Cinemática 103

− 10

6m s/

20

6m s/

12

5m s/

− 8

5m s/

4

5m s/

TESTTESTTESTTESTTEST

1.- Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimientoen x = 12 m y luego de 8 s está en x = 28 m. Hallar suvelocidad.

a) 2 m/s d) 6 m/sb) 8 m/s e) 7 m/sc) 4 m/s

2.- Señalar verdadero o falso respecto al M.R.U.

I.- La velocidad es tangente y contraria al movimiento.II.- La aceleración es igual a cero.III.- El radio de curvatura de la recta de movimiento

es considerado infinitamente grande.

a) VVV d) FFFb) FVV e) VVFc) FVF

3.- Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la fi-gura podemos decir que su velocidad media es:

a) d) −4 m/s

b) e) 4 m/s

c)

4.- Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la fi-gura, podemos decir que su velocidad media es:

a) –5 m/s d)

b) +5 m/s e) N.A.

c)

5.- Los móviles “A” y “B”parten de las posi-ciones mostradassimultáneamentecon vA = 4 m/s yvB = 3 m/s. ¿Quépodemos opinar?

Vx

tm = ∆

∆

Vx

tm = ∆

∆

a) “A” llega primero a “P”.b) “B” llega primero a “P”.c) Ambos llegan simultáneamente a “P”.d) Falta precisar información para decidir que res-

ponder.e) Ninguno llega.

6.- Se muestran la velocidad dedos móviles en M.R.U., al cabode 5 s estarán separados:

a) 10 m d) 25 mb) 15 m e) 30 mc) 20 m

7.- Señalamos las velocidades de 4 móviles en M.R.U., alcabo de 10 s, que alternativa se cumple si salen delmismo punto.

a) A dista de B 40 m d) C dista de D 40 mb) C dista de D 55 m e) A dista de B 25 mc) A dista de B 30 m

8.- La figura muestra dos móvilesen M.R.U. que parten del mis-mo punto. Al cabo de 6 s ¿quédistancia los separa?

a) 78 m d) 18 mb) 48 m e) N.A.c) 30 m

9.- Marque la proposición correcta.

a) En el M.R.U. el vector velocidad cambiacontínuamente.

b) En el M.R.U. la trayectoria no siempre es una lí-nea recta.

c) En el M.R.U. la aceleración siempre es cero.d) El espacio es una magnitud vectorial.e) Todas las anteriores son falsas.

10.- Marque la proposición correc-ta según el siguiente esquema.

a) El móvil tiene velocidadconstante.

b) La velocidad del móvil aumenta.c) El cuerpo se detendrá en el plano inclinado.d) La velocidad del móvil disminuye.e) Todas son falsas.

Jorge Mendoza Dueñas104

1.- Cuantas horas dura un viaje hasta una ciudad sureñaubicado a 540 km, si el bus marcha a razón de 45 km/h?

Solución:

PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

A problemas de aplicación

2.- Un cazador se encuentra a 170 m de un “Blanco” yefectúa un disparo saliendo la bala con 85 m/s (velo-cidad constante), ¿después de que tiempo hará im-pacto la bala?

Solución:

t horas=12

d vt t= ⇒ =540 45

3.- Dos autos se mueven en sentidos contrarios con ve-locidades constantes. ¿Después de que tiempo se en-cuentran si inicialmente estaban separados 2 000 m?(velocídad de los autos 40 m/s y 60 m/s).

Solución:

d vt t= ⇒ =170 85

t s= 2

o De la figura:

e v t tA A= = 40

e v t tB B= = 60

4.- Dos autos se mueven en el mismo sentido con veloci-dades constantes de 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de quetiempo uno de ellos alcanza al otro? ver figura.

Solución:

2 000 = +e eA B

2000 40 60 2000 100= + ⇒ =t t t

t s= 20

o De la figura:

e v t tA A= = 60

e v t tB B= = 40

e eA B= + 200

60 40 200 20 200t t t= + ⇒ =

t s=10

OBSERVACIÓN

Tiempo de Encuentro:

e : espacio de separacióninicial

te

v vEA B

=+

NOTA

Antes de realizar cualquier operación es necesariohomogenizar el sistema de unidades, si fuese necesario.

Cinemática 105

5.- Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a una dis-tancia de 50 m, sabiendo que los móviles se muevenen la misma dirección y sentido, y que la velocidadde “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué tiem-po, “A” estará 50 m delante de “B”?

Solución:

OBSERVACIÓN

Tiempo de Alcance:e : espacio de separación inicial

te

v vALA B

=− v vA B>

o De la figura:

e v t tA A= = 30

e v t tB B= = 20

e eA B= + +50 50

30 50 20 50 10 100t t t= + + ⇒ =

t s=10

1.- Un barco navega rumbo al Norte recorriendo 540 m.Luego va hacia el Este recorriendo 720 m. Determinarel espacio y distancia que recorrió el barco (en m).

Solución:

B problemas complementarios

2.- Tres móviles pasan simultáneamente por los puntos A,B, C con velocidades de 10, 15 y 13 m/s. Si la distanciaentre A y B es 8 m, y entre B y C es de 32 m. Luego dequé tiempo la distancia entre los móviles serán iguales,si en ese instante guardan el mismo ordenamiento.

Solución:

o Espacio = ?

e OA AB= +

e = +540 720

o Distancia = ?

d OB=

d= +540 7202 2b g b g

d m= 900

8 32 23 1+ + = +e e x

40 23 1+ = +v t v t x

40 13 10 2+ = +t t x

40 3 2+ =t x ............ (1)

e e x2 1 8= + −

v t v t x2 1 8= + −

15 10 8t t x= + −

5 8t x= − ............ (2)

t s= 24

7

3.- Un muchacho para bajar por una escalera empleó 30 s.¿Cuánto demoraría en subir la misma escalera si lo hacecon el triple de velocidad?

Solución:

o De (1) y (2):

o Cuando elmuchacho baja

o De la figura:

o También:

o De (1) y (2):

o Cuando elmuchacho sube

L v= 30b g ..... (1)

L v t= 3 b g ..... (2)

t s=10

e m= 1 260

Cuando el muchacho baja

Cuando el muchacho sube

Jorge Mendoza Dueñas106

t h= 2

4.- Una persona sale todos los días de su casa a la mismahora y llega a su trabajo a las 9:00 a.m. Un día se trasla-da al doble de la velocidad acostumbrada y llega a sutrabajo a las 8:00 a.m. ¿A que hora sale siempre de sucasa?

Solución:

5.- Dos móviles A y B situados en un mismo punto a200 m de un árbol, parten simultáneamente en lamisma dirección. ¿Después de que tiempo ambosmóviles equidistan del árbol? (vA = 4 m/s y vB = 6 m/s).

Solución:

o De la fig (1):

o De la fig (2):

Rpta: Sale de su casa a las 7:00 a.m.

d vt= ..... (α)

d v t= −2 1b g .... (β)

o De (α) y (β):

vt v t= −2 1b g

fig (1)

6.- Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al in-gresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 sen salir de él ¿Cuál es la longitud del tren?

Solución:

De la figura:

d d xB A= + 2

v t v t xB A= + 2

t x=

6 4 2 2 2t t x t x= + ⇒ =

............ (1)

d xA + = 200

4 200t x+ =

o (1) en (2):

o

o

............ (2)

4 200t t+ =

t s= 40

La distancia que recorre el tren es el mismo que reco-rre el punto A.

7.- De Lima a Huacho hay aproximadamente 160 km; deLima a Barranca hay 200 km, un auto va de Lima convelocidad constante saliendo a las 8 a.m. y llega a Ba-rranca al medio día. ¿A qué hora habrá pasado porHuacho?

Solución:

d vt=

200 10 50+ =L b gL m= 300

8.- Un auto debe llegar a su destino a las 7:00 p.m., siviaja a 60 km/h llegará una hora antes, pero si viaja a40 km/h llegará una hora después. Si en ambos ca-sos la hora de partida es la misma, encontrar dichahora de partida.

o Lima a Barranca:

o Lima a Huacho:

Dato: velocidad constante = 50 km/h

Rpta: Pasó por Huacho a las 11.2 a.m. ó 11h 12m a.m.

d vt=

200 4 50= ⇒ =v v km hb g /

d vT=

160 50 3 2= ⇒ =T T h,

fig (2)

Cinemática 107

Solución:

10.- Dos móviles se mueven con M.R.U. en dos carreterasque se cruzan en 90° simultáneamente del punto de cru-ce con velocidades v1 = 4 m/s y v2 = 2 m/s. Si las carrete-ras están desniveladas 10 m. ¿Qué tiempo después, ladistancia de separación entre móviles es de 90 m?

o De la figura (1):

o De la figura (2):

o De la figura (3):

o De (b) y (c):

Rpta: La hora de partida será las 2:00 p.m.

d vt= ........................ (a)

d t= −60 1b g ............ (b)

d t= +40 1b g ............ (c)

60 1 40 1 5t t t h− = + ⇒ =b g b g

9.- Dos trenes corren en sentido contrario con velocida-des de v1 = 15 m/s y v2 = 20 m/s. Un pasajero del pri-mer tren (el de v1) nota que el tren 2 demora en pasarpor su costado 6 s. ¿Cuál es la longitud del segundotren? (Se supone que el pasajero está inmóvil miran-do a través de la ventana).

Solución:

o Supongamos que el pasajero se encuentra en laparte delantera del tren (1)

o Sabemos que el tren (1) se mueve con velocidadde 15 m/s y el tren (2) con velocidad de 20 m/s,pero en sentido contrario.Respecto al pasajero. ¿Qué velocidad creerá él,que tiene el tren (2)?. La respuesta es (15 + 20) esdecir 35 m/s, y esto es lógico pues el pasajero verámoverse al tren (2) con mayor rapidez.Visto esto, podemos suponer al tren (1) en reposo,pero el tren (2) tendrá una velocidad de 35 m/s.

o Tren (2) a punto de pasar por el pasajero,

o Tren (2) ya pasó por completo al pasajero.

o Para el pasajero: e vt L= ⇒ = 35 6b g

L m= 210

fig. (1)

fig. (2)

fig. (3)

Jorge Mendoza Dueñas108

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

A problemas de aplicación

Solución:

1.- Dos móviles parten de un punto A en direcciones per-pendiculares con velocidades constantes de 6 m/s y8 m/s respectivamente. ¿Determinar al cabo de quetiempo se encontrarán separados 100 m?

Rpta. 10 s

2.- Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimientoen: x = −12 m y luego de 8 s está en x = +28 m, hallarsu velocidad.

Rpta. 5 m/s

3.- Javier un joven estudiante, desea saber a qué distan-cia se encuentra el cerro más próximo, para lo cualemite un grito y cronómetro en mano, comprueba queel eco lo escucha luego de 3 s. ¿Cuál es esa distanciaen metros? (vsonido

= 340 m/s).

Rpta. 510 m

4.- Dos atletas parten juntos en la misma dirección y sen-tido con velocidades de 4 m/s y 6 m/s, después de1 minuto. ¿Qué distancia los separa?

Rpta. 120 m

5.- Hallar el espacio que recorre una liebre en 10 s. Si enun quinto de minuto recorre 40 m más.

Rpta. 200 m

o Por motivos didácticos tomaremos parte de lascarreteras los lados AB y CD de un paralelepípedo.

o Al formar el triángulo DFE, se tiene:

o Ahora, en el triángulo DEB:

L t t= +2 42 2b g b g

L t= 2 5

90 102 2 2= +L

90 2 5 102 2 2= +td i8100 20 1002= +t

8 000 20 2= t

t2 400=

t s= 20

6.- Una moto y un auto se encuentran a una distanciade 1 000 m. Si parten simultáneamente en la mismadirección y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s res-pectivamente. ¿En que tiempo se produce el en-cuentro?

Rpta. 25 s

7.- Dos móviles con velocidades constantes de 40 y25 m/s parten de un mismo punto, y se mueven enla misma recta alejándose el uno del otro. ¿Des-pués de cuanto tiempo estarán separados 13 km?

Rpta. 200 s

8.- Un móvil debe recorrer 300 km en 5 h, pero a la mitaddel camino sufre una avería que lo detiene 1 h, ¿conque velocidad debe continuar su viaje para llegar atiempo a su destino?

Rpta. 100 km/h

9.- Dos móviles se mueven en línea recta con velocidadesconstantes de 10 m/s y 20 m/s, inicialmente separadospor 15 m. ¿Qué tiempo transcurre para que el segundodespués de alcanzar al primero se aleje 15 m?

Rpta. 3 s

10.- Dos móviles con velocidades constantes parten simul-tánea y paralelamente de un mismo punto. Si la dife-

Cinemática 109

rencia de sus velocidades de 108 km/h. Hallar la dis-tancia que los separa después de 30 s.

Rpta. 900 m

1.- Un auto vá de una ciudad a otra en línea recta convelocidad constante a razón de 30 km/h, pensandocubrir la travesía en 8 h. Pero luego de 3 h, el auto semalogra; la reparación dura 1 h, ¿con qué velocidaddebe proseguir para que llegue a su destino con 1 hde adelanto?

Rpta. 50 km/h

2.- Un tren de pasajeros viaja a razón de 72 km/h y tieneuna longitud de 100 m. ¿Qué tiempo demorará el trenen cruzar un túnel de 200 m?

Rpta. 15 s

3.- “A” y “B” realizan una carrera de 300 m, con velocida-des constantes en módulo de 5 m/s y 10 m/s. Al llegar“B” a la meta regresa donde “A” y luego así sucesiva-mente hasta que “A” llega a la meta. ¿Qué espacio to-tal recorrió “B”?

Rpta. 600 m

4.- Dos móviles se desplazan en la misma pista con ve-locidades constantes. Luego de 10 s el móvil “A” gira180° y mantiene su rapidez constante. ¿Qué tiempoemplean hasta encontrarse desde las posiciones in-dicadas?

Rpta. 15 s

5.- Dos móviles están en “A” y “B” en la misma recta. Elprimero parte de “A” hacia “B” a las 7 a.m. a razón de90 km/h, el segundo parte de “B” hacia “A” a las 12 m.Si se encuentran a las 3 p.m. Hallar AB, sabiendo ade-más que el espacio del primero es al del segundocomo 2 es a 1.

Rpta. 1 080 km

B problemas complementarios

6.- Un alumno sale de su casa todos los días a las 7:00 y sedirige al colegio a velocidad constante v1 llegandosiempre a las 8:00. Si el alumno un día sale de su casa alas 7:15 y a medio camino observa que no llegará atiempo por lo que aumenta su velocidad a v2 (cte), lle-gando finalmente a tiempo. Determinar v2/v1.

Rpta.

7.- Dos autos separados a una distancia, parten simul-táneamente con velocidades constantes de 30 m/s y20 m/s en el mismo sentido para luego encontrarseen un punto “P”. Si el segundo auto partiese 2 s des-pués, el encuentro de los autos sería “x” m antes de“P”, calcular “x”.

Rpta. 120 m

8.- Un alpinista se encuentra entre dos montañas y emi-te un grito. Si registra los ecos después de 3 s y 4 s dehaber emitido el grito. ¿Cuál será la distancia que se-para las montañas? velocidad del sonido en el aire,considerar 340 m/s.

Rpta. 1 190 m

9.- Un avión desciende con velocidad constante de100 km/h bajo un ángulo de 16° con el horizonte. ¿Quétiempo tardará su sombra en llegar a tocar un objetoque se encuentra a 4 km? (cos 16° = 24/25).

Rpta. 150 s

10.- Dos trenes de longitudes diferentes van al encuen-tro por vías paralelas con velocidades v1 y v2 demo-rando en cruzarse 20 s. Si van al encuentro con velo-cidades v1 y (8/5)v2 respectivamente demoran en cru-zarse 15 s. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse siviajan en la misma dirección con velocidades v1 y v2respectivamente.

Rpta. 180 s

v

v2

12=