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Circuitos de 2º Orden
Circuitos RLC Serie y RLC ParaleloConsidere las situaciones de la Fig. 1.
RCv(t)
Lv (t)
+c
i (t)L
+
_R Ci(t) L
i (t)L
v (t)c
+
_
Figura 1. Circuito RLC serie y RLC paralelo
Planteando las ecuaciones de Kircchoff en ambos circuitos
( ) ( ) ττ diCdt
diLiRtvt
t∫++=0
1 ( ) ( ) ( ) ττ dvLdt
tdvCRvti
t
tL
cR ∫++=0
1
( ) ( ) ( ) ( )dt
tdvtiCdt
tdiRdt
tidL =++ 12
2 ( ) ( ) ( ) ( )dt
tditvLdt
tdvRdt
tvdC ccc =++ 11
2
2
Observe que las ecuaciones planteadas que describen la corriente y la tensión en amboscircuitos, son modeladas mediante una ecuación diferencial de segundo orden. Esta ecuación escaracterística de los circuitos que tienen componentes R, L y C. También los circuitos que contienenredes con dos o más mallas R-C o R-L puede ser descritas a través de ecuaciones similares.
Resolución de la Ecuación de 2º orden
Sea la siguiente ecuación
2 Teoría de Redes I
( ) ( ) ( ) ( )txtyadt
tdyadt
tyda =++ 012
2
2
Esta ecuación modela una red lineal con componentes R, L y C, donde y(t) corresponde auna corriente o un voltaje y x(t) corresponde a la excitación.
La solución de esta ecuación comprende una parte transitoria o natural y una partepermanente o forzada (producto de la excitación)
( ) ( ) ( )tytyty pt +=Luego
( ) ( ) ( ) 0012
2
2 =++ tyadt
tdyadt
tyda ttt
( ) ( ) ( ) ( )txtyadt
tdya
dttyd
a ppp =++ 012
2
2
En el caso de tener una ecuación NO homogénea se deben encontrar ambas soluciones de laecuación.
Para determinar la solución de la ecuación No homogénea se considerará que la excitaciónes constante, esto implica que la respuesta en régimen permanente deberá ser constante, luego susderivadas se hacen cero. Tomando la ecuación NO homogénea, haciendo las derivadas iguales acero, la solución de esta ecuación estará dada por
( ) Atya p =++ 000
( )0a
Aty p =
Para la ecuación homogénea, la solución yt(t) debe ser tal que sus derivadas (primera ysegunda) deben tener la misma forma, para poder satisfacer así dicha ecuación. Una función quecumple dichas características es la función exponencial. Sea entonces la solución transitoria de laforma
( ) stt Kety =
Luego reemplazando en la ecuación
0012
2
2 =++ ststst
Keadt
dKeadtKeda
0012
2 =++ ststst KeasKeaKesaDividiendo por Kest
0012
2 =++ asasa
Esta ecuación se llama polinomio característico. Al solucionar dicho polinomio se determinanlos valores de s que permiten especificar la solución
2
022
111 2
4a
aaaas
−+−=
Circuitos de 2º Orden 3
2
022
112 2
4a
aaaas
−−−=
Esto quiere decir que existen dos posibles soluciones
( ) tst eKty 1
1=( ) ts
t eKty 22=
Si ambas satisfacen la ecuación diferencial, entonces una combinación lineal de éstas debesatisfacer a la ecuación (debido a que la ecuación diferencial modela un sistema lineal), luego se yt(t)de la forma
( ) tstst eKeKty 21
21 +=
El problema se centra ahora en encontrar las constantes K1 y K2. Para ello es necesarioconocer las condiciones iniciales yt(0) y dyt(0)/dt .
Si se conoce y(0) se puede evaluar la solución en t=0.
( ) ( ) ( ) 0=+= tpt tytyty
( ) ( ) ( )000 pt yyy +=
( )0
210aAKKy ++=
Por otro lado obteniendo la derivada de la solución
( ) tsts esKesKdt
tdy21
2211 +=
Evaluando en t=0
( )2211
0 sKsKdt
dy +=
Ahora se tiene un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas
( )0
210aAKKy ++=
( )2211
0 sKsKdt
dy +=
Resolviendo dicho sistema se encuentra las constantes K1 y K2.
Finalmente, la solución completa de la ecuación diferencial, está dada por la siguienteexpresión
( ) ( ) ( )tytyty pt +=
4 Teoría de Redes I
( )0
2121
aAeKeKty tsts ++=
Análisis de la solución obtenidaConsidere el polinomio característico
0012
2 =++ asasaY sea a2=1, a1=2 ξ ωn y a0=ωn2 entonces
02 22 =++ nn ss ωξωLas soluciones serán
( )2
422 222
21nnns ωξωξω −±−=
12
122 22
21 −±−=−±−= ξωξωξωξωnn
nns
Considerando los siguientes casos:
• Si ξ>1 entonces s1 y s2 son reales distintos, dicha solución se conoce como sobre-amortiguada, esdecir
( ) ( ) ( )ttt
nnnn eKeKty 12
11
22 −+−−−− += ξωξωξωξω
Note que son dos funciones exponenciales decrecientes
• Si ξ<1 , las soluciones son raíces complejas conjugadas. La solución se conoce como sub-amortiguado
Seaωσξωξω js nn ±−=−±−= 12
21
Luego( ) ( ) ( )tjtj
t eKeKty ωσωσ −−+− += 21
( ) ( )tjtjtt eKeKety ωωσ −− += 21
De acuerdo a la identidad de Euler
( )xjxe jx sencos ±=±
Se llega a( ) ( )tAtAety t
t ωωσ sencos 21 += −
Donde A1=K1+K2 y A2=jK1-jK2
• Si ξ=1, se tienen dos raíces reales iguales. La respuesta será críticamente amortiguada
Circuitos de 2º Orden 5
ns ξω−=21
Luego la solución( ) ttt
tnnn eKeKeKty ξωξωξω −−− =+= 321
El problema es que no se pueden satisfacer la condiciones iniciales con una sola ecuación(la segunda ecuación obtenida a través de la derivada no permite resolver el sistema), luego ésta nopuede ser solución.
Para encontrar una función que satisfaga la ecuación, se supone una solución de la ecuaciónde 2º orden homogénea de la forma
( ) tt
neKtx ξω−= 3
Sea x(t)=xt(t)y(t)( ) ( ) ( ) 02 22
2
=++ txdt
tdxdt
txdnn ωξω
Reemplazando el valor de x(t) en la ecuación diferencial
( ) 02
2
3 =−
dttydeK tnξω
( )02
2
=dt
tyd
Luego la función que satisface dicha situación es
( ) tAAty 21 +=La solución general queda
( ) ( ) ( ) ( )tAAeKtytxtx tt
n213 +== − ξω
Finalmente la cambiando la notación de las constantes
( ) ttt
nn teBeBty ξϖξϖ −− += 21
• Si ξ=0, entonces se tiene una solución oscilatoria, es decir
nn js ωω ±=−±= 121
Pues la solución toma la forma
( ) tjtjt
nn eKeKty ωω −+= 21
Circuito RLC paralelo sin excitaciónConsidere el siguiente circuito paralelo sin excitación, planteando las ecuaciones de
Kircchoff, se encuentra la siguiente ecuación diferencial homogénea. Considere además que elcondensador tienen tiene un voltaje inicial vC(0)=Vo la bobina tiene una corriente inicial iL(0)=Io
6 Teoría de Redes I
R C Lv (t)C
i (t)L
+
_
Figura 2. Circuito RLC paralelo sin excitación
Aplicando una LCK, se tiene
( ) ( ) ( ) 0=++ tititi LCR
( ) ( ) ( ) 01 =++ ∫ dltvLdt
tdvCR
tvL
CR
Como los voltajes son iguales
( ) ( ) ( ) 0112
2
=++ tvLdt
tdvRdt
tvdC ccc
Observe que la función que satisface la ecuación diferencial corresponde al voltaje en elcapacitor vC(t). Como es una ecuación homogénea, la solución solo tiene componente natural, pues,la red no tiene excitación. NO tiene componente permanente.
( ) ( )tvtv CtC =Luego, el polinomio característico es
0112 =++L
sR
Cs
Las soluciones son( ) ( )
CLCRR
s2
411 2
12
−±−=
Observe que dependiendo de los valores de R, L y C, se obtendrán las distintas soluciones.
LCCRRCs 1
41
21
2212−±−=
• Si se cumple que
LCCR1
41
22 >
Entonces la respuesta es sobre-amortiguada.
• Si se tiene que
LCCR1
41
22 <
Entonces la respuesta es sub-amortiguada (tiene dos raíces complejas conjugadas con partereal).
Circuitos de 2º Orden 7
• Si se cumple que
LCCR1
41
22 =
Entonces la respuesta será críticamente amortiguada.
• Finalmente si R→ ∞ , las raíces son
LCj
LCs 11
12±=−±=
La respuesta es oscilatoria.
Una vez obtenidas las soluciones s1 y s2, es posible plantear las ecuaciones para obtener lasconstantes. Para ello se recurre a las condiciones iniciales, sin embargo, la ecuación diferencialrequiere de dos condiciones iniciales, vc(0) y dvc(0)/dt. Esta última condición no está planteadadirectamente, pues, en su reemplazo existe iL(0). ¿Qué hacer?
Si se toma la primera ecuación planteada
( ) ( ) ( ) 0=++ tititi LCR
Reemplazando las corrientes en función del voltaje en el capacitor menos la corriente en elinductor.
( ) ( ) ( ) 0=++ tidt
tdvCR
tvL
CC
Luego evaluando en t=0, se llega a
( ) ( ) ( ) 0000 =++ LCC idt
dvCR
v
Se puede despejar la derivada evaluada en cero, en función de las condiciones iniciales
( )( ) ( )
C
iR
v
dtdv L
C
C
+
−=00
0
Finalmente( )
+−= o
oC IR
VCdt
dv 10
Para determinar las constantes se tienen dos situaciones
• Si s1 y s2 son reales distintos o complejos conjugados con o sin parte real, el sistema asolucionar, será
( ) 210 KKVv oC +==
( )2211
10 sKsKIR
VCdt
dvo
oC +=
+−=
Encontrando los valores para K1 y K2 se tiene la respuesta completa, es decir
8 Teoría de Redes I
( ) tstsC eKeKtv 21
21 +=
• Si la solución es una sola, s1 =-1/2RC, el sistema a solucionar, será
( ) 10 BVv oC ==
( )211
10 BsBIR
VCdt
dvo
oC +=
+−=
Encontrando los valores de B1 y B2 se tiene la respuesta completa
( ) RCt
RCt
C teBeBtv 22
21
−− +=
Es posible determinar la corriente en la bobina, iL(t) considerado que
( ) ( ) ( ) ττττ dvL
dvL
tit
C
t
LL ∫∫ ==00
11
Tarea 1
Plantear las ecuaciones de tal forma de encontrar una ecuación diferencial cuya variable sea lacorriente ¿Es posible hacerlo?
Circuito RLC Serie sin excitaciónSea el siguiente circuito serie sin excitación, pero con condiciones iniciales iL(0)=Io y
vC(0)=Vo
RC
Lv (t)c
i(t)
Figura 3. Circuito RLC serie sin excitación
Planteando la LVK( ) ( ) ( ) 0=++ tvtvtv CLR
Luego
( ) ( ) ( ) 010
=++ ∫ ττ diCdt
tdiLRtit
t
La ecuación diferencial es( ) ( ) ( ) 012
2
=++ tiCdt
tdiRdt
tidL
Note que i(t)=iL(t). Como la ecuación es homogénea, no existe solución permanente, es decir
( ) ( )titi LtL =
Circuitos de 2º Orden 9
El polinomio característico asociado es
012 =++C
RsLs
Las raíces del polinomio son
LCLR
LR
LCLRR
s 1222
4 22
12 −±=−±−
=
• Si
LCLR 12
2
>
Entonces la respuesta es sobre-amortiguada.• Si
LCLR 12
2
<
Entonces la respuesta es sub-amortiguada (tiene dos raíces complejas conjugadas con partereal).
LCLR 12
2
=
Entonces la respuesta será críticamente amortiguada.
• Finalmente si R=0, las raíces son del tipo
LCj
LCs 11
12±=−±=
La respuesta es oscilatoria.
Una vez determinadas las raíces del polinomio, la solución iL(t) será
( ) tstsL eKeKti 21
21 +=ó
( ) tstsL teBeBti 11
21 +=
Dependiendo del tipo de valores que tomen s1 y s2. Los valores de las constantes sedeterminan usando las condiciones iniciales iL(0) y vC(0). Esto se hace considerando la ecuación
( ) ( ) ( ) 0=++ tvtvtv CLR
( ) ( ) ( ) 0=++ tvdt
tdiLRti CL
R
Evaluando en t=0
( ) ( ) ( ) 0000 =++ CL
R vdt
diLRi
Como iR=iL, todos los valores son conocidos, luego se despeja diL(0)/dt
10 Teoría de Redes I
( ) ( ) ( )( )L
Rivdt
di LCL 000 +−=
Los valores de K1 y K2 se calculan en forma similar al caso RLC paralelo
Tarea 2
Plantee las ecuaciones de Kircchoff de tal forma de obtener una ecuación diferencial, en la cual lavariable sea el voltaje en el condensador. ¿Es posible hacerlo?
Circuito RLC serie con excitación tipo escalónSea el siguiente circuito RLC serie con excitación. Considerando las condiciones iniciales
iguales a cero y además, suponiendo que la excitación es constante para t>0.
RCe(t)=V
Lv (t)
+c
i(t)
t=0
a
S
RCV
Lv (t)
+c
i(t)a
Para t>0+
Figura 4. Circuito RLC serie con excitación
Al plantear la LVK, para +≥ 0t , observe que la excitación es una constante, la ecuacióndiferencial planteada será homogénea.
( ) ( ) ( ) 012
2
==++dt
dVtiCdt
tdiRdt
tidL a
La ecuación modela el comportamiento de la corriente, como la excitación es constante, elcondensador se comportará como un circuito abierto cuando la respuesta llega a régimenpermanente, luego la corriente será cero. Sólo tiene componente transitoria, es decir
( ) ( )titi t=
La solución de esta ecuación ya fue desarrollada en el apartado Circuito RLC serie sinexcitación.
Por otro lado, la ecuación que modela el voltaje en el capacitor, es NO homogénea, pues, enrégimen permanente, vc(t)=Va.
RV
Lv (t)=
+c
i(t)=0a
+
_Va
Figura 5. Circuito RLC en régimen permanente
Planteando la ecuaciones nuevamente
( ) ( ) ( ) aCLR Vtvtvtv =++
Circuitos de 2º Orden 11
ComoCLR iii ==
( ) ( ) ( )dt
tdvCtvL
ti Ct
LL == ∫0
1
( ) ( )2
2
dttvdC
Ltv CL =
Pero( ) ( ) ( )tvtvVtv CRaL −−=
Entonces( ) ( ) ( )
2
2
dttvdC
LtvtvV CCRa =−−
Por otro lado
( ) ( ) ( ) ( )dt
tdvRCtRitRitv CCRR ===
Finalmente se llega a( ) ( ) ( )
LV
Ltv
dttdv
LRC
dttvdC aCCC =++2
2
o( ) ( ) ( )
LCV
LCtv
dttdv
LR
dttvd aCCC =++2
2
Observe que la ecuación NO es homogénea. La solución transitoria se encontraráresolviendo la ecuación homogénea y la permanente haciendo las derivada iguales a cero. Es decir
( ) ( ) ( )tvtvtv CpCtC +=Determinando la solución permanente
( ) ( ) ( )LCV
LCtv
dttdv
LCR
dttvd
aCpCpCp =++2
2
( )LCV
LCtv
aCp =++ 00
( ) aCp Vtv =
La solución permanente corresponde al valor de la fuente de excitación, pues, la corrientees cero cuando el condensador está cargado.
La solución transitoria se determina por el método habitual, es decir, determinado losvalores de s1 y s2 del polinomio característico
012 =++LC
sLRs
para luego reemplazarla en
( ) tstsCt eKeKtv 21
21 +=o
( ) tstsCt teBeBtv 11
21 +=
12 Teoría de Redes I
Los valores de K1 y K2 o B1 y B2 se encuentran usando la solución completa y las condicionesiniciales vC(0) y dvC(0)/dt, luego como la solución completa es
( ) atsts
C VeKeKtv ++= 2121
Entonces dicha solución se evalúa en t=0
( ) aC VKKv ++== 2100
Derivando la solución y evaluándola en t=0
( )2211
0 sKsKdt
dv C +=
Pero no se tiene el valor de la derivada en t=0, sin embargo, si se observa con atención
( ) ( ) ( )titidt
tdvC LCC ==
Entonces( ) ( )010
LC i
Cdtdv =
Como si se conoce iL(0), entonces se pueden calcular las constates K1 y K2.
Por otro lado, si la respuesta completa obedece a la siguiente función
( ) atsts
C VteBeBtv ++= 1121
Entonces( ) aC VBv += 10
( )211
0 BsBdt
dv C +=
Note que el polinomio característico obtenido en la ecuación del voltaje es el mismo de laecuación diferencial de la corriente
Circuito RLC paralelo con excitación tipo escalónSea el siguiente circuito RLC paralelo con condiciones iniciales iL(0)=0 y vC(0)=0 sometido a
una corriente constante en un tiempo t>0
R Ci(t)=I L
i (t)L
v (t)c
+
_
t=0
a
S
R Ci(t)=I L
i (t)L
v (t)c
+
_a
Figura 6. Circuito RLC paralelo con excitación
Circuitos de 2º Orden 13
Planeando la LCK para +≥ 0t
( ) ( ) ( ) 0112
2
==++dt
dItvLdt
tdvRdt
tvdC ac
cc
La ecuación obtenida es homogénea y permite encontrar el voltaje en el capacitor. Como sepuede observar, la solución permanente es cero, dicho voltaje es igual al voltaje en la bobina. Luegose tiene
( ) ( )tvtv ctc =La solución de la ecuación ya fue determinada en el apartado circuito RLC - paralelo sin
excitación.Ahora, planteando la LCK nuevamente es posible obtener una ecuación diferencial para
encontrar la corriente
( ) ( ) ( ) aLCR Itititi =++Como
( ) ( ) ( )tvtvtv LCR ==
( ) ( ) ( )dt
tdiLdiC
tv Lt
cC == ∫0
1 ττ
( ) ( )2
2
dttidL
Cti LC =
Además( ) ( ) ( )titiIti LRaC −−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tiR
tvItiR
tvIti LL
aLR
aC −−=−−=
( ) ( ) ( )tidt
tdiRLIti L
LaC −−=
Reemplazando la corriente ic
( ) ( ) ( )2
2
dttidL
C
tidt
tdiRLI
LL
La
=
−−
Reordenando se obtiene la ecuación diferencial
( ) ( ) ( )CI
Cti
dttdi
RCL
dttidL aLLL =++2
2
o( ) ( ) ( )
LCI
LCti
dttdi
RCdttid aLLL =++ 1
2
2
Como se puede observar, esta ecuación es No Homogénea, luego su solución tienecomponente transitoria y permanente
( ) ( ) ( )tititi LpLtL +=
14 Teoría de Redes I
La solución permanente se encuentra tomando la ecuación NO homogénea, hacendo lasderivada iguales a cero.
( )LCI
LCti
aLp =++ 00
( ) aLp Iti =
Si se analiza cuidadosamente el circuito, en régimen permanente, el capacitor se comportacomo un circuito abierto y la bobina como un cortocircuito, luego la corriente entregada por lafuente pasa íntegramente por la bobina, como lo indica la Fig. 7.
Ri(t)=Ii (t)L
v (t)c
+
_a
Figura 7. Circuito RLC paralelo en régimen permanente
La solución transitoria se obtiene de la ecuación
( ) ( ) ( ) 012
2
=++LC
tidt
tdiRCdt
tid LtLtLt
Resolviendo el polinomio característico se encuentran las soluciones s1 y s2
0112 =++ sLC
sRC
s
dependiendo de los valores obtenidos, éstos se reemplazan en las funciones
( ) tstsLt eKeKti 21
21 +=o
( ) tstsLt teBeBti 11
21 +=
Los valores de K1 y K2 o B1 y B2 se encuentran usando la solución completa y las condicionesiniciales iL(0) y diL(0)/dt, luego si la solución completa es
( ) atsts
L IeKeKti ++= 2121
Entonces, dicha función se evalúa en t=0, al igual que su derivada
( ) aL IKKi ++= 210
( )21
0 KKdt
di L +=
Como la derivada en t=0 no se conoce, se puede determinar si se considera que
Circuitos de 2º Orden 15
( ) ( )L
tvdt
tdi CL =
Así( ) ( )
Lv
dtdi CL 00 =
Luego vc(0), sí se conoce. Con estos elementos se pueden determinar las constantes K1 y K2.
Si la solución completa es del tipo
( ) atsts
L IteBeBti ++= 1121
Entonces alas constantes B1 y B2 se determinan resolviendo el sistema
( ) aL IBi += 10
( )211
0 BsBdt
di L +=
El polinomio característico de la ecuación de la corriente es igual al obtenido en la ecuacióndiferencial del voltaje.
Ejemplo 1
Para el siguiente circuito, determinar la corriente i(t), considere i(0)=300[mA] y vc(t)=0.5[V]
4K
10uF2[v]10H
v (t)+
c
Ωi(t)
( ) CLR vvvtv ++=
( ) [ ] [ ] ( )[ ]∫++Ω=
tdi
FdttdiHKti
0)(
1011042 ττµ
[ ] ( ) [ ] ( )[ ]( )ti
FdttidH
dttdiK
µ1011040 2
2
++Ω=
[ ] ( ) [ ] 010
1410 2 =+Ω+F
sKsHµ
El polinomio característico es
[ ] ( ) [ ] 010
1410 2 =+Ω+F
sKsHµ
Encontrando las soluciones
16 Teoría de Redes I
( )( )3
62
12 1010210101104164
−
−
−±−
=x
xKK
s
( )( )( ) 20
134644000102
101104164 52
12.±−=−±−= xKKs
2.3738.26
2
1
−=−=
ss
La solución es Sobre-amortiguada
( ) ttt eKeKti 2.373
28.26
1−− +=
Para encontrar K1 y K2 se deben usar la condiciones iniciales. Como i(0)=300[mA]
( ) [ ] 02
013000 eKeKmAi t +==
[ ] 21300 KKmA +=
Para determinar la otra ecuación se toma( ) ( ) ( ) ( )tv
dttdiLKtivvvtv CCLR ++=++= 104
Evaluando en t=0, se despeja di(0)/dt
( ) ( ) ( )0010402 Cvdt
diLKi ++=
( ) ( ) ( )( )Kivdt
diC 4020
1010 −+−=
( ) [ ]( ) [ ]AKmAdt
di 85.119430025.01010 −=−+−=
Derivando it(t) y evaluando en t=0, se obtiene la segunda ecuación para el cálculo de lasconstantes.
( ) ttt eKeKdt
tdi 2.3732
8.261 2.3738.26 −− −−=
( ) 02
01 2.3738.260 eKeK
dtdi t −−=
[ ] 21 2.3738.2685.119 KKA −−=−
Las constantes obtenidas son
K1= -22.77 [mA] y K2= 322.77 [mA]
Finalmente la solución de la ecuación diferencial es
( ) [ ]mAeeti ttt 2.3738.26 77.32277.22 −− +−=
Circuitos de 2º Orden 17
Observe que la solución no tiene componente permanente de corriente, pues, dichacorriente es cero cuando el condensador se carga.
Tarea 3
Encuentre el voltaje en capacitor planteando la nueva ecuación diferencial.
Ejemplo 2Consideremos el circuito RLC paralelo, cuyas condiciones iniciales son vc(0)=2[v] e
iL(0)=0.4[A].
2K 1000uFi(t)=0.5[A] 0.5H
v (t)c
Ω+
_iR iC
iL
Planteando las ecuaciones de nudos tenemos
( ) ( ) ( ) ( )titititi LRc =++
[ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( ) [ ]Adv
HKtv
dttdvF
t
LRc 5.0
5.01
21000
0=∫+
Ω+ ττµ
Tomando en cuenta que v=vR=vL=vC
[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( ) 0
5.01
211000 2
2
=+Ω
+ tvHdt
tdvKdt
tvdFµ
El polinomio característico es
[ ] [ ] [ ] 05.01
211000 2 =+Ω
+H
sK
sFµ
Obteniendo las raíces del polinomio
7.4425.01 js +−=7.4425.02 js −−=
Como las raíces son complejas conjugadas la solución es sobre-amortiguada, es decir
( ) ( )tjtj eKeKtv 7.4425.01
7.4425.01)( −−+− +=
( )tAtAetv t 7.44sen7.44cos)( 2125.0 += −
Para determinar las constantes debemos usar las condiciones iniciales
18 Teoría de Redes I
[] ( ) 1102)0( AAeVv ===
Para obtener la segunda ecuación debemos determinar dv(t)/dt
( )( )tAtAe
tAtAedt
tdv
t
t
7.44cos7.447.44sen7.44
7.44sen7.44cos25.0)(
2125.0
2125.0
+−
++−=−
−
Encontrando dvC(0)/dt
( ) ( ) ( ) ( )titititi LRc =++
[ ] ( ) ( )[ ] ( ) [ ]AtiK
tvdt
tdvF LRc 5.0
21000 =+
Ω+µ
( )[ ]
( )[ ] ( ) [ ]
+−
Ω−= Ati
Ktv
Fdttdv
Lcc 5.0
210001
µ( )
[ ]( )
[ ] ( ) [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] 995.04.02
21000
1
5.002
01000
10
=
+−
Ω−=
+−
Ω−=
AAKF
AiK
vFdt
dvL
cc
µ
µ
21 7.99)0( AAdt
dv44 −−==
26.22
2
1
−==
AA
Finalmente( ) [ ]Voltsttetv t 7.44sen26.27.44cos2)( 25.0 −= −
Note que el voltaje calculado no tiene componente permanente, debido a que el voltaje en labobina es cero, pues, se encuentra almacenando energía.
Tarea 4
Encuentre la corriente en la bobina planteando la nueva ecuación diferencial.
Ejemplo 3
Considere el siguiente circuito
Circuitos de 2º Orden 19
3
1F
2H
v (t)o
ΩiR iC
iL
12 [v]4 Ω
2Ω
4 Ω+
io
t=0+
_Determine vo(t)
Lo primero es encontrar las condiciones iniciales. Considerando que el interruptor haestado abierto durante largo tiempo, esto implica que el condensador y la bobina estánalmacenando energía, luego
2H v (t)o
+
_v (0)C
i (0)L
12 [v]4Ω
2 Ω
4 Ω+io
_
+
Planteando las ecuaciones para determinar las condiciones iniciales
[] ( ) [ ] [ ] [ ] Ω+Ω+Ω−= 244012 Liv
( ) [][ ] [ ]AviL 2.1
10120 −=
Ω−=
Por otro lado se tiene que
( ) ( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ] []vAiv LC 2.762.14200 =Ω−−=Ω+Ω−=
Para t>0, el interruptor se cierra, produciéndose la redistribución de la energía, luego elcircuito se transforma en
3 1F2H
v (t)o
ΩiR iC
iL
12 [v]4 Ω
2 Ω
4 Ω+
io
t=0
+
_
Este circuito tiene es descrito por una ecuación de segundos orden, debido a la presencia decondensadores y bobinas.
Existen diferentes formas para encontrar la ecuación diferencial en función vo(t), planteandolas ecuaciones de nodos
0=+++ oCRL iiii
063
=+++ CCRL
vdt
dvCvi
[] CR vvv =+ 12
20 Teoría de Redes I
( ) [ ] RLL vtiv =Ω+ 4
( ) [ ] ( )dt
tdiHtv LL 2=
Por divisor de tensión
362 CC
ovvv ==
Dejando todo en función de vC(t) e iL(t)
063
12 =++−+ CCCL
vdt
dvCvi
[]dt
dvFvi CCL 1
24 −−=
[ ] [ ] ( )dt
tdiHvi LCL 2124 =+−Ω−
[ ] ( ) [ ] 1242 +Ω+= LL
C idt
tdiHv
Reemplazando iL
[ ] [] [] [ ] 12412
412
42 +Ω
−−+
−−=
dtdvFv
dtdvFv
dtdHv CCCC
C
1244162 2
2
+−−+−−=dt
dvvdt
vddt
dvv CC
CCC
dtdvv
dtvdv C
CC
C 54282 2
2
−−+−=
( ) ( ) 145.15.22
2
=++ CCC v
dtdv
dtvd
Resolviendo la ecuación diferencial se determina vC(t), luego dividiendo por 3 se obtiene elresultado. Se debe considerar que esta ecuación tiene una parte transitoria y una parte estacionaria,donde la solución estacionaria se obtiene haciendo las derivadas iguales a cero.
( ) ( ) 145.105.20 =++ Cpv
5.114=Cpv
Para encontrar la solución transitoria se debe Resolver el polinomio característico
( ) ( ) 05.15.22 =++ sss
5.11
2
1
−=−=
ss
( ) ttCt eKeKtv 5.1
21
1−− +=
Circuitos de 2º Orden 21
Luego la solución completa queda
( ) ( ) ( )tvtvtv CpCtC +=
( )5.1
145.12
11 ++= −− tt
C eKeKtv
Para encontrar las constantes se usan las condiciones iniciales
( )5.1
140 02
01 ++= eKeKv C
5.1142.7 21 ++= KK
La segunda ecuación se encuentra evaluando la derivada de vc(t) en t=0.
( ) ( ) ( ) ttC eKeKdt
tdv 5.12
11 5.11 −− −+−=
( ) 02
01 5.10 eKeK
dtdv C −−=
Adicionalmente se tiene
( ) 063
12 =++−+ CCCL
vdt
dvCvti
Evaluando en t=0 y despejando la derivada
( ) ( ) ( )6.1
1
422.72.14
2000 =
+−=
+−−=
C
vi
dtdv L
C
21 5.16.1 KK −−=
Resolviendo el sistema para K1 y K2.
066.12.3
2
1
=−=
ss
La solución completa para el voltaje en el condensador queda
( ) 33.9066.12.3 5.11 ++−= −− ttC eetv
Pero vo(t) queda
( )333.9
3066.1
32.3 5.11 ++−= −− tt
o eetv