Ciljevi u cenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ...Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Ciljevi u cenjaˇ Ciljevi u cenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ Integral

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:

Integral kao antiderivacija

Prepoznavanje ”ociglednih” supstitucija

Metoda supstitucije-slozeniji zadaci

Parcijalna integracija

Kombiniranje gornjih tehnika


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Tablicno integriranje

2 Integriranje supstitucijom

”Ocigledna” supstitucija

Supstitucija

Supstitucija u odredenom integralu

3 Parcijalna integracija

Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije

Parcijalna integracija u odredjenom integralu


Tablicno integriranje

f (x)∫

f (x)dx1x ln |x |+c

xa;a 6=−1 xa+1

a+1 +c

sinx −cosx +c

cosx sinx +c1

cos2 xtgx +c

1

sin2 x−ctgx +c

bx bx

lnb +c

ex ex +c1√

a2−x2arcsin( x

a )

f (x)∫

f (x)dx1

a2+x21aarctg( x

a )+c1

a2−x21

2a ln |a+xa−x |+c

1√x2+a2

ln(x +√

x2 +a2)+c

1√x2−a2

ln(x +√

x2 −a2)+c

shx chx +c

chx shx +c1

sh2x−cthx +c

1

ch2xthx +c


Tablicno integriranje Zadaci

Zadatak 1.

Odredite sljedece integrale: Rj.01

(a)∫ (

2x3 + 1x2 − 7√

x

)

dx

(b)∫ (

x2/3 + 5x

)dx

(c)1∫0

2√

xdx .

Zadatak 2.

Odredite sljedece integrale:

(a)∫ (

2cosx − 3cos2 x

)

dx

(b)∫

5sin3 x+4

sin2 xdx

(c)

π

2∫0

13 sinxdx .



Zadatak 3.


(a)∫ (

134+x2

+ 17−x2

)

dx

(b)∫ (

1√5−x2

+ 3√4+x2

)

dx

(c)∫

1√4x2−1

dx

(d)1∫0

dxx2+1

.



Zadatak 4.


(a)∫ (

3x +32x)

dx

(b)∫

5e3xdx

(c)1∫0

2xdx

(d)Odredite povrsinu na slici desno.

−1 1

ex



Zadatak 5.


(a)π∫0

(3x2 +2sinx −ex

)dx

(b)1∫0

(3√

x + 1√1−x2

)

dx

(c)Odredite povrsinu na slici

desno.

π0

cos x

sin x



Rjesenje 1:

Zad.01

(a) x4

2 − 1x −14

√x +c.

(b) 35x5/3 +5ln |x |+c.

(c) 43 .

Rjesenje 2:

(a) 2sinx −3tgx +c.

(b) −5cosx −4ctgx +c.

(c) 13 .



Rjesenje 3:

(a) 2√3

arctg( 2x√3)+ 1

2√

7ln∣∣∣

√7+x√7−x

∣∣∣+c.

(b) arcsin( x√5)+3ln(x +

√x2 +4)+c.

(c) 12 ln

(

x +√

x2 − 14

)

+c.

(d) π

4 .

Rjesenje 4:

(a) 1ln33x + 1

2ln332x +c.

(b) 53e3x +c.

(c) 1ln2 .

(d) e2−1e .



Rjesenje 5:

(a) π3 +5−eπ.

(b) 34 +

π

2 .

(c) P =

π

4∫0

(cosx −sinx) =√

2−1.


Integriranje supstitucijom ”Ocigledna” supstitucija

Ocigledna supstitucija

Ako je u = u(x) onda je

∫f (u(x))

du

dxdx =

∫f (u)du

PRIMJER 1.∫2x

√x2 −1dx =?

Rjesenje:∫ √

x2 −1 2xdx =∣∣∣u=x2−1

dudx =2x

∣∣∣=

∫ √u du

dx dx =∫ √

udu = 23u3/2 +c =

= 23

√

(x2 −1)3 +c.



Primjer 2.∫

sin2 x cosxdx =?

Rjesenje:∫

sin2 x cosxdx =∣∣∣

u=sinxdudx =cosx

∣∣∣=

∫u2 du

dx dx =∫

u2du = u3

3 +c = sin3

3 +c.

Standardnija procedura:∫

sin2 x cosxdx =∣∣ u=sinxdu=cosxdx

∣∣=

∫u2du = u3

3 +c = sin3

3 +c.



Zadatak 6.

Izracunajte sljedece integrale:

(a)∫

cos2 x sinxdx

(b)∫

ex

1+ex dx

(c)∫

ex

1+e2x dx

(d)∫

x3

x4+1dx

(e)∫

x2 cos(x3)dx



Rjesenje 6:

(a)∫

cos2 x sinxdx =∣∣∣

t=cosxdt=−sinxdx−dt=sinxdx

∣∣∣=−∫

t2dt =− t3

3 +c =−cos3

3 +c.

(b) ln(1+ex)+c (t = 1+ex)

(c) arctg(ex)+c (t = ex)

(d) 14 ln(x4 +1)+c (t = x4 +1)

(e) 13 sin(x3)+c (t = x3)



Zadatak 7.

Ako je∫

f (x)dx = F (x)+c, koliko je: (a)∫

f (2x)dx

(b)∫

f (x −4)dx

(c)∫

f (3x +1)dx



Rjesenje 7:

(a)F (2x)

2 +c

(b) F (x −4)+c

(c)F (3x+1)

3 +c



Sljedeci zadaci se cesto koristi u primjenama.

Zadatak 8.


(a)∫

sin2 xdx

(b)∫

cos2 xdx



Rjesenje 8:

(a) Koristimo se poznatim trigonometrijskim identitetom

sin2 x =1−cos(2x)

2

∫sin2 xdx = 1

2

∫(1−cos(2x))dx = 1

2

∫dx − 1

2

∫cos(2x)dx =

x2 −

sin(2x)4 +c

(b) Koristimo se identitetom

cos2 x =1+cos(2x)

2

∫cos2 xdx = 1

2

∫(1+cos(2x))dx = 1

2

∫dx + 1

2

∫cos(2x)dx =

= x2 +

sin(2x)4 +c


Integriranje supstitucijom Supstitucija

SUPSTITUCIJA

Integral∫

h(x)dx , pomocu supstitucije, izracunavamo sljedecim

koracima:

(a) Odaberemo novu varijablu u = g(x) i uvrstimo ju u integral (uz

du = g′(x)dx): ∫h(x)dx =

∫h(x)

du

g′(x)

(b)Izh(x)g′(x) pokusamo eliminirati x tako da

h(x)g′(x) prepoznamo kao

funkciju od u tj.h(x)g′(x) = f (u). Dakle,

∫h(x)

du

g′(x)=

∫f (u)du

(c)∫

f (u)du je sada jednostavniji integral u kojem, nakon

izracunavanja, zamjenimo nazad u = g(x).



Primjer 3.∫

x3+3(x4+12x)2 dx =?

Rjesenje:

(a) Stavimo u = x4 +12x . Dakle du = (4x3 +12)dx :

∫x3 +3

(x4 +12x)2dx =

∫x3 +3

u2

du

(4x3 +12)

(b) U integralu kracenjem se eliminira x

∫x3 +3

u2

du

4(x3 +3)=

1

4

∫1

u2du

(c) 14

∫1u2 du = 1

4u−1

−1 +c = 14(x4+12x)−1

−1 +c =− 14(x4+12x)

+c



Zadatak 9.


(a)∫

x+1√x2+2x+2

dx

(b)∫

e1x

x2 dx

Zadatak 10.

(a)∫ √

lnx+2x dx

(b)∫ cosϕ

1+sinϕdϕ



Zadatak 11.


(a)∫ sin(ln t)

t dt

(b)∫

e2y

1+e2y dy

(c)∫

x1+x4 dx



Rjesenje 9:

(a)∫

x+1√x2+2x+2

dx =

∣∣∣∣∣

t=x2+2x+2dt=2(x+1)dx

dx= 12(x+1)dt

∣∣∣∣∣=

∫x+1√

t

dt2(x+1) =

∫t−12 dt = t

12

12

+c =

= 2√

x2 +2x +2+c

(b) −e1x +c (t = 1

x )

Rjesenje 10:

(a) 23(lnx +2)

23 +c (t = lnx +2)

(b) ln |1+sinϕ|+c (t = 1+sinϕ)

Rjesenje 11:

(a) −cos(ln t)+c (u = ln t)

(b) 12 ln(1+e2y ) (u = 1+e2y )

(c) 12arctg(x2) (u = x2)


Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu

SUPSTITUCIJA U ODREDENOM INTEGRALU

Ako integral∫

h(x)dx supstitucijom u = g(x) prelazi u integral∫

f (u)du

onda vrijedi:b∫

a

h(x)dx =

g(b)∫

g(a)

f (u)du

Veza medu granicama integrala je dana sa

x a b

u g(a) g(b)



Primjer 4.

Izracunajte integral1∫0

ex

ex+1dx

Rjesenje:

1∫0

ex

ex+1dx =

∣∣∣∣

u=ex+1du=ex dx

x 0 1

u 2 1+e

∣∣∣∣=

1+e∫2

1u du = (lnu)|1+e

2 = ln(

1+e2

)



Zadatak 12.


(a)

π

8∫0

cos(4x)dx

(b)1∫0

t√

t2 +1dt

(c)1∫0

ex

1+e2x dx



Rjesenje 12:

(a)

π

8∫0

cos(4x)dx =

∣∣∣∣

t=4xdt=4dxx 0 π

8

t 0 π

2

∣∣∣∣=

π

2∫0

cos t dt4 = 1

4

(

sin t |π

2

0

)

= 14 .

(b)1∫0

t√

t2 +1dt =

∣∣∣∣∣

u=t2+1du=2tdt

t 0 1

u 1 2

∣∣∣∣∣=

2∫1

√u du

2 = 12

23(u

3/2|21) = 13(√

8−1)

(c)1∫0

ex

1+e2x dx ==

∣∣∣∣

u=ex

du=ex dxx 0 1

u 1 e

∣∣∣∣=

e∫1

11+u2 du = arctgu|e1 = arctge− π

4 .



PARCIJALNA INTEGRACIJA

Stavimo

u = f (x), v = g(x)

Sa povrsina sa slike desno

iscitavamo vezu:∫

udv +∫

vdu = uv

u

v

∫ud v

∫vdu



Integral∫

f (x)g′(x)dx racunamo na sljedeci nacin:

∫f (x)g′(x)dxdx =

∣∣∣

u=f (x)⇒du=f ′(x)dxdv=g′(x)dx⇒v=g(x)

∣∣∣= uv − ∫

vdu =

= f (x)g(x)− ∫g(x)f ′(x)dx .



Primjer 5.

Izracunajte integral∫

x cosxdx .

Rjesenje:∫x

︸︷︷︸

u

cosxdx︸︷︷︸

dv

=∣∣ u=x⇒du=dxdv=cosxdx⇒v=sinx

∣∣= uv − ∫

vdu = x sinx − ∫sinxdx =

= x sinx +cosx +c.



Primjer 6.

Izracunajte integral∫

lnxdx .

Rjesenje:∫

lnx︸︷︷︸

u

dx︸︷︷︸

dv

=∣∣∣u=lnx⇒du= 1

x dx

dv=dx⇒v=x

∣∣∣= uv − ∫

vdu = (lnx)x − ∫1x xdx =

= x lnx − ∫dx = x lnx −x +c.



Zadatak 13.


(a)∫

xexdx

(b)∫

x2 cosxdx

Zadatak 14.


(a)∫(x +1)sinxdx

(b)∫(2x −1)e3xdx

(c)∫

x2 lnxdx

(d)∫

x2e3xdx



Rjesenje 13:

(a)∫

xex dx =∣∣ u=x⇒du=dxdv=ex dx⇒v=ex

∣∣= xex − ∫

exdx = xex −ex +c

(b)∫

x2 cosx dx =∣∣ u=x2⇒du=2xdxdv=cosxdx⇒v=sinx

∣∣= x2 sinx − ∫

2x sinxdx =

=∣∣ u=2x⇒du=2dxdv=sindx⇒v=−cosx

∣∣= x2 sinx − (2x(−cosx)+

∫2cosxdx) =

= x2 sinx +2x cosx −2∫

cosxdx = x2 sinx +2x cosx −2sinx +c



Rjesenje 14:

(a) −(x +1)cosx +sinx +c

(b) e3x(

13(2x −1)− 2

9

)+c

(c) x3

3 ln |x |− x3

3 +c

(d) e3x(

x2

3 − 2x9 + 2

27

)

+c



Zadatak 15.

Supstitucijom i parcijalnom integracijom izracunajte sljedece integrale:

(a)∫

2x3 cos(x2) dx

(b)∫

ex sinx dx

(c)∫

arcsinx dx

(d)∫

xarctg x dx



Rjesenje 15:

(a)∫

2x3 cos(x2)dx =∣∣ t=x2

dt=2xdx

∣∣=

∫t cos t dt =

∣∣ u=t⇒du=dtdv=cos tdt⇒v=sin t

∣∣=

= t sin t − ∫sin t dt = t sin t +cos t +c = x2 sin(x2)+cos(x2)+c

(b)∫

ex sinx dx =∣∣ u=ex⇒du=ex dxdv=sinxdx⇒v=−cosx

∣∣=−cosx ex +

∫ex cosx dx

=∣∣ u=ex⇒du=ex dxdv=cosx dx⇒v=sinx

∣∣=−cosx ex +sinxex − ∫

ex sinx dx

⇒ 2∫

ex sinx dx =−cosx ex +sinxex

⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =

∣∣∣∣u=arcsinx⇒du=

1√1−x2

dx

dv=dx ⇒ v=x

∣∣∣∣= x arcsinx − ∫

x√1−x2

dx =

=

∣∣∣∣

t=√

1−x2

dt=− x√1−x2

∣∣∣∣= x arcsinx +

∫dt = x arcsinx + t +c =

= x arcsinx +√

1−x2 +c.



Rjesenje 15:

(d)∫

xarctg x dx =

∣∣∣∣∣

u=arctg x⇒du=1

1+x2 dx

dv=xdx ⇒ v=x2

2

∣∣∣∣∣= x2

2 arctg x − ∫x2

2(1+x2)dx =

= x2

2 arctg x − 12

∫(1− 1

1+x2 ) dx = = x2

2 arctg x − 12(x −arctg x)+c.


Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu

PARCIJALNA INTEGRACIJA U ODREDENOM INTEGRALU

b∫

a

u dv = uv |ba −b∫

a

v du

Zadatak 16.

Izracunajte integral:e∫1

lnx dx



Zadatak 17.

Izracunajte povrsinu sa slike:

x

y

f (x) = x sin x



Rjesenje 16:

e∫1

lnx dx =∣∣∣u=lnx⇒du=

1x dx

dv=dx ⇒ v=x

∣∣∣= x lnx |e1 −

e∫1

x 1x dx = 1.

Rjesenje 17:

3π∫2π

x sinx dx =∣∣ u=x⇒du=dxdv=sinxdx⇒v=−cosx

∣∣=−x cosx |3π

2π+

3π∫2π

cosx dx = 5π.



Zadatak 18.


(a)3∫2

72x−3 dx

(b)∫

dxx2−2x+3

(c)∫

xx2+7

dx

(d)∫

tgx dx

(e)

π

2∫π

4

ctgx dx

(f)∫

6x2−2x−sinx2x3−x2+cosx

dx



Rjesenje 18:

(a) 72 ln3

(b) 1√2

arcctg(

x−1√2

)

+c

(c) 12 ln(x2 +7)+c

(d) − ln |cosx |+c

(e) − ln(√

22 )

(f) ln |2x3 −x2 +cosx |+c


Documents

Ciljevi u cenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ...Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Ciljevi u cenjaˇ Ciljevi u cenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ Integral