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Cienamática de máquinas.
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Órgãos de Máquinas I
ORGÃOS DE MÁQUINAS I
ANO LECTIVO 2009/2010
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Órgãos de Máquinas I
ORGÃOS DE MÁQUINAS I
Obj ti G i
Os conteúdos programáticos da unidade curricular de Órgãos Máquinas I objectivam conferirl fil d f ã t d i i it tê i
Objectivos Gerais
ao aluno um perfil de formação, que assenta em adquirir conceitos e competências queconduzam a actos de engenharia nas áreas da manutenção/projecto de máquinas eequipamentos industriais.
Os alunos deverão ser capazes de aplicar os princípios:
d i áti di â i d l t d á i áli d ida cinemática e dinâmica de elementos de máquinas na análise de mecanismos;
d ib õ â i á i i t
do balanceamento de máquinas e equipamentos.
das vibrações mecânicas em máquinas e equipamentos;
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PROGRAMA DE ORGÃOS MÁQUINAS I
Órgãos de Máquinas I
PROGRAMA DE ORGÃOS MÁQUINAS I
1. Cinemática de um corpo rígido no plano1.1. Movimento do corpo rígidop g1.2. Análise dos movimentos absoluto e relativo
2. Dinâmica de um corpo rígido 2.1. Momento de inércia de massa2.2. Equações do movimento para um corpo rígido: movimento plano geral2.3. Movimento de um corpo rígido: métodos da energia 2.4. Análise de mecanismos
3. Vibrações Mecânicas3.1. Conceitos de frequência, período e amplitude3.2. Classificação das vibrações3.3. Vibrações livres: amortecidas e não amortecidas 3.4. Vibrações forçadas: amortecidas e não amortecidas
4. Balanceamento de máquinas4.1. Desbalanceamento estático4.2. Balanceamento estático 4.3. Desbalanceamento dinâmico4.4. Balanceamento dinâmico
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Órgãos de Máquinas I
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
Hibbeler R C : Mecânica Dinâmica LTC EditoraHibbeler, R.C.: Mecânica , Dinâmica, LTC Editora.
Beer, F.; Johnston, E.: Mecânica Vectorial para Engenheiros - Dinâmica. 7ª Edição, Editora McGraw Hill.
Beer, F.; Johnston, E.: Mecânica Vectorial para Engenheiros - Cinemática e Dinâmica. 6ª Edição, Editora McGraw Hill de Portugal, Ltda., 1998.
Graham Kelly, Fundamentals of Mechanical Vibrations, 2ª Edição, Editora McGraw Hill, Ltda, 2000.
Meriam, J.L. ; Kraige, L.G.: Engineering Mechanics -Dynamics, John Wiley & Sons, Inc.
Serway R : Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 3rd editionSerway, R.: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. 3rd edition, Saunders Golden Sunburst Series, Philadelphia, London, Tokyo, 1992.
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Órgãos de Máquinas I
CAPITULO I
CINEMÁTICA DE MÁQUINASQ
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Á
Órgãos de Máquinas I
Objectivos
SUMÁRIO DO CAPITULO 1
Introdução
Translação
Rotação em torno de um eixo fixo: Velocidade
Rotação em torno de um eixo fixo: Aceleração
Equações que definem a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo
Movimento Plano GeralMovimento Plano Geral
Velocidade absoluta e relativa no movimento plano
Centro instantâneo de rotação no movimento plano
Aceleração absoluta e relativa no movimento plano
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Órgãos de Máquinas I
CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO
OBJECTIVOS:
- Classificar os vários tipos de movimento.
A áli d i t l ã i t d i fi- Análise de movimentos em relação a um sistema de eixos fixos.
A áli d i t l ti tili d i t f i l i t d- Análise de movimento relativo utilizando um sistema referencial com movimento de translação.
- Análise de movimento relativo utilizando referencial com movimento de rotação.
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Órgãos de Máquinas I
INTRODUÇÃO
RELAÇÃO ENTRE CINEMÁTICA/DINÂMICA DAS MÁQUINAS E A MANUTENÇÃO
Conhecimento do correcto funcionamento das máquinas (prática de operação).
O engenheiro de manutenção deve conhecer os fundamentos matemáticos de projecto e operação das máquinas.
Dependendo da necessidade, o engenheiro de manutenção deve propor melhorias no projectoDependendo da necessidade, o engenheiro de manutenção deve propor melhorias no projecto das máquinas.
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Órgãos de Máquinas I
INTRODUÇÃO
• Cinemática de corpos rígidos: relações entre o tempo e as posições, as
• Classificação do movimento dos corpos rígidos:
velocidades, e as acelerações das partículas que dão forma a um corpo rígido.
Classificação do movimento dos corpos rígidos:
- Translação:
• Translação Rectilinea
• Translação Curvilinea Exemplo
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Órgãos de Máquinas I
Rotação em torno de um eixo fixo Exemplo
Movimento Plano Geral Exemplo
M i t t d t fiMovimento em torno de um ponto fixo
cremalheira 1 cremalheira 2
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Órgãos de Máquinas I
EXEMPLO DOS TIPOS MOVIMENTOS NUM MECANISMO
O i t d fi é d l id li d d i bi l i lO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado do eixo biela, manivela e pistão de um motor de combustão.
Movimento plano geralTranslação curvilínea
p g
Translação rectilínea Rotação em torno de um eixo fixo
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão IndustrialFord
Órgãos de Máquinas I
TIPOS MOVIMENTOS NUM MECANISMO
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Órgãos de Máquinas I
Motor a explosão de 4 tempos
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Órgãos de Máquinas I
F i t d M t W k lMotor a dois tempos Funcionamento do Motor Wankel
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à Á Ã
Órgãos de Máquinas I
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO
Translação curvilínea: o veículo move-se numa trajectória circular mantendo sempre sua posição na horizontal.
Estas equações mostram que todos os pontos de um corpo rígido sujeito a um movimento de translação se movem com as mesmas velocidades e acelerações.
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Demonstração:B B
AArB
yz
ABr /r
AarAvr
x
y rA
Translação: desloca-se paralelamente a si próprioABr /r
ABAB rrr /rrr
+= ⇔+=⇒dtrd
dtrd
dtrd B/AAB
rrr
pois é constanteABr /r
AB vv rr=
⇔=dtvd
dtvd AB
rr
AB aa rr=
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Órgãos de Máquinas I
MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO DO CORPO RIGIDO
kzjx Aˆˆy+i(t)r AAA +=
r Posição do corpo
Posicionando x paralelamente à direcção do movimento, yA e zA são constantes, pelo que:Posicionando x paralelamente à direcção do movimento, yA e zA são constantes, pelo que:
iv=idx
drv A
AAA
dd==
rr Velocidade do corpo
dtdt AA p
ia=idt
xdtv
a AA
2A
Add
==r
r Aceleração do corpo
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Órgãos de Máquinas I
CASOS PARTICULARES DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO DO CORPO RIGIDO
V = c.te1 - Movimento de translação uniforme
dt
dva 0==Aceleração:)( 00 tt.vxx −+=Posição:
2 - Movimento de translação uniformemente variado a = c.teç a c
210 .tavv AA,A +=Velocidade: 2
00 21 .ta.tvxx AA,A,A ++=Posição:
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Órgãos de Máquinas I
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Análise do movimento circularAnálise do movimento circular
Formulação matemática para o movimento circular
Velocidade angular: Aceleração angular:
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Órgãos de Máquinas I
MOVIMENTO CIRCULAR COM ACELERAÇÃO CONSTANTE
São válidas as equações do movimento uniformemente variadoq ç
VELOCIDADE DE UM PONTO P PERTENCENTE AO CORPO RÍGIDO
Análise de velocidades
Escalar:
Vectorial:
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Órgãos de Máquinas I
ACELERAÇÃO DE UM PONTO P PERTENCENTE AO CORPO RÍGIDO
Notação Escalar
Aceleração normal:Aceleração normal:
Aceleração tangencial:ç g
Notação Vectorial
) rw(wra PPPrrrrrr
××+×= α
rwra PPrrrr 2−×= α
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rwra PP α
Órgãos de Máquinas I
PROCEDIMENTO DE ÁNÁLISE DO MOVIMENTO DO CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
A velocidade e a aceleração de um ponto localizado sobre um corpo rígido que gira em torno ç p p g q gde um eixo fixo podem ser determinadas utilizando-se o seguinte procedimento:
I - Movimento AngularI - Movimento Angular
1º Estabeleça o sentido positivo do eixo de rotação e indique-o ao lado de equação cinemática
2º Se for conhecida uma relação entre quaisquer duas das quatro variáveis
equação cinemática.
α, w, θ e t então a terceira variável pode ser obtida utilizando-se umadas seguintes equações cinemáticas:
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Órgãos de Máquinas I
3º S l ã d é t t tã3º Se a aceleração do corpo é constante, então podem ser utilizadas as seguintes equações:
Uma vez obtida a solução, os sentidos de θ , w e α são dados pelos sinais algébricos dos seus valores numéricos.
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II - Movimento do ponto P pertencente ao corpo rígido
1º Em muitos casos a velocidade de P e as duas componentes da sua1 Em muitos casos a velocidade de P e as duas componentes da sua aceleração podem ser determinadas pelas equações escalares:
w r v = α r a t = 2 rwa n =
2º Se a geometria do problema é de difícil visualização, então devem ser utilizadas as seguintes equações vectoriais:
r w r wv Prrrrr
×=×=
r α r αa Ptrrrrr
×=×=2 rw) rw(wa Pnrrrrr 2−=××=
-r P r É direccionado de um ponto qualquer pertencente ao eixo de rotação para o ponto P.
-α e w, r, r Prrrr
Devem ser expressas em função de i, j, k e o produto vectorial é determinado l d l i t d d t i t
- r r Apoia-se no plano do movimento de P.
pelo desenvolvimento do determinante.
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Órgãos de Máquinas I
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
I - O cabo C tem uma aceleração constante de 0,5 m/s2 e uma velocidade inicial de1 m/s, ambas dirigidas para a direita. Determinar:
(a) o número de voltas da polia em 2 s.
(b) a velocidade e a mudança de posição da massa B após 2 s.
(c) a aceleração do ponto D localizado na polia interna para t = 0 s.
10 cm
20 cm
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Órgãos de Máquinas I
• Devido à acção do cabo a velocidade tangencial e aceleração de D são
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
• Devido à acção do cabo, a velocidade tangencial e aceleração de D são iguais à velocidade e o aceleração de C. Calcular a velocidade angular e a aceleração iniciais.
A li l õ i t d t ã if t l d
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração do ponto D
Aplicar as relações para o movimento de rotação uniformemente acelerado de modo a determinar a velocidade e a posição angular da polia após 2 s.
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração do ponto D da polia interna.
• A velocidade e o aceleração tangencial de D são iguais à velocidade e o aceleração de CA velocidade e o aceleração tangencial de D são iguais à velocidade e o aceleração de C.
r)v(
sm)v()v( CD /1 00
=
→==r
rr
ω( )( )
2/5.0 smaa CtD →==rr
srad.r
) v(ω
r)v(
D
D
1010
1
1
00
010
===
=rω ( )
( ) 2
1
1
51050 srad..
ra
ra
tD
tD
===
=
α
α
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Órgãos de Máquinas I
SOLUÇÃO
• Aplicar as relações para a rotação uniformemente acelerada para• Aplicar as relações para a rotação uniformemente acelerada para determinar a velocidade e posição angular da polia após 2 s.
( )( ) d202d510 2++ t ( )( ) srad20s2srad510 20 =+=+= tαωω
( )( ) ( )( )d30
s 2srad5s 2srad10 22212
21
0 +=+= tt αωθrad30=
( ) voltasrot 1rad30 denúmeroN =⎞⎜⎛= voltas8.4=N( ) voltas
rad2rad30 denúmeroN
⎠⎜⎝ π
voltas8.4N
( )( )srad200.22 == ωrv B ↑= s4 mvBr
( )( )2B
myB 6=∆( )( )rad 300.22 ==∆ θryB
B
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Ã
Órgãos de Máquinas I
SOLUÇÃO• Avaliação das componentes tangencial e normal da aceleração de D.
( ) →== 2m/s50aa rr( ) →== m/s5.0CtD aa
( ) ( )( ) 2220 m/s 10srad100.1 === ωDnD ra
( ) ( ) ↓=→= 22 m/s 10m/s 5.0 nDtD aa rr
• Valor e direcção do vector aceleração total
( ) ( )222/50)( ( ) ( )22
22
105.0 +=
+= nDtDD aaa
2/01.10 sma D =
2/5.0)( sma tD =
( )( )10
tan
=
=tD
nD
aa
φ
º187=φ
2/10)( sma nD =
5.0 1.87=φ
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MOVIMENTO PLANO GERAL
Combinação dos movimentos de translação e rotaçãoQuando o bloco deslizante A se movehorizontalmente para a esquerda com umavelocidade VA , ele transmite á manivela CB
t ã tid ti h á i d f
E1 E2 E3
uma rotação no sentido anti-horário de formaque VB tem uma direcção tangente à trajectóriacircular, isto é , para cima e para a esquerda. Abarra de ligação AB (biela) está sujeita a umbarra de ligação AB (biela) está sujeita a ummovimento plano geral e no instante mostradoela tem uma velocidade angular w
B do ponto velocidadevB =r
A do ponto velocidadevA =r
A barra AB do mecanismo mostrado possui movimento plano geral (translação + rotação)
ão a AB em relaç" de relativavelocidadev AB =/r
O movimento relativo é circular, o módulo dessa velocidade é VB/A= W*rB/A e a sua posição é perpendicular a rB/AO movimento relativo é circular, o módulo dessa velocidade é VB/A W rB/A e a sua posição é perpendicular a rB/A
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MOVIMENTO PLANO GERAL
Análise do Movimento relativo
POSIÇÃO:
Análise do Movimento relativo
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MOVIMENTO PLANO GERAL
ANÁLISE DA VELOCIDADE:
Trajectória do ponto A
Avr
Avr
Bvrr
B/AB/A rwv =
Movimento Plano geral TranslaçãoRotação em torno do ponto de referência A
Trajectória do ponto B
Av
Movimento Plano geral Translação ponto de referência A
EQUAÇÕES DE VELOCIDADE: Cálculo das derivadas temporais da equação de posição.
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Órgãos de Máquinas I
PROCEDIMENTO DE ANÁLISE DA VELOCIDADE DO CORPO RÍGIDO
A equação da velocidade relativa pode ser aplicada a partir de uma análise vectorial cartesiana ou
I ANÁLISE VECTORIAL
escrevendo-se directamente as equações em componentes escalares nas direcções x e y. Naabordagem dos problemas deve utilizar-se o seguinte procedimento:
I – ANÁLISE VECTORIAL
1º - Construir o Diagrama Cinemático
Estabeleça as direcções das coordenadas fixas x y e construa o diagrama cinemático do corpo Indique neste
Se os módulos de vA ,vB e w são desconhecidos, os sentidos desses vectores podem ser assumidos.
Estabeleça as direcções das coordenadas fixas x, y e construa o diagrama cinemático do corpo. Indique nestediagrama as velocidades vA e vB dos pontos A e B, a velocidade angular w e o vector posição relativa rB/A.
2º - Aplicar a equação da velocidade
• Para aplicar vB = vA+ w x rB/A , os vectores devem ser expressos na sua forma cartesiana e substituídos na equação. Calcule o produto vectorial e iguale as correspondentes componentes i e j de modo a obter duas q ç p g p p jequações escalares.
• Se a solução fornecer um resultado negativo para o módulo de uma incógnita isso indica que o sentido do vector é oposto àquele mostrado no diagrama cinemático.
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Á
Órgãos de Máquinas I
Ao aplicarmos a equação da velocidade na forma escalar o módulo e o sentido da velocidade relativa v
II – ANÁLISE ESCALAR
1º - Construir o Diagrama Cinemático
Ao aplicarmos a equação da velocidade na forma escalar, o módulo e o sentido da velocidade relativa vB/Adevem se estabelecidos. Construa um digrama cinemático conforme ilustrado na figura 1 , onde é mostradoo movimento relativo. Como o corpo é considerado como momentaneamente “rotulado” ao ponto dereferencia A, o módulo da velocidade relativa é vB/A = w rB/A. O sentido de vB/A é estabelecido a partir do
diagrama de modo que vB/A seja perpendicular rB/A, de acordo com o sentido de rotação w do corpo.
Figura 1
2º - Aplicar a equação da velocidade2 - Aplicar a equação da velocidade
• Escreva a equação da velocidade na forma simbólica, vB = vA+ vB/A e, por baixo de cada um dos termos, represente graficamente os vectores mostrando seus módulos, direcções e sentidos. As equações escalares são determinadas a partir das componentes x e y desses vectoressão determinadas a partir das componentes x e y desses vectores.
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Órgãos de Máquinas I
EQUAÇÕES DA VELOCIDADE PARA MOVIMENTO PLANO
• Todo o movimento plano pode ser substituído por uma translação de um pontode referência arbitrário A e uma rotação simultânea em torno de A, assim:
ABAB vvv rrr +=
wrvrwv ABABAB =×=rrr
ABAB rkwvv rrrr×+= ABAB
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Á S O O O O CO OS ÍG OS
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ANÁLISE DO MOVIMENTO PLANO DE CORPOS RÍGIDOS
Movimento Plano = Translação de A + Rotação em torno de A
Movimento Plano = Translação de B + Rotação em torno de B
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Órgãos de Máquinas I
CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO NO MOVIMENTO PLANO
Definição: Para um corpo rígido em movimento plano geral, as velocidades das partículas do corpo eml i t t ã bt i l t ã d t d iqualquer instante são as mesmas que se obteriam pela rotação do corpo em torno de um eixo
perpendicular ao plano do corpo, designado por eixo instantâneo de rotação. A intersecção entre esteeixo e o plano do corpo chama-se centro instantâneo de rotação - C.I. ou centro instantâneo develocidade nula (vCI = 0).
A Velocidade do ponto B do corpo rígido mostrado na figura 3, pode ser determinada pela seguinte equação da velocidade:
CI0=CIv
CIBrr
C.I
A
ABAB rwvv rrrr×+=
Se escolhermos o ponto A do corpo, como sendo no instante considerado
Bvr
B
ABrr
CIArr
CIBB rwv rrr×=
um ponto de velocidade nula (vA = 0) a equação da velocidade vem:
Avr
AB
CIBB rwv =
Sendo rB/CI perpendicular a vB , então a equação da velocidade pode escrever-se
na forma escalar como:
Figura 3
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Órgãos de Máquinas I
Procedimento para Localização do Centro Instantâneo de Rotação
Para localizar o CI, podemos utilizar o facto do vector velocidade de um ponto
C.Iwr
sobre corpo ser perpendicular ao vector posição relativa definido entre o CI e oponto considerado. São apresentados três casos distintos que podem ocorrer:
1º Caso - É conhecida a velocidade vA de um ponto do corpo e a velocidade
wvr A=CIA
r
1 Caso - É conhecida a velocidade vA de um ponto do corpo e a velocidadeangular w do corpo como exemplifica a figura 4: Neste caso o CI localiza-se aolongo da linha perpendicular a vA passando por A de modo que a distância de A aCI é rA/C = vA/w AvrCI é rA/C I vA/w.
Figura 4
C I2º Caso - São conhecidas as linhas de acção de duas velocidades vA e vB nãoparalelas como exemplifica a figura 5: Constroem-se segmentos de linhaperpendiculares a vA e vB passando por A e B, respectivamente. O CI
C.I
CIArr
CIBrr
wr
p p A B p p , pdetermina-se prolongando essas perpendiculares até ao seu ponto deintersecção. Bvv
Figura 5Avv
Figura 5
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Órgãos de Máquinas I
C.I
rrwr
3º Caso - Dados os módulos e as direcções de duas velocidades paralelas vA e vB,como exemplifica a figura 6: o CI é determinado usando aproporcionalidade de triângulos, em que rA/CI = vA / w e rB/CI = vB / w.
CIBr
BvvCIArr
p p g q A/CI A B/CI B
I - EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Avv
vv AA ( ) v
• O centro instantâneo de rotação encontra-se na intersecção das perpendiculares aos vectores velocidade com os vectores posição e .CI Br
rCI A r
r
• A velocidade de cada uma das partículas da haste apresenta-se como
θω
cos/ lrA
CIA
A ==CI Br
rC.I
( ) θθ
θω tancos
sin / AA
CIBB vl
vlrv ===
A velocidade de cada uma das partículas da haste apresenta se comorodasse em torno de CI.
• A partícula localizada no centro de rotação tem velocidade zero.r
• A velocidade da partícula que coincide com o centro de rotação varia notempo pelo que a sua aceleração no centro instantâneo de rotação não ézero.
CI A rr
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Órgãos de Máquinas I
Características do Centro Instantâneo de rotação ou Centro de velocidade nula
O conceito de centro instantâneo de rotação só se aplica ao movimento plano.
O centro instantâneo de rotação é um ponto que varia de instante para instante.
O conceito de centro instantâneo de rotação é útil, para calcular velocidades de pontos de corpos rígidos em alguns movimentos planos. Nunca, acelerações.
A utilização do centro instantâneo de rotação nunca é a única forma de resolver exercícios de umA utilização do centro instantâneo de rotação nunca é a única forma de resolver exercícios de um movimento plano.
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Órgãos de Máquinas I
EXEMPLO DE APLICAÇÃO BARRA DESLIZANTE
A barra mostrada na figura é guiada por dois blocos A e B que se movem ao longo das ranhurasA barra mostrada na figura é guiada por dois blocos A e B que se movem ao longo das ranhuras fixas. Se a velocidade de A é de 3 m/s no sentido descendente. Determine:
(a) a velocidade linear de B no instante em que a barra forma um ângulo de 60º com a vertical;
(b) l id d l d b(b) a velocidade angular w da barra.
A0 5 mvA= 3 m/s
60º
0.5 m
B
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RESOLUÇÃO
I – ANÁLISE VECTORIAL
1º - Diagrama Cinemático
Uma vez que os movimentos de A e B são restritos ao longo das ranhuras fixas e vA é direccionadaverticalmente no sentido descendente, então a velocidade vB deve ser direccionada horizontalmente para a, B pdireita como é ilustrado na figura 2. O movimento origina na barra uma rotação no sentido anti -horário, isto é,pela regra da mão direita o vector velocidade angular w é direccionado para fora e perpendicular ao plano domovimento. Conhecendo-se o módulo de vA e as linhas de acção de vB e w então é possível aplicarmos a
ã d l id d
B (Livre) Bvr
ABAB rwvv rrrr×+=
equação da velocidade:
A (Fixo)B (Livre)
AvrABv /
r60º
30ºA Bv /r
( )
vA= 3 m/s ABrr
wr
60ºi
j
Ax
y
A
ABAB vvv rrr+=
B (Livre) Bvr60º B
ABAB rwvv rrrr×+= Figura 2
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Órgãos de Máquinas I
RESOLUÇÃO2º - Equação da velocidade
Expressando cada um dos vectores mostrados no diagrama cinemático em função das suas componentes i, j , ke aplicando a equação da velocidade ao ponto de referência A, vem:
ˆˆ [ ]j30º0 5i30º50BAr
rˆr
[rad/s] k ww =r
; [m/s] j0i += BB vvr [m] j30ºsen 0.5-i30ºcos5.0==BA
r AB r; [m/s] j3−=Avr
ˆˆˆ
⇔×+= ABAB rwvv rrrr
00.25-0.43300
kji j -3 j 0i wvB +=+ j 433.0i 25.0 j -3 j i wwvv BB ++=+⇔
{ 25.0 wv B =i →= m/s 725.1 Bv
A (Fixo)
k 9.6=wr{ 433.0 -3 0 w+=j
⇔
rad/s 6.9 =w60ºj 3−=Avr A Bv /
r
60º
B ivBˆ 725.1=
r
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RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
II – ANÁLISE ESCALAR
1º - Diagrama Cinemático B (Livre) Bvr
ABv /r
60º
30ºA (Fixo)
yAvr
AB /30
vvv rrr+=
ABvrvA= 3 m/s ABrr
wr
60ºx
y
2º - Equação da velocidade
ABAB vvv +=
ABAB rwvv rrrr×+=B (Livre) Bvr
60º
50 w.w rv B/AAB ==ABAB vvv rrr+=
[ ]w50[ ]v )( [ ]3− [ ] w.50[ ]xBv )(
→ [ ]3−
↓ = +
60º
Igualando-se as componentes x e y, vem:
wwvv BxB 25.0º60 cos 5.0)( ===
ºw sen 605030 +−={ { m/s 725.1=Bv
d/96w sen . 605030 +={ { rad/s.w 96=
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Órgãos de Máquinas I
II - EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE MECANISMO “MOVIMENTO PLANO GERAL”
O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão biela e manivela de um motorO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão, biela e manivela de um motora combustão. Sabendo-se que LAB =75 mm, LBC = 175 mm e que no instante mostrado θ = 70° e oeixo da manivela AB possui uma velocidade angular wAB = 4800 rpm no sentido anti-horário,determine pelo método do centro instantâneo de rotação:determine pelo método do centro instantâneo de rotação:a) a velocidade angular da biela BC;b) a velocidade do pistão P.
L 175 mm
LBC=175 mm
LBC=175 mm
LAB=75 mmE1
70º
Ф70º
C
º sen sen Φ ºsen sen Φ 7017575
17570
75=⇔= º75.23 =⇔ Φ17517575
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Órgãos de Máquinas I
RESOLUÇÃO
I – ANÁLISE VECTORIAL
Movimento da manivela AB - Rotação em torno de um eixo fixo
1º - Diagrama CinemáticoBvr
yj
B /AB vv rr=
20º
B (Livre)
ABwr
20º
ABrr
xA
iB (Livre)
20º
A (Fixo)
70º
2º E ã d l id d2º - Equação da velocidade
[rad/s] ˆ6502ˆ60
2 * 4800 k .kπwBA ==r
Dados apresentados na forma vectorial
6.50200kji
0 +=Bvr⇔×+= ABABAB rwvv rrrr
jº sen .iº .rB/A 700750ˆ70cos0750 +=
r00705.00256.0
j . i .vBˆ8712ˆ435 +−=
r m/s 7.37 =⇒ Bv
[m] j 0.0705 i r ABˆˆ0256.0 +=
r
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Órgãos de Máquinas I
RESOLUÇÃO
Movimento Plano da biela BC - Translação de B + Rotação em torno de B
1º - Diagrama Cinemático
BCwr
Bvr
20º Bvr
93 75º
x
y
Bi
j
C (Livre)
B (Fixo)BC
r
BCrr
23.75ºc (Livre
20º
B / Cvr
r
66.25º
93.75
( )
C /BvrC vr C vr
2º - Equação da velocidade BCBCBC rwvv rrrr×+=
]/[ ˆ87.12ˆ435 sm j i . vB +−=r
Dados apresentados na forma vectorial
007050160
00
ˆˆˆ
ˆ87.12ˆ 4.35ˆ - .-.
wkji
j i iv BCC −++−=
[rad/s] ˆ kww BCBC −=r
[m] j 23.75ºsen 0.175 - i 23.75º cos 175.0r BC =r
ˆˆ{{ 16.087.120 BCw−=
0705.0 -35.4 BCC wv −=−i
j⇔
←= m/s 41 Cv
rad/s80.4=BCw[m] j 0.0705 - i 16.0r BC =
r{{
BCj rad/s80.4BCw
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à É
Órgãos de Máquinas I
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PELO MÉTODO CI
Movimento Plano da Biela BC - Translação de B + Rotação em torno de B
m 47.0º66.75 175.0
º20 /
/=⇔= CIB
CIBr
rsensen
CI
m 51.0º93.75 175.0
º20 /
/=⇔= CIC
CICr
rsensen20 º
CI B rr
93.75 ºr
Bvr
20º
B CICrr ⇔= A B ABB rwv m/s73707506502 .. * .vB ==
BCw
66,75º
B
A B rr ⇔= CI B BCB rwv rad/s 2.80
47.07.37===
rvw
CI B
BBC
C vr23.75º70 º
CA ←= m/s 9.40 Cv rad/s 80.2 =BCw
m/s 40.90.51*2.80 r* C/CI ==⇔= CBCC vwv
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Órgãos de Máquinas I
III - EXEMPLO DE APLICAÇÃO
CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO NO MOVIMENTO PLANO
A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior que se encontra parada. Sendo a velocidade do centro da engrenagem de 1.2 m/s, ddetermine:
Ç
(a) a velocidade angular da engrenagem(b) a velocidade da cremalheira superior R (c) a velocidade do ponto D da engrenagem. ( ) p g g
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Ã
Órgãos de Máquinas I
O ponto C está em contacto com a cremalheira inferior estacionária e, instantaneamente, tem velocidade zero. o ponto C deve ser escolhido como posição do centro instantâneo da rotação (CI).
RESOLUÇÃO
• Determine a velocidade angular sobre C baseado na velocidade dada em A.
srad8m0.15sm2.1====
A
AAA r
vrv ωω0. 5A
• Calcule as velocidades em B e em D baseados em sua rotação sobre C.
m/s 28*25.0 ==== ωBBR rvv [m/s] 2 iv R
rr=
m 2121.0215.0 ==Dr
m/s69718*21210 === ωrv [m/s]2121 jivrrr
+=m/s697.18*2121.0 === ωDD rv [m/s] 2.12.1 jivD +=
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Órgãos de Máquinas I
EXEMPLO DE APLICAÇÃO VELOCIDADE EM MOVIMENTO PLANO
Assumindo que a velocidade vA da extremidade A é conhecida, determine:a) a velocidade v da extremidade Ba) a velocidade vB da extremidade B.b) a velocidade angular w em função de vA, l, e θ.
As direcções de vB e vB/A são conhecidas. Completar o diagrama das velocidades.
θ
θ
tan
tan
AB
A
B
vvvv
=
= θω
cos
v
lv
vv A
AB
A ==
ç B B/A p g
θtanAB vv =θ
ωcoslvA=
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Órgãos de Máquinas I
MOVIMENTO PLANO GERAL
ANÁLISE DA ACELERAÇÃO:
Movimento Plano Translação de ARotação em torno do ponto de referência A= +
EQUAÇÕES DA ACELERAÇÃO
ABAB aaa rrr += nABtABAB aaaa )()( rrrr++= ABABAB rwraa /
2/
rrrrr−×+= α
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Órgãos de Máquinas I
PROCEDIMENTO DE ÁNÁLISE DA ACELERAÇÃO DO CORPO RÍGIDO
A equação da aceleração relativa pode ser aplicada a dois pontos quaisquer A e B de um corpo a partirde uma análise vectorial cartesiana ou escrevendo-se directamente as equações em componentes
I – ANÁLISE VECTORIAL
de uma análise vectorial cartesiana ou escrevendo se directamente as equações em componentesescalares nas direcções x e y. Na abordagem dos problemas deve utilizar-se o seguinte procedimento:
1º - Construir o Diagrama Cinemático
Estabeleça as direcções e os sentidos das coordenadas fixas x, y e construa o diagrama cinemático doI di t di l id dcorpo. Indique neste diagrama as velocidades aA, aB , w, α e rB/A.
Se os pontos A e B se movem ao longo de trajectórias curvas as suas acelerações devem ser indicadas emfunção das suas componentes tangencial e normal, isto é: e nBtBB aaa )()( rrr
+=nAtAA aaa )()( rrr+=
2º - Aplicar a equação da aceleração
• Para aplicar a equação aB = aA+ α x rB/A - w2 rB , os vectores devem ser expressos na sua forma cartesiana e substituídos na equação Calcule o produto vectorial e iguale as correspondentes componentes i e j de modosubstituídos na equação. Calcule o produto vectorial e iguale as correspondentes componentes i e j de modo a obter duas equações escalares.
• Se a solução fornecer um resultado negativo para o módulo de uma incógnita isso indica que o sentido do vector é oposto àquele mostrado no diagrama cinemático. p q g
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Órgãos de Máquinas I
I - EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE MECANISMO “MOVIMENTO PLANO GERAL”
O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado Pistão Biela e Manivela de um motorO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado Pistão, Biela e Manivela, de um motorde combustão. Sabendo-se que LAB =75 mm, LBC = 175 mm e que no instante mostrado θ = 70° oeixo da manivela AB possui uma velocidade angular constante wAB = 4800 rpm no sentido anti-horário determine:horário, determine:a) a aceleração angular biela BC;b) a aceleração do pistão P.
L 175 mm
LBC=175 mm
LBC=175 mm
LAB=75 mm
70º
Ф70º
C
º sen sen Φ ºsen sen Φ 7017575
17570
75=⇔= º75.23 =⇔ Φ17517575
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Órgãos de Máquinas I
RESOLUÇÃOI – ANÁLISE VECTORIAL
Movimento da manivela AB - Rotação em torno de um eixo fixo
1º - Diagrama CinemáticoB (Livre) B (Livre)
yj ABwr
ABrr
nABB aa )( /rr
= nABB aa )( /rr
=
70º
xA
i
A (Fixo)
70º
2º - Equação da aceleração2*4800
Dados apresentados na forma vectorial
nABtABAB aaaa )()( rrrr++=
ˆˆ22 jº sen .iº .rB/A
ˆ700750ˆ70cos0750 +=r
[rad] ˆ6502ˆ60
2 * 4800 k .kπwAB ==r
)j .i.*(.rwa B/ABˆ07050ˆ02560650200 22 +−=−+=
rr
][m/s ˆ8.17808ˆ 7.6466 2jiaB −−=r
][m/s 5.18946 2=Ba
/
[m] j 0.0705 i BAr ABˆˆ0256.0 +==
rr][B
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Órgãos de Máquinas I
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
Movimento Plano da biela BC - Translação de B + Rotação em torno de B
1º - Diagrama CinemáticoB (Fixo)
nB /Aa )( rBCαr
C /Ba )( r
x
y
Bi
j
C (Livre)
nB /A )(
C ar
BCrr
23.75º70º
nC /Ba )(
A
2º E ã d l ã
tC /Ba )( r
2º - Equação da aceleração
nBCtBCBC aaaa )()( rrrr++=
Dados apresentados na forma vectorial
][m/s ˆ8.17808ˆ 7.6466 2jiaB −−=r
BCBCBCBCBC rwraa /2
/rrrrr
−×+= α][rad/s ˆ 2kBCBC αα −=
r
[m] j 0.0705 - i 16.0r BC =r
[ d/ ]k280r
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[rad/s] k2.80BC −=w
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y
B
j
B (Fixo)
BCαr
rnC /Ba )( rnB /Aa )( rDados apresentados na forma vectorial
][m/s ˆ8.17808ˆ 7.6466 2jiaB −−=r
xB
i
C (Livre)C ar
BCr23.75º70º
A ][rad/s ˆ 2kBCBC αα −=r
[m] j 0.0705 - i 16.0r BC =r
BCBCBCBCBC rwraa /2
/rrrrr
−×+= α
tC /Ba )( r [rad/s] k 2.80BC −=wr
)j 0.0705 - i 16.0(*2.80 007050160
00
ˆˆˆ
)ˆ8.17808ˆ 7.6466( 2−−+−−=.-.
kjijia BCC α
r
007050160 ..
j i j i j i a BCBCCˆ46.453ˆ1029)ˆ16.0ˆ0705.0()ˆ8.17808ˆ7.6466( +−−−+−−= ααr
m/s a 2C 5.151−={ 7.4957 0705.0 −−=− BCCa α
17355.34 BC −−= α16.002
BC rad/s 1 9.08470−=α{i
j
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Órgãos de Máquinas I
MECANISMO “MOVIMENTO PLANO GERAL”
O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão biela e manivela de um motorO mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado de pistão, biela e manivela de um motora combustão. Para a manivela de raio R e biela de comprimento L, no instante mostrado θ e o amanivela AB possui uma velocidade angular w no sentido anti-horário, determine:a) A velocidade angular da biela BC;a) A velocidade angular da biela BC;b) A velocidade do pistão P.
LBC=175 mm
L
R
70ºФθ
C
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Órgãos de Máquinas I
SOLUÇÃO COMPUTACIONAL DO PROBLEMA
Velocidade angular da biela BC
Velocidade do pistão C
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Órgãos de Máquinas I
ANÁLISE COMPUTACIONAL DO MODELO PROPOSTO
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Órgãos de Máquinas I
ANÁLISE COMPUTACIONAL DO MODELO PROPOSTO
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Órgãos de Máquinas I
COMENTÁRIOS SOBRE O ESTUDO REALIZADO
Para um perfeito funcionamento do sistema é importante manter a velocidade l d t ã d i ( t A)angular de rotação do eixo (ponto A).
Não se deve permitir desalinhamento do eixo, pois o mesmo pode ocasionarvibrações que interferem directamente na velocidade angular do sistema e navelocidade linear do pistão, gerando anomalias nas curvas apresentadas.
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