CIKLIČKI BROJEVI

Ciklički broj je (p-1)-znamenkasti cijeli broj koji pomnožen s bilo kojim od brojeva

1,2,…, p-1 daje istih p-1 znamenki u istom cikličkom redoslijedu samo s različitom početnom znamenkom.

primjerice:

142857 - ciklički broj sa šest znamenki

- pomnožen s bilo kojim od brojeva 1,2,3,4,5,6 daje isti ciklički broj

142857*5=714285

142857*6=857142

Kako pronaći cikličke brojeve ?

Ciklički brojevi vezani su za proste brojeve.

Neka je p prost broj. Ciklički broj koji se sastoji od (p-1) znamenki dobijemo kada recipročnu vrijednost broja p zapišemo u decimalnom obliku.

Vrijedi li to za sve proste brojeve?

Prvi prost broj s navedenim svojstvom je 7.

1/7=0.142857142857…

prvih šest znamenki predstavlja ciklički broj

142857*1=142857

142857*2=285714

142857*3=428571

142857*4=571428

142857*5=714285

142857*6=857142

- množenjem s brojevima 1,2, 3, 4, 5, 6 dobijemo isti ciklički broj 142857

Pokušajmo s prostim brojevima 3, 13.

Dakle, prosti brojevi 3 i 13 ne generiraju cikličke brojeve.

3,03

1

076923,013

1

2307693*076923

1538462*076923

Vrijedi li navedeno svojstvo i za množenje s bilo kojim višeznamenkastim brojem ?

142857*678=96857046s desna odbrojimo prvih šest znamenki i

pribrojimo ih preostalim znamenkama:

857046+96=857142 rezultat je isti ciklički broj

Ako pomnožimo ciklički broj s prostim brojem koji ga generira dobit ćemo niz devetki.

142857*7=999999

142857 je prvi ciklički broj.

Prosti brojevi koji generiraju cikličke brojeve:

7,17,19,23,29,47,59,61,97,109,113,131,149,167,179,181,193,223,229,233,257,263,269,313,337,367,379,383,389,419,433,461,487,491,499,503,509,541,571,577,593,619,647,659,701,709,727,743,811,821,823,857,863,887,937,941,953,971,977,983…

Svojstva cikličkih brojeva, kojih ima mnogo, poznata su već stotinama godina.

Poznato je da je skup prostih brojeva beskonačan, no još uvijek se nagađa da li je skup cikličkih brojeva također beskonačan.

Postoji samo jedan prost broj manji od 10 koji generira ciklički broj; devet prostih brojeva manjih od 100,…

Cikličkih brojeva, za proste brojeve

koji imaju spomenuto svojstvo ima :

n10 ,...2,1n

,...170169241,19016617,2165288

,248881,25883,3617,467,60,9,1,0

,

Kada navođenje nule ne bi bilo dozvoljeno, 142857 bi bio jedini ciklički broj.

142857 (p=7)

0588235294117647 (p=17)

052631578947368421 (p=19)

0434782608695652173913 (p=23)

0344827586206896551724137931 (p=29)

0212765957446808510638297872340425531914893617

(p=47)

Ograničenja koja isključuju trivijalne slučajeve:

ponavljanje znamenki

npr.

(ciklički broj generiran prostim brojem izgledao bi ovako: )

ponavljanje cikličkih brojeva

(npr. ) jedan broj kojemu prethode nule

(npr. )

3,03

1

333

571428571428

005

Opći oblik cikličkog broja

b= broj baze (npr. 10 za decimalnu bazu)

p= prost broj koji ne dijeli b

(ne vrijedi za sve proste brojeve)

p

b p 11

primjer:

1428577

999999

7

1101

7

10

171

p

b

p

b

p

Cikličke brojeve možemo naći u binarnoj, trinarnoj, oktalnoj, dekatskoj bazi.

U bazama čiji je broj znamenki jednak “savršenom kvadratu” ne postoje ciklički brojevi.

Dakle, heksadecimalna baza ne sadrži niti jedan ciklički broj.

Trik s kartamaOsoba koja izvodi trik prebacuje kartu po kartu s dna na vrh špila. Za to vrijeme prva osoba treba reći jednu boju karte. Špil karata dajemo drugoj osobi koja treba još dva puta prebaciti kartu sa dna na vrh špila. U međuvremenu, treća osoba treba reći jedan broj koji se nalazi između 1 i 7. Na osnovu dobivenih informacija , osoba koja izvodi trik treba na papir zapisati jedan broj, uzeti karte i izbaciti šest karata u boji koju je odabrala prva osoba. Druga osoba na papir zapisuje broj koji se sastoji od znamenki na izdvojenim kartama. Treća osoba množi dobiveni broj s brojem kojeg je odabrala. Kao rezultat dobije točno onaj broj koji je izvođač trika predvidio i zapisao na papir.

Objašnjenje trika:

Cijeli trik je baziran na cikličkom broju 142857. karte razvrstamo prema bojama složimo ih , licem prema gore, As, 4, 2, 8, 5, 7 (u točno tom

redoslijedu) karte 3, 6 , 9 stavimo u bilo kojem redoslijedu tako složimo karte za sve četiri boje razvrstane karte posložimo u jedan špil i zapamtimo

redoslijed boja ostatak, 52-36=16, stavimo na vrh špila dok prebacujemo karte sa dna na vrh treba voditi računa o

tome koja boja karte je na dnu prva osoba kaže boju; ne završavamo prebacivanje dok

nismo sigurni da je skup karata u traženoj boji blizu dna

druga osoba prebaci još dvije karte sa dna na vrh špila

( to nam ne igra nikakvu ulogu; neke od ključnih karti će biti na vrhu špila ali redoslijed je sačuvan)

treća osoba kaže broj između 1 i 7; odabrani broj pomnožimo sa 7 kako bi lakše predvidjeli konačan rezultat

(množenjem odabranog broja sa 7 dobivamo posljednju znamenku cikličkog broja)

uzmemo karte i izbacimo As, 4, 2, 8, 5, 7 u točno tom redoslijedu, u boji koju je odabrala prva osoba

treća osoba množenjem cikličkog broja 142857 sa brojem kojeg je odabrala, dobije broj koji smo mi predvidjeli

Literaturahttp://www.newscientist.com/backpage.ns?id=lw314

 http://mathworld.wolfram.com/CyclicNumber.html

 http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_number

 http://catesfamily.org.uk/maths-corner.html

 http://www.math.sunysb.edu/~tony/whatsnew/column/card-tricks-1000/mulcahy2.html