Cinemática del movimientorotacional

Para un movimiento circular, la distancia (longitud del arco) s, el radio r, y el ángulo están relacionados por:

r

s

DEGRAD

180

Note que se mide en radianes:

Posición angular, θ

> 0 para rotación en el

sentido antihorario desde la

línea de referencia

• El desplazamiento angular se define como el ánguloque el objeto rota a través de algún intervalo de tiempo

• Cada punto del disco tiene el mismo desplazamientoangula en cualquier intervalo de tiempo dado

if

A medida que el disco rota, cambia. Podemos definir el desplazamiento angular como, , :

= f - i

Que nos lleva a la velocidadangular promedio wprom

if

if

promttt

w

Velocidad angular, ω

Velocidad angular instantánea

La velocidad angular instantánea se define:

dt

d

tt

w

lim

0

Las unidades SI para w son: rad/s = s-1

w > 0 para rotación en sentido antihorario

w < 0 para rotación en sentido horario

Si v = velocidad de un objeto que viaja alrededor del ciculo de

radio r

w = v / r

El periodo de una rotación es el tiempo que tarda en dar una

revolución.

T

w

2

w

2 T

Problema:

¿Cuál es el período de rotación de la Tierra alrededor de su propio

eje?

¿Cuál es la velocidad angular de la Tierra alrededor de su propio

eje?

La aceleración angular media amedia se define como

La aceleración angular instantánea como l se define como

if

if

mediattt

wwwa

dt

d

tt

wwa

lim

0

Aceleración angular, α

Las unidades SI para a: rad/s2 = s-2

La aceleración angular es el cambio de la velocidad angular en

el tiempo

Anotaciones a cerca de cinemática angular:Cuando un cuerpo rígido rota alrededor de un eje fijo, cada porción del objeto tiene la misma velocidad y la misma aceleración angular

• Por ejemplo, , w, y a no son dependientes de r, la distancia respecto al eje de rotación.

Ejemplos:

1. La rueda de una bicicleta da 240 revoluciones/min. ¿Cuál es

la velocidad angular en radianes/segundo?

sss

radians1.25radians8rev1

rads2

60

min1

min

rev240

w

2. Si la rueda desacelera uniformente hasta el reposo en 5

segundos, ¿cuál es la aceleración angular?

2rad55

rad250s

s

s

t

if

wwa

3. ¿Cuantas revoluciones realiza en estos 5 segundos?

esrevolucion102

rev1rad5.62)(

rad5.625rad52

15rad25

2

1

2

2

0

aw

rev

ssss

tt

Recoredemos que para el movimiento lineal teníamos:

De manera similar, para las cantidades angulares tenemos:

2

02

1attvx

Analogías entre el movimiento lineal y rotacional

Movimiento rotacionalalrededor de un eje fijocon aceleración constante

Movimiento lineal con aceleración constante

ti aww

2

2

1tti aw

aww 222

ixavv i 222

2

2

1attvx i

atvv i

1( )

2o o t w w

Relación entre cantidades angulares y lineales

• Desplazamientos

• Velocidades

• Aceleraciones

r

s

vr

t

s

rt

1

1

w

ra a

v rw

La aceleración lineal total es:

Ya que la velocidd tangencial v es

Aceleración tangencial y la aceleración radial

ta

La magnitud de la aceleración tangencial at es

La aceleración radial o centrípeta ar es

ra

a

v

t

r

tw

r

t

w

ar

r

v2

r

r2

w

2wr

22

rt aa 222wa rr 42 wa r

Ejemplo: (a) ¿Cuál es la velocidad lineal de un niño sentado 1.2m del

centro de un juego que rota y completa una revolución en 4.0s? (b)

¿Cuál es su aceleración lineal total?

v

1 21.6 /

4.0 4.0

rev radrad s

s s

Como la velocidad angular es constante, no hay una aceleración

angular

Aceleración tangencial ta

Aceleración radial es: ra

a

rw 1.2 1.6 / 1.9 /m rad s m s

ra 2 21.2 0 / 0 /m rad s m s 2r

2 21.2 1.6 / 3.1 /m rad s m s

2 2

t ra a 2 20 3.1 3.1 /m s

Energía cinética rotacionalEnergía cinética de un cuerpo rígido que tiene movimiento circular:

Como un cuerpo rígido es un conjunto de msas, la energía cinética

total de un cuerpo rígido es

El momento de inercia, I, se define como

La energía cinética de masa mi, moviendose a una velocidad

tangencial, vi, esiK

RK

i

iirmI 2

wIKR2

1La expresión anterior se simplifica a

2

2

1iivm

w2

2

1iirm

i

iK i

iirm w2

2

1

w

i

iirm 2

2

1

Ejemplo:

En un sistema que consiste de cuatro esferas pequeñas como se muestra

en la figura, asumiendo que los radios son despreciables y que las barras

conectando las partículas son de masa despreciable, calcule el momento

de inercia y la energía cinética rotacional cuando el sistema rota alrededor

del eje y en w.

x

y

M Ml l

m

m

b

bO

I

Como la rotación es en el eje y , el momento de inercia alrededor del eje y, Iy, es

RK

Por tanto, tla energía cinética rotacional es

Halle el momento de inercia y la energía cinética rotacional cuando el sistema rota en

el plano xy alrededor del eje z que va a través del origen O.

Por qué hay algunos ceros?

Porque la rotación se realice alrededor del eje y, y los radios de las esferas son

despreciables.

2

i

i

irm 2Ml22Ml

2

2

1wI 222

2

1wMl

22wMl

2Ml20m 20m

Cálculo del momento de inerciaEl momento de inercia para objetos gandes puede puede calcularse,

si asumimos que el objeto consiste de pequeños elementos de volumen con masa, mi.

Algunas veces es más fácil calcular los momentos de inercia en términos del volumen de

los elementos que de sus masas.

Usando la densidad, r,reemplece dm en la ecuación anterior por dV.

El momento de inercia para un objeto rígido

grande es

i

iim

mrIi

2

0lim dmr 2

dV

dmr

Los momentos de inercia se convierten en:

dVrI 2r

dVdm r

El momento de inercia de un aro uniforme de

masa M y radio R alrededor de un eje

perperndicular al plano del aro y pasando por su

centro

x

y

RO

dm

El momento de inercia es

dmrI 2

El momento de inercia para este objeto es el

mismo que el de una masa puntual M a una

distancia R.

dmR2 2MR

Ejemplo para de momento de inercia de un cuerpo rígido

Calcule el momento de inercia de una barra uniforme de longitud L y

masa M con el eje perpendicular a la bara y pasando a través de su

centro de masa.

La densiad lineal de la barra esL

M

Así que la masa es dm

I

dmrI 2

dx dxL

M

dmr 2 dxL

MxL

L

2/

2/

2 2/

2/

3

3

1L

L

xL

M

33

223

LL

L

M

43

3L

L

M

12

2ML

dxL

MxL

0

2 L

xL

M

0

3

3

1

03

3 L

L

M 3

3L

L

M

3

2ML

Con el eje en el extremo

Teorema de los ejes paralelos

Como el momento de inercia (I) depende del eje, habra tantos I como ejesque se elijan.

Si el centro de masas pasa por eje z (xcm =0, ycm=0, zcm=0)

2

2222

2222

22

22

)()(

)22(

)()[(

)(

MdII

mbayxm

bbyyaaxxm

byaxmI

yxmI

cmP

iiii

iiiii

iiiP

iiicm

Ya que:

222

22

00

00

)(

bad

ymm

ymy

xmm

xmx

yxmI

ii

i

ii

cm

ii

i

ii

cm

iiicm

Teorema de los ejes paralelos

El momento de inercia en un punto cualquiera P es igual al momento de inercia alrededor del centro de masas sumado a la masa total multiplicada por la distancia al cuadrado entre el centrode masas y el punto P.

Observese que a mayor distancia Del centro de masas mayor sera el momento de inercia.

2MdII cmP

Discusion

[1] Durante cierto período de tiempo, la posición angular de una

puerta se describe por θ= 5.00 + 10.0t + 2.00t2, donde θ está en

radianes y t se expresa en segundos. Determine la posición angular,

la velocidad angular y la aceleración angular de la puerta (a) en t = 0

(b) en t = 3.00 s.

2

0

0

/44dt

dangular naceleracio

/10410dt

dangular velocidad

rad 5angular posicion

0 ten a]

srad

sradt

t

t

aw

a

w

w

[5] Un disco de 8.00 cm de radio rota a una tasa constante de

1200 rev/min alrededor de su eje central. Determine (a) su

velocidad angular, (b) la velocidad tangencial en el punto 3.00 cm

de su centro, (c) la aceleración radial de un punto el borde, y (d) la

distancia total a un punto del borde que se mueve en 2.00 s.

srt

f

1.202108126rs d]

???a

m/s 1260108(126)rωa c]

m/s 3.77108126ωr vb]

rad/s 126)60

1200(22

T

2πω a]

2-

r

222

c

2-

w

Considere un carroconduciendose a 20 m/s en unacarretera peraltada a 30° en una curva circular de radio 40.0 m. Asuma la masa del carro es1000 kg.

1. ¿Cuál es la magnitud de la fuerzade friccion experimentada porlas gomas del carro?

2. ¿Cuál es el coeficiente mínimode fricción para que el carro de la vuelta de manera segura?

1. Dibuje un diagrama de cuerpo

libre, introduzca un marco de

referencia y considere las

proyecciones horizontal y

vertical

Nmgr

vmf

mgfr

vmFx

376030sin30cos

30sin30cos

2

2

Nmgr

vmN

mgNr

vmFy

42

2

103.130cos30sin

30cos30sin

2. Use la definición de fuerza de fricción:

28.0101.3

3760

minima ,

4

s

N

N

N

f

Nf

ss

s

Un cilindro sólido uniforme de radio R, masa M, y longitud L. Calcule su

momento de inercia alrededor del eje central.

Ejemplo: Cilindro sólido uniforme

La densidad de volumen de la la

capa esV

Mr

Asi que la masa es dm

I

dVr dVV

M

dmr 2)2(

20

2

LrdrL

MrR

2

0

2

2

1

2MR

rM

R

drrMR

0