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 Cinemática Módulo I –Física Cinemática Cinemática Conceptos Conceptos La cinemática (del griego kínematos: movimiento) es la parte de la física que se ocu pa de las ley es del movimien to. No se ocu pa de las cau sas que producen dicho movimiento sino del estudio matemático con el objeto de obtener una ley que permita predecir el movimiento futuro de una partícula; ley de Movimiento. Llamamos móvil a toda partícula (objeto puntual) en movimiento. Hablamos de objeto puntual pues en estas ecuaciones no consideramos un factor muy importante que afecta al mo vimiento como es el rozamiento con el aire. En otras palabras, trabajaremo s con móviles cu yo coeficiente aerodinámico es el valor más alto. Un cuer po está en movimiento cuando su po sición varia a través del tiemp o. Estos movimien tos son siempre relativos pues para un observador en la tierra, un edificio sería un objeto carente de movimiento, mientras que para un observador en el espacio, dicho edificio estará animado de movimiento rotacional y trasnacional. Por eso hablamos de movimiento relativo, dependien do de la ubicación del sistema de referencia ( centro de coordenadas).  Todos los movimientos que analizaremos estarán referidos a un sistema de ejes en reposo con respecto al observador. Denominamos trayectoria a la línea que une las distintas posiciones de un móvil. Pueden ser rectilíneas, circulares, elípticas, parabólicas, etc. El espacio es la longitu d de camino recorrido a partir de un punto tomado como origen. Clasificación de los Movimientos: Clasificación de los Movimientos: Uniforme (MRU) Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) Movimiento Uniforme (MCU) Circular Uniformemente Variado (MCUV) MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) Un movimiento es rectilíneo cuando la trayectoria recorrida por el móvil es una recta. Cuando los espacios recorridos en intervalos de tiempo iguales son los mismos, decimos entonces que el movimiento es uniforme: e 1 / t 1 = e 2 / t 2 = ....= e n / t n = constante Di cha cons tante repr esen ta el es pa cio recorrido en la unidad de ti empo y la denominamos velocidad . Ésta es una magnitu d vectorial caracterizada por: módulo: módulo: velocidad numérica cuyas unidades son [v]= m/seg, km/h, etc. A esta magnitud se la denomina rapidez. punto de aplicación: punto de aplicación: punto de la trayectoria. dirección: dirección: tangent e a la trayectoria en el punto estudiad o. sentido: sentido: el mismo del movimiento. Para pasar las unidades de km/h a m/s hay que dividir la velocidad por 3.6: 1 km/h = 1000 m / 3600 seg = 1/3.6 m/s Ejercicio A: Un automóvil viaja a 130 km/h. ¿A qué velocidad viaja en m/s y en millas / hora? Dato: 1 milla equivale a 1,609 Km Leyes del Movimiento Rectilíneo Uniforme Leyes del Movimiento Rectilíneo Uniforme Lic. Pablo A. Manzano Lic. Pablo A. Manzano 1

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Cinemática Módulo I –Física 4º

CinemáticaCinemática

ConceptosConceptosLa cinemática (del griego kínematos: movimiento) es la parte de la física que se

ocupa de las leyes del movimiento. No se ocupa de las causas que producen dichomovimiento sino del estudio matemático con el objeto de obtener una ley que permitapredecir el movimiento futuro de una partícula; ley de Movimiento.

Llamamos móvil  a toda partícula (objeto puntual) en movimiento. Hablamos deobjeto puntual pues en estas ecuaciones no consideramos un factor muy importante queafecta al movimiento como es el rozamiento con el aire. En otras palabras, trabajaremoscon móviles cuyo coeficiente aerodinámico es el valor más alto. Un cuerpo está enmovimiento cuando su posición varia a través del tiempo. Estos movimientos son siemprerelativos pues para un observador en la tierra, un edificio sería un objeto carente demovimiento, mientras que para un observador en el espacio, dicho edificio estará animadode movimiento rotacional y trasnacional. Por eso hablamos de movimiento relativo,dependiendo de la ubicación del sistema de referencia ( centro de coordenadas).

 Todos los movimientos que analizaremos estarán referidos a un sistema de ejes en

reposo con respecto al observador.Denominamos trayectoria a la línea que une las distintas posiciones de un móvil.Pueden ser rectilíneas, circulares, elípticas, parabólicas, etc. El espacio es la longitud decamino recorrido a partir de un punto tomado como origen.

Clasificación de los Movimientos:Clasificación de los Movimientos:Uniforme (MRU)

RectilíneoUniformemente Variado (MRUV)

MovimientoUniforme (MCU)

CircularUniformemente Variado (MCUV)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Un movimiento es rectilíneo cuando la trayectoria recorrida por el móvil es una recta.Cuando los espacios recorridos en intervalos de tiempo iguales son los mismos, decimosentonces que el movimiento es uniforme:

e1 / t1 = e2 / t2 = ....= en / tn = constante

Dicha constante representa el espacio recorrido en la unidad de tiempo y ladenominamos velocidad . Ésta es una magnitud vectorial caracterizada por:

módulo:módulo: velocidad numérica cuyas unidades son [v]= m/seg, km/h, etc. A estamagnitud se la denomina rapidez.• punto de aplicación:punto de aplicación: punto de la trayectoria.• dirección:dirección: tangente a la trayectoria en el punto estudiado.• sentido:sentido: el mismo del movimiento.

Para pasar las unidades de km/h a m/s hay que dividir la velocidad por 3.6:

1 km/h = 1000 m / 3600 seg = 1/3.6 m/s

Ejercicio A:Un automóvil viaja a 130 km/h. ¿A qué velocidad viaja en m/s y en millas / hora?

Dato: 1 milla equivale a 1,609 Km

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IªLey: La velocidad es constante.v = cte.

2ª Ley: El espacio recorrido es proporciona¡ al tiempo siendo la constante deproporcionalidad, la velocidad.

e = v . tEcuación General del MRU:Ecuación General del MRU:

Esta ecuación representa la posición de un móvil con movimiento rectilíneo uniformea cualquier tiempo t y es particularmente útil para resolver problemas de encuentro demóviles.

X(t) = Xo + v.t

donde x(t) es la posición del móvil al tiempo t, xo es la posición a tiempo cero (posicióninicial),v representa la velocidad. La diferencia X(t) - Xo representa el espacio recorrido porel móvil.

Representación gráfica del MRU:Representación gráfica del MRU:Veremos a continuación que tipos de gráficos se obtienen al representar la leyes de

este movimiento y la ecuación general:

v(t) e X(t)Xo

v = ctee

 

= v.t tg α = e/t = v Xoespacio α

t t tmóvil alejándose el observador

móvil acercándose al observadorEjercicio B:

a) Un automóvil viaja a una velocidad de 90 km/h. Representar gráficamente V(t), e(t) yX(t) a partir del instante en que pasa por el punto ubicado en el observador.

b) Las posiciones de un móvil respecto del observador en función del tiempo son lassiguientes:

t (seg) 0 10 20 30 40 50X(t) (m) 30 330 630 930 1230 1530

1) Representar gráficamente la tabla anterior.2) Construir un gráfico de V(t) y calcular gráficamente el espacio recorrido.3) Determinar gráfica y analíticamente la velocidad del móvil.

MOVIMIENTO VARIADOMOVIMIENTO VARIADOCuando los espacios recorridos por el móvil no son proporcionales a los tiempos, el

movimiento es variado, es decir, la velocidad varía con el tiempo. Esta velocidad puedeaumentar o disminuir.Podemos definir dos tipos de velocidad en este movimiento:

Velocidad Media ( vVelocidad Media ( vmm ):): es la velocidad del móvil con la cual recorrería el mismo espacioen igual tiempo pero con movimiento rectilíneo uniforme.

Supongamos que un automóvil recorre en la primera media hora 30 Km. y en los 15minutos posteriores 20 Km. ¿Cuál será su velocidad media en km/h?

La velocidad media queda definida por la siguiente ecuación:

Vm = (e1+e2) / (t1+t2)

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Antes de reemplazar los valores vamos a pasar los dos tiempos de minutos a horas:

60 min. 1 hora 60 min. 1 hora30 min. x= 30 min.1h/60 min = 0.5 hs. 15 min x= 15min.1h/60 min= 0.25 h

Entonces t1 = 0.5 hs. y t2 = 0.25 h. Ahora reemplazamos:

Vm = (e1+e2)/(t1+t2) = (30 km + 20 km ) / (0.5 h + 0.25 h) = 50 km / 0.75 h = 66.67 km/h

Velocidad Instantánea ( vVelocidad Instantánea ( vii):): es la velocidad real que tiene el móvil en un instante dado.

Vi = lim (∆ e / ∆ t) = de/dt  ∆ t 0

donde dt = 1 seg. y de el espacio recorrido durante ese segundo.

Veamos un ejemplo para clarificar este concepto. Supongamos que dejamos caer una pelotadesde el extremo de una pendiente. La pelota va aumentando su velocidad a medida que

desciende por el plano. Podemos determinar su velocidad en algún punto de la pendientecolocando una superficie plana horizontal en algún punto de la pendiente. La velocidad conla cual la pelota recorrerá dicho plano horizontal, es la misma velocidad que tenía en dichopunto de la pendiente:

1 En 1 la velocidad de la pelota es 0En 2 la pelota está en movimiento

2 En 3 la pelota va más rápido que en2

3 5 En 4 la pelota va más rápido que en3

4 En 5 la pelota se muevehorizontalmente

con la misma velocidad instantáneaque

tenía en 4. 

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

Es un movimiento en el cual las variaciones de velocidad son proporcionales a lostiempos en los cuales varía dicha velocidad, es decir, a tiempos iguales, la velocidadexperimenta variaciones iguales.

Si la velocidad aumenta en el transcurso del tiempo, el movimiento es acelerado; sien cambio disminuye, el movimiento es retardado.

AceleraciónAceleraciónEs un parámetro que representa la variación de la velocidad en la unidad de tiempo.

a = (v2 – v1) / t

Donde t representa el tiempo en el cual la velocidad cambió desde el valor v1 al valor v2.

Unidades de aceleración:Unidades de aceleración:Se obtienen al dividir las unidades de velocidad por la unidad de tiempo,

[a] = [ v ] / [ t ] = (m/seg). / seg. = m/seg2

Veamos un ejemplo: un automóvil que circula por una ruta a 100 km/h acelera hasta 130km/h en 10 segundos. ¿Cuánto vale la aceleración?

v1 = 100 km/h : 3.6 = 27.78 m/s

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v2 = 130 km/h : 3.6 = 36.11 m/s a = (36.11 m/s – 27.78 m/s) / 10 seg = 0.833m/seg2

t = 10 seg.

Esto significa que la velocidad aumentó en 0.833 m/s en cada segundo.

Signos de la aceleración:Signos de la aceleración:La aceleración puede ser positiva o negativa según los valores de ambas

velocidades,

• Si v2 > v1 => a >0 ( positiva ) el movimiento es acelerado (va más rápido).• Si v2 < v1 => a< 0 ( negativa ) el movimiento es retardado (está frenando).

Velocidad inicial (vo)Velocidad inicial (vo)Es la velocidad del móvil a tiempo t = 0, es decir, al inicio del movimiento.

Velocidad final ( vf )Velocidad final ( vf )Es la velocidad a un instante t distinto de cero.

V(t) = vo + a . t

Si t = 8 seg, se obtiene la velocidad instantánea del móvil al finalizar el octavosegundo.

Leyes del Movimiento Rectilíneo Uniformemente VariadoLeyes del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

• 1ª Ley:1ª Ley: la variación de velocidad es proporciona¡ al tiempo.

∆ v = a . t vf - vo = a.t

• 2ª Ley:2ª Ley: el espacio recorrido es proporciona¡ al cuadrado del tiempo empleado enrecorrerlo.

e = v0 . t + ½ a . t2

Ecuación General del MRUVEcuación General del MRUVEsta ecuación representa la posición de un móvil con movimiento rectilíneo

uniformemente variado a cualquier tiempo t y es particularmente útil para resolverproblemas de encuentro de móviles.

x(t) = x0 + v0 . t + ½ a . t2

donde x(t) es la posición del móvil al tiempo t, xo es la posición a tiempo cero (posicióninicial), v0 representa la velocidad inicial y a la aceleración. La diferencia X(t) - Xo representael espacio recorrido por el móvil.

Representación GráficaRepresentación GráficaVeremos a continuación que tipos de gráficos se obtienen al representar la leyes de

este movimiento y la ecuación general:v(t)

v(t) vf  x(t)1 2 v0 3

v0

3 espacio 1 2

t t t

Referencias: 1- Movimiento acelerado con velocidad inicial2- Movimiento acelerado sin velocidad inicial (a partir del reposo)3- Movimiento retardado (obviamente con velocidad inicial)

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Velocidades típicas:Velocidades típicas:-hombre caminando: 1.7 m/seg -corredor a pie: 9 m/seg-automóvil de carrera: 33.33 m/seg -avión en vuelo: 30 a 300

m/seg-sonido en aire a 15ºC : 340 m/seg -bala de fusil: 400 m/seg-rotación terrestre: 463 m/seg sobre el Ecuador -Traslación terrestre: 30.000

m/seg-Sistema solar hacia Hércules: 20.000 m/seg -Luz en el vidrio: 2 x 108

m/seg-Luz en el vacío y ondas electromagnéticas: 3 x 108 m/seg

Ejercicio C:a) Un automóvil parte del reposo desde el punto donde se encuentra el observador con

una aceleración de 1.5 m/seg2. Representar gráficamente V(t) y X(t) para losprimeros 15 segundos.

b) Las velocidades de un móvil en función del tiempo son las siguientes:

t (seg) 0 10 20 30 40 50v(t)

(m/s)

10 15 20 25 30 35

1) Representar gráficamente la tabla anterior y determinar el espacio total recorridoy la aceleración, analítica y gráficamente.

2) Construir un gráfico de x(t) .3) Determinar la velocidad instantánea del móvil en km/h a los 27 segundos.4) Determinar su velocidad media.

CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICALCAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

Cuando dejamos caer un objeto (sin velocidad inicial) desde una determinada altura,éste lo hace libremente bajo la acción de la fuerza de gravedad. En este caso el movimientose lo denomina caída libre. Si por el contrario, lanzamos un objeto verticalmente hacia

arriba o hacia abajo con una determinada velocidad inicial, el movimiento se denomina tirovertical .

Ambos movimientos son un caso particular del MRUV pues el móvil está sometido enel primer caso a una aceleración producida por la fuerza gravitatoria y en el segundo caso, auna desaceleración provocada por la misma fuerza (si se lanza hacia arriba) o unaaceleración hacia abajo si se lo lanza en igual sentido. El valor de dicha aceleración-desaceleración se denomina aceleración de ¡a gravedad "g" siendo su valor 980.665 cm / seg2 a nivel del mar y 45º latitud .

La definimos de esta manera pues su valor depende de la altura, la posición relativaal ecuador (debido a que la tierra no es perfectamente esférica) y otros factores como larotación terrestre y la composición geológica del suelo. Así por ejemplo en la ciudad deCambridge, Massachusetts, g=980.398 cm/seg2 (h=14m), y en Denver, Colorado,g=979.609 cm/seg2 (h= 1 638 m).

A partir de lo dicho anteriormente, podemos plantear las ecuaciones que rigen estemovimiento, tomando en cuenta que:

• para la caída libre a = g con v0 = 0• para el tiro vertical a = -g con vo >0 ó v0 < 0 según sea lanzado hacia arriba o

hacia abajo

Ecuaciones Generales válidas para ambos movimientos:

Velocidad: v(t) = v0 – g.t

Altura: h(t) = h0 + v0.t - ½ g t2

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Aplicando las condiciones especificadas más arriba, las ecuaciones se simplifican de lasiguiente forma:

Caída libre:Caída libre:  v(t) = – g.t   h(t) = h0 - ½ g t2 

Tiro Vertical:Tiro Vertical:  v(t) = v0 – g.t   h(t) = h0 + v0.t - ½ g t

2

 

En las fórmulas anteriores, h0 es la altura inicial desde la cual se deja caer o se lanzael objeto y h(t) es la altura que alcanza el móvil al tiempo t. Nótese que en las ecuaciones, eltérmino que contiene a “g” es negativo. Esto se debe a que el eje de coordenadas paramedir la posición vertical del objeto (altura) es positivo hacia arriba y la aceleración g eshacia abajo ( es decir, contraria a dicho eje: negativa). Nosotros utilizaremos como valor deg, 9.81 m/seg2

h(t) h(t)  v(t) = 0h0 hmáx

  v0 < 0g g h0

v0>0h0

0 0

CAÍDA LIBRE TIRO VERTICAL DESDE EL PISO TIRO VERTICALCON ALTURA INICIAL

En el caso de un tiro vertical cuando el objeto alcanza su altura máxima, se detiene(v(t) = 0) y comienza a caer en caída libre. Si el objeto fue lanzado desde el piso, debido aque la única fuerza que actúa, tanto en el ascenso como en el descenso es la fuerzagravitatoria a través de g, el tiempo que tarda en caer nuevamente al piso es el mismotiempo empleado en alcanzar la altura máxima. Asimismo, la velocidad con que llega alpiso es la misma con la que salió inicialmente desde éste pero negativa.

Si el objeto es lanzado desde cierta altura, pueden presentarse dos casos:.a) El objeto se lanza hacia arriba: en este caso v0 es positiva.b) El objeto se lanza hacia abajo: entonces v0 es negativa.

A partir de las ecuaciones generales vistas más arriba, pueden deducirse otras comopor ejemplo:

• tiempo empleado en alcanzar la altura máxima tm = v0/g

• altura máxima alcanzada hm = h0 + ½ v02/g

Ejercicio D:Desde el borde de una terraza de 45 m de altura se deja caer un objeto hasta la

vereda. Calcular:a) ¿Cuánto tarda en llegar a la vereda y con que velocidad llega?b) ¿a qué altura se encuentra y cuál es su velocidad a los 2 segundos?c) ¿Qué altura máxima alcanzaría si se lanza desde la terraza hacia arriba con una

velocidad de 25 m/s?

d) ¿Cuánto tardaría en llegar a la vereda si se lanza a 10 m/s hacia abajo?

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TIRO OBLICUOTIRO OBLICUO

Cuando un objeto es lanzado con un cierto ángulo respecto de la superficie horizontaldel suelo, describe una trayectoria parabólica en la cual alcanza una altura máxima y luegocae al suelo. En este movimiento se combinan el MRU y el MRUV. El lanzamiento de una jabalina, la trayectoria de una bala de cañón son algunos ejemplos de este movimiento.

El Tiro Oblicuo puede descomponerse en dos direcciones:

• una dirección vertical a la que llamaremos “y” donde se aplican las ecuacionesdel MRUV, más precisamente las del tiro vertical, pues está afectada por laaceleración gravitatoria.

• Una dirección horizontal a la que llamaremos “x” en la cual se aplican lasecuaciones del MRU pues no hay ninguna aceleración que afecte a esta direccióndel movimiento.

 Y(t)

El dibujo anterior muestra la trayectoria parabólica de una bala de cañón bajo un tirooblicuo. Veamos como descomponemos este movimiento en los dos ejes x e y:

y y(t)

v0y

v0 hmax

  α

v0x X x(t)alcance del proyectil

En la figura de la izquierda la flecha roja representa la velocidad inicial y α el ánguloque forma la dirección de la velocidad con la superficie del suelo. El vector velocidad inicial

se puede descomponer en ambos ejes x e y: la flecha azul representa la componentehorizontal de la velocidad inicial (v0x) y la flecha verde representa a la componente verticalde dicha velocidad (v0y).

Aplicando las funciones trigonométricas para la descomposición rectangular devectores, podemos obtener los valores de ambas componentes:

v0x = v0 . cos α v0y = v0. sen α tg α = voy / vox

Si observan el dibujo de la derecha podrán ver que las flechas azules horizontalesque representan la velocidad horizontal (vx) no varían durante toda la trayectoria, estosignifica no cambia debido a que en esta dirección el tipo de movimiento es MRU (recordarque en este movimiento la velocidad es constante).

En cambio, las flechas verticales que representan la componente vertical de la velocidad(vy), van cambiando: disminuyen hasta la altura máxima donde se anula y luego va enaumento pero hacia abajo hasta que toca el suelo. En este caso el movimiento correspondea un tiro vertical.

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En función de lo explicado hasta aquí, las ecuaciones para este movimiento quedanexpresadas de la siguiente manera:

vox vox

• Eje x:Eje x:   vx (t) = vo . cos α x(t) = vo . cos α . t

voy voy

• Eje y:Eje y: vy(t) = vo . sen α – g . t y (t) = y0 + v0 . sen α . t - ½ g . t2 

En la altura máxima (hmáx), se cumple que:

v y (t) = vo sen α - g . t = 0 y(t) = vo sen α . t - ½ g t2 = h máx.

Xm= Vo cos α . t = Xf  / 2

Donde Xm representa la distancia desde el punto de lanzamiento donde alcanza la

altura máxima y Xf  representa el alcance, es decir, la distancia horizontal donde el objetotoca el piso.

Ejercicio E:Se lanza un objeto desde el piso con un ángulo de 37º y una velocidad de 35 m/s.

Calcular:a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?b) ¿A qué distancia alcanza dicha altura?c) ¿En qué posición y con qué velocidad se encuentra a los 2 segundos?d) ¿Cuál es el alcance del objeto?e) ¿Cuál sería la altura máxima y a qué distancia caería nuevamente al piso si se

lanza desde una plataforma de 8 m de altura?

MOVIMIENTO CIRCULAR:MOVIMIENTO CIRCULAR:

Se denomina así a aquel movimiento en el cual la trayectoria que describe un móviles una circunferencia. El movimiento de la Luna y los satélites alrededor de la tierra sonejemplos claros de este tipo de movimiento. Dentro de éstos se pueden distinguir dos casos:

• Rotación:Rotación: cuando el eje alrededor del cual gira el objeto está contenido dentrodel mismo, como por ejemplo la rotación terrestre.

• Revolución:Revolución: cuando el eje se encuentra fuera del objeto como por ejemplo elmovimiento de la luna alrededor de la tierra.

Ejercicio F:Den ejemplos de movimientos de rotación y de revolución.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Se denomina así al movimiento circular en el cual un móvil recorre arcos decircunferencia iguales en tiempos iguales. Esto significa, en otras palabras, que el móviltarda siempre el mismo tiempo en recorrer toda la circunferencia completa. Imagínense unautomóvil que circula por una pista circular siempre a la misma velocidad. En este caso,dicho automóvil pasará por el punto de partida a intervalos de tiempo regulares ( por

ejemplo, cada 2 minutos).

Dentro de este tipo de movimiento, vamos a definir en primer lugar algunosconceptos importantes:

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a) Vector posición o radio vector (Vector posición o radio vector ( r r  ):): es el vector que une el centro de lacircunferencia con el móvil.

r o

b) Velocidad angular (Velocidad angular (ω

):): se define como el ángulo barrido por el vectorposición en la unidad de tiempo.

o α ω = α / t[ω] = radianes / seg.

Por convención la velocidad angular es positiva cuando el objeto se mueve ensentido contrario a las agujas del reloj (antihorario) y negativa en sentido horario.c) Radián:Radián: la medida de un ángulo, expresada en radianes, queda definida por el

cociente entre la longitud del arco de circunferencia (∆ d) y el radiocorrespondiente ( R ) .

R ∆ do α (rad) = ∆ d / R

Para una circunferencia completa, es decir 360 º, podemos calcular el ánguloequivalente en radianes:

El arco de la circunferencia es el perímetro de ésta, es decir 2.π .R

Entonces el ángulo en radianes queda

α (rad) = ∆ d / R = 2.π .R / R = 2.π . = 360º

Esta última igualdad puede utilizarse para pasar cualquier ángulo a radianes

d) Velocidad tangencial (vVelocidad tangencial (vtt):): es el cociente entre el arco de circunferencia (∆ d) yel tiempo empleado en recorrer dicho arco. En el ejemplo anterior del automóvilen la pista circular, esta velocidad representa la que marca el velocímetro delauto.

vt

Se denomina velocidad tangencial pues sudirección es tangente al arco de lacircunferencia (flecha azul).

La relación que existe entre la velocidad angular y la tangencial es la siguiente:

vt = ω . RSi el radio está expresado en metros y la velocidad angular en rad/seg, la velocidad

queda expresada en m/seg. Esta velocidad es constante en el MCU.

e) Frecuencia ( f ):Frecuencia ( f ): se define como el número de revoluciones ( o vueltas) querealiza el móvil en la unidad de tiempo. Generalmente se expresa enRevoluciones por minuto (RPM) o vueltas por segundo (1/seg).

1 RPM = ( 2π / 60 ) Seg.

f) Período (T):Período (T): representa el tiempo empleado por el móvil en realizar un girocompleto. Es la inversa de la frecuencia expresada en 1/seg. La unidad de T debeestar expresada en unidades de tiempo.

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T = 1 / f La relación que existe entre la velocidad angular, la frecuencia y el período

queda establecida por la siguiente igualdad:

ω = 2 π f = 2 π / T

Esta igualdad surge de considerar que en el tiempo T el móvil realiza una

revolución completa, es decir 2π .

g) Aceleración Centrípeta (aAceleración Centrípeta (acc):): si bien el módulo del vector que representa lavelocidad tangencial es constante durante todo el movimiento, no ocurre lomismo con su dirección, pues esta cambia continuamente, girando hacia elcentro de la circunferencia de modo tal que siempre sea tangente a ésta. Laaceleración centrípeta da cuenta de esta variación.

Las flechas azules representan La aceleración centrípeta secalcula alas distintas posiciones y partir de la siguiente ecuación:orientaciones del vector vt.

ac = ω . v = v2 / R = ω 2 . R

Ejercicio G:Un automóvil circula a velocidad constante por una pista circular de 85 m de radio

recorriendo una vuelta completa cada 3 minutos. Calcular:a) ¿Cuál es la frecuencia y el período para el automóvil?b) ¿A qué velocidad va el automóvil?.c) ¿Cuál es su velocidad angular?d) ¿Qué longitud tiene la pista?e) ¿Cuánto vale la aceleración centrípeta para el automóvil?

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)En este tipo de movimiento, tanto la velocidad tangencial como la angular no son

constantes en el tiempo. Imaginemos un cilindro que puede girar libremente sobre un ejehorizontal al cual le enrollamos un hilo del cual colgamos una pesa. Al soltar dicha pesa, elcilindro girará desenrollando el hilo y los puntos de la superficie del cilindro experimentaránun movimiento circular acelerado por la acción de la gravedad sobre la pesa. Otro ejemploes el de una calesita: inicialmente esta quieta y al cabo de un determinado lapso de tiempo,alcanza una cierta velocidad de rotación.

Podemos pues definir para este movimiento una aceleración tangencial y unaaceleración angular:

a) Aceleración Tangencial ( aAceleración Tangencial ( att ):): representa la variación de la velocidadtangencial por unidad de tiempo.

at = (vf  – vo ) / t

Esta es la misma aceleración que vimos en el MRUV, por lo tanto su unidad esm/seg2. 

b) Aceleración Angular (Aceleración Angular ( ϕ ):): representa la variación de la velocidad angular porunidad de tiempo.

ϕ = (ω f  – ω o ) / t

Esta aceleración se expresa en rad / seg 2 o , simplemente, 1 / seg 2

  Ambas aceleraciones se pueden relacionar a partir de la relación entre la velocidadangular y la tangencial:

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at = (vf  – vo ) / t = (ω f  R – ω o R) / t = (ω f  – ω o ) . R / t = ϕ . R

Ejercicio H:Una plataforma horizontal de 8 m de radio comienza a girar a partir del reposo hasta

alcanzar una frecuencia final de 15 RPM en 18 segundos. Calcular:

a) ¿Cuál es la velocidad tangencial final en el borde de la plataforma?b) ¿Qué valor tienen la aceleración tangencial y la angular?.c) ¿Cuál es su velocidad angular a los 10 segundos?d) ¿ Cuál es la velocidad tangencial final a 2 m del borde sobre la plataforma?e) ¿Cuánto vale la aceleración centrípeta a los 13 segundos?

TEORÍA DE LA RELATIVIDAD:TEORÍA DE LA RELATIVIDAD:

Esta teoría fue formulada en el año 1905 por el físico Albert Einstein, basándose endos postulados:

1]- Sí se toman como referencia dos sistemas que se mueven uno con respecto alotro con movimiento rectilíneo uniforme, las leyes de la física son descritas desde los dossistemas mediante conjuntos de ecuaciones que tienen la misma forma.

2]- La velocidad de la luz en el vacío es la misma medida desde cualquier sistema.

El primer postulado, conocido como principio de la relatividad de los movimientosuniformes, equivale a negar la existencia del espacio absoluto. Decir que un movimiento esuniforme en el espacio, carece de sentido si no hacemos referencia a ningún otro cuerpo. Enotras palabras, si dos objetos se alejan entre sí en el espacio, es imposible decir cuál deellos está en movimiento y cuál está quieto o si ambos están en movimiento.

El segundo principio postula que la velocidad de la luz siempre es la misma,independientemente de si el observador que la determina, se encuentra en un sistema enreposo o dotado de movimiento.

RESUMEN DE ECUACIONES DEL CAPÍTULO

MRU:e = v . t X(t) = Xo + v.t

MRUV :

Vm = (e1+e2) / (t1+t2)

a = (v2 – v1) / t V(t) = vo + a . t

e = v0 . t + ½ a . t2 x(t) = x0 + v0 . t + ½ a . t2

CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL :

v(t) = v0 – g.t h(t) = h0 + v0.t - ½ g t2

 TIRO OBLICUO :

• Eje x:Eje x:   vx (t) = vo . cos α x(t) = vo . cos α . t

• Eje y:Eje y: vy(t) = vo . sen α – g . t y (t) = y0 + v0 . sen α . t - ½ g . t2 

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MCU :

ω = α / t vt = ω . R 1 RPM = ( 2π / 60 ) Seg. ω =2 π f = 2 π / T

MCUV :

at = (vf  – vo ) / t ϕ = (ω f  – ω o ) / t

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GUÍA DE PROBLEMAS Nº1GUÍA DE PROBLEMAS Nº1

CINEMÁTICACINEMÁTICA

1)- Un automóvil se desplaza con velocidad constante de 60 km/h .¿Cuánto tiempo tardaráen recorrer 140 km y qué espacio habrá recorrido al cabo de 4 horas, 35 minutos y 15

segundos?Rta: 2 hs, 20 minutos; 642,25 km.

2)- Un automóvil se desplaza a 80 km/h. Otro automóvil sale en su búsqueda a 130 km/h. Siel primero se encontraba 150 km adelante del segundo en el momento de iniciar labúsqueda; ¿cuánto tiempo tardará en alcanzarlo y a qué distancia del punto de partida seencuentran? Represente gráficamente la solución.

Rta: 3 hs ; 390 km

3)- Dos automóviles separados por una distancia de 420 km salen en el mismo instante ysentido contrario. El automóvil A se desplaza hacia B a 60 km/h y el B se dirige hacia A a 90km/h. ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse y qué distancia recorrió cada uno antes deencontrarse?

Rta: 2 hs, 48 ‘ ; dA= 168 km , dB = 252 km

4)- ¿Que velocidad mínima deberá desarrollar un automóvil para alcanzar a otro que sedesplaza 200 km adelante a 80 km/h si debe hacerlo en 4 hs? Si la velocidad máxima delprimero es de 140 km/h ¿ logrará su propósito?

Rta: v= 130 km/h, sí.

5)- Un auto se desplaza a 36 km/h y acelera uniformemente durante 2½ minutos hastaalcanzar una velocidad de 180 km/h. ¿Cuánto vale la aceleración y qué espacio recorre endicho tiempo?

Rta: a= 0.27 m/s2 ; e = 4537,5 m

6)- Si un móvil parte del reposo, acelera uniformemente y alcanza una velocidad de 130

km/h en 7 segundos; ¿cuánto vale la aceleración, que distancia recorre en ese tiempo ycuanto tardaría en recorrer 2.5 km?

Rta: a = 5.16 m/s2 ; d = 126.39 m ; t = 31,13 seg.

7)- Indique en cada uno de los gráficos de v (t), de que tipo de movimiento se trata, lavelocidad inicial, la velocidad final , la aceleración y el espacio recorrido: [ v ] : m/s ; [ t ] :seg.

a] b] c] d] e]10

9 8 8 95

3 3

0 10 0 8 15 0 20 0 12 18 25 0 919 22Rtas: a]- MRUV , 3m/s , 9m/s, 0.6 m/s2, 60 m ; b]- MRUV , 10m/s , 5m/s, -0.625 m/s2, 107m ; c]- MRU , 8m/s , 8m/s, 0m/s2, 160 m ; d]- MRUV , 3m/s , 0m/s, 0.83 m/s2 ,, -1.14 m/s2 , 97m ; e]- MRUV , 0m/s , 0m/s, 1 m/s2 ,, -3 m/s2 , 144 m

8)- Un automóvil parte del reposo y se desplaza con una aceleración de 1 m/seg2 durante 15segundos; luego apaga el motor y el auto desacelera debido a la fricción durante 10 seg. a25 cm/seg2. A partir de entonces aplica los frenos y se detiene en 5 segundos. Calcular ladistancia total recorrida, la velocidad máxima alcanzada y la desaceleración producida porlos frenos. Representar gráficamente.

Rta: e = 281.25 m ; v = 15 m/seg ;a = -2.5 m/seg 2

9)- Un camión jaula circula por la ruta nacional Nº2 pasando por la localidad de Maipú a 54km/h y luego de 20 seg acelera durante 5 seg con a = 2 m/seg2. En el instante que deja deacelerar, observa que 100 m delante, una vaca se encuentra recostada en la mitad de la

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cinta asfáltica. ¿Qué desaceleración deberá imprimir los frenos para detener el camión antesde atropellar a la vaca? ¿Cuál es el espacio total recorrido desde Maipú?

Rta: a = - 8 m/seg2 ; e = 500 m

10)- Un auto esta esperando que cambie la luz roja de un semáforo. Cuando ésta cambia,acelera uniformemente durante 10 seg. a razón de 1.9 m/seg por cada seg., después de locual mantiene la velocidad constante. En el instante que el auto comienza a moverse, uncamión de galletitas que se desplaza en la misma dirección y sentido lo pasa a 40 km/h.¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse nuevamente y a qué distancia del semáforo?

Rta: 12 seg ; 133.53 m.

11)- Un automóvil desea alcanzar a una persona que se desplaza caminando a 7 km/h. Si elauto parte del reposo ½ hora después que el caminante, con una aceleración de 0.5 m/seg2.¿cuánto tardará en alcanzarlo, con qué velocidad y qué distancia recorrieron ambos desdeel momento de la salida del automóvil?

Rta: t = 2’2’, v = 220 km/h , dp=237.19 m , da = 3737,19 m

12)- Dos automóviles parten del reposo en igual dirección; el primero con aceleración de0.32 m/seg2 y el segundo, 1000 m más adelante con aceleración de 0.12 m/seg2. ¿Cuántotiempo tardan en cruzarse, cuál es la velocidad de cada uno y el espacio recorrido? Planteeel problema suponiendo que se intercambian las aceleraciones, ¿ a qué conclusión llega?

Rta: te = 1’40” ; v1 = 115,2 km/h ; v2 = 43,2 km/h, e1 = 1.6 km, e2 = 600 m.

13)- Un camión parte del reposo, acelera uniformemente durante 10 segundos conaceleración de 3 m/seg2; luego se desplaza con velocidad constante durante 15 minutos yposteriormente acelera nuevamente a razón de 1,2 m/seg2. Al cabo de 5 segundos,comienza a subir una pendiente de 150 m de longitud, provocándole una desaceleración de5 m/seg2. ¿Cuál es la distancia total recorrida desde la partida a la base de la pendiente?¿Logra pasar la pendiente?

Rta: e = 27,44 km. no

14)- Dos móviles parten en sentido contrario desde dos puntos distintos. El móvil Adesarrolla una aceleración de 0.16 m/seg2 y el móvil B de 0.28 m/seg2. Ambos se encuentrancuando el primero recorrió 1,8 km. ¿Cuál es la separación entre ambos puntos, cuántotardan en encontrarse y cuál es la velocidad final de ambos?

Rta: 4,95 km ; t = 5‘ 30 “ ; vA = 86.4 km/h ; vB = 151.2 km/h

15)- Un automóvil y un camión parten en el mismo instante, estando el primero una ciertadistancia detrás del camión. El automóvil acelera a razón de 1.8 m/seg2 y el camión a 1.20m/seg2. ¿Cuánto tarda en alcanzar al camión sabiendo que lo hace cuando éste recorrió unadistancia de 187,5 m, cuál era la distancia inicial entre ambos y con que velocidad seencuentran cada uno?.

Rta: t = 25 seg ; d = 375 m ; va = 162 km/h ; vc = 108 km/h

16)- Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo. Un estudiante quemira desde la ventana la ve pasar delante de él a 4 m/seg, 1.7 segundos después de serlanzada. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota, que tiempo empleó en subir desdela ventana hasta dicha altura y cuál es la altura de la ventana?.

Rta: hm = 21.8 m; t

= 0.41 seg; h = 21 m

17)- Una pelota es arrojada verticalmente hacia arriba desde la cornisa de un edificio; lapelota salva estrictamente la cornisa en su descenso y pasa por un punto situado 48 mdebajo de ésta 5 segundos después de ser lanzada. ¿Con qué velocidad fue arrojada lapelota, que altura alcanzó sobre la cornisa y cuál es la altura del edificio si tarda 10 seg. enllegar al piso?

Rta: vo = 14.93 m/s ; hm = 11,34 m ; he = 341.2 m 

18)- Desde la terraza de un edificio de 60 m de altura se deja caer un objeto y en el instante

en que éste se encuentra a 40 m del piso, se arroja un segundo objeto desde el suelo conuna velocidad de 10 m/seg. ¿A qué altura se encuentran, cuál es la velocidad de cada uno, ycual es la altura máxima del segundo objeto? 

Rta: he= 4,56 m; v1 = 32.86 m/s ; v2 = 3,23 m/s; hm: 5.10m

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19)- En un pozo de 600 m de profundidad se deja caer una piedra y 2 segundos después searroja una segunda piedra. ¿Qué velocidad inicial deberá tener ésta para que ambas seencuentren en la mitad de la trayectoria?

Rta: vo = 23 m/seg.

20)- Un estudiante de física desea comprobar por sí mísmo la Ley de la Gravedad, para locual se deja caer, reloj en mano, desde la cornisa de un rascacielos de 270 m de altura,iniciando su caída libre. Cinco segundos después entra Superman en escena y se arrojadesde la terraza para salvarlo. ¿Cuál deberá ser la velocidad inicial de Clark Kent para lograrrescatarlo justo antes de que se estrelle contra el pavimento?¿Con qué velocidad llega ycuánto tarda en caer?

Rta: vo = 99.7 m/s; vf = 123 m/s; t = 7.42 seg

21)- Un jugador de fútbol desea patear un tiro libre directo desde una distancia de 20 m delarco, formándose la barrera a 7 m de la pelota con una altura de 1.70m. Si la pelota salecon un ángulo de 30º con la superficie del campo, ¿Cuál sera la velocidad inicial que deberáimprimir a la pelota para que ésta salve la barrera e ingrese al arco 10 cm por debajo deltravesaño, sabiendo que éste se encuentra a 2.40 m del suelo?¿Con qué velocidad llega al

arco, cuánto tarda en alcanzar la altura máxima y cuánto vale dicha altura?  Rta: vo =16.87m/s; vx = 14.61 m/s; vy = -5m/s; t = 0.86 s; hm = 3.62 m

22)- Un motociclista desea saltar una pared de 4.00 m de altura empleando una rampa de45º. Cuál es la velocidad mínima con que deberá salir de la rampa para superar la paredsabiendo que se encuentra a 6 m de la rampa? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al otro ladode la pared, y a qué altura y distancia se encuentra 1 segundo después de abandonar larampa?

Rta: vo = 13.27 m/s ; t = 1.28 seg ; d = 3.4 m

23)- Un jugador de balon-pie patea una pelota con una velocidad inicial de 15 m/seg,tardando 1 seg en alcanzar su altura máxima.¿ Con qué ángulo fue lanzado el balón, cuál esla altura máxima alcanzada y a qué distancia caerá.?

Rta: α = 40.8º; H = 4.9 m ; d = 22.71 m

24)- Un avión que se desplaza a 150 m/seg y una altura de 1 km, arroja un objeto a tierra.¿Cuánto tardará en caer el objeto y a qué distancia del punto de lanzamiento cae?

Rta: t = 14.3 seg; X = 2143 m.

25)- Un cañón antiaéreo se encuentra custodiando un campamento militar en un desierto deOriente Medio. Un avión caza enemigo se acerca hacia éste con una velocidad de 250 m/segy una altura de 2500 m. Calcular con qué ángulo deberá apuntar el cañón para derribarlo 5segundos después del disparo sabiendo que la velocidad de salida del misil es de 600 m/seg. ¿ A qué distancia del cañón lo alcanza y cuál es la distancia del avión en el momento deefectuar el disparo?

Rta: a = 61º; dc = 1457 m;da = 2707 m

26)- Suponer en el problema anterior que el avión está equipado con misiles que caen encaída libre con una velocidad de salida horizontal de 400 m/seg.¿Cuál es la distancia desdela cual deberá soltarlos para impactar en el cañón y cuánto tiempo antes de que éstedispare?

Rta: d = 14,67 km; t = 17,5 seg 

27]- El profesor de Física, mientras los alumnos copian problemas de la materia, seentretiene arrojando horizontalmente tizas al cesto del aula, situado a 2,8 m del escritorio. Teniendo en cuenta que el cesto tiene una altura de 0, 4 m y una diámetro de 0,2 m.Calcular entre qué valores deberá estar la velocidad de partida de las tizas para que puedaningresar al cesto, sabiendo que la altura del brazo del profesor respecto del piso es de 1,2m.

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28)- Un automóvil, equipado con cubiertas Goodyear GPS – 2 de 52 cm de diámetro viaja avelocidad constante de 120 km/h. Calcular la velocidad angular en RPM , la aceleracióncentrípeta y la cantidad de vueltas que gira el neumático al cabo de un viaje de 400 km.

Rta: ω = 1224 R.P.M.; a = 4273 m/seg2; 244800 vueltas

29)- Calcular la velocidad a la que se desplaza un niño ubicado en el borde de una calesitade 8 m de diámetro que describe una vuelta completa al cabo de 12 segundos.

Rta: v = 7.54 km/h

30)- Un automóvil alcanza una velocidad de 100 km/h a partir del reposo en 6,5 seg.Suponiendo que esta equipado con neumáticos radiales de 50 cm de diámetro. Calcular laaceleración tangencial y angular desarrollada por los neumáticos

Rta: a = 4.27 m/seg2; ϕ = 17.11 rad/seg2.

31)- Sabiendo que el radio terrestre es de 6380 km, calcular la velocidad a la cual se estámoviendo una persona parada en el ecuador respecto de un observador ubicado en elespacio ( sin tomar en cuenta la traslación). ¿Cuál es la velocidad angular y la aceleracióncentrípeta?.

Rta: v = 1670 km/h; ω = 6.94 x 10-4 RPM; a = 0.034 m/seg2

32)- Una turbina de 1.2 m de diámetro gira con una aceleración tangencial de 8 m/seg2.Calcular la aceleración angular de la misma.

Rta: ϕ = 13.33 rad/seg2 

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1TRABAJO PRÁCTICO Nº 1

MOVIMIENTO RECTILÍNEOMOVIMIENTO RECTILÍNEO

Objetivo:Objetivo: Verificar las ecuaciones del movimiento rectilíneo, determinar velocidadesinstantáneas e interpretar gráficamente dicho movimiento .

Materiales:Materiales: Cuerpo esférico, plano inclinado, cronómetro y cinta métrica.

Procedimientos:Procedimientos:Primera Parte: Movimiento Rectilíneo Uniforme.Primera Parte: Movimiento Rectilíneo Uniforme.

1º]- Coloque la canica en el extremo del plano inclinado. Déjela caer por el plano tomando eltiempo que tarda en recorrer sobre la mesa una distancia de 50 cm a partir de la base elplano.2º]- Mida tres veces dicho tiempo y calcule el valor promedio.

3º]- Vuelva a realizar el procedimiento anterior para una distancia de 1 m sobre la mesa.4º]- Repita todo el procedimiento para dos alturas más.

5º]- Plantee la ecuación de movimiento y calcule la velocidad de la esfera en cada caso.6º]- Complete la siguiente tabla:

Altura Espacio t1 t2 t3 t prom. v

50 cm

100 cm

50 cm

100 cm

50 cm

100 cm

Segunda Parte: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.Segunda Parte: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.

1º]- Coloque la canica en el extremo del plano inclinado. Déjela caer por el plano tomando eltiempo que tarda en llegar hasta la primer marca.

2º]- Mida tres veces dicho tiempo y calcule el valor promedio.3º]- Vuelva a realizar el procedimiento anterior para las otras distancias.4º]- Repita todo el procedimiento para otra altura.5º]- Plantee la ecuación de movimiento y calcule la aceleración de la esfera en cada caso.6º]- Complete la siguiente tabla:

Altura Espacio t1 t2 t3 t prom. a

Representar gráficamente mediante Excel, la velocidad y el espacio en función del tiempopara cada una de las alturas e interpretar el gráfico obtenido. Informar las conclusiones del

trabajo.

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 2TRABAJO PRÁCTICO Nº 2

CAÍDA LIBRECAÍDA LIBRE

Objetivo:Objetivo:Verificar la ecuación de movimiento en caída libre e interpretarla gráficamente .

Materiales:Materiales:Cuerpo esférico (pelotita de tenis), soporte, cronómetro y cinta métrica.

Procedimientos:Procedimientos:

1º]- Sostenga el objeto a 50 cm del piso. Déjelo caer tomando el tiempo que tarda en llegar

al piso.

2º]- Repita el procedimiento 2 veces más y calcule el tiempo promedio de caída.

3º]- Repita para las siguientes alturas: 80 cm, 100 cm, 130 cm, 160 cm.4º]- Complete la siguiente tabla:

AlturaAltura t1 t2 t3 t prom. vfinal.

50 cm

80 cm

100 cm

130 cm

160 cm

5º]- Plantee la ecuación de movimiento.6º]- Verifique la validez de dicha ecuación.

7º]- Represente gráficamente mediante Excel la altura en función del tiempo e interprete elgráfico obtenido.

8º]- Represente gráficamente mediante Excel la velocidad en función de la altura inicial einterprete el gráfico obtenido.

Cuestionario:Cuestionario:

1]- ¿ Por qué elegimos un cuerpo esférico para realizar esta práctica?

2]- ¿ Qué factores pueden tener incidencia en la verificación de la ecuación de movimiento?Enúncielos y determine cómo podrían corregirse.

3]- ¿ Qué conclusión obtiene de la observación de los gráficos realizados?

4]- ¿ En qué forma podría realizarse esta práctica para aumentar la precisión de las

mediciones sin necesidad de recurrir a equipos más sofisticados?

5]- Si tuviera que descartar mediciones, ¿ cuáles descartaría y por qué?

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