Se lanza un proyectil, con velocidad inicial de 20 m/s y formando un ngulo de 60 con la horizontal, desde un plano inclinado 30, hacia abajo. Determinar el punto de impacto y la velocidad del proyectil.El origen de coordenadas lo tomamos en el punto de salida.Las velocidades iniciales son:vox= vo. cosavoy= vo. senaLas aceleraciones son:ax= 0 , ay= - gLas velocidades en cualquier punto de la trayectoria son:vx= vo. cosa , vy= vo.sena- g. tLa posicin en cualquier instante es:x = vo.t. cosa , y = vo.t. sena- g. t2La ecuacin de la trayectoria ser: y = x. tga- g. [x /( vo.cosa)]2Ecuacin del plano: y = - x. tagqEl punto de impacto ser el punto interseccin de la trayectoria parablica con la recta del plano:- x. tagq= x. tga- g. [x /( vo.cosa)]2 x. ( tga+ tagq) - g. x2/( vo2.cos2a) = 0ecuacin con dos soluciones: punto de salida: x = 0 y = 0 punto de impacto:xi= 2. ( tga+ tagq). ( vo2.cos2a) / g yi= - xi. tagqEn este caso: xi= 2. ( tg60+ tg30). ( 202.cos260) / 9'8 = 47 ' 13 myi= - 47'13. tg 30=- 27 ' 21 mEl tiempo en impactar ser:t = xi/( vo. cosa) = 47'13 /(20. cos 60) = 4 ' 713 sLa velocidad en el momento del impacto: vxi= vo. cosa = 20. cos 60 = 10 m/s vyi= vo.sena- g. t = 20. sen 60 - 9'8. 4'713 = - 28 ' 87 m/sVi= ( 102+ 28'872)1/2= 30 ' 55 m/s

Una pelota rueda por un tejado inclinado 30 y sale del alero, situado a 15 m de altura, con una velocidad de 8 m/s. Determinar el punto de impacto con el suelo.Establecemos los ejes de coordenadas en el punto de salida. Las componentes de la velocidad inicial sern:vox= vo. cosq ,voy= - vo. senqLa nica aceleracin que acta es la ac. de la gravedad, por lo que las ecuaciones del movimiento sern:ax= 0 vx= vox x = vox.tay= -g vy= voy- g . t y = voy. t - g .t2/2Al llegar al suelo, y = - h , por lo que:- h = voy. t - g .t2/2 g .t2 - 2.voy. t - 2.h = 0el tiempo en llegar al suelo ser:t = (2.voy (4.voy2 + 4.g.2.h)1/2) / (2.g)t = (voy (voy2 + 2.g.h)1/2) / gy la distancia a la pared en el momento del impacto ser:x = vox. (voy (voy2 + 2.g.h)1/2) / gen este caso particular: h = 15,vox= 8. cos 30 = 6'93 , voy= - 8. sen 30 = - 4ten llegar al suelo= ( - 4 (16 + 2.9'8.15)1/2) / 9'8 =1'39 seg. (la solucin negativa no vale)xen el suelo= 6'93 . 1'39 = 9'62 m

Para acceder a un pueblo, P, la nica posibilidad es dejar el coche en una carretera recta, A, y caminar campo a travs hasta el pueblo. La mnima distancia entre el pueblo y la carretera, PB, es 2.000 m; la velocidad en coche es 20 m/s y andando 1'5 m/s. En qu punto de la carretera hay que dejar el coche y continuar andando para que el tiempo empleado en llegar al pueblo sea mnimo ?.Sean v1la velocidad en el tramo OA y v2la velocidad en el tramo APEl tiempo empleado en hacer el trayecto OAP ser:t = x / v1+ d / v2= x / v1+ [b2+ (a - x)2]1/2 / v2Si el tiempo empleado debe ser mnimo, la derivada del tiempo debe ser cero:dt / dx = 0 1 / v1- (a - x) / [v2. [b2+ (a - x)2]1/2] = 0 v1.(a - x) = v2. [b2+ (a - x)2]1/2v12.(a - x)2= v22.[b2+ (a - x)2] (a - x)2= v22.b2/ (v12- v22)a - x = v2.b / (v12- v22)1/2En este caso particular: b = 2000, v1= 20, v2= 1'5a - x = 1'5 . 2000 / (202- 1'52)1/2= 150'4 mse debe dejar el coche 150'4 metros antes del punto B

Un nadador nada con una velocidad de 2 m/s, perpendicularmente a la orilla de un ro de anchura 25 metros. Al mismo tiempo la corriente le arrastra con una velocidad de 3 m/s. Determinar el tiempo en cruzar el ro y el desplazamiento producido.Sean:v1= 2, velocidad constante del nadadorv2=3, velocidad constante de la corrienteLa velocidad total del nadador ser la suma vectorial de las velocidades componentes, es decir: v = (v12+ v22)1/2= (22+ 32)1/2= 3'6 m/s , constante.Al ser la velocidad constante, el movimiento es uniforme rectilneo, por lo que sali de A y llegar al punto C.Los tringulos ABC y el formado por las velocidades son semejantes por lo que los lados son proporcionales: d / v2= h / v1 d = h.v2/ v1 d = 25. 3 / 2 = 37'5 m de desplazamiento respecto a la vertical.El espacio total recorrido por el nadador ser: e = (h2+ d2)1/2= (252+ 37'52)1/2= 45'07 my el tiempo empleado en recorrerlo ser: t = e / v = 45'07 / 3'6 = 12'5 segComo puede comprobarse tarda lo mismo en cruzar el ro haya o no corriente de arrastre perpendicular.