Yazanlar:

Prof. FERDİN AND P. BEERLehigh Üniversitesi,Mekanik Bölümü Başkanı

Prof. E. RUSSELL JOHNSTON, JR.Worcester Politeknik Enstitüsüİnşaat Mühendisliği Bölümü

çevirenler:

Prof. S. SACtT TAMERoCWt.T.O. İnşaat Fakültesi

Doç. TEKtN ÖZBEKt.T.O. M. M. Fakültesi

Mühendisler için Mekanik

Cilt II

DİNAMİK

Baskı-CiltVesta Ofset Matbaa Ltd. ŞtiDevekaldınrm Cad. Gelincik Sk. No: 6/4 Bağcılar - ist.

ÖNSÖZ

ISBN: 975-511-048-8

KOD NO : Y0029

tık okutulan mekanik dersinin başlıca amacı, mühendis-lik öğrencisinde herhangi bir problemi basit ve mantıki birtarzda çözümlernek ve iyi anlaşılmış az sayıda, temel ilkeyiproblemi n çözümüne uygulamak yeteneğini geliştirrnek ol-malıdır. Ümit ederiz ki, bu kitap ve bunun birinci cildi olanMiihendisler İçiıı Mekanik: Statik kitabı, öğretmen e bu ama-ca ulaşrriakta yardımcı olacaktır.

Vektör cebri birinci cildin başında ortaya konmuş vestatiğin temel ilkelerinin tanıtılmasında olduğu kadar, birçok problemlerin, özellikle üç boyutlu problemlerin çözü-münde kullanılmıştı. Benzer şekilde, vektöı el türetme kavra-mı bu cildin başlarında ortaya konacak ve vektör analizi di-namiğin öğretilmesinde baştan sona kadar kullanılacaktır.Bu yol, temel ilkelerin daha kısa cıkarıl.nasmı sağlamaktave aynı zamanda kinematik ve kinetikte normal skaler yön-temlerle çözülemeyen bir çok problemlerta çözümlenmesiolanağını vermektedir. Bununla birlikte, bu kitapta en fazlaönem verilen nokta, mekaniğin ilkelerinin doğru anlaşılmasıve bunların mühendislik problemlerinin çözümüne uygulan-ması olup vektör analizi yararlı bir araç olarak kullanılmış-tır.

MüHENDİSLER İçİN MEKANİK DİNAMİK

MeGraw-Hill Book Co. Ine. tarafından 1962 yılında yayınlananVeetor Meehanies for Engineers: Dynamies adlı eserden dilimizeçevrilmiştir. Metrik sisteme dönüştürme çevirenler tarafından yapılanözgün bir çalışmadır.

MeGraw-Hill Book Co. Ine. tarafından 1962 yılında yayınlananVeetor Meehanies for Engineers: Dynamies adlı eserden dilimizeçevrilmiştir. Metrik sisteme dönüştürme çevirenler tarafından yapılanözgün bir çalışmadır,

Bu iki ciltte kullanılan volun özelliklerinden biri, mad-desel noktaların mekaniğıni~ rijit cisimlerin mekaniğindenaçık bir şekilde ayrılmış olmasıdır. Bu yol, basit pratik uy-gulıımaları işin başında göz önüne alıp daha güç kavram-ların tanıtılmasını ileriye ertelernek olanağını verir. Statiğeait ciltte, maddesel noktaların statiği önce anlatılmış "c den-ge ilkesi, yalnız bir noktada kesişen kuvvetlerin bulunduğupratik hallere hemen uygularımıştı. Rijit cisirnlerin statiğisonradan, iki vektörün vektörel ve skaler carpımları ile aynı

zamanda göz önüne alınmış ve bir kuvvetin bir noktaya vebir eksene göre momentini tanımlamakta kullanılmıştı. Buciltte de aynı. bölümleme görülmektedir. Kuvvet, kütle veivme" iş ve enerji, impuls ve momentum gibi temel kavram-lar anlatılmış ve bunlar, önce sadece maddesel noktalarlailgili problemlere uygulanmıştır. Böylece öğrenci, rijit cisim-leri n hareketi ile ilgili güclüklerle karşı karşıya gelmedenönce, dinamiktc kullamlan üç temel yönteme kendini alış-tırabilir ve bunların birbirine göre üstünlüklerini öğrene-bilir.

Bu kitap ilk okutulan dinamik dersi için düzenlenmişolduğundan, yeni kavramlar basit bir şekilde sunulmuş veher adım ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Öte yandan, gözönüne alınan problemleriri daha geniş yönlerini tartışarakve uygulanma bakımından genelolan yöntemlerin üzerindedurarak belidi bir anlatım olgunluğubaşarılmıştır. Örneğin,potansiyel enerji kavramı, konservatif kuvvet genel halindeincelenmiştir. Aynı şekilde, rijit cisimleri n düzlemsel hare-keti bunların uzaydaki genel hareketlerine doğalolarak ge-çilecek şekilde düzenlenmiştir. Kinetikte de durum kinema-tiğin aynıdır; kinetikte dinamik denge yerine, dış kuvvetlerile efektif kuvvetlerin.eşdeğerliliği ilkesi, düzlemsel hareke-tin çözümlenmesine. doğrudan doğruya uygulanmiş ve böy-lece üç boyutlu hareketin incelenmesine geçiş kolaylaştırtl-mıştır.

Kitapta, seçime bağlı birçok kısımlar bulunmaktadır.Bu kısımlar yıldızla işaretlenerek, bunların temel dinamikdersinin çekirdeğini teşkil eden kısımlardan kolayca ayrıl-ması sağlanmıştır. Bunların terkedilmesi kitabın geri kalankısımlarının anlaşılması bakımından bir sakınca doğurmaz.Bu ek kısımlarda işlenen konular, doğrusal hareket prob-lemlemlerinin çözümünde grafik yöntemler, merkezsel kuv-vet etkisinde hareket ve bunun gök mexaniğine uygulan-ması, sıvı akımlarının sapmaları, jet ve roketle tahrik prob-lemleri, Coriolis ivmesi, rijit cisimlerin üç boyutlukiuetiği,sönümlü mekanik titreşimler ve elektrik benzeşimi içine al-maktadır. Bu konular, dinamiğin üçüncü yılda okutulmasıhalinde özellikle ilgi çekici olabilir.

Mekaniğin esas olarak, birkaç temel ilkeye dayanantümdengelimli bir bilim olması gerçeği üzerinde ısrarla du-rulmuştur. Türetmeler, mantıki sıraları içinde ve bu kitapdüzeyinde sağlanabilecek bütün kesinlikle sunulmuştur An-cak, öğrenme işleminin daha çok tiimeoarıcı olması bakı-mından önce basit uygulamalar göz öniine alınmıştır. Bu

Ö"I'ÖZ V

nedenle maddesel noktaların dinamiği, rijit cisimlerin dina-miğinden öııce gelmektedir; rijit cisimlerin dirıamiğinde, ki-netiğin temel ilkeleri önce, öğrencilerin daha kolay canları-dıracakları iki boyutlu problemlerin çözümüne uygulanmış(BöL. 6 ve 7), üç boyutlu problemler ise BöL. 8 e kadar erte-lenerek vektör analizinin daha güçlü yöntemleri kullanıl-mıştır.

Serbest cisim diyagramlaıı statiğin başlarında anlatıl-mıştır. Bunlar yalnız, denge problemlerinin çözümünde de-ğil, iki kuvvet sisteminin veya daha genel olarak iki vektörsisteminin eşdeğerliliğlni ifade etmekte de kullanılmıştır. Buyolun üstünlüğü, rijit cisimlerin dinamiğini incelerken ken-dini gösterir. Hareketin normal cebrik denklemlerini yaza-cak yerde "serbest cisim diyagramlarının eşitliği" üzerindedurmakla dinamiğin temel ilkelerinin daha bilinçli ve dahatam anlaşılması sağlanabilir.

Bu ciltte sunulan bilgi ve problemlerin pek çoğu, cebir,trigonometri, elemanter analiz ve statik eildinin 2 ve 3 cübölümlerinde anlatılan vektör cebrinin elemanlarından i)öteye, matematik ön bilgiyi gerektirmez. Ancak, daha ilerianaliz bilgisinden yararlanan özel problemler ve Kıs. 9.8 ve9.9 daki sönümlü titreşimlerde olduğu gibi, öğrencinin be-lirli bir matematik temele sahip olması halinde okutulabile-cek kısımlar da kitaba katılmıştır.

Kitap birimlere bölünmüştür; her birim, bir veva bir-kaç metin kısmı, bir veya birkaç örnek problem ve çok sa-Y~d.aödev olarak çözülecek problemden. oluşmaktadır. Herbırım, belirli bir konuya karşı gelmektedir ve genellikle birderste işleııebıllr. Ancak bazı hallerde öğretmen. verilerı birkonuya birden fazla saat ayırrnayı daha uygun görebilir. Ör-nek problemler, öğrencilerin ödev olarak yapacakları prob-I~mleri çözmekte kullanmalan istenen for~da düzenlenmiş-tır. Böylece örnek problemler, hem metni genişletmek hemd~ öğrencinin kendi çözümlerinde alışması "'beklenen a~ık veduzenli. çalışma tipini göstermek gibi iki amaca hizmet. et-~ektedır. Ödev olarak verilecek problemlerin pek çoğu pra-hkt~n alınmış olup, mühendislik öğrencilerini ilgilendirmek-:ed~r. B\ınunl~.~ birli~t~ ôncelikle, kitapta sunulan bilgiyiçıklamak ve ogrencının, mekaniğin temel ilkelerini anla-Inasına yardımcı olmak için düzenlenmiştir. Problemler,

ko () Vektör ce~r~nin ba~ı ~aYdalı tanım ve özellikleri okuyucuya(aylık sağlamak ıçın bu cıldın sonunda özetlenmiştir.

açıklama getirecekleri bilgilere göre gruplanmış ve artangüçlüğe göre sıralanmıştır. Özel dikkati gerektiren problem-ler yıldızla işaretlenmiştir: Çift numaralı problemlerin ce-vapları, kitabın sonunda verilmiştir.

Yazarlar, Mühendisler için Mekanik kitabının ilk bas-kısını kullananların· yaptıkları yararlı eleştiri ve tavsiyelereşükranlarını bildirirler.

FERDİNAND P. BEERE. RUSSELL JOHNSTON, JR.

İçiNDEKİLER

OnsözSemboller listesi

II1XL

Bölüm ı Maddesel noktaların kinematiği 3

1.1 Dinarniğe giriş 3

MADDESEL NOKTALARıN OOC:;RUSALHAREKETİ 41.2 Yer, hız ve ivme . . . . . . . . 41.3 Maddesel noktanın hareketinin belirtilmesi 81.4 Düzgün doğrusal hareket .... 15t.5 Düzgün değişen doğrusal hareket. . . 161.6 Çok sayıda maddesel noktanın hareketi . 17

*1.7 Doğrusal hareket problemlerinin grafik çözümü 23•.1.8 Başka grafik yöntemler . . . . 25

MADDESEL NOKTALARıN E(;RİsEL HAREKETİ 311.9 Yer vektörü, h'ız ve ivme . 311.10 Vektör fonksiyonlarının türevIeri . . . . . 331.11 Hız ve ivmenin dik bileşenleri. . . . . . 361.12 Otelenme yapan bir tıkıma göre bağs! hareket. 371.13 Teğetsel ve normal bileşenler 461.14 Kutupsal koordinatlarda bileşenler. . . . 49

Bölüm 2 Maddesel noktaların kinetiği: kuvvet,kütle ve Ivme 58

2.12.22.32.42.S

S8596264

Newton'un ikinci hareket kanunuBirim sistemleriHareket denklemleri. Dinamik dengeMaddesel noktalar sistemi. D'Alembert ilkesiBir. maddesel noktalar sisteminin kütle merkezininhareketi .Maddesel noktaların doğrusal hareketiMaddesel noktanın eğrisel hareketi. .Maddesel noktanın eğrtsel hareketi. Kutupsal koordinat-larda bileşenler . . . . . . . . .Merkezsel bir kuvvet etkisi altında hareketNewton'un çekim kanunu .Gök mekaniline uygulamaGezegenlerin hareketleri için Keplet kanunları

8081828387

2.62.7

*2.8

656674

*2.92.10

*2.11*2.12

vii

Bölüm 8 Maddesel noktaların ldnetiği: ış veenerji

3.1 Giriş3.2 Bir kuvvetin ışı3.3 Maddesel noktanın kinetik enerjisi. ı, ve enerji ilkesi.3.4 ış ve enerji ilkesinin uygulamaları3.S Maddesel noktalar sistemi3.6 Potansiyel enerji3.7 Enerjinin korunumu3.8 Güç ve verim .

Bölüm 4 Maddesel noktalann kinetiği: ımpuls vemomentum

4.14.24.34.44.S4.64.74.84.94.104.114.124.13*4.14*4.IS*4.16

lmpuls ve momentum ilkesiMaddesel noktalar sistemiImpulsif kuvvetlerMomentumun korunumuçarpışmaDoğru merkenel çarpışmaElik merkezsel çarpışma .Enerji ve momentumla ilgili problemlerBir maddesel noktanın açısal momentumu .Bir maddesel noktalar sisteminin açısal momentumuGenelleştirilmiş impuls ve momentum ilkesiAçısal momentumun korunumu. .Gök mekaniğine uygulama .Değişken maddesel nokta sistemleriDevamlı maddesel nokta ·akımı. .Kütle kazanan veya kaybeden sistemler

Bölüm 5 Rijit clsimlerm kinematiği

S.I GirişS.2 ÖtelenmeS.3 Sabit bir eksen etrafında dönme .S.4 Bir rijit cismin sabit bir eksen etrafında dönmesini ta-

nımlayan denklemlerS.S Genel düzlemsel hareketS.6 Düzlemsel harekette salt ve ba~11 hız .S.7 Düzlemsel harekette ani dönme ·merkeziS.8 Düzlemsel harekette salt ve bağıl ivme*5.9 Düzlemsel hareketin bir parametre cinsinden çözümlen-

mesiS.10 Sabit bir nokta etrafında hareketS.l1 Genel hareket*S.12 Dönen bir takıma göre bir vektörün değişlrninin hızı.*5.13 Bir maddesel noktanın dönen bir takıma göre hareketi.

Coriolis ivmesi"5.14 Genel harekette karşılaştırma takımı .

949498100101110114121

12812813013413S1401411«14SIS4ISSIS7IS8IS9167167170

182182183184

18719219320120S

20821521822S

227230

94

ıçinde kikır

pölüm 6 Rijit clsimlerin düzlemşel hareketi: Kuv-vetler ve ivmeler .

6.1 Giriş6.2 Rijit bir cismin düzlemsel hareketi6.3 Rijit bir cismin düzlemsel hareketi ile ilgili problemler6.4 Rijit cisirnlerden meydana gelen sistemler6.5 Bağlı düzlemsel hareket

Bölüm 7 Rijit clsimlerin düzlemsel hareketi:Enerji ve moınentum yöntemleri •

7.1 Rijit bir cisim için iş ve enerji ilkesi .7.2 Rijit bir elsim üzerine etkiyen kuvvetlerin işi.7.3 Düzlemsei harekette rijit bir cismin kinetik enerjisi7.4 Rijit cisim sistemleri7.5 Enerjinin korunumu .7.6 Güç7.7 Rijit bir cisim için impuls ve momentum ilkesi.7.8 Düzlemsel hareket yapan rijit bir cismin momentumu .7.9 Rijit bir cismin düzlemsel hareketinin çözümlenmesine

impuls ve momentum ilkesinin uygulaması7.10 Rijit cisim sjstemleri .7.11 Açısal momentumun korunumu7.12 Merkezsel olmayan çarpışma.

Bölüm 8 Rijit cisimlerin üç boyutlu kinetiği.*8.1*8.2*8.3*8.4*8.5

*8.6

GirişRijit bir cismin uç boyuttaki açısal momentumuAtalet elipsoidiRijit bir cismin üç boyunakl kinetik enerjisi . .Rijit bir cismin sabit bir nokta veya kendi kütle merkezietrafındaki hareket denklemleri . .Rijit bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi. Şaft-larm dengelenmesi .Bir jiroskobun hareketi. Euİer açılan .Bir jiroskobun devamlı presesyonuKendisine kuvvet etkimeyen eksenel simetrik bir cisminhareketi

ix

24024024024424S2S9

27927928028228328328S296297

299300307308

820320322324327

332

334340342

343

8563S6

357361361367374379

*8.7*8.8*8.9

Böıüm 9 Mekanik9.1

titreşimler

9.2

Giriş

SÖNüMStiz TİTREŞİMLERMaddesel noktaların serbest titreşimleri. Basit harmoni khareket .Basit sarkaç (yaklaşık çözüm) .Basit sarkaç (kesin çözüm)Rijit cisimlerin serbest titreşimleri. . .Enerjinin korunumu ilkesinin uygulanmasıZorlanmış titreşimler

9.3"9.4

9.59.69.7

SÖNÜMLÜ TİTREŞiMLER*9.8 Sönümlü serbest titreşimler*9.9 Sönümlü zorlanmış titreşimler*9. iO Elektrik benzeşimler (Analoglar) .Ek. Vektör cebrlnln bazı faydalı tanım ve özelllkleri .A. i Vektörterin toplamı . . . . . . . . . . . .A.2 Bir vektörtın bir skaler ile çarpımı. . . . . . .A.3 Birim vektör. Bir vektörün dik bileşenlerine ayrılmasıA.4 Iki vektörün vektörel çarpımı . . . .A.5 Bir kuvvetin bir noktaya göre momentiA.6 Iki vektörtın skaler çarpımı . . . . .A.7 üç vektörtın karışık üçlü çarpımı . . .A.8 Bir kuvvetin verilen bir eksene göre momentiÇift numaralı problemlerin cevaplarıDizin ,

385385387389

XIIIxl ilXIIIXIVXIV

XVXVIXVIXVII

XVIIIXXVII

a,aa

a,aaSlA

ac

A,B,C, .A,B,C, .

A-b

eEfFgGh

hoi, j, kin, i,i., i,

iI, ir> ...

iJk

ı: ky, kak1

LmM

Mf)MgM

Mo i.

tl

NO

xi

SEMBOLLER LİsTESİ

cCd

İvrneSabit: yarıçap; uzaklık; elipsin büyük eksenipin yarısıKütle merkezinin ivme siÖtelenme yapan A takımına göre B nin bağıl ivmesiCorilois ivmesiMesnetler ve bağlardaki reaksiyonlarNoktalarAlanGenişlik; uzaklık; elipsin küçük ekseninin yarısıSabit; viskoz sönüm katsayısıAğırlık merkezi; anı dönme merkezi: kapasiteUzaklıkÇarpışma katsayısı; tabii logaritmanın tabanıGerilimFrekans; skaler fonksiyonKuvvet; sürtünme kuvvetiYerçekimi ivmesiAğırlık merkezi; kütle merkezi; çekim sabitiYükseklikO ya göre açısal momentumKoordinat eksenleri doğrultusundaki birim vektörlerNormal ve teğet doğrultusundaki birim vektörlerRadyal ve radyale dik doğrultudaki birim vektörlerAkımAtalet momentiAğırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentiKutupsal atalet momentiYay katsayısıAtalet yarıçapıAğırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet yarıçapıBoy; uzunlukBoy; uzunluk; öz indüktansKütleKuvvet çifti; momentO noktasına göre momentO noktasına göre bileşke momentBir çiftin veya momentin şiddeti; dünyanın kütlesiO L eksenine göre momentNormal doğrultuReaksiyonun normal bileşen iKoordinat başlangıcı

xii Semboller listesi

v,vv

v,VVnlA

VVW

W,WX, y,zX,fj,Z

a,aa, {l, y

y8

8r8U

pp

Basınç; dairesel frekansKuvvet; vektörÇarpım atalet momentiElektrik yüküKuvvet; vektörYer vektörüYarıçap; uzaklık; kutupsal koordinatBileşke kuvvet; bileşke vektör; reaksiyonDünyanın yarıçapı; dirençYer vektörüUzaklık; yay boyuKuvvet; vektörZaman; kalınlık; teğetsel doğrultuKuvvettp kuvveti; kinetik enerjiHızDik koordinat; değişkenİşHızHızın şiddeti; dik koordinatKütle merkezinin hızıÖtelenme yapan A takımına göre B nin bağıl hızıVektörel çarpım; kesme kuvvetiHacim; potansiyel enerjiBirim boya gelen yükAğırlık; yükDik koordinatlar: uzaklıkAğırlık veya kütle merkezinin dik koordinatlarıAçısal ivmeAçılarÖzgül ağırlıkUzamaVirtüel yer değiştirmeVirtüel işBir koniğin veya bir yörüngenir. eksantrikliğiBir doğru boyunca birim vektörVerimAçısal koordinat; Euler açıları; açı; kutupsal koordinatSürtünme katsayısıYoğunluk; eğrilik yarıçapıPeriyotSürtünme açısı; Euler açısı; faz açısı; açıFaz farkıEuler açısıAçısal hızZorlanmış titreşimin dairesel frekansıKarşılaştırma takımının açısal hızı

e e , koordinatlar

qQrrRRssSt

TTuu

U

E

x11OilPr

(t,), w

'"O

DiNAMİK