Cinetica de Un Punto Material - Fuerza y Aceleracion - 2014-II (1)

CINTICA DE UNA PARTICULA

M.Sc. Norbil Tejada Campos

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CICLO ACADEMICO 2014-II

FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

LA COLLPA

CINTICA DE UNA PARTICULA

pdt

damF

1. Cintica.- Parte de la Mecnica que estudia las relaciones existentes

entre las fuerzas que actan sobre una partcula y su movimiento, dado por

la Segunda Ley del Movimiento o Segunda Ley de Newton; As, tenemos:

Donde: m es la masa de la partcula, considerada constante para

velocidades pequeas ( v

As, tenemos:

2

2

dt

xdm

dt

dvmmaF xxx

2

2

dt

ydm

dt

dvmmaF

y

yy

2

2

dt

zdm

dt

dvmmaF zzz

1. LEY DE NEWTON EN COORDENADAS RECTANGULARES

Si, la fuerza resultante que acta sobre una partcula tiene la misma

direccin y lnea de accin durante todo el tiempo; dicha partcula,

con movimiento resultante, esta obligada a moverse sobre una lnea

recta y normalmente se denomina Movimiento Rectilneo.

Casos:

A. Fuerza es constante ( F = constante ).

B. Fuerza en funcin del tiempo ( F = F(t) ).

C. Fuerza en funcin de la rapidez ( F = F(v) ).

D. Fuerza en funcin de la posicin ( F = F(x) ).

2. MOVIMIENTO RECTILINEO

A. FUERZA CONSTANTE ( F = Const.):

2

2

dt

xdm

dt

dvmmaF

1Ctm

Fv

21

2

2CtCt

m

Fx

Se obtiene: Por condiciones iniciales: si, para

t0 = 0, tenemos: x = xo ^ v = vo

tvvmF

o

2

2ttvxx

mF

oo

Caso particular: Caida Libre:

F = W (peso) ^ a = g (aceleracin de la gravedad)

2

21 gttvyy oo

gtvv o

Por condiciones iniciales: si, yo= 0 ^ vo= 0

gtv 22

1gty


A. FUERZA CONSTANTE ( F = Const.):

Ejemplo 01.- (p. 12.3; pag. 529; Dinmica, Irvin Shames). Un cuerpo

puede deslizar hacia abajo por un plano inclinado. El coeficiente de

rozamiento es de 0,05. Si la velocidad del bloque al llegar al punto ms

bajo es de 9 m/s. A qu altura se solt y durante cunto tiempo viaj?.

30

= 0,05

Respuesta:

1. h = 4,54 m

2. t = 2,01 s.


B. FUERZA EN FUNCION DEL TIEMPO ( F = F(t)):

2

2

)(dt

xdm

dt

dvmmatF

1

)(Cdt

m

tFv

t

m

tF

dt

dx

dt

d

dt

xd )(2

2

Se obtiene:

Donde:

t t

CdtCdtm

tFx 21

)(

mF(t)

y

x


B. FUERZA EN FUNCION DEL TIEMPO ( F = F(t)):

Ejemplo 02.- (p. 12.25; pg. 531; Dinmica, I. Shames). Una

fuerza en la direccin x dada por la relacin F = 10sen6t (N)

acta sobre un cuerpo de 10 kg de masa. Si cuando t = 0 el

cuerpo tiene una velocidad de 3 m/s y est en la posicin x = 0,

Cul es la posicin alcanzada por el cuerpo a partir del origen

cuando t = 4 s?. Hacer la curva desplazamiento-tiempo.


C. FUERZA EN FUNCION DE LA VELOCIDAD ( F = F(v)):

2

2

dt

xdm

dt

dvmmaF

1

1

)(Ct

mvF

dv

v

m

vF

dt

dv

dt

xd )(2

2

Se obtiene:

Donde:

21),( CdtCtHx

Ecuacin: t = t(v), lo cual es mejor encontrar

una ecuacin de la forma: v = H (t , C1)



Ejemplo 03.- Un avin de carreras aterriza a una velocidad de 100 m/s cuando se

despliega un paracadas de freno. Este paracadas tiene un rea frontal de 30 m2

y un CD = 1,2 . El avin tiene un rea frontal de 20 m2 y un CD = 0,4. Si el avin y

el paracadas tienen una masa conjunta de 8 Mg, Cunto se tardar en reducir

su velocidad de 100 m/s hasta 60 m/s simplemente rodando? Considrese aire =

1,2475 kg/m3 e ignrese la resistencia al rodamiento de los neumticos, y que no

hay viento.En el rea de Mecnica de Fluidos, se conoce como la resistencia al avance D de un cuerpo a travs de un fluido cuya densidad de

masa es viene dada por CDv2A, donde v es la velocidad del cuerpo relativa al fluido, A es la superficie frontal del objeto, y CD es el

denominado coeficiente de resistencia al avance (drag) que se determina, normalmente, mediante experimentacin.

D. FUERZA EN FUNCION DE LA POSICION ( F = F(x)):

2

2

dt

xdm

dt

dvmmaF

21

1)(2

CdxxFm

vx

)(2

2

xFdt

dvm

dt

xdm

Se obtiene:

Donde:

22

1

1)(2

C

CdxxFm

dxt

x

x



Ejemplo 04.- El rozamiento (=0,10) y un resorte lineal (k=365N/m)

oponen resistencia al movimiento del bloque A (P=3580N). Si se suelta el

bloque partiendo del reposo con el resorte indeformado, determinar,

durante la primera fase del movimiento hacia abajo del plano inclinado:

a) el desplazamiento mximo del bloque a partir de su posicin de reposo,

b) la velocidad del bloque cuando se halle a 4,5 m de su posicin de

reposo, c) el tiempo que emplea el bloque en llegar a 4,5 m de su posicin

normal.

)( nt aamamF

dt

dvmmaF TT

2vmmaF nn

Donde:

3. MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES

3.1. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMAL Y TANGENCIAL



Ejemplo 05.- Un pndulo de 6 m de longitud se mueve en un plano vertical,

de tal forma que, en la posicin representada en la figura , la tensin en la

cuerda es 2 veces el peso de la masa pendular. Determinar para la masa

suspendida: a) las componentes tangencial y normal de la aceleracin en

dicha posicin, b) la velocidad correspondiente.

0

37L

Trayectoria

m



Ejemplo 06.- Una esfera de 3 kg se desliza por una varilla que est curvada en el

plano vertical y cuya forma puede estar descrita por la ecuacin

, donde x e y se expresan en metros. Cuando x = 2 m, la esfera se

mueve a lo largo de la varilla con celeridad de 5 m/s que est aumentando a razn

de 3 m/s2. determinar las componentes normal (Fn) y tangencial (Ft) de la fuerza

que ejerce la varilla sobre la esfera en ese instante.

2

2

18 xy



Ejemplo 07.- Una esfera que pesa 15 N se desliza por una varilla contenida en

un plano vertical y cuya forma queda descrita por la ecuacin ,

donde x e y se miden en metros. Cuando la esfera se halla en el punto (-2,4 ;

2,4), indicado, se mueve a lo largo de la varilla con una celeridad de 4,5 m/s,

disminuyndola a razn de 0,9 m/s2. Determinar las componentes normal y

tangencial de la fuerza que en ese instante ejerce la varilla sobre la esfera.

yx 4,22

yx 4,22

)( aamamF r

2 rrmmaF rr

rrmmaF 2

Donde:


urrurrmF r

22

3.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES

Ejemplo 08.- Un cuerpo esfrico pequeo de masa m se libera estando

la cuerda bin tensa y = 30. Encontrar la tensin en la cuerda durante

el movimiento resultante. (figura adjunta).



Ejemplo 08.- Un cuerpo esfrico pequeo de masa m se libera estando la cuerda bin

tensa y = 30. Encontrar la tensin en la cuerda durante el movimiento resultante.

(figura adjunta).

m

0

L

Eje Radial

(+)

Eje

Transversal (-)

(+)

mg

T

ru

u

SOLUCION:

Hiptesis:

1. La cuerda es inextensible.

2. L, longitud de la cuerda constante.

Respuesta:

13 senmgT



)( zr aaamamF

2 rrmmaF rr

rrmmaF 2

Donde:

zmmaF zz


3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CILINDRICAS


3.3. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS CILINDRICAS

Ejemplo 09.- Un pndulo cnico consiste en una esfera que pesa 100 N

sostenida por un hilo de 2,4 m de longitud que gira en torno a un eje

vertical con una velocidad angular constante tal que mantenga el hilo

formando un ngulo de 30 con la vertical. Determinar la tensin T en el

hilo y la celeridad lineal v de la esfera.

xy

z

0

m

F

r

3.4. LEY DE NEWTON PARA EL MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES

GRAVITATORIAS


dt

vdmamF

vmddtF

De la ecuacin del movimiento de una partcula de masa m, tenemos:

Integrando para un intervalo de tiempo desde t1 hasta t2 y entre v1 y v2,

respectivamente, tenemos:

12

2

1

vmvmvdmdtF

v

vt

Ecuacin del impulso y momentos lineales, que permite calcular la velocidad

final de la partcula luego de un tiempo y conociendo la velocidad inicial.

4. METODO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA PARTICULAS

4.1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Principio del Impulso y El Momento Lineal

A. IMPULSO LINEAL:

La integral , se define como el Impulso Lineal; cantidad

vectorial que mide el efecto de la fuerza durante el tiempo que sta acta;

tiene la direccin de la fuerza y se expresa en unidades de fuerza por

unidades de tiempo, como: N.s; kgf.s; libf.s; etc.

t

dtFI

t0

F

Fc

I = Fc ( t2 t1)

t1 t2

t0

F

t1 t2

t

FdtI


B. MOMENTO LINEAL:

Definido como el producto de la masa de la partcula por su velocidad, es

decir: , cantidad vectorial que tiene la direccin de la velocidad y

se expresa en unidades de masa por unidades de velocidad, como: kg.m/s;

g.cm/s; lib.pie/s; etc.

vmp

12 vmvmdtFIt

As, tenemos:

pppvmvmI

1212

Grficamente:

m

1p

m

2p

1p

m2p

I


B. MOMENTO LINEAL:

Ecuaciones en componentes rectangulares:

y

t

yy mvdtFmv 21

x

t

xx mvdtFmv 21

z

t

zz mvdtFmv 21


C. PRINCIPIO DE CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL:


De la experiencia, se tiene que: ;

por lo que, el momento lineal total de un

sistema compuesto de dos particulas que estan

sujetas solamente a su interaccion mutua,

permanece constante.

2121:"" vmvmppptpara inicial

2121:"" vmvmppptpara final

pp

En general: El momento lineal total de un sistema aislado de particulas es

constante, asi tenemos:

teconspppppn

i

i tan...321

Tenemos que:

C. PRINCIPIO DE CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL:


teconspp tan21

2121 pppp

2211 pppp

21 pp

Una interaccin produce un intercambio de momento lineal

Para un sistemas de dos particulas con

interaccion mutua, se cumple que:

A. MOMENTO ANGULAR:

El momento angular o momentum angular de una partcula con respecto al

punto 0 del sistema inercial, se define como: el momento del momento

lineal; As, tenemos:

vmrprH

0

4. METODO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA PARTICULAS

4.2. MOMENTO ANGULAR.- Principio del Impulso y El Momento Angular

A. MOMENTO ANGULAR:

La componente del momento angular en el eje Z, es:

)(0 senrmvprH z

dmvHoz


B. RELACION ENTRE EL MOMENTO DE UNA FUERZA Y EL MOMENTUM ANGULAR:

Multiplicando vectorialmente por , tenemos:

)(0 vrmdt

dM

vmrFr

vmamF

De la ecuacion general del movimiento:

r

00 HM

Similar a: pvmF


C. IMPULSO ANGULAR.- Principio del Impulso y el Momento Angular

Operando, e integrando para un intervalo de tiempo de t1 a t2, tenemos:

De la ecuacin, tenemos:

000 Hdt

dHM

IMPULSO ANGULAR: 2

1

2

1

tt

tt

HdtFrdtM

102000

2

1

2

1

HHHddtM

t

t

t

t

20010

2

1

HdtMH

t

t


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