Cinetica de Biorreactores

5. Cinética en Ingeniería Bioquímica

5.1. Fundamentos

• El interés de la Ingeniería Bioquímica es proporcionar procesos viables, que han demostrado ser factibles en el laboratorio

• Ejemplo clásico de fracaso área de desalinización

• Precaución: costos involucrados en la transferencia de un proceso de laboratorio a escala industrial

• Normalmente, la reacción bioquímica es el punto crítico para establecer la economía del proceso

5.1. Fundamentos

• Para un diseño adecuado, debe considerarse la economía del proceso en forma global y no sólo considerar el costo del fermentador en sí

• Por ejemplo: un diseño con los costos de fermentador más bajos puede estar asociado a los costos más altos de recuperación del proceso

5.2. Factores considerados en el diseño de bio-

reactores

5.2.1. Objetivos y fases del diseño

• Problemas involucrados en el diseño de un reactor (Levenspiel, 1971):

1. Selección del mejor tipo de reactor para la reacción particular

2. Determinación de las mejores condiciones de operación

5.2.1. Objetivos y fases del diseño• Objetivo del diseño:

ser capaz de describir completamente el efecto de las condiciones de operación de un fermentador y comparar con diseños alternativos en base a un criterio económico

Etapas en el diseño de un fermentador:

1. Selección de una cepa apropiada de microorganismos

2. Selección de la configuración del fermentador apropiada

3. Determinación de las dimensiones del fermentador, de los valores de las variables de operación y del tiempo de proceso o rango de flujo

Etapas en el diseño de un fermentador (cont.):

4. El área de transferencia de calor y los equipos de mezclado requeridos

5. Requerimientos de potencia y aereación

6. Diseño mecánico: selección de materiales de construcción y equipo para el mantenimiento de condiciones asépticas

Etapas en el diseño de un fermentador (cont.):

7. Facilidades para el monitoreo y control

8. Factores de seguridad

5.2.2. Diferencias entre procesos químicos y

bioquímicos1. La complejidad de la mezcla

reactante2. El incremento en la masa de m.o.

acoplados con la transformación bioquímica

3. La habilidad de los m.o. para sintetizar sus propios catalizadores (enzimas)

5.2.2. Diferencias entre procesos químicos y bioquímicos (cont.)

4. Las condiciones medias de temperatura y pH

5. La dificultad en mantener la transformación bioquímica requerida (estabilidad)

6. La restricción a la fase acuosa7. Las concentraciones relativamente

bajas de sustratos y productos

5.2.3. Clasificación de las reacciones bioquímicas

De acuerdo al número y tipo de fases involucradas:

• Sistemas homogéneos: la reacción se lleva a cabo en una sola fase

• Sistemas heterogéneos: la reacción requiere la presencia de al menos dos fases

5.2.3. Clasificación de las reacciones bioquímicas

Todas las reacciones microbio-lógicas son heterogéneas, pues incluyen al menos una fase sólida (microorganismos) y una fase acuosa. En ocasiones, una fase gaseosa adicional puede estar involucrada

Velocidad del proceso

• Las velocidades de reacción están influenciadas por los reactantes y por los productos

• Todas las configuraciones de los reactores microbiológicos están relacionadas con los microorganismos dispersos en el medio nutriente

Velocidad del proceso1. Oxígeno absorbido por fase acuosa (f.a.)2. Oxígeno transferido a través de f.a.3. Oxígeno absorbido y transferido a través del gel intracelular a la

zona de reacción 4. Sustrato orgánico transferido a través de la f.a.5. Sustrato orgánico absorbido y transferido a través del gel

intracelular a la zona de reacción 6. Zona microbiológica de reacción7. Producto transferido del sitio de reacción a la zona acuosa

5.3. Algebra del diseño

El comportamiento de un fermentador puede ser predicho si se conoce:

• Las características de velocidad de los componentes reactantes y la influencia de las variables de operación: temperatura, pH y presión

• Las restricciones internas impuestas por la configuración del fermentador: tipo de fermentador, geometría y velocidad de remoción de calor


En general, un fermentador es diseñado usando ecuaciones que expresan:

• Balances de materia• Balances de energía• Velocidad de reacción• Velocidad de flujo


El punto inicial es la ley de la conservación de la materia aplicada a los componentes del sistema:

Balance de material total: aplicado al volumen total del fermentador

Balance de materia diferencial: aplicado a una pequeña parte del fluido


Estado estable

Ecuaciones algebraicas

Estado inestable

Ecuaciones diferenciales

1) Balance de masa total

Diferencia en la velocidad de flujo del reactante entre la entrada y salida de un fermentador

Velocidad de pérdida del reactante como resultado de la reacción

=

2) Balance diferencial de masa

Suma algebraica de las diferencias en la velocidad del flujo del reactante a través de pequeñas secciones diferenciales

Velocidad de pérdida del reactante como resultado de una reacción dentro del fluido

=


Para condiciones no isotérmicas, se debe usar un balance de energía junto con estas dos ecuaciones, en este caso las ecuaciones de balance de materia y energía son acopladas a través del calor de reacción

5.3. Algebra del diseño.En un fermentador continuo de

tanque agitado (FCTA)

Cuando se tiene una agitación total se pueden usar ecuaciones algebraicas por medio de balances de materia totales, ya que la concentración en cualquier punto del fermentador es la misma

5.3. Algebra del diseño.En un fermentador tubular

•Existen gradientes de concentración•En su forma más simple, todos los elementos fluidos tienen la misma velocidad y un gradiente de concentración sólo en la dirección del flujo

C

dz

C – (dC/dz) dzu-


•Para estos fermentadores el balance de masa es el siguiente:

u dc = -Rv ( 1 ) dzDonde:

u velocidad del fluidodc/dz gradiente de concentración en

dirección del flujoRv velocidad de desaparición del

sustrato por unidad de volumen del sustrato

-

-


•Integrando la ec. ( 1 ):

- dc = z ( 2 )

Rv u Donde:

ci y c0 concentración de sustrato a la entrada y la salida

z longitud del fermentadorRv su magnitud depende de la

concentración en dicho punto

∫ci

c0

-


•Si se conoce Rv se puede evaluar la integral y conocer la longitud del fermentador:

z / u [=] unidades de tiempo ( tiempo de residencia)

•Uno de los casos más simples para la aplicación de la ecuación (2) es cuando Rv está relacionado linealmente a c (reacción de primer orden):

Rv = k1c ( 3)

k1 coeficiente de la reacción de primer orden [=] tiempo

-


•Combinando las ecuaciones (2) y (3):

c0 = exp k1 z = exp [ -k1t] ( 4 ) ci u

Donde:

t tiempo de residencia = z u

-

-


Distancia axial del fermentador (z)

ConcentraciónSustrato (c)

c0

ci

5.4. Ecuaciones de Velocidad de Reacción

5.4.1. Características generales

Variables que afectan la velocidad de reacción:

En sistemas homogéneos:TemperaturapHComposición

En sistemas heterogéneos:Velocidades de transferencia de masa y calorCantidades relativas de las diversas fases


Para sistemas heterogéneos:

• Es conveniente considerar la velocidad de reacción para una sola partícula (Rp)

• Depende de la concentración del reactante en el fluido (c) y de la velocidad del fluido (u) relativa a la partícula

-

Distribución de concentración en el fluido alrededor de la partícula

(cuando no es afectado por la proximidad de otras partículas)

Partícula biológica

CL

u

Variación de la concentración en la región de una partícula

Partículabiológica

Variación de la concentración en la interfase

x0 180°

CL

C*


• La influencia de la velocidad del fluido sobre la velocidad de reacción es tal que a altos valores la velocidad de reacción llega a ser esencialmente constante

Rp cte si u ∞

• Donde Rp tiene las dimensiones de sustrato de masa convertida por unidad de tiempo

-

Efecto de la velocidad del fluido en el perfil de concentración

Con

cen

traci

ón

de

sust

rato

, C

0

CL

00

Conce

ntra

ción in

terfa

sial,

C*

y

Superficie deuna partícula biológicau

Efecto de la velocidad del fluido en la velocidad total de reacción

u

C*

C*

Rp

CL


Bajo condiciones de estado estable, la cinética de esta partícula puede ser modelada por la ecuación de transferencia difusional de reactivos a través de la capa límite, con el consumo del sustrato por la partícula biológica:

Rp = hAp(CL – C*) = NAp (5)

h coef. transf. de masaN cinética de reacción

(vel. De conversión sust.)Ap Área sup. de la partícula

Partículabiológica

Región dondela concentraciónde sustrato cambia con y

Cinética de primer orden

•Si: N = k1C* (6)

Donde:k1 coeficiente de velocidad de primer

orden [=] lt-1

•Sustituyendo la ec. (6) en la (5) y rearreglando:

C* = h CL (7)

h + k1


•Combinando las ec. (5) y (7):

Rp = 1 + 1 -1 ApCL (8)

h k1

•Definiendo un coeficiente total de velocidad que combina la contribución de transferencia de masa y cinética:

1/K1 = 1/h + 1/k1 (9)


•Por lo tanto, la ecuación (8) puede expresarse:

Rp = K1 Ap CL (10)

•De acuerdo a la ec. 10, la velocidad total de reacción está linealmente relacionada a la concentración de todo el líquido

Cinética de segundo orden

•Si: N = k2(C*)2 (11)

•Combinando las ecuaciones (5) y (11):

Rp = h Ap[2k2CL + h – (h2 + 4hk2CL)1/2]

2k2

(12)


• Las fermentaciones industriales involucran un gran número de microorganismos en las diferentes etapas de su vida

• Los microorganismos se encuentran en diferente estado fisiológico, morfológico e incluso genético.


• Pueden utilizarse las propiedades promedio para describir a una población de m.o. expuestos a determinadas condiciones ambientales

• En los modelos cinéticos de sistemas microbiológicos se suele suponer que las propiedades de la masa microbiana no varían


• La ecuación de velocidad está en función de:

Parámetros cinéticos: k1,k2,...Concentración de los reactivos y

productos: Ci

Factores geométricos: Li, ejem: volumen del bioreactor

Velocidad de reacción(como propiedad intensiva)

1. Velocidad de reacción por unidad de volumen del bioreactor

Rb = Rb’ (masa convertida)

Vb (volumen bioreactor)(tiempo)

2. Velocidad de reacción por unidad de volumen de líquido

Rv = Rb’ (masa convertida)

V (volumen del líquido)(tiempo)

(13)

(14)

Velocidad de reacción(como propiedad intensiva)

3. Por unidad de masa microbiana para flóculos suspendidos

R = Rb = Rb’ (masa convertida)

M MV (masa microbiana)(tiempo)

4. Por unidad de área de superficie de soporte para películas microbianas

N = Rb = Rb’ (masa convertida)

As AsV (área de sup. de soporte)(tiempo)

(15)

(16)

Objetivos en el desarrollo de una ecuación de

velocidad

1. Separación de parámetros físicos

2. Simplicidad en cuanto a forma funcional

3. Un número pequeño de coeficientes cinéticos

4. Universalidad

5.4.2. Modelo cinético para un sólo microorganismo

Ambiente: pH, T, nutrientes

Adaptación

Metabolismo:Productos intra y extra celulares

Multiplicación

Supervivencia

Estructura física de un microorganismo

• Puede considerarse como una combinación de:

Un “vertedero” de sustrato: regiones donde el sustrato es consumido por los procesos metabólicos

Regiones límite (frontera): a través de la cual el sustrato debe primero ser transportado (pared celular y membrana citoplásmica)

Modelos para un microorganismo aislado (Presencia de transporte

permeasa)

rR

rm

rp

C’

C*

Región metabólica C’’

Zona permeasa

Zona de difusión

Movimiento de las moléculas a través de las regiones de los

m.o.(Mecanismos)

• Proceso de difusión molecular convencional (Ley de difusión de Fick)

Nd = -Dm dC

drDonde:

Nd: Velocidad de transporte por unidad de área

Dm: Coeficiente de difusión de las especies

transportadasdC/dr: Gradiente de concentración

(17)


m.o.(Mecanismos)

• Moléculas acarreadoras estereoespecíficas (Cohen y Monod)

Np = apC’

b p + C’Donde:

Nd: Velocidad de transporte por unidad de área C’: Concentración de substrato externa a la

región permeasaap: Coeficiente con dimensiones ML-2 T-1

bp: Coeficiente con dimensiones ML-3

(18)


m.o.(Mecanismos)

• Transporte activo: El mecanismo de transporte trabaja en contra del gradiente de concentración. La energía para transportar se obtiene desde las reservas de energía dentro de la célula

• Transporte pasivo: mecanismos que cuenta con la energía térmica, ocurre cuando la concentración dentro del “vertedero” es menor que aquella en la region permeasa

Representación del consumo de substrato en el

“vertedero”

R’ = RC’’

R + C’’Donde:

R’: Velocidad de consumo de sustrato por unidad de volumenC’’: Concentración de sustratoR: Coeficiente con dimensiones ML-3 T-1

R: Coeficiente con dimensiones ML-3

(19)


permeasa)

rR

rm

rp

C’

C*


Zona permeasa

Zona de difusión


permeasa)

am -Dm dC = ap pC’ = VR RC”

dr am p + C’ R + C’’

Donde: am : área superficial externa

ap : área externa de la zona permeasa

VR : volumen de la región metabólica

(20)

Modelos para un microorganismo aislado (Ausencia de transporte

permeasa)

rRrm

C*


Zona de difusión

Modelos para un microorganismo aislado (Ausencia de transporte

permeasa)

• Para sustratos no afectados por el transporte permeasa, la ecuación anterior se reduce a:

am -Dm dC = ap VR R C”

dr am aR (R + C’’)

(21)

Transporte activo (C” > C’; bR > bP

Actividad

metabólicaActiv

idad permeasa

C’ C’’ C

Velo

cid

ad

de c

on

sum

o

de s

ub

stra

to

aP P = VR R

Transporte pasivo (C’ > C’’; bP > bR)

Actividad p

ermeasa

Actividad

metabólica

C’’ C’ C

Velo

cid

ad

de c

on

sum

o

de s

ub

stra

to

aP P = VR R

Ecuación generalizada

am -Dm dC = ai Ci

dr am ( + Ci)

Donde:

representa p o RVR / aR

(22)

5.4.2.1. Modelos teóricosModelo en serie

R = Rmax [[ [1 + (k’2)2 + k3C*] - {[1 + (k’2)2 - k3C*]2 + 4k3C*}1/2]]

2 (k’2)2

• El parámetro k’2 representa una limitación de difusión de fase “sólida”, cuando está ausente o es muy pequeña, la ecuación de velocidad para un microorganismo aislado se simplifica a:

R = Rmax k3C*

1 + k3C*

(23)

(24)

Modelo en paralelo

a) Para microorganismos esféricosD d r2 dC - RC = 0

r2 dr dr R + C

b) Para microorganismos cilíndricosD d r dC - RC = 0

r dr dr R + C

(25)

(26)

Modelo en paralelo

• Las restricciones para aplicar las ecuaciones anteriores son las siguientes:

r = 0 dC = 0 dr

r = rm C = C*

(27)

Modelo en paralelo

• La solución a las ecuaciones 25 y 26 tomando en cuenta las restricciones:

R = D dC am

dr rm oVm

o

R = g(D, R, R, rm, C*) (29)

(28)

Modelo en serie

rirri

rrm

00

0

C1

C*

C1

C*

C

Modelo en paralelo

r

rm

00

0

C* C*

C

5.4.2.2. Modelos experimentales

• Ecuación de Monod (1949)

G = Gmax C*

KM + C*Donde:

G velocidad específica de crecimientoGmax velocidad específica de crecimiento

máximaKM coeficiente del sistemaC* concentración del sustrato en la

solución acuosa

5.4.2.2. Modelos experimentales

• La ecuación de y ( Monod proporciona buenos resultados en la descripción de la variación general de la velocidad de crecimiento con la concentración de sustrato excepto en condiciones inhibitorias de altas concentraciones

• Otros autores han propuesto diversas ecuaciones empíricas: Tessier (1942), Stack (1957), Moser (1958), Contois (1959), Mueller et al. (1966), Atkinson et al. (1967), Powell (1967), Korneg y Andrews (1968)

5.5. Modelo cinético para una masa microbiana

• En los procesos industriales los m.o. se encuentran como FLÓCULOS libremente suspendidos en el fluido o como PELÍCULAS microbianas adheridas a superficies fijas

• Las dimensiones características son DIÁMETRO y ESPESOR, respectiva-mente

¿Cómo plantear los fenómenos de transferencia de materia y de reacción en esa masa?

• Si la masa es muy grande y se pueden tomar valores medios de las propiedades Tratamiento similar a reactores químicos de lecho poroso

• El sustrato se difunde a través del material inerte (poroso) y llega a los puntos “activos para la reacción”

Características de la masa microbiana

1. Existe un estado estable en el sentido biológico, la composición total de la masa microbiana permanece estable

2. La funciones metabólicas (consumo del sustrato) permanecen constantes con respecto al tiempo

3. La masa microbiana mantiene constantes las características de: distribución de edad, viabilidad, mutación, selección, etc.

5.5. Modelo cinético para una masa microbiana

• Balance másico diferencial aplicado a una película microbiana, donde la difusión molecular del sustrato es igual a su remoción por el microorganismo:

De d2C - a ns = 0 (30) dx2

Donde: ns velocidad de remoción del sustrato por unidad de área de microorganismos viablesa área de microorganismos viables por unidad de volumen de la masa microbianaDe coeficiente efectivo de difusión molecular

Suposiciones:

1. El proceso de difusión dentro de los caminos intercelulares se puede describir en términos de un coeficiente “efectivo” de difusión:

N’ = -De dC (31) dxDonde:

N’ flujo del sustratoC concentración local del sustrato dentro de la masa microbiana

Suposiciones:

2. La difusividad efectiva y a son constantes en la dirección de la difusión y además:

ns = C

+ CPor lo tanto:

De d2C - a C = 0 (32)

dx2 + C

Restricciones a la ec. (32):

x = L dC = 0 dx

x = 0 C = C*

Donde:L espesor de la película

microbiana

(33)

Solución matemática de las ecuaciones (32) y (33):

C = g ( x, De, a, , L, C* ) (34)

Expresando la ecuación (34) como un flujo en la interfase de la masa microbiana con la solución nutriente:

X = 0; N = -De (dC/dx) = g (De, a, b, L, C*)

(35)

5.6. Ecuación de velocidad biológica

d2f - (k2L)2f = 0,

dX2 1 + (k3C*)f

X = 0 df = 0, dX

X = 1 f = 1,

(36)


Donde:k2 = a ½

De

k3 = 1 /

f = C / C*

X = (L – x) L

(37)


• La solución a la ecuación (36) es de la siguiente forma y debe resolverse por procedimientos numéricos

f = g(k2L, k3C*, X)

Donde:0 < f < 1

(38)


• En ausencia de limitación difusional de fase sólida, la velocidad de consumo de sustrato por una película microbiana está dada por:

N* = (aL) C* + C*o

N* = k1LC* = Nmax k3C*

1 + k3C* 1 + k3C*

(39)


• Considerando una desviación del flujo dado en la ecuación 39:

N = - De dC = N*

dx x=0

Donde: es el factor de efectividad, < 1

(40)


• Combinando las ecuaciones 37, 39 y 40, se obtiene:

= 1 + k3C* df

(k2L)2 dX X=1

De las ecuaciones 38, 40 y 41:

N = g(k1, k2, k3, C*, L)

Donde k1, k2 y k3 son los coeficientes de la ecuación de velocidad biológica

(41)

(42)

Ecuación de velocidad biológica(Atkinson y Daoud, 1968)Para películas microbianas

i. Para k3C* < 1

N = tanh k1LC*

1 + k3C*

Donde: = k2L

(1 + k3C*)0.576

(43)

(44)

Ecuación de velocidad biológica(Atkinson y Daoud, 1968)Para películas microbianas

ii. Para k3C* > 50

N = k1LC* si < 1

1 + k3C*

N = 1 k1LC* si > 1

1 + k3C*

(46)

(45)

Solución numérica correspondiente a la ecuación = g(k2, L, k3C*)

Ecuación de velocidad biológica(Atkinson y Daoud, 1968)Para flóculos microbianos

i. Para k3C* < 1

R = tanh k1LC*

o (1 + k3C*)

Donde: = k2Vp

Ap(1 + k3C*)0.576(48)

(47)

Ecuación de velocidad biológica(Atkinson y Daoud, 1968)Para flóculos microbianos

ii. Para k3C* > 50

R = k1LC* si < 1

o(1 + k3C*)

N = 1 k1LC* si > 1

o (1 + k3C*)

(50)

(49)

Ecuación de velocidad biológica(Atkinson y col., 1974)

Ecuación completa para películas microbianas

N = k1LC*

1 + k3C*

Donde: = 1 – tanh k2L P - 1 P <1

k2L tanh P

= 1 – tanh k2L 1 - 1 P >1

P k2L tanh P

P = (k2L)(k3C*) [k3C* - ln(1 + k3C*)] -1/2

2(1 + k3C*)

(51)

Ecuación de velocidad biológica para películas microbianas

Ecuación de velocidad biológicaEcuaciones reducidas

para películas microbianas

• Si k2L < 1 para cualquier k3C* o si k3C* < 0.1 para cualquier k2L:

N = tanh R k1LC*

R 1 + k3C* Donde:

= k2L

(1 + 2k3C*)0.5(53)

(52)

Ecuación de velocidad biológicaEcuaciones reducidas

para películas microbianas

• Si k2L >20 para cualquier k3C* o

si k3C* > 100 para cualquier k2L:Para R < 1 (Ec. 53)

N = k1LC*

1 + k3C*Para R > 1 (Ec. 53)

N = (1 + 2k3C*) k1C*

(1 + k3C*) k2 (55)

(54)

Ecuación de velocidad biológica reducida

Ecuación de velocidad biológica reducida

Ecuación de Velocidad Biológica para un m.o. en forma de cilindro

infinito

Modelo cinético de resistencias en serie

1. Considérese una difusión en estado estable a través de la zona de transporte

Ac = 2 r L Dm dC (56)

drDonde:

Ac: velocidad de difusión del sustrato = cte.

2rL: área seccional de transporte

2. Si las condiciones límite son:

en r = rm C = C*

r = ri Dm dC = Ci (57)

dr ri + Ci

Integrando la ec. (56):

Ac ln rm = C* - Ci (58)

2LDm ri

3. Combinando las ecuaciones (56), (57) y (58):

C* = Ci + Ac ln rm

2LDm ri

Como: r dC = Ac y dC = 1 Ci

dr 2LDm dr Dm + Ci

Por lo tanto:

Ac = ri dC = ri Ci

2LDm dr Dm + Ci

Así:C* = Ci + ri Ci ln rm (59)

Dm + Ci ri

Además si se define:

= ri ln rm

ri

Se tendría:

C* = Ci + Ci (60)

Dm( + Ci )i

4. Resolviendo la ec. (60) para Ci:

C*Dm + C*Dm Ci = CiDm + Ci2Dm +

Ci

Ci2Dm + CiDm + Ci- C*Dm - C*Dm Ci = 0

Dividiendo entre Dm:

Ci2 + Ci ( + - C*) – C* = 0 (61)

Dm

Obteniendo las raíces positivas de la ec. (61):

Ci = 1 -( + - C*) + ( + - C*)2 + 4C*

1/2

2 Dm Dm

Simplificando:

Ci = 1 + - C* -1 + 1 + 4C*( + - C*)-2 ½

(62) 2 Dm Dm

5. Definiendo coeficientes de velocidad:

k2’ = 1/2k3 = 1

Dm

Sustituyendo éstos en la ec. (62)

Ci = 1 + (k2’ )2

- k3C* -1 + 1 + 4k3C* 1/2 (63)

2k3 (1 + (k2´)2 – k3C*)2

6. Determinando la velocidad específica de reacción como:

R = a i Ci (64)

o Vm

+ Ci

Y a partir de la ec. (59):C* - Ci = Ci

Dm (+ Ci)

Ci = Dm (C* - Ci ) (65)

(+ Ci)

Sustituyendo la ec. (65) en (64):

R = a i Dm (C* - Ci ) (66)

Vm

Sustituyendo Ci de la ec. (63) en (66):

R = a i 1 k3C*+1+(k2’)2- (1+(k2’)2k3C*)

2 Vm (k2’)2

1 + 4k3C 1/2

(1 + (k2’)2 – k3C) 2

(67)

Definiendo:

Rmax = a i = k1’ (68)

Vm k3

Donde:k1’ = a i (69)

Vm

Se obtiene:

R = Rmax [ 1+(k2’)2 +k3C*-( (1+(k2’)2-k3C*) 2+4k3C*)1/2]

2 (k2’)2

(70)

Cuando k2’ es muy pequeña:

R = a i C* (66)

Vm + C*

o

R = k1 C* = Rmax k3C*

o (1+k3C*) 1+k3C*

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