Cinmatique I, Modlisation et paramtrage des chanes de ...lyc58- I, Modlisation et paramtrage des chanes de solides - p.1 MODELISATION CINEMATIQUE DES CHAINES DE SOLIDES I –

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  • Cinmatique I, Modlisation et paramtrage des chanes de solides - p.1

    MODELISATION CINEMATIQUE

    DES CHAINES DE SOLIDES

    I SYSTEMES ET CHAINES DE SOLIDES

    1. Les chanes de solides dans un systme

    L'tude des systmes (cf. "Etude des systmes Analyse fonctionnelle") a mis en videncel'architecture fonctionnelle comprenant la chane d'information et la chane d'nergie. Cette dernirecomporte entre autres, un actionneur fournissant une nergie, transmise ensuite l'effecteur quiralise l'action. Ce dernier ensemble est constitu de chanes de solides.

    Tout comme les lments de commande d'un systme, ces chanes de solides doivent permettre lasatisfaction des fonctions de service.

    Ces chanes de solides font partie intgrante de la chane d'action des systmes asservis, etparticipent pleinement la ralisation du processus et aux performances des systmes. Le cours decinmatique porte donc sur la modlisation et l'analyse du comportement des chanes de solides. Ils'intgre dans la mcanique du solide qui comporte plusieurs composantes :

    - Cinmatique : Mouvement sans proccupation des causes,

    - Statique : Equilibre sous l'effet d'actions mcaniques,

    - Dynamique : Mouvement sous l'effet d'actions mcaniques.

    - R.d.M. : Rsistance des Matriaux.

    Les deux premires composantes seront abordes dans le cours de premire anne, les deux autressont au programme de deuxime anne.

  • Cinmatique I, Modlisation et paramtrage des chanes de solides - p.2

    Exemple : Systme de correction de porte de phare

    Le systme prsent dans l'exercice n3 du chapitre "analyse fonctionnelle" comporte deuxchanes fonctionnelles de solides : l'une partir du moto-rducteur, l'autre partir du bouton decommande manuelle.

    2. Solides et surfaces de contact dans une chane de solides

    2.1. Prsentation

    Dans les chanes de solides, les pices sont connectes entre elles par des surfaces de contact.On obtient alors des liaisons entre pices. Animes de mouvement ou non, les pices subissentdes efforts. Sous l'effet de ces efforts, pices et surfaces se dforment.

    Pour des tudes gomtriques ou cinmatiques, ces dformations restent suffisamment faiblespour tre dans un premier temps ngliges. Cette hypothse est l'origine du vocable solide ousolide indformable.

  • Cinmatique I, Modlisation et paramtrage des chanes de solides - p.3

    L'tude des liaisons relles existantes entre les diffrentes pices d'un mcanisme est dlicate etdifficile. En effet, les dfauts entre les surfaces de contact (rugosit, dfaut de forme), la prsence dejeu, la dformation des pices, les frottements, et l'usure carte le modle thorique de la liaison dela ralit.

    2.2. Cas du solide dformable

    On vient de le voir les pices sont par dfinition dformables. Ces dformations seront tudiesdans d'autres composantes de la mcanique, elles peuvent tre diverses :

    # Dformations en surface : modle qui considre le solide reste globalement rigide, mais dont lesdformations de surface influencent le comportement mcanique du contact. Ces dformations sontalors prises en compte dans la modlisation de la pression de contact. Ce modle est utile pourl'tude et le dimensionnement des liaisons.

    # Petites dformations des solides : modlisation qui concerne la rsistance des matriaux. Cemodle permet l'tude des relations [Sollicitations Contraintes Dformations] pour despices de gomtrie simple, et faiblement dformes.

    # Grandes dformations : plus gnralement la Mcanique des Milieux Continus permet l'tudedes grandes dformations d'une pice. Cette thorie n'est pas au programme des ClassesPrparatoires.

    2.3. Le solide Indformable Liaison parfaite

    Le modle qui est retenu pour la cinmatique du solide associe l'hypothse du solideindformable et la notion de liaison parfaite.

    # Une liaison est dite parfaite si :

    - Le contact s'tablit thoriquement en un point, sur une ligne ou sur une surface de dfinitiongomtrique simple (plan sphre, cylindre, surface hlicodale, ..) ;

    - Les surfaces de contact sont supposes gomtriquement parfaites, sans dfauts de forme etd'tat de surface ;

    - la liaison est sans jeu.

    # Solide indformable :

    - la distance entre deux points quelconques A et B est rigoureusement constante quels quesoient les efforts auxquels est soumis le solide en question.

    Cette proprit est l'origine de la reprsentation par un torseur1 des champs des vitessesde ces points, ce point sera dvelopp ultrieurement dans ce cours.

    - Le caractre indformable du solide permet de lui lier un repre orthonorm direct2,dans lequel les coordonnes de tous ses points sont constantes. Pour simplifier les analyses,au solide 1 est gnralement associ le repre R1(O1, x1, y1, z1)

    1 Torseur : outil mathmatique dfini dans l'annexe "outils mathmatiques en mcanique"2 Tous les repres utiliss en Sciences de l'Ingnieur sont des repres orthonorms directs.

  • Cinmatique I, Modlisation et paramtrage des chanes de solides - p.43. Utilit du modle cinmatique

    Pour l'tude du comportement des chanes de solides, il est ncessaire de mettre en place unemodlisation, ce qui permet ensuite de raliser une tude mcanique thorique (gomtrique,cinmatique, statique ou dynamique), ou encore une simulation l'aide d'une maquette numrique.

    Ce modle permet de prendre en compte les liaisons entre solides, en analysant les mouvementspossibles, appels les degrs de libert.

    II - DEGRES DE LIBERTE ET SCHEMATISATION DES LIAISONS USUELLES

    1. Dfinition des degrs de libert d'une liaison

    1.1. Position d'un solide dans un repre Mouvements lmentaires

    On considre un repre R0, et un solide S.

    - 3 paramtres indpendants sont ncessaires et suffisants pour reprer la positiond'un point (par exemple, ses trois coordonnes cartsiennes) ;

    - 6 paramtres indpendants sont ncessaires et suffisants pour reprer laposition d'un solide (trois paramtres de distance pour positionner un point, et troisparamtres angulaires pour orienter le solide) ;

    Le mouvement de S dans R0 peut alors se dcomposer en six mouvements lmentaires,trois translations suivants les trois directions du repre, et trois rotations autour des trois axes durepre. Ce sont les variations des paramtres de position du solide.

    1.2. Degrs de libert d'une liaison entre deux solides

    Dfinition : soient deux solides en liaison. Le degr de libert d'une liaison est le nombre demouvements lmentaires indpendants (translations ou rotations) possibles entre les deux solides.

    Par extension, on caractrise les degrs de libert de la liaison en identifiant les paramtrespouvant varier indpendamment des autres parmi les six possibles, par exemple : Tx, Ty, Tz, Rx,Ry, Rz.

  • Cinmatique I, Modlisation et paramtrage des chanes de solides - p.5Exemples :

    # Systme de correction de porte de phare

    La liaison entre l'axe 206 et la bielle 303(voir figure I 1.) s'effectue sur une surfacesphrique.

    Les mouvements possibles sont les troisrotations autour des trois axes Du, Dv et Dw.

    Ces trois rotations sont les degrs de libertde la liaison.

    # Guidage cylindrique long

    Solides en contact suivant un cylindre de rvolution.Cette liaison prsente deux degrs de libert :

    - une translation suivant l'axe Oz du cylindre Tz,

    - une rotation autour de ce mme axe Oz, Rz

    O

    x

    y

    z

    Exemple de liaison simple : Pivot glissant

    2. Les liaisons usuelles

    Thoriquement il existerait autant de types de liaisons entre deux solides qu'il y a decombinaisons diffrentes entre les six degrs de libert possibles.

    La seule solution impossible tant d'avoir simultanment les six degrs car alors il n'y a plus deliaison. Parmi toutes ces combinaisons, seulement douze sont ralisables et couramment utilises.

    La norme dfinit un symbole et un nom pour onze liaisons usuelles. Le tableau page suivantersume ces liaisons, et en propose un douzime souvent utile.

    Remarques :

    - Attention, la liaison Hlicodale comporte un seul degr de libert, en effet il y a bien deuxmouvements possibles, mais ces mouvements ne sont pas indpendants.

    - Dans le cas de la liaison Sphre-Plan, le modle choisi pour le symbole utilise un plan pour undes deux solides, ce qui simplifie l'analyse. Dans tous les cas l'lment important est la normale auplan tangent commun aux deux pices.

    - La liaison Sphre-Cylindre Doigt n'est pas normalise, mais courante dans les mcanismes, ilest donc utile de la dfinir de manire logique partir des symboles normaliss.

  • Cinmatique I, Modlisation et paramtrage des chanes de solides - p.6

    Nom de la liaison Degrs de libert Schma normalisNorme NF EN ISO 3952-1*Schma normalis

    en perspective

    ENCASTREMENTou

    complte

    Pas de degrsde libert

    y

    x

    y

    z x

    PIVOTRotation : Rx

    1Translation : -

    yx

    yz

    y

    zx

    PIVOT GLISSANTRotation : Rx

    2Translation : Tx

    yx

    yz

    y

    zx

    GLISSIRERotation : -

    1Translation : Tx

    yx

    yz

    y

    zx

    HLICODALE 1Rotation et

    Translation liesTx = f(Rx)

    yx

    yz

    y

    zx

    APPUI PLANRotation : Ry

    3Translation : Tx, Tz

    y

    x

    y

    z x

    ARTE PLAN

    (linaire rectiligne)

    Rotation : Rx, Ry4

    Translation : Tx, Tz

    yx

    yz

    y

    z x

    SPHRE PLAN

    (ponctuelle)

    Rotation : Rx, Ry, Rz5

    Translation : Tx, Tz

    y

    x

    y

    z x

    SPHRIQUE

    (rotule)

    Rotation : Rx, Ry, Rz3

    Translation : -

    y

    x

    y

    z x

    SPHRECYLINDRE

    (linaire annulaire)

    Rotation : Rx, Ry, Rz4

    Translation : Tx

    yx

    yz

    y

    zx

    SPHRIQUE

    A DOIGT

    Rotation : R

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