CINEMATICA DE

PARTICULAS

INTRODUCCION :

La dinámica es la rama de la física que se ocupa del movimiento acelerado de un cuerpo. La materia de la dinámica se presenta en dos partes: cinemática, la cual trata solo los aspectos geométricos del movimiento y la cinética, que analiza las fuerzas que provocan el movimiento. Para desarrollar estos principios primero se analizara la dinámica de una partícula.

GENERALIDADES :

El uso de partículas no significa que el estudio se restringirá a pequeños corpúsculos, si no al movimientos de cuerpos. Al afirmar que los cuerpos se analizaran como partículas, se entiende que solo se considerara su movimiento como unidad completa, y se ignora cualquier rotación alrededor de su propio centro masa.

Se estudiara el movimiento rectilíneo de una partícula; se determina la posición, velocidad y aceleración de una partícula en todo instante conforme ésta se mueve a lo largo de una línea recta.

Se analizara el movimiento de una partícula cuando ésta se mueve a lo largo de una trayectoria curva. Puesto que la posición, velocidad y aceleración de una partícula se definen como cantidades vectoriales.

También se analizara el movimiento de una partícula por medio de los conceptos de trabajo y energía.

CONCEPTOS BASICOS :

• POSICION: En cualquier instante dado t, la partícula ocupará cierta posición sobre la línea recta. Para definir la posición P de la partícula se elige un Origen fijo O sobre la dirección positiva a lo largo de la línea.

La distancia x, con el signo apropiado, define por completo la posición de la partícula, y se denomina como la coordenada de la posición de la partícula.

• DESPLAZAMIENTO: Considere la posición P ocupada por la partícula en el tiempo t y la coordenada correspondiente x . Considere también la posición P’ ocupada por la partícula en un tiempo posterior t +t; la coordenada de la posición P’ puede obtenerse sumando a la coordenada x de P el pequeño desplazamiento x, el cual será positivo o negativo según si P’ está a la derecha o a la izquierda de P.

• VELOCIDAD:Si la partícula recorre una distancia durante el intervalo su velocidad promedio durante este intervalo es:

ACELERACION: Siempre que se conoce la velocidad de la partícula en dos puntos, su aceleración promedio durante el intervalo se define como:

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE

• El movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta. En este movimiento, la aceleración a de una partícula es cero para todo valor de t. En consecuencia, la velocidad v es constante.

= v

• La coordenada de posición x se obtiene cuando se integra esta ecuación. Al denotar mediante x0 el valor inicial de x, se escribe:

GRAFICA DEL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

• El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es otro tipo común de movimiento. En éste, la aceleración a de la partícula es constante:

= a

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTEACELERADO

• La velocidad v de la partícula se obtiene al integrar esta ecuación:

• Reemplazando datos conocidos y integrando, obtendremos:

• Sabiendo la ecuación de la aceleración y la velocidad e integrando

MOVIMIENTO CURVILINEO DE PARTICULAS

VECTOR DE POSICIÓN Y VELOCIDAD EN MOVIMIENTO CURVILÍNEO:

El movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria curva. La posición P de la partícula en cualquier tiempo dado se definió por medio del vector de posición r que une al origen O de las coordenadas y al punto P. La velocidad v de la partícula se definió mediante la relación

y se encontró que era un vector tangente a la trayectoria de la partícula y de magnitud v (denominada rapidez de la partícula) igual a la derivada en el tiempo de la longitud s del arco descrito por la partícula:

ACELERACION EN MOVIMIENTO CURVILÍNEOLa aceleración a de la partícula se definió mediante la relación

Y se señaló que, en general, la aceleración no es tangente a la trayectoria de la partícula.COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y ACELERACIONAl denotar mediante x, y y z las coordenadas rectangulares de una partícula P, se encontró que las componentes rectangulares de la velocidad y la aceleración de P resultan iguales, respectivamente, a la primera y segunda derivadas con respecto a t de las coordenadas correspondientes:

MOVIMIENTOS DE LOS COMPONENTESCuando la componente ax de la aceleración depende únicamente de t, x, y/o vx, y cuando de manera similar ay depende sólo de t y/o vy , y az de t, z y/o vz y , las ecuaciones se integran de forma independiente. El análisis del movimiento curvilíneo dado se reduce de ese modo al análisis de tres movimientos de componentes rectilíneas independientes.

MOVIMIENTOS RELATIVO DE DOS PARTICULASEn el caso de dos partículas A y B que se mueven en el espacio, consideramos el movimiento relativo de B con respecto a A, o más precisamente, con respecto al sistema de referencia en movimiento unido A y en traslación con A. Al denotar mediante rB/A el vector de posición relativa de B con respecto a A, se obtuvo

Al denotar con VB/A y aB/A, respectivamente, la velocidad relativa y la aceleración relativa de B con respecto a A, se demostró también que:

Y

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL

Algunas veces es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de una partícula P en componentes diferentes a las rectangulares ‘x’, ‘y’ y ‘z’. En el caso de una partícula P que se mueve a lo largo de la trayectoria contenida en un plano, se unen a P los vectores unitarios et tangente a la trayectoria y en normal a la trayectoria y dirigido hacia el centro de curvatura de la misma Se expresa entonces la velocidad y la aceleración de la partícula en términos de las componentes tangencial y normal. Se escribe

Donde v es la rapidez de la partícula y “p” el radio de curvatura de su trayectoria. Se observa que mientras la velocidad v está dirigida a lo largo de la tangente a la trayectoria, la aceleración a consta de una componente a dirigida a lo largo de la tangente a la trayectoria y de una componente a que apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

EJERCICIO: Un automovilista viaja sobre una sección curva de una autopista de 2 500 ft de radio a una rapidez de 60 mi/h. El automovilista aplica repentinamente los frenos, provocando que el automóvil se desacelere a una tasa constante. Si se sabe que después de 8 s la rapidez se ha reducido a 45 mi/h, determine la aceleración del automóvil inmediatamente después de que se han aplicado los frenos.SOLUCION:Componente tangencial de la aceleración Primero se expresan las velocidades en ft/s.

Componente normal de la aceleración.

Magnitud y dirección de la aceleración.

a

ECUACION DEL MOVIMIENTO• Cuando mas de una fuerza actúan en una

partícula, la fuerza resultante se determina por medio de una suma vectorial de todas las fuerzas.

• También podemos decir que si , entonces la aceleración también es cero, de modo que la partícula bien puede permanecer en reposo o moverse a lo largo de una trayectoria de línea recta a velocidad constante

• Cuando se aplica la ecuación de movimiento, es importante que la aceleración de la partícula se mida con respecto a un marco de referencia que este fijo o se traslade a una velocidad constate

• De este modo, el observador no experimentara aceleración y las mediciones de la aceleración de la partícula serán las mismas con cualquier de este tipo. Tal marco de referencia comúnmente se conoce como marco de referencia inercial o NEWTONIANO

ECUACION DE MOVIMIENTO: de un sistema de partículas

• La ecuación del movimiento se ampliara ahora para incluir un sistema de partículas aislado dentro de una región cerrada del espacio.

• En el instante la partícula de masa , se somete aun sistema de fuerzas internas y externas resultante.

Fuerza externa = Fuerza interna =

• Donde tendremos por ecuación:

• cuando se aplica la ecuación de movimiento a cada una de las demás partículas , se tendrá un suma vectorial.

• La sumas de fuerzas internas, si se realiza, es igual a cero, ya que las fuerzas internas entre dos partículas ocurren en pares colineales igual pero opuestos.

• Si es un vector de posición que se localiza en el centro de la masa G de las partículas, entonces tendremos

Entonces se dirá que:

ENERGIA CINETICA DE UNA PARTICULA

Se consideró una fuerza F que actuaba sobre una partícula A y se definió el trabajo de F correspondiente al pequeño desplazamiento dr como la cantidad

dU = F .dr o dU=F.ds.cosα donde α es el ángulo entre F y dr. El trabajo de F durante un desplazamiento finito desde A1 hasta A2 , denotado por U1→2 , se obtuvo al integrar la ecuación anterior a lo largo de la trayectoria descrita por la partícula:

En componentes rectangulares

TRABAJOEl trabajo del peso W de un cuerpo cuando su centro de gravedad se mueve desde la altura y1 hasta y2 se obtuvo al sustituir Fx = Fz = 0 y Fy =-W en la ecuación anterior e integrar. Se encuentra

El trabajo de una fuerza F ejercida por un resorte sobre un cuerpo A durante un desplazamiento finito del cuerpo desde A1 (x = x1), hasta A2 (x = x2) se obtuvo al escribir

El trabajo de F es por tanto positivo cuando el resorte regresa a su posición no deformada.

PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGIADe la segunda ley de Newton se dedujo el principio del trabajo y la energía, el cual señala que la cinética de una partícula en A puede obtenerse sumando a su energía en A el trabajo realizado durante el desplazamiento de A1 a A2 por la fuerza F ejercida sobre la partícula:

T1 + U1→2 = T2

El método del trabajo y la energía simplifica la solución de muchos problemas que tienen que ver con fuerzas, desplazamientos y velocidades, ya que no requiere la determinación de aceleraciones

POTENCIALa potencia se definió como la tasa en el tiempo a la cual se efectúa el trabajo:

• donde F es la fuerza que se ejerce sobre la partícula y v la velocidad de esta misma. La eficiencia mecánica, denotada por η, se expresó como:

FUERZA CONSERVATIVACuando el trabajo de una fuerza F es independiente de la trayectoria que se sigue, se afirma que la fuerza F es una fuerza conservativa, y que su trabajo es igual al negativo del cambio en la energía potencial V asociado con F:

U1→2 = V1 –V2

Las siguientes expresiones se obtuvieron para la energía potencial asociada con cada una de las fuerzas consideradas antes:Fuerza de gravedad (peso):

Fuerza elástica ejercida por un resorte:

PRINCIPIO DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIAAl sustituir U1→2 de la primera ecuación en la ecuación (T1 + U1→2 = T2) y reagrupar los términos, se obtuvo:

Éste es el principio de la conservación de la energía, el cual establece que cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas, la suma de sus energías cinética y potencial permanece constante.

PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTÍCULALa cantidad de movimiento lineal de una partícula se definió como el producto mv de la masa m de la partícula y su velocidad v. De la segunda ley de Newton, F=ma, se dedujo la relación

Donde mv1 y mv2 representan la cantidad de movimiento de la partícula en un tiempo t1 y en un tiempo t2, respectivamente, y donde la integral define el impulso lineal de la fuerza F durante el intervalo correspondiente. Por lo tanto, se escribió:

que expresa el principio del impulso y la cantidad de movimiento para una partícula.Cuando la partícula considerada está sujeta a varias fuerzas, es necesario usar la suma de los impulsos de estas fuerzas; se tuvo

MOVIMIENTO DE IMPULSOEl método del impulso y de la cantidad de movimiento es en particular efectivo en el estudio del movimiento impulsivo de una partícula, cuando fuerzas muy grandes, denominadas fuerzas impulsivas, se aplican durante el intervalo Δt, muy corto, ya que este método implica los impulsos F Δt de las fuerzas, mแs que las fuerzas mismas. Ignorando el impulso de toda fuerza no impulsiva, se escribió

En el caso del movimiento impulsivo de varias partículas, se tuvo

Donde el segundo término implica s๓lo fuerzas externas impulsivas

EJERCICIOUn automóvil que pesa 4 000 lb desciende por una pendiente de 5º a una rapidez de 60 mi/h cuando se aplican los frenos, lo que provoca una fuerza de frenado total constante (aplicada por el camino sobre los neumáticos) de 1500 lb. Determine el tiempo que se requiere para que el automóvil se detenga.SOLUCION:Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento. Puesto que cada una de las fuerzas es constante en magnitud y dirección

EJERCICIO : Una seccion de via de una montaña esta compuesta por dos arcos circulares AB y CD unidos mediante un tramo recto BC. El radio de AB es de 27 m y el de CD mide 72 m. El carro y sus ocupantes,con mas total de 250 Kg. Llega al punto A practicamente sin velocidad y luego cae libremente a lo largo de la via. Determine la fuerza normal ejercida por la via sobre el carro cuando este alcanzara el punto B. Ignore la resistencia del aire y la resistencia al rodamiento.