cilíndrica

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su grfica con la ClassPad 330?Cmo construir una superficie cilndrica y trazar

Prof. Robinson Arcos

INTRODUCCIN:

Trataremos en este Cmo? aspectos sobre:

La construccin de una superficie cilndrica.

El procedimiento que permite encontrar suecuacin cartesiana.

El procedimiento que permite encontrar susecuaciones paramtricas.

El trazado de una porcin de su grfica.

Comencemos estableciendo la siguiente definicin:

Se llama superficie cilndrica a la generada por unarecta que se mueve de tal manera que siempremantiene una direccin fija dada y durante elmovimiento, pasa por una curva fija tambin dada.

Figura 1

La recta que se mueve generando la superficie se llama generatriz y la curva fija dada se llama directriz de lasuperficie cilndrica. Si la generatriz es una curva plana, sta no debe estar en el plano de la directriz.

Estudio de la superficie cilndrica cuando su directriz es una curva plana contenida en un plano paralelo auno de los planos coordenados.

En virtud de la definicin anterior, en cada punto P que se encuentre sobre la superficie cilndrica S, pasar una

recta paralela a la generatriz y una curva paralela y congruente a la directriz (Figura 1). De modo que, en unasuperficie cilndrica estas rectas y curvas son tambin, respectivamente, generatrices y directrices.

Podemos obtener la ecuacin cartesiana de una superficie cilndrica S cuando la directriz es una curvaplana contenida en un plano paralelo a uno de los planos coordenados.

Para fijar ideas, supongamos que de la directriz de la superficie cilndrica se encuentra contenida en un plano

paralelo al plano OYZ, sea )c,b,a(v =r un vector director fijo de la generatriz de la superficie cilndrica (Figura 1).Supongamos adems que la directriz est definida por el par de ecuaciones:

0)z,y(f = (1)0xx = (2)

donde es la ecuacin del plano que contiene a la directriz y0xx = 0)z,y(f = representa la relacin entre y y z.Tomemos un punto cualquiera P sobre la superficie S, entonces la generatriz que pasa porP corta a la

directriz C en el punto del plano OYZ. Las ecuaciones paramtricas de la generatriz que pasa por Q y

tiene vector director

)z,y,x()w,v,u(Q

)c,b,a(v =r , vienen dadas por:

+++

)5(tcwz

)4(tbvy

)3(taux

Rt; donde , dado que la generatriz no debe ser paralela al plano que contiene a la directriz.0a

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0

Dado que Q pertenece a C, sus coordenadas satisfacen las ecuaciones:

)w,v(f = (6)0u = (7)

Tengamos presente que, por definicin de superficie cilndrica, el punto P pertenece a la superficie S, si y slosi sus coordenadas satisfacen las ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7). Estas ecuaciones constituyen un sistema decinco ecuaciones independientes. Eliminando los parmetros u, v, w y t entre estas cinco ecuaciones,encontraremos una ecuacin en las variables x, y, z:

0)z,y,x(F = (8)Esta ltima ecuacin constituye la ecuacin cartesiana de la superficie cilndricaS.

De manera general, este procedimiento se lleva a cabo de la siguiente manera:

Sustituyendo (7) en (3) y despejando t, se obtiene la ecuacina

xt = 0a (9) (recuerde que ). Sustituyendo

ahora (9) en (4) y (5), al despejar v y w se obtienen las ecuaciones xb

yv a

(10) y xc

z a

w (11).

Finalmente, al sustituir (10) y (11) en (6), obtenemos la ecuacin 0xc

z,xb

y = aa f (12). Como puede

observar, esta ltima ecuacin relaciona las tres variables x, y, z, la cual est expresada por la ecuacin (8).

De manera anloga, podemos obtener la ecuacin de la superficie cilndrica para los casos en que la directrizse encuentra contenida en un plano paralelo al plano OXZ, o bien, al plano OXY. En la tabla siguiente se presentaun resumen de las ecuaciones a considerar para la obtencin de la ecuacin cartesiana de la superficie:

Cuando el plano que contiene a la directriz esparalelo al plano OXZ

Cuando el plano que contiene a la directriz esparalelo al plano OXY

Ecuaciones de la directriz::

0)z,x(f =0yy =)c,b,a(v = 0

Q

(1)

(2)

Vector director de la generatriz:r

con b

Ecuaciones paramtricas de la generatriz que pasa

por )w,v,u( y tiene vector director )c,b,a(v =r

,con Q en el plano OXZ:

+++

)5(tcwz

)4(tbvy

)3(taux

Rt

0)w,u(f =0v =

;

donde las coordenadas de Q satisfacen:

(6)

(7) Ecuacin cartesiana de la superficie S que se

obtiene al eliminar los parmetros u, v, w y t entreestas cinco ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7):

0ybcz,y

baxf =

0)y,x(f =0zz

(8)

Ecuaciones de la directriz:

(1)

= (2) Vector director de la generatriz:

)c,b,a(v =r con 0c v

Ecuaciones paramtricas de la generatriz que pasa

por )w,v,u(Q y tiene vector director )c,b,a(

r

,con Q en el plano OXY:

+++

)5(tcwz

)4(tbvy

)3(taux

Rt

0)v,u(f =0w

;

donde las coordenadas de Q satisfacen:

(6)

= (7) Ecuacin cartesiana de la superficie S que se

obtiene al eliminar los parmetros u, v, w y t entreestas cinco ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7):

0zcby,z

caxf = (8)

Tabla 1

Desarrollemos el procedimiento descrito anteriormente resolviendo el siguiente problema:

1. Encuentre la ecuacin cartesiana de la superficie cilndrica cuya directriz es la parbola de

ecuaciones ; y cuya generatriz tiene vector director8z 2,1y6y2 3x = ),2(v =r .

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Solucin a la situacin problemtica planteada:

Las ecuaciones que definen a la directriz C vienen dadas por: (1) ; (2)8 3

)z

) )w

)2

5 R

y6yz 2 + xSi es un punto cualquiera sobre S, entonces la generatriz que pasa porP corta a la directriz C en el

punto del el plano OYZ. Las ecuaciones paramtricas de la generatriz que pasa por y tiene

vector director vienen dadas por:

,y,x(P

,v,u(Q w ,v,u(Q

,1,2(v =r

+++

(t2wz 4(tvy

3(t2ux

))

)

t; Las coordenadas de Q deben satisfacer las ecuaciones:

8v6vw 2 0u

(6)= (7)Para encontrar la ecuacin cartesiana de la superficie cilndrica, sustituimos (7) en (3) y despejamos t

obtenindose2

xt = (8). Sustituyendo ahora (8) en (4) y (5); y despejando v y w se obtienen las ecuaciones:

3

2

xx

0

yv (9) ; (10). Al sustituir(9) y (10) en (6), despus de una simplificacin, se obtiene la ecuacincartesiana de la superficie cilndrica:

zw 32z4y24x8xy4y4x 22 =

Este proceso se puede desarrollar en la Aplicacin Principal de la ClassPad.

En cualquier caso, slo se requiere plantear primeramente las ecuaciones (3), (4), (5), (6) y (7). Los pasos parahallar la ecuacin de la superficie se ejecutan como sigue:

2. Operacin con la ClassPad.

(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lpiz tctil y colquela sobre la mesa. Presione[ON/OFF] paraencenderla o toque la pantalla.

(2) Toque en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicacin Principal.

(3) En la barra de mens toque[Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el rea de trabajo.

(4) Toque [Edit] [Eliminar toda variable] [Acep.] para limpiar las variables asignadas y regresar al rea detrabajo de la aplicacin Principal.

(5) Toque [Formato bsico] [Defecto] [Def.] para configurar el formato de trabajo en la aplicacinPrincipal.

(6) Oprima [Keyboard] y toque la solapa para activar el teclado deplantillas.

(7) Toque . Toque para acceder al teclado devariables.

(8) En el recuadro de la primera lnea de edicin del sistema, escriba laecuacin t2ux + (ecuacin (3)).

(9) En el recuadro de la segunda lnea de edicin, escriba la ecuacintvy + (ecuacin (4)).

(10) En el recuadro de la tercera lnea de edicin, escriba la ecuacint2w (ecuacin (5)).z +

(11) En el recuadro que aparece al final toque .

Aparece la solucin del sistema en funcin de la variables u, x, y, z. Figura 2

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(12) Toque ahora la solapa y luego toque .

(13) En la lnea de entrada escriba la ecuacin 8v6 (ecuacin (6)).vw 2(14) Toque y seguidamente toque (comando Whit).

Ahora registraremos las ecuaciones obtenidas en la solucin del sistema:

(15) Seleccione la primera ecuacin obtenida en la solucin del sistema. Toquepara copiar la ecuacin en el portapapeles (Figura 3).

(16) Ubique el cursor al lado del comando Whit y toque para pegar laecuacin (Figura 4).

(17) Toque . Seleccione la segunda ecuacin obtenida en la solucin delsistema. Toque y ubique el cursor a lado del comando Whit y toque

.

(18) Para terminar, toque . Seleccione la tercera ecuacin obtenida en lasolucin del sistema. Toque y ubique el cursor a lado del comando

Whit y toque . Toque .

(19) Toque . Toque y escriba seguidamente la ecuacin 0u = (ecuacin (7)). Toque .

La ecuacin obtenida es la ecuacin de la superficie cilndrica.

Para simplificar esta ecuacin se procede como sigue:

(20) Toque [Accin] [Ecuacin/ Desigualdad] [rewrite] [ans] [Ejec].

Esto transpone los trminos del segundo miembro al primero.

(21) Toque .

Esto multiplica por 4 cada miembro de la ecuacin.

(22) Toque [Accin] ][Transformacin] [combine] [ans] [Ejec].

Se obtiene de manera simplificada la ecuacin de la superficie:

032z4y24x8xy4y4x 22 =

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Cmo encontrar, a partir de la ecuacin cartesiana de una superficie cilndrica, las ecuaciones de unadirectriz y un vector director de sus generatrices?

Aqu trataremos el problema inverso, a saber, encontrar las ecuaciones de una directriz y un vector director delas generatrices de una superficie cilndrica, a partir de su ecuacin cartesiana.

Observacin: Para ello, tenga presente que, por definicin de superficie cilndrica, se deduce que las seccionesobtenidas por planos paralelos al plano de la directriz son curvas congruentes con la directriz.

Veamos el siguiente ejemplo:

3. Muestre que la ecuacin

4

1yz2xz2z2yx 222 = representa una superficie cilndrica y encuentre las ecuaciones de una de sus directrices y un vectordirector de sus generatrices.


De acuerdo con lo establecido en la observacin anterior, las ecuaciones de la familia de las secciones que se

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obtienen al cortar la superficie cilndrica por la familia de planos de ecuacin kz = , donde k es una constante real,son:

1 zky2kx2k2yx 222 = ; k (1)Las ecuaciones (1) representan, para cada valor de k, las ecuaciones cartesianas de una directriz situada en el

plano de ecuacin (paralelo al plano OXY).k

k

z =Las ecuaciones (1) se pueden escribir en la forma:

1 z)ky()kx( 22 = ; = (2)En consecuencia, (2) representa las ecuaciones de una circunferencia con centro en el punto )k,k(A de radio

1 para cualquier valor de k. Lo que demuestra que estamos en presencia de curvas congruentes (las directrices).En particular si tomamos k tenemos la directriz situada en el plano OXY, definida por:0

22 0

=1 zyx = ; = (3)

El lugar geomtrico de los centros de todas las directrices es una recta cuyas ecuaciones paramtricas, de

acuerdo con (2), son: (4) bien, vectorialmente: ==zy

k

k

kx

)1,1,1(k)z,y,x( (5).que representa una recta que pasa por el origen y tiene vector director )1,1,1(v r . Dado que esta recta esparalela a las generatrices, el vector es un vector director de las mismas.)1,1,1(v r

Cmo se realizan estos clculos en la ClassPad?


(23) En la Aplicacin Principal toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar lapantalla.

(24) Active el teclado virtual [mth] y toque [VAR] para activar el teclado devariables.

Para obtener la ecuacin cuadrtica (2), debemos completar cuadradosen la ecuacin cuadrtica (1):

(25) En la lnea de entrada escriba la ecuacin cuadrtica (1) en la forma:

1kky2ykkx2x 2222 = .(26) Seleccione los tres primeros trminos de esta ecuacin y toque

[Interactivo] [Transformacin] [factor] (Figuras 6 y 7).

(27) Ahora seleccione la ecuacin en la lnea de salida y arrastre hasta la lneade entrada y suelte.

Obtendr una copia de la ecuacin en la lnea de entrada (Figura 7).

(28) En la lnea de entrada, seleccione los tres ltimos trminos del primermiembro de la ecuacin. Toque [Interactivo] [Transformacin] [factor].

Se obtiene la ecuacin cuadrtica (2):

1)ky()kx( 22 = Para hallar el vector director de las generatrices procedemos de la

siguiente manera:

(29) Active el teclado 2D y toque . Toquedos veces el botn .

(30) Toque la solapa . En el primer recuadro toque. En el segundo recuadro toque t en el tercer recuadro toque .

Toque .r

Se obtiene el vector director 11,1( 5

),v =

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS:

5. En cada uno de los siguientes ejercicios se dan, las ecuaciones de la directriz y el vector director dela generatriz de una superficie cilndrica. Encuentre en cada caso la ecuacin de la superficie cilndrica:

a) x4y2 = , 0z = ; )1,1,1(v r .b) 1z = , 0y = ; )1,1,2(x 22 v r .c) 1y2 = , 0z = ; )1,2,0( .x

x2 =2 v r

d) 1y , 0z = ; )1,0,2(v =r .e) 0z4 = , 0y = ; )0,1,4(v =zx4 2 + 2 r .

6. En cada uno de los siguientes ejercicios muestre que la ecuacin dada representa una superficiecilndrica encontrando las ecuaciones de una directriz y un vector director de sus generatrices:

a) 04 = ; Sugerencia: haga kzyz4xz2z5yx 222 + = .b) 02 = ; Sugerencia: haga kxxz6xy8zy2x17 222 = .c) 36yz8 ; Sugerencia: haga kyxy54z4y77x9 222 = = .

7. Encuentre la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se mueve de tal manera que

su distancia al plano OXY es siempre igual a la mitad del cuadrado de su distancia al eje OY. Construir lasuperficie.

)z,y,x(P

Qu son las coordenadas cilndricas?

Si las generatrices de una superficie cilndrica sonperpendiculares al plano de su directriz, sta se llama superficiecilndrica recta y en caso contrario, se le llama superficie cilndricaoblicua. Las superficies cilndricas rectas son de gran importancia.

Por el procedimiento empleado aqu, se puede demostrar que laecuacin cartesiana de una superficie cilndrica recta, cuyasgeneratrices son perpendiculares al plano coordenado de sudirectriz, carece de la variable no medida en ese plano (variablelibre). Adems, el lugar geomtrico plano de esta ecuacin es la

directriz. Por ejemplo, la ecuacin representa una

superficie cilndrica recta cuyas generatrices son perpendiculares al

plano OXY y cuya directriz es la circunferencia de ecuaciones; .

6

5

0

yyx 22 =

5 z =yyx 22 =Si la directriz de una superficie cilndrica es una circunferencia, la

superficie se llama circular. De manera semejante, tenemossuperficies cilndricas parablicas, elpticas e hiperblicas. Unplano tambin es una superficie cilndrica cuya directriz es una recta.

Figura 10

Es propicio tratar aqu la relacin entre las coordenadas cartesianas de un punto P en el espacio con suscoordenadas cilndricas.

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7

)z

0

2

)

r

Sea P un punto arbitrario en el espacio cuya posicin en coordenadas cartesianas o rectangulares es .

Este punto, por la discusin anterior, pertenece a una superficie cilndrica circular recta de radio r cuyo eje es eleje OZ (rrepresenta la distancia de P al eje OZ). La ecuacin de esta superficie es por lo tanto:

,y,x(P>22 ryx = (1)

En la Figura 10 se muestra parte de esta superficie con en el primer octante. Si porP y el eje OZ

hacemos pasar un plano, ste cortar a la superficie en una generatriz cuyo punto de interseccin con el plano OXY

ser el punto Q. De modo que OQ y sea

z,y,x(P

= la magnitud del ngulo formado por el segmento OQ y la partepositiva del eje OX. Se obtienen entonces para P, las relaciones:cosrx ; rseny ; zz = (2)

Estas relaciones permiten entonces establecer la posicin de cualquier punto P del espacio cuando se conocenlos tres nmeros . Esta terna de nmeros, listados en ese orden, se llama coordenadas cilndricas del

punto P y se escribe . Para que la terna represente la posicin del punto P de manera unvoca, los valores

de

z

)

,,r P z,,r(

r y deben restringirse, por convencin, a los intervalos:

0r ; 20 .Realizando algunos clculos podemos establecer lo siguiente:

Las coordenadas rectangulares y las coordenadas cilndricas de un punto P en el

espacio estn ligadas por las relaciones:

)z,y,x( )z,,r( zzcosrx ; = rseny ; =

Se pueden efectuar transformaciones entre los dos sistemas coordenados por medio de estasecuaciones para obtener las siguientes relaciones inversas:

22 yxr + ; =y

arctan 0x x si , 2= 0xsi = , ;0y >

2

3= 0 0si x , y

22 yx

xcos += ; 22 yxsen +

y= para x , y no nulas simultneamente.Las variaciones para r , , z estn dadas por los intervalos:

0r ; < 20 Rz; .Observacin: Debe tenerse presente que cualquier punto sobre el eje OZ est representado en

coordenadas cilndricas como para cualquier valor de

)z,0,0

)z,,0(P (P < 20 .Cmo establecer las ecuaciones paramtricas de una superficie cilndrica?

Si S es una superficie cilndrica y C es una de sus directrices, cualquier otra directriz C se obtiene a partir de Cpor medio de una traslacin definida por un vector paralelo al vector director de sus generatrices. Este hecho nos dauna manera de encontrar una parametrizacin para una superficie cilndrica S:

Sea S una superficie cilndrica y C una de sus directrices. Supongamos que C est definida por una funcin

vectorial 3RI: r , donde I es un intervalo y dada por ))s(z),s(y),s(x()s( =r para s . Entonces C tiene lassiguientes ecuaciones paramtricas:

I

I

)

s;

)s(zz

)s(yy)s(xx

:C ==

= (1)

Sea c,b,a(v =r un vector director de sus generatrices, entonces la funcin vectorial 3RRI:r r definidapor:

vt)s()t,s(rr

rr + para Is y Rt

es una parametrizacin de la superficie S.

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R

8

Las ecuaciones paramtricas de S vienen dadas por:

t,Is;

tc)s(zz

tb)s(yy

ta)s(xx

:S

+++

(2)

Observaciones:

Para cada valor fijo que asuma la variable t ( 0tt = ) y todos los valores de s variando en I, los puntosvt)s()t,s(r 00r

rr + representan una copia C de la directriz C de la superficie cilndrica S. Es decir, C esuna traslacin de la directriz C en la direccin, sentido y tamao del vector vt0

r

. Al variar continuamente

Rt se obtiene copias sucesivas de C que constituirn la superficie S; es decir, S es el lugar geomtricode todas estas traslaciones(observe la Figura 1).

Por otra parte, para cada valor fijo que asuma la variable s ( 0ss = ) y todos los valores de t variando en losnmeros reales, los puntos vt)s()t,s(r 00

rrr

I

+ representa una generatriz de la superficie S. Al variarcontinuamente se obtienen rectas paralelas, es decir, S es el lugar geomtrico de la familia de todas

sus generatrices (observe la Figura 1). En particular, si

s

Ot

r

s

r rrr R para cada I)t,s( , stas

directrices y generatrices conforman un sistema de posicionamiento para cualquier punto P sobre S. P se

encuentra siempre en la interseccin de una directriz y una generatriz, ( vt)s() 00t,s(rOP 00rr

r + ). En realidad slo podemos trazar una porcin de la superficie cilndrica. De modo que los parmetros s y t

tomarn valores en intervalos cerrados y acotados: bsa y dtc . Adems, en muchos problemasde trazado de la superficie, conviene utilizar, en la parametrizacin de S, un vector director unitario

)c,b,a(u =r de las generatrices, esto es, 1c2 = (longitud unitaria). De manera que paracada valor de t, el vector ut

ba 22 +u =rr

sea un mltiplo de t ( tut =r ), de este modo si dtc entonces la longituddel segmento generatriz ser cd . Veamos esto en un ejemplo:

8. Establezca las ecuaciones paramtricas de la superficie cilndrica S con las siguientes condiciones:

Su directriz C, es la curva de ecuaciones 8y6z ; 0xy2 = para 4y2 . Sus generatrices tienen longitud de 2 unidades.

Un vector director de las generatrices es )0,1,1(v =r .Solucin a la situacin problemtica planteada:

Encontremos primeramente una parametrizacin de la directriz C. De acuerdo con la primera condicin, de larelacin funcional entre las variables y, z, tenemos que:

4s2;

8s6sz

sy

0x

:C2

==

Tomemos ahora el vector director unitario

= 0,2

1,

2

1)0,1,1(

2

1

v

vr

r

ur

ut

. De manera que si las

generatrices tienen longitud 2 unidades, entonces el parmetro t del vector de traslacin

r

en la parametrizacinde S, satisface . Con esto, la familia de directrices se formar empezando con la directriz C y las demssiguen la direccin del vector

r

. En consecuencia, las ecuaciones paramtricas de S vienen dadas por:2t0

v

2t0,4s

8s6sz2

sy

2

tx

:S

2

+

=.2;

t

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Cmo se traza, en la ClassPad, la grfica de una superficie cilndrica definida por sus ecuacionesparamtricas?

La Aplicacin Grficos 3D del men de Aplicaciones Incorporadas de la ClassPad 330 permite trazar lagrfica de una superficie definida por sus ecuaciones paramtricas:

)

)t )t en un rectn == t,s(zz ,s(yy

= )t,s(xxpara ,s( gulo [ ] [ ]d,cb,a .

9

sta aplicacin para trazar la grfica de la superficie cilndrica del ejemplo precedente:Utilicemos e


(31) Con el lpiz tctil toque en el panel de iconos y luego toquepara activar la Aplicacin Grficos 3D.

Aparecer una pantalla dividida presentando la ventana del editor deerior) y la ventana de grficos 3D (ventanainferior).

(32) En la barra de mens toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar las

grficos 3D (ventana sup

ventanas de la aplicacin.

(33) Toque [Formato 3D]. En el cuadro de dilogo toque [Defecto] [Def.].

ntas toque el bo

Esta es la configuracin por defecto del formato 3D (Figura 3).

(34) En la barra de herramie tn para activar en el editor la

El botn

modalidad paramtrica.

cambia a anunciando que se ha pasado de la

)t

representacin rectangular )y,x(fz = a representacin en ecuacionesparamtricas

== s(zz )t,s(yy (Figura 12)., = )t,s(xx

(35) Oprima y toque la solapa .

Observe que en la barra de erramientas aparecen los botonesh y .

superficie.Estos botones se usan para editar las ecuaciones paramtricas de la

(36) Registre en el recuadro de la lnea de edicin Xst1: la expresin2

t.

Toque .

(37) Registre en el recuadro de la lnea de edicinYst1: la expresin2

ts + .

Toque .

(38) Registre en el recuadro de la lnea de edicin Zst1: la expresin

8s6s2 . Toque .ta manera han quedado almacenadas las ecuaciones paramtricas. De es

Figura 11

Figura 12

Figura 13

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10

s necesario tener una idea de la extensin que ocupa en elperficie que queremos trazar.

(39) En la ba que el bo

Antes de trazar la grfica de la superficie, es necesario configurar losparmetros de la Ventana de Visualizacin. Para configurar estosparmetros eespacio la su

rra de herramientas to tn para acceder directamente

10

de visualizacin en el plano

0: ; 2:Mxz

Con estos parm intervalo de visualizacin de lavariable z mayor que el intervalo de variacin (Figura 14).

En la barra de herramientas

a la ventana de visualizacin.

(40) En el cuadro de dilogo configure los siguientes parmetros:

0 ; :Mxx

0 ; :Mxy

:Mnx

:Mny

3 ; :xjillaRe

; 10:yjillaRe6

Con estos parmetros declaramos un intervalo de visualizacin para lavariable x y un intervalo de visualizacin para la variable y. Observe queestos intervalos son mayores a los intervalos de variacin de ambasvariables. Esto define un rectngulo baseOXY. Los valores de rejilla indican que la superficie debe dibujarse con 10directrices y 10 generatrices.

(41) En el mismo cuadro de dilogo configure los parmetros:

Mnz

etros se indica un

(42) A la derecha de la ventana de visualizacin deslice la barra dedesplazamiento hasta el final y configure los siguientes parmetros:

2:s.mm ; 4:s.mx ; 0:t.mn ; 2:t.mx

Con estos parmetros estamos indicando los intervalos de variacin delas variables s y t, respectivamente.

(43) Toque [Acep.].

(44) toque para trazar la grfica de la

superficie. Toque para maximizar la ventana.

Aparece la grfica de la superficie cilndrica.

(45) Toque varias veces e tnl bo pa ar tos.ra realiz alejamien

(46) Toquevarias veces el botn para realizar acercamientos.

e Estas funcion s de amiento y acercamiento de la grfica de la

superficie pueden realiza primiendo, respectivamente, las teclas

alej

rse o

y del teclado fsico de la calculadora.

(47) En la barra de mens toque [Zoom].

en despl osEn el m egable aparecen los comandque realizan las mismas funciones de acerca

[Aumentar] ymiento y alejamiento.

perficie a los

o 3D para

[Reducir]

(48) Toque [Visualizacin inicial] para regresar la grfica de la suparmetros iniciales.

Realicemos modificaciones en los parmetros del Formatvisualizar las direcciones de los ejes coordenados, las etiquetas delos ejes y las flechas del controlador de grfico.

(49) Toque [Formato 3D]. Aparece el cuadro de dilogo. A la derecha en

el recuadro [Ejes], toque el botn y seleccione la opcin [on] para

activar las direcciones de los ejes de coordenadas.

(50) De manera anloga, en el recuadro [Etiquetas], toque el botn yseleccione la opcin [on] para activar las etiquetas de los ejes.

Figura 14

Figura 15

Figura 16

Figura 17

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11

l cuadro de dilogo toque el recuadro de verificacin(51) En la parte inferior depara activar el [controlador G].

(52) Toque [Def.] para confirmar los cambios introducidos y regresar a laventana de grficos 3D.

Aparecen en pantalla los ejes coordenados, las etiquetas de los ejes y laflechas del controlador de grfico (,,,) (Figura 17).

(53) En la barra de mens toque[Rotar] [IzquierdaDerecha]. Observe la grfica de la superficie rotando de izquierda a derecha.

(54) En el panel de iconos toque para detener la rotacin.

(55) De igual manera active las dems rotaciones del submen [Rotar].

(56) Toque [Zoom] [Visualizacin inicial].

na de grficos 3D, permiten rotar manualmente la

bserve cada

punto

Las flechas del controlador de grfico (, , , ) que se encuentran acada lado de la ventagrfica de la superficie cada vez que reciben un toque.

(57) Toque varias veces cada una de las flechas del controlador y ouno de los movimientos que realiza la grfica de la superficie.

Tambin puede visualizarse la grfica de la superficie desde unsituado en el semieje positivo OX.

(58) Toque [Zoom] [Visualizaci .n x]

(59) Toque [Zoom] [Visualizacin y]. Se visualiza la grfica de la superficie desde un punto situado en el

semieje positivo OY.

(60) Toque [Zoom] [Visualizacin z].

Se visualiza la grfica de la superficie desde un punto situado en elsemieje positivo OZ.


(62) Toque [Formato 3D]. Aparece el cuadro de dilogo. A la derecha en

el recuadro [Ejes], toque el botn y seleccione la opcin [cuadro] yperficie dentro de la caja rectangular.luego toque [Def.] para situar la su

(63) Oprima varias veces la tecla y toque la flecha (Figura 18).

En esta caja puede apreciarse la direccin del vector )0,1,1(v =r que

icie desde un p en elbin la direccin que siguen las

n.

siguen las generatrices.

(64) Toque [Zoom] [Visualizacin z].

Se visualiza la grfica de la superfsemieje positivo OZ, observe aqu tam

unto situado

generatrices.


(66) Realice alejamientos para visualizar completamente la caja de visualizaci

(67) Toque el botn . los siguientes ajustes:Realice

ngulo : 40 ; ngulo : 70 Estos son los ngulos de visua

mostrada en la Figura 20. Estlizacin. Obtendr una pantalla como laa es la posicin como generalmente se

presentan las grficas de las superficies en los textos de clculo.

Figura 18

Figura 19

Figura 20

10. Trace la grfica del cilindro circular oblicuo cuya base es la curva de ecuaciones 9yx 22 = ;0z = y cuya altura es de 5 unidades. Las generatrices siguen la direccin del vector )1,1,1(v =r .

7/22/2019 cilndrica

12/16

12


La curva de ecuaciones 9yx 22 = ; 0z = es la generatriz C de la superficie cie escribirse de manera equivalente como

lndrica S. La primera ecuacin

pued 13

yx 22 =+ , lo que co3 nstituye una suma de cuadrados igual a

la unidad, de manera qu de coordenadas en la directriz, existe un ngulo de

magnitud s tal que

ier puntoe para cualqu )0,y,x(

)scos( ;3

x = )s( ; zsen3

y = 0 o bien, )scos(3x = ; )s(sen3y = ; 0z = con 2s0 .Luego, las ecuaciones paramtricas de C vienen dadas por:

con

===

0z

)s(sen3y

)scos(3x

:C 2s0 .Por otra parte, la traslacin de la directriz para cualquier valor de t, en la direccin del vector

r

vien

ada p

)1,1,1(v = ed or

. Dado que la altura del cilindro, medida verticalmente, debe ser d s, si

nos bre

OX

=

3

t,

3

t,

3

tutr

e 5 unidade

des so0t = encontraremos en la directriz C, Para encontrarnos sobre la directriz a la altura de 5 unida elY, la tercera coordenada debe ser igual a 5, esto es,plano 5

t = o equivalentem3

ente, 35t = . Enconsecuencia las ecuaciones paramtricas de S son:

3

)s(sen3y

t

:S

=++

3

tz

t3

)scos(3x

para 2s0 y 35t0 .

Trazado de la grfica del cilindro:


(68) Toque para activar la ventana del editor de grficos 3D.

i(69) Opr ma y toque la solapa . En la parte inferior de este teclado

toque para acceder al teclado trigonomtrico. Toque .

(70) Registre en el recuadro de la lnea de edicin Xst2: la sinexpre

3

t)scos(3 Toque. .

(71) Registre en el recuadro de la lnea de edicin Yst2: la expresin

3. Toque

t)s(sen3 + .

(72) Registre en el recuadro de la lnea de edicin Zst2: la expresin3

.t

Toque .

Configuremos ahora los parmetros de la ventana de visualizacin:

Observe que al vari 2ar s0 y 3 , el cilindro se encontrardefinida

5t0 en el primer octante, en la caja por [ ] [ ] [ .]5,08,38,3

Figura 21

7/22/2019 cilndrica

13/16

13

(73) En la barra de herramientas toque el botn para acceder directamente

Esto configura la caja d

a la ventana de visualizacin.

(74) En el cuadro de dilogo configure los siguientes parmetros:

3:Mnx ; 8:Mxx ; 20:xjillaRe 3:Mny ; 8:Mxy ; 20:yjillaRe

z 0:Mn ; 5:Mxz

e visualizacin [ Figura 22[ ] [ ]5,08,38,3 (Figura 22).2 ; 0:t.mn ;

(75) Configure ahora los siguientes parmetros:

0:s.mm ; :s.mx 35:t.mx

s s y t (Fig. 23).Esto configura los intervalos de variacin de las variable

(76) Configure los parmetros: ngulo : 20 ; ngulo : 70 y toque [Acep.].(77) Toque para maximizar la ventana de grficos 3D.

c

Aparece la grfica de la superficie cilndrica dentro de la caja.

(78) Oprima varias veces la te la para realizar alejamientos.

Podemos apreciar el cilindro circular oblicu ccin del

Figura 23

o en la dire vector

)1,1,1(v =r

. Para verificar la altura del cilindro podemos utilizar el comando [Trazo].

un cursor en a de c sobre la superficie cilndrica. En laparte inferior de la pantalla se mue n las coordenadas x, y, z del puntodonde se ubica el cursor sobre la sup cie y los valorecorrespondientes a los parme s s y t.

rolador de gue el va

(81) Toque

(79) En la barra de mens toque [Anlisis] [Trazo].

Aparece form ruzstra

erfi stro

(80) Toque varias veces la flecha del cont rficos hasta ubicar elcursor en la ltima directriz. Observar q lor mostrado para lacoordenada z es 5 (Figura 23).

para desactivar la modalidad de zo.tra

Figura 23

Podemo zar la grfica de una superficie cilndrica cuya directriz C no es una curva plana. Si se conocen lasodemos utilizar las ecuaciones paramtricas de S

es no debe seguir una direccin que obligue

s traecuaciones paramtricas de C y la direccin de las generatrices pexpuestas aqu. La nica restriccin en este caso, es que las generatric

a la superficie a cortarse a si misma (debe ser Ovt)s(r

rr para cada RI)t,s( ), dado qu cho hacee este he

perder a S su condicin de superficie cilndrica.

Veamos el siguiente ejemplo:

12. Trace la grfica de la superficie cilndrica cuya directriz tien se las siguientes ecuacione

paramtricas:

= /sy )scos(4x:C para = )s(sen6z

2s0 .La direccin de las generatrices est determinada por el vector )0,1,0(u = , tome 5t0 .

7/22/2019 cilndrica

14/16


)

para

De acuerdo a los datos las ecuaciones paramtricas de la superficie cilndrica S vienen dadas por:

= +=

s(sen6z

t/sy

)scos(4x

:S 2s y 00 5t

Trazado de la grfica de S:


(82) Toque para activar la ventana del editor de grficos 3D.

14

(83) Oprima y toque la solapa . En la parte inferior de este teclado

toque para accede

ventana

r al teclado trigonomtrico.

4) Registre en la del editor de grficos 3D las ecuacionesparamtricas de la superficie S:

(8

(85) En la barra de herramientas toque el botn para acceder a la ventana

En el cuadro de dilogo configure los siguientes parmetros:

4:Mnx ; 4:Mxx ; 20:xjillaRe 0:Mny ; 7:Mxy ; jillaRe

:Mnz 6: e visuali

de visualizacin.

(86)

20:y

6 ; Mxz

zacin Esto configura la caja d [ ] [ ] [ ]6,67,4,4 0 .(87) Configure de visualizacin:

ngulo : 20 ; ngulo : 70etros:

0:s.mm ; 2:s.mx ; mn 5:t.mx

los parmetros

(88) Configure los siguientes parm

0:t. ; Esto configura los intervalos de variacin de las variables s y t.

(89) Toque [Acep.].

Toque(90) para maximizar la ventana de grficos 3D.

Aparece la grfica de la superficie cilndrica dentro de la caja.

(91) Toque varias veces el botn para realizar alejamientos.

(92) En la barra de men s toque[Rotar] [Izquierda Derecha].superficie de

izquierda a derecha.

(93) En el panel de iconos toque

Esto activa automticamente la rotacin de la grfica de la

para detener la rotacin.

(94) en [Rotar]De igual manera active las dems rotaciones del subm

(95) Toque para detener la rotacin.

Figura 24

Figura 25

7/22/2019 cilndrica

15/16

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS:

14. Trace la grfica de cada una de las siguientes superficies cilndricas con las condiciones dadas yctive la modalidad de rotacin automtica paracon los parmetros de visualizacin que se indican. A

visualizar la superficie:

a) Condiciones:

Su directriz C es la curv de ecuacionesa

15

1yx 22 = ; 0z44

= para 2y2 . Sus generatrices tienen longitud de 4 unidades.

Un vector director de las generatrices es )1,0,0(v =r .Sugerencia: Use para C las ecuaciones paramtri )

)s(

cas == 0z stan(2y:C = sec2x

con4

.2:Mnx ; 3:Mxx ; 20:xjillaRe ; 2:Mny

s4

; 2:Mxy ; Re 20:yjilla ; 0:Mnz ; 4:Mxz ; ;b) Condiciones:

nes 4zx 22

4/ ; mxs:mns 4/: ; 0:mnt 4:mxt .

Su directriz C es la curva de ecuacio + = ; 0y = . Sus generatrices tienen longitud de 3 unidades.

Un vector director de las generatrices es )1,2,0(v r .2:Mnx ; 2:Mxx ; 20:xjillaRe ; 0:Mny ; 3:Mxy ; 20:yjillaRe ; 4:Mnz ; 3:Mxz ;

0:mns ; 2:mxs ; 0:mnt ; 3:mxt

y2

.

c) Condiciones:

Su directriz C es la curva de ecuaciones x4 ; 0z = para 4y4 . Sus generatrices tienen longitud de 4 unidades.

Un vector director de las generatrices es )1,1,1( vr .0:Mnx ; 7:Mxx ; 20:xjillaRe ; 7:Mny ; Mxy 4: 20: ; 0:Mnz ; 3:Mxz ;

d io

z son

)s(sen))scos(1(2y )scos())scos(1(2x:C para

; yjillaRe

4:mns ; 4:mxs ; 0:mnt ; 4:mxt .) Condic

Las ecu

nes

ion tri la d

:

ac es param cas de irectri :

= 0z 2s0 .

Sus generatrices tienen longitud 4 unidades.

Un vector director de las generatrices es )0,0,1(v =r .5.4: ; 5.1:Mxx 20:xjilla ; 3:MnyMnx ; Re ; 3:Mxy 20:yjilla ; 0:Mnz ; 4:Mxz ;

0:mns ; 2:mxs ; 0:mnt ; 4:mxt . ; Re

7/22/2019 cilndrica

16/16

e) Condiciones:

Las ecuaciones paramtricas de la directriz son:

= )s2co)scos(2x == )s2cos()s(sen2z 0y: para

s(

C 2s0 . Sus generatrices tienen longitud 2 unidades.

rector de las generatrices es )0,1,0(v = Un vector di r .2: ; 10:yjillaRe ; 2:Mnz ; 2:Mxz ;

;

f) Condiciones:

n:

=))

))s(ns(3y:C para

2:Mnx ; 2:Mxx ; 60:xjillaRe ; 0:Mny ; Mxy0:mns 2:mxs ; 0:mnt ; mxt 2: .

Las ecuaciones paramtricas de la directriz so

sos(1(3z cse= 0x 2s0 .

Sus generatrices tiene

Un vector director de las 0,1(

n longitud 6 unidades.

generatrices es v )0,r

.0:Mnx ; Mxx

0:mns ; mx

6: ; 20:xjillaRe ; 0:Mny ; 19:Mxy ; 20:yjillaRe ; 0:Mnz ; 6:Mxz ;

Las ecuaciones paramtricas de la directriz son:

=s

)s(cos3x 3

ara

2:s ; 0:mnt ; 6:mxt .g) Condiciones:

= )(sen3z 3 = 0y:C p 2s0 .

Sus ge trices ti n Un vector director la ,1(

nera ene unidades.de

longitud 3s generatrices es v )1,1

r

.

3:Mxy ;3:Mnx ; M

16

5:xx ; Re 0: ; 15:yjillaRe ; 3:Mnz ; 5:Mxz ;30:xjilla ; Mny0:mns ; 2:mxs ; 0:mnt ; 3:mxt .

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