lors dune reunion de lAcademie des sciences, Lagrange se leva etdeclara la tenir pour fausse. Mais, lAcademie lui decerna un prix en 1811 pour sa theorie

2

mathematique des lois de propagation de la chaleur et sa verification experimentale. Lesimportantes reserves emises en retarde`rent la publication jusquen 1815. Ce ne fut quen1822 quelle parut sous une forme achevee dans son livre theorie analytique de la chaleur.En depit de ces objections, la mathematicienne Sophie Germain (1776-1831) et lingenieurClaude Navier etendirent la theorie de Fourier a` dautres domaines que la transmission dechaleur. La question de la convergence de la serie de Fourier reapparut a` la fin du XIXsie`cle, lors de tentatives pour predire les mouvements des marees. Lanalyse de Fourier resteinapplicable a` certaines fonctions inhabituelles par exemple celles qui posse`dent un nombreinfini de sauts infinis sur un intervalle fini.

De vastes domaines nouveaux des mathematiques ont ete developpes a` partir de recherchespour savoir si la serie de Fourier de telle ou telle fonction donnee est convergente. Un ex-emple en est la theorie des fonctions generalisees ou distributions a` laquelle sattachent lesnoms de George Temple, Jan Mikunski et Laurent Schwartz (1915- ).

La theorie de Laurent Schwartz nous permet dutiliser lanalyse de Fourier pour resoudredes equations mettant en jeu des concepts intuitifs tels que point massif, point charge, dipolemagnetique ou charges concentrees sur une poutre.

Apre`s environ deux sie`cles de developpement, la theorie de lanalyse de Fourier est a`present solidement structuree et bien comprise.

4 Conducteur circulaire de longueur 2pi

Nous discutons maintenant la temperature dans un conducteur circulaire de longueur 2piou de facon equivalente (voir la figure ??) le cas ou` nous avons une temperature u(x, t) deperiode 2pi en x R.

3

pic

Figure 2:

Theore`me 1 Soient c une constante strictement positive et f une fonction continue 2piperiodique sur R.

Alors, il existe un unique u(x, t), t > 0, x R satisfaisant

1. u(x, t) est 2pi periodique en x, t > 0 ; 2u

x2,u

texistent comme fonctions continues

sur x R, t > 0.2.

u

t(x, t) = c

2u

x2(x, t), t > 0, x R.

3.limt0+

||u(., t) f(.)|| = 0.

La fonction f determine la temperature au temps t = 0.

DemonstrationNous commencons par supposer quil existe une fonction u(x, t) satisfaisant les conditions

mentionnees dans le theore`me pour t > 0, x R. Nous explicitons ensuite u(x, t) puis nousmontrons que u(x, t) trouve satisfait les conditions du theore`me.

Comme u(x, t) converge uniformement vers f(x) quand t tend vers zero, en notant laserie de Fourier de u(x, t)

nZCn(t) exp(inx)

et nZ

f(n) exp(inx)

la serie de Fourier de f on trouve que Cn(t) tend vers

f(n) =12pi

2pi0

f(y) exp(iny)dy

quand t tend vers zero n.Comme

Cn(t) =12pi

2pi0

u(x, t) exp(inx)dx,en utilisant lequation de la chaleur, deux integrations par parties et le fait que u est 2piperiodique en x nous obtenons que Cn(t) verifie lequation differentielle suivante :

C n(t) = n2c Cn(t)

que nous resolvons

Cn(t) = Cn(t0) exp(cn2(t t0)), t t0 > 0.4

Comme Cn(t0) tend vers f(n) quand t0 tend vers zero, nous trouvons

Cn(t) = f(n) exp(cn2t), t > 0.

Ainsi,u(x, t) =

n

f(n) exp(cn2t) exp(inx), t > 0, x R, (3)

verifie lequation de la chaleur dou` le 2) du theore`me.Puis,

u(x, t) =12pi

2pi0

[n

exp(in(x y)) exp(cn2t)]f(y)dy

= pt f(x, t)

= 2pi0 pt(x y)f(y)dy, t > 0, x R,

ou`pt(x) =

12pi

n

exp(inx) exp(cn2t), t > 0. (4)

Remarque :la solution u est de classe C pour x R et t > 0 ce qui montre que lequation de la

chaleur a un effet fortement regularisant sur la donnee initiale f .

Pour demontrer le 3) du theore`me, nous allons ecrire u(x, t) dune aute manie`re maispour cela ecrivons dabord pt dune autre manie`re.

Exercice 1 Sig(x) = exp(x2)

ou` > 0 est une constante donnee alors la transformation de Fourier de g est

g(x) =pi

exp( x

2

4).

Lemme 1 Si g est mesurable sur R, si g est continue telle que

n=+n=

g(x+ 2pin)

converge uniformement sur [0, 2pi], si

n=+n=

g(x0 + 2pin)

converge en au moins un point x0 alorsn

g(x 2pin) = 12pi

n

g(n) exp(inx)

a lieu uniformement sur R.

5

On applique ce lemme avec la fonction g de lexercice ?? ou` = 14ct , t > 0, c > 0 dou`

pt(x) =1

2pict

n

exp( 14ct

(x 2pin)2).

En utilisant deux changements de variable et le fait que f est 2pi periodique, nous trouvons

u(x, t) =14pict

Rexp( y

2

4ct)f(x+ y)dy.

Posons = 14ct

> 0. Comme 1pi

R exp(2y2)dy = 1, on ecrit

u(x, t) f(x) = 1pi

R exp(2y2)[f(x+ y) f(x)]dy.

Lemme 2 La fonction K(x) = 1pi exp(2x2) est une approximation de lidentite.

DemonstrationLa fonction K verifie les trois proprietes demandees :

1. K(x) 0,2.RK(x)dx = 1,

3.|x|x0 K(x)dx tend vers zero quand tend vers linfini x0 > 0 par convergencedominee.

Pour montrer que u(x, t) converge uniformement vers f(x) quand t tend vers zero, cest-a`-dire quand tend vers linfini, on utilise le fait que f est continue et le 3) du lemme ??cest-a`-dire pour > 0 donne,

y0 > 0, y, |y| y0, |f(x+ y) f(x)| 2 , x R

et 0,

|y|y0

K(y)dy 4||f || , 0.

4.1 Information sur le comportement de u(x, t) quand t devient grand

Dapre`s la formule (??)

u(x, t) = f(0) +n6=0

f(n) exp(cn2t) exp(inx), (5)

la solution u(x, t) tend vers f(0) quand t tend vers linfini pour tout x (la convergence estmeme uniforme en x).

Ce qui est important est de remarquer que f(0) est la moyenne de f car

f(0) =12pi

2pi0

f(y)dy

donc la temperature se repartit uniformement quand t est grand.

6

4.2 Un cas de propagation

Levolution des temperatures aux divers points dun anneau de fer a ete lun des premiersphenome`nes analyses par la technique de Fourier.

Un cas de propagation particulie`rement instructif et qui ne presente aucune difficulte decalcul est donc le suivant : on place une flamme sous une region dun anneau. Lorquunepartie de lanneau est chauffe au rouge, on le retire du feu et on lenfouit dans un sablefin isolant. On mesure alors la repartition des temperatures tout autour de lanneau etson evolution dans le temps. Juste apre`s le chauffage, la temperature est irregulie`rementrepartie : une moitie est uniformement chaude, lautre uniformement froide et entre-elles,la temperature decroit brutalement. Pour lanalyse, on deroule lanneau et on mesurela temperature en chaque point, pour obtenir une repartition de la temperature le long dupourtour de lanneau. Fourier proposa la decomposition de la repartition initiale discontinueen une somme dun grand nombre (eventuellement infini) de sinusoides, cest-a`-dire cetterepartition est decomposee en plusieurs courbes sinusoidales :

f(x) =nZ

f(n) exp(inx).

En additionnant 16 de ces courbes, on obtient une bonne approximation de la temperatureinitiale.

A mesure que la chaleur se propage de la region chaude vers la region froide, lestemperatures segalisent peu a` peu. Bientot, la distribution de la chaleur sur lanneauest presque sinusoidale : le graphique representant la valeur de la temperature en fonctionde la position sur lanneau a une forme en S, analogue aux fonctions sinus ou cosinus. En-suite, la sinusoide sapplatit graduellement jusqua` ce que tous les points de lanneau soienta` la meme temperaure.

4.3 Principes du maximum

4.3.1 Principe du maximum pour u(x, t)

Avec la formule (??), on a 2pi0 pt(x)dx = 1, dou` linegalite |u(x, t)| ||f ||, x, dou`

||u(., t)|| ||f ||, t > 0.

4.3.2 Principe du maximum pour u(x, t) f(0)On a avec la meme demonstration quau paragraphe ?? :

||u(., t) f(0)|| ||f f(0)||.

4.4 Si f est paire

Proposition 1 Nous avons lequivalence suivante :

f paire ux

(0, t) = 0, t > 0.

DemonstrationCommencons par demontrer limplication f paire ux(0, t) = 0, t > 0.

7

Nous avonsf(0) =

12pi

pipi

f(y)dy

=1pi

pi0f(y)dy,

f(n) = f(n)

=1pi

pi0f(y)cos(ny)dy, n 1.

Avec la formule (??), nous obtenons

u(x, t) = f(0) + 2+n=1

f(n) exp(cn2t)cos(nx)

donc t > 0 u(x, t) est une fonction paire de x et ux est impaire,u

x(0, t) = 0 =

u

x(pi, t), t > 0.

Il ny a pas de flux de chaleur a` travers les sections en x = 0 et x = pi.

Reciproquement, montrons que si ux(0, t) = 0, t > 0 alors f est paire.La formule (??) donne

u

x(0, t) =

1

[f(n) f(n)] exp(cn2t)in

qui est nulle par hypothe`se. Alors f(n) = f(n) n 1 et f est paire. .

4.5 Si f est impaire

Nous avons une proposition analogue a` la proposition ?? :

Proposition 2 Nous avons les implications suivantes :

f est impaire u(x, t) est impaire de x, t > 0

u(0, t) = 0 = u(pi, t), t > 0,

u(0, t) = 0, t > 0,

f est impaire.DemonstrationSupposons que f est impaire. On a

f(0) = 0,

8

f(n) = f(n)

= ipi pi0 f(y)sin(ny)dy, n 1,

et donc dapre`s la formule (??),

u(x, t) = 2in1

f(n) exp(cn2t)sin(nx)

=2pi

n1

exp(cn2t)( pi0f(y)sin(ny)dy)sin(nx)

est une fonction impaire de x, pour tout t > 0, donc u(0, t) = 0 = u(pi, t).Si f est impaire alors la temperature reste nulle au point 0 et pi.

Reciproquement, montrons que si u(0, t) = 0, t > 0 alors f est impaire.Dapre`s la formule (??),

u(0, t) = f(0) +1

[f(n) + f(n)] exp(cn2t)

est nul par hypothe`se pour tout t > 0, on trouve en posant z = exp(ct)

f(0) +1

[f(n) + f(n)]zn2 = 0, 0 < z < 1,

et donc f(0) = 0, f(n) + f(n) = 0, n 1 donc f est impaire.

5 Tige de longueur finie

Letude precedente peut paraitre restrictive, mais on peut aussi grace a` elle discuter lecomportement de la temperature dans une tige de longueur finie.

5.1 Proble`me de Dirichlet

La temperature a` t = 0 est donnee et verifie les memes conditions aux deux bouts de la tige.La temperature aux deux bouts est egale a` la meme valeur pour tout t > 0. Sans pertede generalite, nous supposons que = 0 et que la longueur de la tige est pi. Precisement,nous avons le theore`me suivant :

Theore`me 2 Soit la constante c > 0 donnee. Nous supposons que la fonction f donneeest continue sur [0, pi] et satisfait f(0) = f(pi) = 0.

Alors, il existe un unique u(x, t), t > 0, 0 x pi tel que1.

2ux2

, ut existent et sont continues sur t > 0, 0 x pi,

2.u

t(x, t) = c

2u

x2(x, t), 0 x pi, t > 0,

9

3. u(0, t) = u(pi, t) = 0, t > 0,4. lim

t0 ||u(., t) f(.)|| = 0.

DemonstrationNous supposons quil existe u(x, t) satisfaisant les conditions du theore`me. Nous allons

construire un prolongement de u a` RR+. Nous etendons u(x, t) et f(x) par imparite sur[pi, pi] et a` tout R par 2pi periodicite.

Donc, nous sommes dans la situation du theore`me ?? : il existe un unique u satisfaisant1), 2), 3), 4). Comme f est impaire, nous avons (voir le paragraphe ??)

u(x, t) =2pi

n1

exp(cn2t)( pi0f(y)sin(ny)dy)sin(nx).

5.2 Le cas de la condition de Neumann

Une autre possibilite est de ne mettre aucune restriction sur la temperature initiale f ex-ceptee la continuite sur [0, pi]. Mais, nous supposons que

u

x(0, t) =

u

x(pi, t) = 0, t > 0.

Supposons encore quil existe au moins un u(x, t) satisfaisant toutes les conditions.Nous etendons u(x, t) et f(x) dabord comme fonctions paires sur [pi, pi] puis comme

fonctions 2pi periodiques sur R. Dapre`s le theore`me ??, u(x, t) satisfait les conditonsdexistence et est determine de facon unique. Comme f est paire, nous obtenons sur [0, pi](voir le paragraphe ??)

u(x, t) =1pi

pi0f(y)dy +

2pi

+n=1

( pi0f(y)cos(ny)dy) exp(cn2t)cos(nx).

5.3 Proble`me mixte

Nous mentionnons une autre variante dans laquelle nous supposons que u = 0 t > 0 enun bout et que ux = 0, t > 0 a` lautre bout.

Sans perte de generalite, nous supposons que la longueur de la tige est pi2 .Alors, u(x, t) doit etre defini pour x [0, pi2 ] et t > 0 tel que

u(0, t) =u

x(pi

2, t) = 0, t > 0.

Commelimt0 ||u f || = 0,

la temperature initiale satisfait f(0) = 0.De facon similaire, nous etendons f et u sur [pi2 , pi2 ] par imparite, sur [pi, pi] tel que f

et u sont paires par rapport a` pi2 et pi2 et a` R comme fonctions 2pi periodiques.

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6 Periodicite en temps

Dans les exemples mentionnes ci-dessus les fonctions sont periodiques en x et pas en t. Voiciun exemple dans lequel le phenome`ne decrit au moins approximativement est periodique entemps. Ceci arrive quand nous essayons de trouver la temperature de la terre a` une certaineprofondeur a` partir de la temperature a` la surface.

Supposons donc que la temperature de la surface est une fonction connue continue f(t)du temps t 0 periodique dune periode dun an.

pic

Figure 3:

Pour simplifier les formules, nous normalisons le temps tel que un an correspond avecun intervalle de temps de longueur 2pi.

La temperature u(x, t) a` la profondeur x > 0 est 2pi periodique en temps.Comme dans les exemples precedents, nous supposons que

u

t(x, t) = c

2u

x2(x, t), x > 0, t > 0,

pour une constante c > 0 appropriee avec ut et2ux2

continues. Alors, de facon similaireu(x, t) converge vers f(t) quand x tend vers 0 (la convergence est uniforme par rapport a`t).

Finalement, il est raisonnable de supposer que u(x, t) est bornee

|u(x, t)| M, t, x,

car x vit dans un compact et u est periodique en t.Comme pour tout x, u(x, t) et ux(x, t) sont continues, 2pi periodiques, la serie de Fourier

de u(x, t)Cn(x) exp(int) converge uniformement vers u(x, t) pour tout x. Comme u(x, t)

converge uniformement vers f(t) quand x tend vers 0, on trouve que Cn(x) tend vers f(n)quand x tend vers 0 pour tout n. Comme

2piCn(x) = 2pi0

u(x, t) exp(int)dt,

en utilisant lequation de la chaleur, une integration par parties et le fait que u est 2piperiodique en temps, nous trouvons

C n(x) =in

cCn(x)

= 2nCn(x),

donc

Cn(x) = An(x0) exp(n(x x0)) +Bn(x0) exp(n(x x0)), x x0 > 0,

ou` x0 est fixe, avec An +Bn = Cn(x0).

11

Remarquons que | exp(n(x x0))| = exp(|n|2c (x x0)) tend vers linfini quand x tend

vers linfini alors que | exp(n(x x0))| tend vers 0 quand x tend vers linfini.Avec de plus lhypothe`se u(x, t) M, x, t, on trouve que An = 0 donc

Cn(x) = Cn(x0) exp(n(x x0)), x x0 > 0.

En faisant tendre x0 vers 0, on trouve

Cn(x) = f(n) exp(nx)

puisu(x, t) =

n

Cn(t) exp(int)

=n

f(n) exp(nx) exp(int inx),

ou` n =

|n|2c

avec un signe pour n > 0 et un signe + pour n 0.De la serie de u(x, t), nous voyons que le nie`me terme f(n) exp(int) dans la serie de

Fourier pour la temperature a` la surface est amortie par un facteur exp(nx) et le decalageest de nx car

f(t) =nZ

f(n) exp(int).

Exercice 2 Si la temperature a` la surface sur une periode de un an est representee par

f(t) = sin(t)

pic

Figure 4:

alorsu(x, t) = exp(1x)sin(t 1x)

pic

Figure 5:

ou` 1 = 12c .Maintenant soit x0 tel que 1x0 = pi. La temperature a` la profondeur x0 est amortie

par un facteur exp(pi) (qui est approximativement 125

) et la phase est pi.

Comme x0 =pi

1= pi

2c, la valeur de x0 depend du materiau, mais la moyenne est a`

peu pre`s de 4 me`tres.

12

7 Tige infinie

Considerons maintenant une conduction de chaleur dans une tige infinie ou` encore latemperature initiale est donnee.

Theore`me 3 Soient f L1(R) et c > 0 donnees.Alors, il existe un unique u(x, t), t > 0, x R tel que ut ,

2ux2

existent en chaque pointet satisfont ut = c

2ux2

avec 2u

x2continue en x, pour tout t.

De plus, les transformees de Fourier u, 2ux2

, ut existent et u satisfaitut =

ut et

||u f ||1 tend vers 0 quand t tend vers 0.

DemonstrationSupposons lexistence dune fonction u satisfaisant ces conditions, nous determinons

explicitement u et prouvons que le u trouve satisfait en effet toutes les conditions, ce quietablit lunicite.

Supposons donc lexistence dau moins un u satisfaisant toutes les conditions men-tionnees.

On applique la transformation de Fourier a` lequation de la chaleur, ce qui donne, graceaux hypothe`ses, lequation differentielle suivante :

u

t= c2u(, t), , t,

que lon resoudu(, t) = u(, t0) exp(c2(t t0)), t t0 > 0.

Comme ||u f ||1 tend vers 0 quand t tend vers 0, on obtient en faisant tendre t0 vers 0 :

u(, t) = f() exp(c2t)

= f()K(),

grace a` lexercice ??, en notant = 14ct , = et K le noyau de Gauss, la solution

fondamentale de lequation de la chaleur :

K(x) =14pict

exp( x2

4ct).

Comme u(, t) = K f , on obtientu(x, t) =

14pict

Rexp( y

2

4ct)f(x y)dy, t > 0, x R.

On prouve ensuite que u = K f satisfait toutes les conditions mentionnees dans letheore`me grace a` la proposition suivante :

Proposition 3 La fonction K est de classe C pour x R et t > 0. De plus, K , Kx ,2Kx2

sont bornes et uniformement continus sur R et (K)t0 est une approximation de lidentite(cf le lemme ??). On a

Kt

= c2Kx2

, x R, t > 0.13

De plus, K(.) tend vers 0 quand t tend vers 0+ au sens suivant

Cb(R), limunionsq+RK()()d = (). (6)

La demonstration de cette proposition utilise K(x) 0,RK(x)dx = 1.

Remarquons que K est paire et quen fait la formule (??) est vraie pour bornee surR, continue en 0.

7.1 Conservation de la masse

Proposition 4 Si f L1(R) alors t 0, u(., t) L1(R) et R u(., t)dx = R f(x)dx.La demonstration repose sur la formule

u(x, t) = K f

et sur le theore`me de Fubini.

7.2 Application

Weierstrass connaisssait bien la solution de lequation de la chaleur donnee par le theore`mesuivant :

Theore`me 4 Supposons que f : R C est une fonction bornee, uniformement continue.Si (x, t) = f K(x), t > 0, alors C(R,R+) avec t (x, t) = c

2x2

(x, t) et (x, t)tend vers f(x) uniformement en x quand t tend vers 0+.

Voyons comment il utilisait ce theore`me :

Theore`me 5 (Theore`me de Stone-Weiertrass)Si g : [a, b] C est continue et > 0, nous pouvons trouver un polynome P tel que

supt[a,b]

|P (t) g(t)|

cest-a`-dire lensemble des polynomes reels est dense dans C([a, b]) pour tout intervalle com-pact [a, b] avec la topologie de la convergence uniforme.

Demonstration1) Soit R = 1 +max(|a|, |b|).Posons

F (t) =

g(t) si t [a, b],

g(b)(b+ 1 t) si t [b, b+ 1],

g(a)(t a+ 1) si t [a 1, a],

0 sinon .

14

Donc, il existe F : R C continue avec

F (t) =

g(t) si t [a, b],

0 si |t| R.

Donc F est automatiquement uniformement continue et bornee sur lintervalle ferme borne[R,R] donc sur R, ce qui implique que F K 1

converge uniformement vers F sur R quand

tend vers 0 (cf le theore`me ??), cest-a`-dire il existe = () > 0 tel que

|F K 1(t) F (t)| <

2, t R.

Commen

r=0xr

r! converge uniformement vers exp(x) sur tout intervalle [S, S] si |x| Set 2S n, il suit que

Q2n(x) :=1

2pi

nr=0

( x2

22)r1r!

converge uniformement sur [2R, 2R] vers 12pi

exp( x222

) = K 12

(x). Comme

F (x) = 0, |x| R,

il existe N tel que

|F K 12

(t) F Q2N (t)| 2 , t [R,R]

puis|F Q2N (t) g(t)| , t [a, b].

Le polynome F Q2N de degre 2N est finalement une bonne approximation de g sur [a, b].

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