Solucion:

Tenemos que tener en cuenta que la funcion 4𝑢𝑢(−𝑡𝑡) es una funcion constante con amplitud igual a 4 desde -∞ a 0.

Aplicamos LKC al nodo superior

𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑡𝑡) + 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝐼𝐼

𝑉𝑉(𝑡𝑡)/𝑖𝑖 + 𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑡𝑡) + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡)/𝑐𝑐𝑡𝑡 = 𝐼𝐼𝐼𝐼

Por estar en paralelo el voltaje del capacitor es el mismo que el del inductor entonces hacemos uso de

𝑉𝑉(𝑡𝑡) = 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑐𝑐𝑡𝑡

sustituyendo

𝑐𝑐2𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑐𝑐𝑡𝑡2 +

1𝑖𝑖𝑅𝑅

𝑐𝑐𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑐𝑐𝑡𝑡

+1𝑖𝑖𝑅𝑅

𝑖𝑖(𝑡𝑡) =𝑖𝑖𝐼𝐼𝑖𝑖𝑅𝑅

sustituyendo valores

𝑐𝑐2𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑐𝑐𝑡𝑡2 + 2

𝑐𝑐𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑐𝑐𝑡𝑡

+ 26𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 26𝑖𝑖𝐼𝐼

La ecuacion caracteristica es

𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 26 = 0

Las raices son

𝑠𝑠1 = −0.5 − 2.5𝑗𝑗 y 𝑠𝑠2 = −0.5 + 2.5𝑗𝑗

Como las raices son complejas y conjugadas la respuesta es subamortiguada e i(t) tiene la forma

𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴1𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑠𝑠2.5𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠2.5𝑡𝑡

Ahora empleamos las condiciones iniciales para encontrar los valores de A1 y A2

observamos que en t=0 if(0)=4

𝑖𝑖(0) = 𝐴𝐴1𝑒𝑒0cos(0) + 𝐴𝐴2𝑒𝑒0𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠(0) =4

por tanto

𝐴𝐴1 =4

La segunda condicion necesaria para obtener A1 y A2 se obtiene de la expresion

𝑐𝑐𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑐𝑐𝑡𝑡

= −0.5𝐴𝐴1𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑠𝑠2.5𝑡𝑡 − 2.5𝐴𝐴1𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠2.5𝑡𝑡 − 0.5𝐴𝐴2𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠2.5𝑡𝑡

+ 2.5𝐴𝐴2𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑠𝑠2.5𝑡𝑡

𝑐𝑐𝑖𝑖(0)𝑐𝑐𝑡𝑡

= −0.5𝐴𝐴1 + 2.5𝐴𝐴2

Sin embargo la condicion inicial es di(0)/dt. Por tanto tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0).

𝑐𝑐2𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑐𝑐𝑡𝑡

= 0.25𝐴𝐴1𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑠𝑠2.5𝑡𝑡 + 1.25𝐴𝐴1𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠2.5𝑡𝑡 + 1.25𝐴𝐴1𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠2.5𝑡𝑡

− 6.25𝐴𝐴1𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑠𝑠2.5𝑡𝑡 + 0.25𝐴𝐴2𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠2.5𝑡𝑡 − 1.25𝐴𝐴2𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑠𝑠2.5𝑡𝑡 − 1.25𝐴𝐴2𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑠𝑠2.5𝑡𝑡− 6.25𝐴𝐴2𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠2.5𝑡𝑡

𝑐𝑐2𝑖𝑖(0)𝑐𝑐𝑡𝑡

= 0.25𝐴𝐴1 − 6.25𝐴𝐴1 − 1.25𝐴𝐴2 − 1.25𝐴𝐴2

Reduciendo

𝑐𝑐2𝑖𝑖(0)𝑐𝑐𝑡𝑡

= −6.0𝐴𝐴1 − 2.5𝐴𝐴2

Sustituyendo el valor de A1

tenemos que

6.0(4) = −2.5𝐴𝐴2

A2=-9.6

Por lo tanto la expresion para i(t) es

𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 4𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑖𝑖𝑐𝑐𝑠𝑠2.5𝑡𝑡 − 9.6𝑒𝑒−0.5𝑡𝑡𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠2.5𝑡𝑡

La grafica de la corriente en la bobina se muestra abajo

El grafico indica que la corriente en la bobina inicia con un valor distinto de cero(i(0)=4A) y conforme pasa el tiempo el sistema llega a corriente cero. Esto era de esperarse ya que la fuente de corriente de entrada inicial se retira en t=0.