circuitos eléctricos fiee uni

7/23/2019 circuitos elctricos fiee uni

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TEORA DE LOS CIRCUITOS I CAPTULO 3REV.29/4/08 S.ENRIQUE PULIAFITO

UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL MENDOZA

APUNTES DE CTEDRA DETEORA DE LOS CIRCUITOS I

Prof. Dr. Ing. S. Enrique Puliafito

E-mail [email protected]

CAPITULO 3: RGIMEN DINMICO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA

1. Proveer los fundamentos de los circuitos lineales e interpretar a stos en el marco deun sistema lineal comprendiendo y aplicando sus principales propiedades

2. Mostrar cmo el anlisis y diseo de circuitos elctricos estn ntimamenterelacionados con la capacidad del futuro ingeniero para disear complejos sistemaselectrnicos de comunicaciones, computacin y control.

3. Que el alumno aprenda a resolver circuitos lineales simples.4. Que el alumno adquiera las habilidades para modelar y resolver sistemas lineales tanto

desde el dominio del tiempo como de la frecuencia, y que sea capaz de predecir sucomportamiento ante una excitacin cualquiera.

OBJETIVOS DEL CAPTULO III: Reconocer las seales principales de excitacin de sistemas lineales y componer

seales arbitrarias a partir de stas. Analizar el comportamiento temporal transitorio de circuitos lineales simples a partir

de su excitacin. Que el alumno adquiera la habilidad de elaborar un modelo temporal del circuito y

prever su comportamiento temporal. Que el alumno se familiarice con la resolucin de ecuaciones diferenciales simples de

primer y segundo orden.

TEMA A: Circuitos con almacenamiento de energa: 3.A.1 Energa almacenada en loscircuitos. 3.A.2. Relaciones de tensin-corriente en circuitos con almacenamiento de energa,valores lmites.3.A.3. Ecuaciones diferenciales en circuitos elctricos. 3.A.4. Representacinde excitaciones discontinuas tpicas: funcin impulsiva, funcin escalonada, rampa.TEMA B:Rgimen transitorio y permanente3.B.1. Anlisis de fenmenos transitorios ensistemas de primer orden. 3.B.2. Excitacin por energa interna almacenada inicialmente.3.B.3. Anlisis de fenmenos transitorios en sistemas de segundo orden. 3.B.4. Excitacindiscontinuas tpicas: por energa interna almacenada inicialmente, por funcin impulsiva, porfuncin escalonada. 3.B.5 Resonancia serie y paralelo en el dominio del tiempo.

TIEMPO ESTIMADO DE CURSADO: 3 SEMANAS

UNIVERSIDAD TECNOLGICANACIONAL 1 FACULTAD REGIONAL MENDOZA
mailto:[email protected]:[email protected]


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TABLA DE CONTENIDO:

CAPTULO III: RGIMEN DINMICO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO .................... 31. El rgimen permanente y transitorio ................................................................. 3

1.1INTRODUCCIN.................................................................................................................. 3

1.2RESPUESTA NATURAL O TRANSITORIA ............................................................................... 31.3RGIMEN TRANSITORIO Y PERMANENTE ............................................................................ 41.4DOMINIO DEL TIEMPO Y DOMINO DE LA FRECUENCIA. ....................................................... 41.5RELACIONES VOLT-AMPERE Y CIRCUITOS EQUIVALENTES ................................................. 51.5APLICACIN DE LAS LEYES CIRCUITALES A SISTEMAS CON ELEMENTOS ALMACENADORESDE ENERGA. ............................................................................................................................ 71.6.SEALES TPICAS Y FUNCIONES SINGULARES. ...................................................................81.7REPRESENTACIN CIRCUITAL DE LAS FUNCIONES ............................................................ 121.8.CONSTRUCCIN DE FUNCIONES ......................................................................................13

2. Sistemas de primer orden.................................................................................. 132.1CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN CON ENERGA INTERNA ALMACENADA ............................. 132.2EXCITACIN POR IMPULSO .............................................................................................. 15

2.2.1. Circuito inductivo................................................................................................... 152.3EXCITACIN CON UNA FUNCIN ESCALN. ...................................................................... 172.4EXCITACIN CON UNA FUNCIN SENOIDAL...................................................................... 21

3. Sistemas de segundo orden.............................................................................. 243.1EXCITACIN POR ENERGA ALMACENADA INTERNAMENTE .............................................. 24

3.1.1 Solucin sobreamortiguada. ................................................................................... 263.1.2. Solucin crtica ...................................................................................................... 273.1.3 Solucin subamortiguada........................................................................................ 28

3.2RESPUESTA A UNA EXCITACIN IMPULSIVA ..................................................................... 30

3.2.1 Circuito R-L-C serie................................................................................................ 303.2.2 Circuito R-L-C paralelo .......................................................................................... 313.3RESPUESTA A UNA FUNCIN ESCALN ............................................................................. 33

3.3.1 Circuito R-L-C serie................................................................................................ 333.3.2 Circuito R-L-C paralelo .......................................................................................... 35

BIBLIOGRAFA: R. Scott: Linear Circuits,Addison-Wesley Publishing Co., 1960 Dorf y Svoboda, Circuitos Elctricos. Introduccin al Anlisis y Diseos,

Alfaomega, 2000

R. Ziemer, W. Tranter, R. Fannin: Signal and Systems. Continuous and discrete,Macmillian Publishing , New York, 1983.

A. Papoulis: Signal analysis., McGrawHill. New York, 1977. Cunnigham and Stuller: Basic Circuit Analysis, 1995 3. M. Van Walkenberg: Anlisis de Redes, Limusa.,1994 H. Pueyo y C. Marco: Anlisis de modelos circuitales,Tomos I y II.Arb, 1985 W. Hyat and J. Kemmerly: Anlisis de Circuitos en Ingeniera, Mc Graw Hill.,

1985



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CAPTULO III: RGIMEN DINMICO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

1. El rgimen permanente y transitorio

1.1 Introduccin

Los parmetros fundamentales de un circuito elctrico pasivo son la resistencia, lainductancia y la capacidad. La resistencia de un circuito elctrico es el responsable de un

proceso energtico irreversible que conocemos como disipacin de calor. En efecto, toda vezque circula corriente por la misma se produce un proceso de transformacin de la energaelctrica suministrada, la cual se disipa en el medio circundante en forma de calor.La inductancia y la capacidad de un circuito elctrico son responsables de poner de manifiesto

las propiedades de almacenamiento de energa elctrica en forma de campo magnticoconcatenado al mismo, o de campo elctrico almacenado en el dielctrico circundante almismo.Debido a las relaciones de volt-ampere de ambos elementos almacenadores del circuito, elequilibrio elctrico ser descrito matemticamente mediante ecuaciones diferenciales cuyassoluciones sern funciones del tiempo. Como consecuencia de ello podemos decir que laintroduccin de tales elementos en el circuito posibilita la existencia de los fenmenostransitorios. De todas formas, cabe hacer notar que las leyes y propiedades generales resultanaplicables an cuando las respuestas del circuito resulten funciones del tiempo.Tal como sabemos, toda ecuacin diferencial puede ser homognea o no homognea segnque en el segundo miembro est igualado a cero o no. En el segundo caso aparecer en

general la funcin de excitacin responsable de forzar la respuesta del sistema.Fsicamente ello corresponde a la descripcin de una evolucin del sistema en el tiempo comoconsecuencia de la existencia de un rgimen libre o natural o de un rgimen forzado deexcitacin externa del mismo.

1.2 Respuesta natural o transitoria

La ecuacin diferencial ser por lo tanto homognea cuando describe la evolucin de unsistema que originalmente tenga almacenada una cierta cantidad de energa y que por la

accin de algn dispositivo, tal como una llave, en un cierto instante de tiempo fue dejadolibrado a su propia evolucin en un tiempo de rgimen que denominaremos libreo natural.La evolucin natural ser, en general para un sistema real, de relativa corta duracin, por loque se denomina tambin rgimen transitorio. El comportamiento natural o transitorio slo

puede depender de las propiedades intrnsecas del sistema caracterizado, y no estinfluenciado por la accin de la excitacin externa.Otra forma de producir un almacenamiento de energa interna en la capacidad o inductancia,si estas estn originalmente en reposo (o descargadas), es aplicando una excitacin de cortaduracin pero con suficiente energa como para transferir esa carga a los elementosalmacenadores. Una vez desaparecida esa excitacin, el circuito queda librado a su propiaevolucin, describiendo el mismo comportamiento natural o transitorio.



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1.3 Rgimen transitor io y permanente

Otra situacin muy frecuente es la que resulta de la excitacin de los sistemas fsicosmediante agentes externos que actan en general durante prolongados perodos de tiempo. Ladescripcin matemtica respectiva ser mediante un ecuacin diferencial no homognea. la

solucin completa tiene dos trminos, una la solucin homognea o de rgimen transitoria, yla otra particular o de rgimen permanente. La solucin homognea se resuelve haciendonula la excitacin (igualando a cero la ecuacin diferencial). La solucin permanente es unasolucin particular de la ecuacin diferencial, y depende fuertemente de la funcin deexcitacin y de las condiciones de contorno o particulares del sistema.La interpretacin fsica de la existencia de ambas soluciones es sencilla. Si considerando queun sistema est originalmente en reposo (sin energa interna), o en un cierto estado de energa;la accin de un agente externo produce una perturbacin ms o menos notable sobre eseestado energtico inicial. La reaccin inicial del circuito ser en general de oposicin a todocambio de estado energtico. Pero como cada sistema posee una funcin de respuesta natural

propia de su estructura interna, este comportamiento natural se pone de manifiesto cuando elsistema es excitado externamente. Sin embargo, si la excitacin eterna permanece, con unadada funcin del tiempo, sta fuerza al circuito a pasar a un nivel energtico distinto delanterior. Una vez que cesa la respuesta natural o funcin transitoria de reaccin, el sistema seestabiliza en el estado energtico que le exige el agente externo.Por lo tanto, para tiempos pequeos domina la respuesta transitoria, pero para tiempos largos,comparados con la constante de tiempo del sistema, prevalece la respuesta permanente.Finalmente debe notarse que los fenmenos transitorios aparecen siempre que se accionanciertos dispositivos que provocan un cambio en la configuracin del circuito, adicionando oeliminando secciones del circuito, a travs de llaves, interruptores, transistores, etc.; o cuandoaparecen procesos inesperados, como fallos, cortocircuitos, etc. Estas situaciones configuran

una variacin brusca en el balance energtico del sistema, por lo que el sistema buscaadecuarse al nuevo nivel de equilibrio, en ese perodo corto llamado transitorio.

1.4 Dominio del tiempo y domino de la frecuencia.

Como ya se anticipara, los fenmenos transitorios aparecen como consecuencia de laintroduccin de elementos almacenadores de energa en los circuitos. Debido a las relacionesvolt-ampere tanto de la inductancia como de la capacidad, las leyes de equilibrio del circuitodeben manifestarse mediante ecuaciones diferenciales, cuya solucin para la corriente y latensin sern funciones del tiempo. Como excitacin al circuito puede aparecer cualquier tipode funcin del tiempo. Sin embargo podemos clasificar a estas funciones en dos gruposimportantes: singulares y arbitrarias. Entre las funciones singulares ms importantes est, elescaln, el impulso y la senoidal. Las funciones arbitrarias pueden descomponerse como sumade las anteriores, y por el principio de superposicin, tratamos entonces a una funcinarbitraria como suma de funciones singulares.Cuando la excitacin se desarrolla como suma de impulsos o escalones se dice que el circuitose desenvuelve en el dominio del tiempo. En cambio, si la excitaciones son una composicinde senoidales, se dice que el problema pertenece al dominio de las frecuencias. Losfenmenos transitorios son problemas que pertenecen al domino del tiempo. En cambio los

problemas de la corriente alterna pertenecen al rgimen del dominio de la frecuencia y

solucin al estado permanente, pues se supone que los transitorios ya pasaron.



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1.5 Relaciones volt -ampere y circuitos equivalentes

Ya vimos en el primer captulo cules eran las relaciones volt-ampere de los elementospasivos. En el siguiente cuadro resumimos las principales funciones apuntando a establecerlos modelos equivalentes de estos elementos. En las relaciones descriptas en la tabla se han

incluido las relaciones de potencia y energa.

Tabla 3.1: Principales relaciones volt-ampere para los elementos pasivos.Elemento circuital Relaciones de tensin-corriente Relaciones corriente-tensin

Gei = Rie =

p e i i R e

R= = =2

2

dt

diLe=

=t

dteL

i 1

+=

+==

t

tt

dteL

Ii

dteL

dteL

dteL

i

0

0

0

0

1

111

dt

diiLiep ==

===

t t I

L diLidtdtdiLidteiW

0

+=

+==

t

tt

dtiC

Ee

dtiC

dtiC

dtiC

e

0

0

0

0

1

111

dt

deeCiep ==

====t t E

C CEdeCedtdt

deCedteiW

0

2

2

1

dt

deCi=

Se aprecia que la corriente en una inductancia, para t=0 ser:

0

0

0

0

1Idte

LIi =+= ; lo que significa que la inductancia para t=0 no acepta nueva corriente,

por ello el circuito equivalente es un circuito abierto (ver tabla 3.2), si la inductancia estcargada, el circuito equivalente para t=0 incluye una fuente de corriente en paralelo con el

valor de la corriente inicial. El hecho que la corriente en la inductancia sea cero, no significaque su derivada sea cero.



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De manera anloga ocurre en el capacitor; para t=0 ser:

=+=0

0

00

1Edti

CEe , una tensin 0 significa que se puede reemplazar la capacidad por un

corto circuito. Si la capacidad estaba inicialmente cargada, entonces se agrega en serie un

generador de tensin con el valor inicial (ver tabla 3.2).

Tabla 3.2: Circuitos equivalentes para los elementos pasivos y almacenadores de energapara t=0 y t=.

Elemento circuital t=0 t=

Para t=, la inductancia se ha cargado y ya no admite ninguna corriente extra, por lo que serindiferente a todo nuevo cambio de corriente, esto implica que cualquiera sea la corriente,esta circular por el circuito, entonces se puede asociar a un corto circuito. Para el capacitor,

para un tiempo muy grande, ste no admite nuevas cargas, por lo que no habr corrientecirculando por esa rama del circuito, entonces lo asociamos a un circuito abierto. Para t=,tanto la corriente inicial Ioy la tensin Eoya se han descargado en el resto del circuito, noapareciendo en el circuito equivalente final.



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1.5 Aplicacin de las leyes circuitales a sistemas con elementosalmacenadores de energa.

Al ser las inductancias y capacidades elementos pasivos lineales, se aplican todas lasleyes circuitales vistas en los captulos precedentes para circuitos resistivos. Esto es, los

principios de linealidad, superoposicin, sustitucin, leyes de Kirchhoff, teoremas deThvenin y Norton, etc., son de aplicacin general, como lo iremos viendo en los puntossiguientes. A modo de ejemplo, en los circuitos de la figura 3.1 siguiente se aplicar elconcepto de corrientes en las mallas y en tensiones nodales.

Figura 3.1

Aplicando corriente en las mallas sobre el circuito (a) queda:

++=++=t

CLR dtiCdt

diLiReee)t(e

1 (3.1)

Aplicando tensiones nodales sobre el circuito (b) da:

++=++=t

CLR dteLdt

deC

Reiii)t(i

11. (3.2)

En el caso de la figura 3.1 (a) hay una sola malla, en caso de existir otras mallas vecinas, sedeber operar en forma similar a lo visto para resistencias, es decir se deber restar la tensinde la rama comn, expresada como relacin volt-ampere de la corriente de malla vecina.

Figura 3.2

Las ecuaciones de mallas sern:



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+++=

++=

t

t

dtiCdt

diLRi

dt

diL

dt

diLdti

Cdt

diLRi)t(e

22

222

1

21

1

111

10

1

(3.3)

Para calcular la corriente i1 o i2, stas se podrn resolver por determinantes, con mayor omenor dificultad. Las ecuaciones de malla o nodo (3.1), (3.2) o (3.3) son similares a las

planteadas para las resistencias pero necesariamente incluyen ecuaciones diferenciales eintegrales. En los captulos sucesivos, veremos la solucin a los mismos. Ahora simplementese desea enfatizar que el circuito ya no queda expresado por medio de una o varias constantes,

por ejemplo, laReqen los dipolos o los parmetros r11,r12y r22en los cuadripolos, sino que sucaracterizacin implica una funcin del tiempo, que surgir de la solucin de las ecuacionesdiferenciales.

1.6. Seales tpicas y funciones singulares.

Antes de iniciar el anlisis temporal de los circuitos es conviene primeramente recordaralgunos conceptos y definiciones de seales, y posteriormente dar las principales funcionessingulares, de las cuales surgen todas las dems. Algunas de las definiciones ms usadas son:

Seales determinsticas: Son aquellas variables que quedan completamente especificadas paracualquier tiempo t.

( ) ctes:B,AttB

tAtx


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tseal continuaseal continua

Seal cuantizada

Figura 3.2: Tipos de Seales

Seal peridica y(t) = y(t+T0)

y

+

T

Seal discreta o muestreada

Seal continua

Seales o funciones singulares:Dentro de la clasificacin de seales no peridicas, estn lasseales singulares. Entre ellas definiremos, la funcin impulso unitario, el escaln unitario, yla rampa unitaria (figura 3.3).

Escaln unitariou-1(t), se define como: u tt

t =

1

0 0

1 0( )

,

,

Rampa unitariau-2(t), se define como: u tt

t

=

2

0 0

1 0

( ),

,



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Impulso unitariou0(t) se define como: u t

t

t

u t dt0

0

0 0

0

1

( )

,

( )

=

=

=

El escaln, es junto con el impulso la funcin ms importante en los circuitos elctricos. Esteescaln representa la apertura o cerrado de una llave. Por medio de sta incorporamos oextraemos una seccin del circuito, etc., lo que genera de por s un fenmeno transitorio deadaptacin de un nivel de energa al siguiente, como ya se dijo en la introduccin de estecaptulo.El impulso, es una funcin de duracin muy corta y de amplitud muy elevada, pero cuyaintegral es unitaria. Esta rea unitaria se obtiene en un tiempo infinitesimal. La importancia endefinir este impulso surge de la necesidad de representar fenmenos que ocurren en unintervalo de tiempo muy corto, comparado con la escala del sistema, por ejemplo de laresolucin de los instrumentos de medicin, y con una amplitud mayor que los niveles

normales de entrada al sistema. Este impulso entrega una carga en tiempo casi instantneo alsistema, desarrollando una salida que se extiende ms all del momento de accin delimpulso. As hemos de representar la carga de los elementos almacenadores de energa atravs de la accin de un impulso.

Estas funciones estn relacionadas entre s de la siguiente forma:

u t u dt

= 2 1( ) ( ) u tdu t

dt01( )( )

= (3.4)

La funcin derivada o integral puede asociarse como un dipolo en el que contiene una

inductancia o una capacidad. Si se rev sus relaciones volt-ampere (Tabla 3.1) la corriente yla tensin estn relacionadas entre s por medio de la integral o la derivada. Por lo tanto unainductancia puede ser un circuito dipolo derivador, si se considera a la corriente comoentrada y la tensin es la salida. Anlogamente podemos decir del uso del capacitor.

Existen algunas relaciones funcionales respecto del impulso que es importante recordar, apartir de la definicin de la integral del impulso igual a la unidad:

1. Producto del impulso por una funcin continua x(t)

= )(xdt)t(u)t(x 00 (3.5)

2. Cambio de escala. Si aes una constante, entonces

)t(ua

)at(u 001

=

De aqu se desprende que el impulso es una funcin par. Haciendo a=-1, u0(-t)=u0(t)

3.Desplazamiento en t. Si desplazamos el impulso un tiempo t0, suponiendo a x(t) una funcincontinua:

= )t(xdt)tt(u)t(x 000

Haciendo =t-t0, podemos re escribir la ecuacin anterior como



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( ) ( ) (

=+ 000 txdutx )

Una forma alternativa de escribir la ecuacin (3.6) haciendo el tiempo de aplicacin delimpulso t0como una variable , queda la integral de convolucin, que definiremos ms

adelante nuevamente:( ) ( ) ( )

= txdtux 0 (3.6)

u0(t)

tt=0

rea =1

im ulso unitario

u-1(t)

tt=0

1escaln unitario

u-2(t)

t

1

t=1t=0

rampa unitaria

Figura 3.3: Funciones singulares



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1.7 Representacin circuital de las funciones

a) Funcin escaln: Un escaln de tensin, o un escaln de corriente puede construirse conuna fuente ideal y una llave, como se representa en las figuras 3.4 (a) y (b). En el primer caso

la llave se cierra para t=0, y en el segundo se abre para t=0.

e t E u t ( ) ( )= 1

+e(t)E

-

+

-

t=0

(a)i(t)

i t I u t ( ) ( )= 1

I

t=0

b

Figura 3.4

b)Representacin de un impulso: Una funcin impulso puede conformarse tambin como laderivada de la funcin escaln. Una funcin derivada se puede construir mediante elementos

L C, segn sea la relacin volt-ampere que se aplique (figura 3.5 (a)).

c)Representacin de una rampa: sta se puede lograr mediante la integral del escaln.Nuevamente la funcin integral se construye con elementos L C segn la relacin volt-ampere usada (figura 3.5 (b)).

Figura 3.5

+

e t du t

dtu t( )

( )( )= =1 0

-

+

-

1t=0

a

ddt

+

e t u t dt u t

t

( ) ( ) ( )= = 10

2

-

+1

t=0

(b)

dt

-



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1.8. Construccin de funciones

La aplicacin del teorema de la linealidad y la superposicin, permite describir unaseal cualquiera como una composicin de seales singulares. Por ejemplo, en la figurasiguiente 3.6, se ha construido una seal cuadrada como la suma de impulsos unitarios.

L++= )t(u)t(u)t(u)t(u)t(u)t(x 4321 11111

Figura 3.6

Una vez construida esta seal, la salida que produce esta seal aplicada al circuito ser lasuma de las salidas de cada una de las seales singulares individuales. Otras seales mscomplicadas pueden construirse con rampas, o impulsos. Como generalizacin de este

procedimiento, si se descompone una seal en una suma de impulsos, la respuesta a la salidase analiza a travs de la integral de convolucin o superposicin. Si en cambio, la seal deentrada al sistema, se descompone en suma de funciones senoidales, el anlisis de la salidadar origen a la integral de Fourier. Ambos tipos de tratamientos se vern ms adelante.

2. Sistemas de primer orden

2.1 Circuitos de primer orden con energa interna almacenada

Un circuito elctrico con un nico elemento almacenador de energa quedarepresentado por una ecuacin diferencial de primer orden. La solucin del problema requieresin embargo del conocimiento del valor de esa energa inicial, normalmente en forma de unacorriente almacenada en una inductancia o una tensin inicial en un capacitor. Por lo tanto el

problema tiene dos partes, a) la solucin de la ecuacin diferencial, b) dar el valor de inicialde la variable investigada.

Resolvamos el circuito de la figura 3.7. En ste se aprecia una inductancia cargadainicialmente con una corrienteIo. La ecuacin diferencial del circuito se escribir, segn ya lodijimos anteriormente, esto es:

dt

diLiR+=0 (3.7)

Ntese que (3.7) est igualada a cero, pues no existe excitacin aplicada al circuito.Una vez que se cierra la llave, el circuito slo tiene la corriente almacenada en la inductanciaL, sta comienza a circular, descargndose su energa a travs de la resistencia R. Como no

existe una fuente externa, se dice que el circuito es librado a su propio funcionamiento. Lavariacin de la corriente en el tiempo ser en general breve en el tiempo, ser la respuesta del



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sistema porque slo depende de las variables propias del circuito. Matemticamente estafuncin surge de resolver la ecuacin diferencial homognea (est igualada a cero), por lo quela solucin tambin recibe el nombre de solucin homognea, natural o transitoria.

Para resolver la ecuacin diferencial 3.7 se procede al mtodo de separacin devariables:

dtLR

idi = (3.8)

Integrando ambos miembros entre t = 0y t = t, corresponde a integrar i entre i = Ioe i=i:

L/Rt

ti

Io

eIoi

,tL

RIologilog

,dt)L

R(

i

di

=

=

= 0

(3.9)

0

2

4

6

8

10

0 1 2

Tiempo t

I(A)

Tau=L/R

Io/e

R= 10 ohmL= 5 Henr yTau=L/R= 0.5 sIo = 10 A

Io

Figura 3.7

Todo sistema de primer orden tendr una solucin del tipo= /teA)t(x ; (3.10)

donde es la llamada constante de tiempodel sistema. En el circuito serie de la figura 3.7=L/R, y Aes una constante de escala que representa el valor inicial del sistema. Si hacemost=0, entonces

000 xAeA)(x === .

Como se ve de la figura 3.7, la respuesta es del tipo exponencial decreciente. Para t=, (3.9)o (3.10) queda:

Io.e

IoeIo)(i 3701 == ,

donde prcticamente la seal ha decado ms de un tercio. Para varias veces , (>5 veces) eltransitorio se puede considerar finalizado.



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Analicemos en forma similar un circuito serie con una resistenciaRy un capacitor Ccargadocon una tensin inicial Eo. Segn se grafica en la figura 3.8. La ecuacin diferencial querepresenta este circuito es

=

+=

+=

/t

t

eA)t(i

C

i

dt

diR

dtiC

Ri

0

10

(3.11)

Vemos que el tipo de respuesta es similar al anterior, quedando por definir los valores de lasconstantesAy . La constante de tiempo =RC, y surge de comparar los coeficientes de lavariable derivada y sin derivar en (3.7) y (3.11). La constante A debe analizarse desde elcircuito equivalente para t=0(figura 3.7 (b)) y en la expresin 3.11 :

R

EoiA)(i === 00

Figura 3.8

2.2 Excitacin por impulso

2.2.1. Circuito inductivo

Consideramos ahora un circuito de primer orden R-L descargado al que se excita conuna funcin impulso. Calcularemos cunto se carga la inductancia y su respuesta transitoria.

La ecuacin diferencial de primer orden queda representada poru t L

di

dtRi0 ( )= + para todo t (3.12)

Para t > 0 el impulso u0(t)desaparece por lo tanto la ecuacin diferencial queda:

0= +Ldi

dtRi para t > 0 ;

Esta ecuacin es equivalente a la ya vista en un circuito RL cargado inicialmente, por lo tantosu respuesta ser:

i t Io e t( ) /= (3.13)

donde =L/R. Queda ahora calcular cul ser el valor de la corriente inicial Io. Para ello

analizaremos el circuito equivalente para tres momentos t= 0-, 0 y 0+



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a)El instante 0-es un momento infinitamente pequeo antes que el impulso est aplicado. Elcircuito equivalente corresponde al circuito de la figura (b). La corriente es 0 pues no hayexcitacin.

b)El instante 0es aquel donde el impulso est presente. La inductancia reacciona abrindosey toda la tensin del impulso est aplicada en la inductancia (figura (c)). Por lo que la

corriente inducida en la inductancia ser:

iL

e t dt L

u t dt L

Io

u t dt

L( ) ( ) ( )

( )

01 1 1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

++ +

+

= = =

=

ya que

=

(3.14)

c) Para el instante 0+, la energa del impulso ya se transfiri a la inductancia, con un valor decorrienteIo = 1/L(figura (d)).

Finalmente la respuesta total ser siendo la correspondiente al transitorio de un sistema deprimer orden (ver figura 3.10 (a)):

i t Io eL

et( ) /= = 1 t/ (3.15)

La suma de las tensiones de la malla de la figura (a) ser: 0=-u0+ eL+ eR , por lo tanto latensin en la inductancia, eLser:

e t u t e u t R

Le u t

L R

Rt L( ) ( ) ( ) ( );/= = 0 0 1 para todo t (3.16)

Esta tensin se grafica en la figura 3.10 (b) siguiente.

Figura 3.9



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0

1

2

3

4

5

6

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25Tiempo t

i(t)

R= 15 ohmL= 3 HenryTau=L/R= 0.2 sIo = 10 A

Io=1/L

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25Tiempo t

e(t)

R= 15 ohmL= 3 Henr yTau=L/R= 0.2 s

Io = 10 A

(a) (b)

Figura 3.10

2.3 Excitacin con una funcin escaln.

Veremos a continuacin la respuesta transitoria de un sistema de primer grado excitado conuna funcin escalonada. En estos casos, la ecuacin diferencial del circuito estar igualada auna funcin del tiempo, en este caso la u-1(t). Al no estar igualada a cero, su solucin ser lasuperposicin de la solucin general (u homognea, natural o transitoria) ms una solucin

particular (o de estado permanente). Para resolver la situacin particular se requiere plantearcorrectamente las condiciones de contorno del sistema.

La ecuacin diferencial del circuito de la figura 3.11 ser:

ERidt

diL =+ (3.17)

La ecuacin (3.17) puede resolverse, por ejemplo, por separacin de variables.

tL

R

IoRE

iRE

tL

Rvovdt

L

R

v

dv

didv

iREv

dtL

R

iRE

di

dtL

R

iRE

di

tv

vo

i

Io

t

=

==

=

==

=

/

/ln

lnln;

haciendo;/

;/

0

0

La solucin particular exige determinar el valor de la corriente inicialIo. sta se evala para

el circuito equivalente para t =0 (figura 3.11 (b)). DE all surge que Io = 0. Entonces, lasolucin ser



18/174


atransitorisolucinlaes

yparticularsolucinlaesdondede

);1()(

/

/

LRt

LRt

eR

E R

E

eR

Eti

=

(3.18)

El valor de i = E/R, la solucin la estado permanente, es tambin la solucin para el circuitoequivalente para t = , segn se ve en la parte (c) de la figura 3.11. La tensiones en laresistencia y la inductancia sern simplemente:

LRt

RL

LRt

R

EeeEdt

diLe

eERtie

/

/ );1()(

===

== (3.19)

t=0 t=

Figura 3.11

La figura 3.12 muestra los valores de las corrientes y tensiones para el circuito RL excitadocon la funcin escaln. La corriente en la inductancia se hace asinttica a su valor final amedida que pasa el tiempo, ya que en el infinito, la inductancia ya no tiene posibilidad deseguir reaccionando, es decir de almacenar ms corriente, y por lo tanto se hace indiferente acualquier corriente. Esta reaccin se representa en la tensin el, que va tendiendo a cero.

Ntese adems, que mientras que la corriente inicial es 0, su derivada no lo es, recurdese que

L

e

dt

di L= .

Otra forma de analizar la respuesta al escaln es partir de la respuesta al impulso. Recordandoque el escaln es la integral del impulso, la respuesta al escaln es la integral de la respuesta

al impulso.



19/174


Si la respuesta al impulso unitario en un circuito R-L es (ver ecuacin 3.15) == /t/t e

LeIo)t(i

1

Sistemas de primer orden

0

2

4

6

8

10

12

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Tiempo t

i(t),e

(t)

i(t) ER(t) EL(t)

R=5 ohmL=2 HTau=L/R = 0.4 sE= 10V

E/R

E

Figura 3.12

La respuesta a un escaln unitario ser:

)e(R

eR

L

Ldte

L)t(i

L/RttL/RtL/Rt

t

escaln

=== 1111

0

0

; (3.20)

la respuesta a un escaln de valor E ser E veces (3.20):

)e(R

E)t(i L/Rtescaln

= 1 , (3.21)

que coincide con el valor obtenido en (3.18).

De forma anloga a lo anterior, se puede evaluar el circuito de primer orden R-C de la figura

3.13. Su ecuacin diferencial ser:

)t(EudtiC

Ri

t

1

1

=+ (3.22)

La solucin del circuito puede analizarse como una suma de dos soluciones, la solucinhomognea ms la solucin particular evaluada a la luz de las condiciones de contorno.

La solucin homognea se resuelve igualando la ecuacin diferencial 3.22 a cero:

01

=+

t

dtiC

Ri (3.23)



20/174


La ecuacin (3.23) tiene como solucin, segn 3.11, , como ya se vi

anteriormente para evaluar i

)RC/(t

.trans ei)t(i = 0

0 se debe estudiar el circuito equivalente para t=0 (figura (3.13(b)). De all se ve que i0=E/R. Por lo tanto la respuesta transitoria u homognea es:

)RC/(t

.trans eR

E)t(i = (3.24)

Figura 3.13t=0 t=

Sistema RC con excitacin escalonada

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Tiempo t

i(t),e(t)

eR(t)

eC(t) i(t)

E

R= 2 ohm

C= 0.5 FTau=RC = 1 sE=5 VE/R=2.5 A

E/R

Figura 3.14



21/174


La solucin permanente o particular se evala analizando la corriente para t=. Usando elcircuito equivalente de la figura (c), se obtiene

iperm()=0.

Por lo tanto la solucin completa ser icompl= iperm+ itrans

)RC/(t

compl eR

E)t(i = (3.25)

La tensin en la resistencia y la capacidad ser:

)e(EeEe

;EeR)t(ie

)RC/(t

RC

RC/t

R

==

==

1

En la figura 3.14 se representan las tensiones y corrientes correspondientes. En sta se apreciaque la tensin en el capacitor se va cargando hasta que su valor va tendiendo a E. Por lo tantola corriente va disminuyendo a medida que el tiempo tiende a infinito.

2.4 Excitacin con una funcin senoidal.

Veamos a hora un sistema de primer orden R-L excitado con un generador de tensinsenoidal. La figura 3.15 representa el circuito correspondiente. La ecuacin diferencial querepresenta la corriente es:

)t(uwtsinERidt

diL 1=+ (3.26)

Al ser una ecuacin diferencial completa, la solucin ser la suma de la transitoria ms unasolucin particular o de estado permanente. La solucin particular se obtiene igualando a cerola ecuacin diferencial, obtenindose, como ya hemos visto la solucin transitoria (3.13)

L/Rt

trans Ae)t(i = (3.27)

Figura 3.15

La solucin permanente o particular se puede obtener, por ejemplo, suponiendo una soluciny luego reemplazar en la ecuacin diferencial (3.26) para ver su verificacin. Este mtodo,aunque parezca arbitrario, se usa especialmente en aquellas funciones que cumplen la

condicin que su derivada o integral dan una funcin similar pero con constantes distintas.Este es el caso para las funciones exponenciales y senoidales. Para el caso de la solucin



22/174


supuesta, la funcin senoidal, tanto su derivada como su integral dan otra funcin senoidal dela misma frecuencia, pero con otra fase y otra amplitud. Esta propiedad da origen aldenominado rgimen o dominio de la frecuencia, como ya se explic en la introduccin alcaptulo y se ver en captulos sucesivos. Entonces una solucin particular ser:

wtsinBwtcosB)t(i perm 21 += , (3.28)su derivada ser:

wtcoswBwtsinwBdt

diperm21 += , (3.29)

reemplazando (3.28) y (3.29) en (3.26) para ver si verifica ser una solucin de la ecuacindiferencial:

01221

2121

=+++

=+++

)RBwLB(wtcos)ERBwLB(wtsin

wtsinE)wtsinBwtcosB(R)wtcoswBwtsinwB(L

Si la propuesta es una solucin, entonces debe cumplirse que para todo t, los parntesis seanigual a cero. Por lo tanto:

+=

+

=

=+

=+

222

221

21

12

B

seao

0

0

R)wL(

REB

R)wL(

wLE

ERBwLB

RBwLB

Por lo tanto la solucin al estado permanente ser:

wtsinR)wL(

REwtcos

R)wL(

wLE)t(i perm 2222 +

++

= (3.30)

La solucin completa ser la suma de la transitoria (3.27) y la anterior (3.30):

wtsin

R)wL(

REwtcos

R)wL(

wLEAe)t(i L/Rt

2222

+

+

+

+=

El valor de la constante A se obtiene analizando el circuito equivalente para t=0. Ya quei(0)=0, entonces:

)wL(R)wL(

EA)(i

++==

2200

22 R)wL(

wLEA

+=

La solucin final ser:

)wtsinRwtcoswL(R)wL(

E

eR)wL(

wLE

)t(i L/Rt

++++=

2222 (3.31)



23/174


Se aprecia entonces que la corriente que circular en el circuito es tambin del tipo senoidal,de la misma frecuencia, pero con otra fase. Llamando :

)wtcos(CAe)t(i

)wL(

Rtg

A

Btg;

R)wL(

EBAC;

R)wL(

REB;

R)wL(

EwLA

L/Rt +=

==

+=+=

+=

+=

11

22

22

2222

Ntese que en esta expresin, el primer trmino exponencial desaparecer luego de variasveces =L/R, quedando slo la solucin senoidal.

R=1L=0.5 Hy

=1 HzE=5 V

Figura 3.16

Excitacin senoidal sobre un circuito R-L

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo t

i(t),e(t)

i(t)

entrada e(t)

La figura 3.16 muestra un ejemplo de la corriente de salida. En ella se compara la entrada e(t)con la salida i(t). Ntese que el circuito RL produce slo un desfasaje sobre la entrada, pero lafrecuencia se mantiene constante. nicamente para los primeros segundos se aprecia un

cambio de pendiente de la corriente respecto de la tensin, pero luego, en el segundo cicloprcticamente la salida sigue a la entrada.



24/174


3. Sistemas de segundo orden

Uno de los principios bsicos de la naturaleza es el principio de conservacin de laenerga. Este principio establece que la energa puede cambiar su forma de manifestacin

pero el balance neto permanece constante. En los sistemas de segundo orden aparecen doselementos almacenadores de energa y un elemento disipador del mismo. La energa puesta enel sistema va alternando el almacenamiento de energa en forma de campo magntico aenerga en forma de campo elctrico indefinidamente hasta que se consuma totalmente enforma de disipacin de calor en la resistencia. Este paso de un tipo de energa a la otra es el

principio bsico de las ondas electromagnticas que le permite abandonar el circuito. Una vezque la energa abandona la fuente de emisin, sta viaja en forma independiente, an cuandoel emisor pueda haberse apagado. Este es le caso, por ejemplo, de una estrella que emiti unadada energa electromagntica, y es recibida muchos aos luz ms tarde por un telescopio,ignorndose si en el presente esa estrella an existe.

Los sistemas de segundo orden quedan representados por una ecuacin diferencial de segundoorden, cuya solucin, algo ms compleja que los sistemas de primer orden, tambin sesolucionarn como una superposicin de una solucin homognea, transitoria o naturaly unasolucinparticular o de estado permanente.Primeramente analizaremos, siguiendo el mismo principio visto en los sistemas de primerorden, aquellos sistemas de 2 orden que tienen energa almacenada inicialmente. Esto nos

permitir estudiar en detalle la respuesta natural o transitoria. Posteriormente estudiaremos suexcitacin con un escaln, para analizar la respuesta al estado permanente.En los sistemas de 2 grado, aparecern dos constantes que debern ser evaluadas en elcircuito a travs de las condiciones iniciales. Estas constantes representan la energaalmacenada inicialmente en el capacitor y en la inductancia. En estos casos observaremos en

el circuito no solo el valor de la variable (corriente o tensin) para t=0 sino tambin suderivada. Para los circuitos excitados con una funcin escaln, deber evaluarse una terceraconstante que responder al valor de la variable en el estado permanente, en estos, casos,evaluaremos al circuito para t=.

3.1 Excitacin por energa almacenada internamente

La solucin natural de un sistema de segundo grado excitado inicialmente podr teneren general varios tipos de respuestas, desde una exponencial amortiguada a una respuestaoscilatoria. Veremos estas soluciones posibles.

El circuito de la figura 3.17 representa un sistema R-L-C cargado inicialmente con unacorrienteIoen la inductancia y una tensinEoen el capacitor. La ecuacin diferencial de 2orden homognea que representa la corriente del circuito es:

=++t

dtiC

Ridt

diL 0

1 (3.32)

derivando miembro a miembro:

02

2

=++C

i

dt

diR

dt

idL



25/174


Figura 3.17

La solucin natural de un sistema de 2 orden, puede suponerse como una suma de dos

soluciones exponenciales de primer orden arbitrarias: tt ppeAeA)t(i 21 21 += (3.33)

Si es solucin, debe verificarse en la ecuacin diferencial (3.32), para ello calculamos laderivada primera y segunda de (3.33):

tptp

tptp

epAepAdt

id

epAepAdt

di

21

21

222

2112

2

2211

+=

+=

(3.34)

Reemplazamos la solucin propuesta, su primera y segunda derivada en la ecuacindiferencial:

011 22221

211

21 =+++++ )C

RpLp(eA)C

RpLp(eA tptp

como no deben ser 0, entonces los parntesis deben ser nulos. Esto puedeverse como un polinomio enpde segundo grado, que tiene dos posibles racesp

tptpeAeA 21 21 y

1yp2:

20

21,2

221

2

p

tambino1

22

01

=

=

=++

;LC

)L

R(

L

Rp

LCp

L

Rp

, (3.35)

donde es una constante de amortiguacin y 0 es la frecuencia natural de oscilacin delsistema.

LCL

R 1y

2 0== (3.36)

por lo tanto la solucin natural (3.32) propuesta es una solucin de la ecuacin diferencial de2 orden. En esta solucin aparecen las constantes de tiempo p1 y p2, que acaban de serevaluadas matemticamente y dependen de las constantes R-L y C del circuito. Pero anrestan evaluar cunto valen las constantes A1y A2. Para evaluar estas constantes, debemos en

principio usar las condiciones de contorno o iniciales calculadas arriba, es decir la variable y

su derivada para t=0 y observar su valor en el circuito.



26/174


Sin embargo si se estudia el valor de p1y p2en (3.35) de acuerdo al valor que adopte en cadacaso la raz cuadrada, sta podr ser mayor, igual o menor que cero. En este ltimo caso segenera un nmero imaginario. Es por esto que segn sea respecto de 0 sern tres las

posibles soluciones, y por lo tanto distintos los valores de A1y A2.Entonces, si > 0 la solucin ser sobreamortiguada; si = 0 la solucin tendr un

amortiguamiento crticoy si < 0la solucin ser subamortiguada.

3.1.1 Solucin sobreamortiguada.

En el caso sobreamortiguado, si > 0, por lo tanto p1 y p2 son races reales ynegativas. En este caso la solucin ser la suma de dos exponenciales como en (3.33).

tt ppeAeA)t(i 21 21 +=

donde deben definirse las constantes A1, A2ya que p1y p2se explicitaron en (3.35) y (3.36).Para calcular las constantes A1 y A2 es necesario utilizar las condiciones de contorno de la

variable investigada, en este caso la corriente y su derivada en t=0.De acuerdo al circuito de la figura 3.17 (a) y (b), las condiciones iniciales son:

==01

0 EodtiC

;Io)(i

Entonces, para t=0 la ecuacin 3.32 ser:

L

IoREo

L

e

dt

)(di

EoIoRdt

)(diL

L

==

=+

0

00

(3.37)

Con lo cual queda calculado el valor de la corriente y el de su derivada para t=0. Haciendot=0, para i(t) y para

dt

dien las ecuaciones (3.34) y (3.35) queda:

+=

=

+==

2211

21

0

0

pApAL

RIoEo)('i

AAIo)(i

(3.38)

De donde pueden calcularse los valores deA1yA2segn sean los valores deEo,Io, R yL.Esdecir, por un lado se ha observado en el circuito equivalente para t=0 los valores iniciales, y yse los compara a la solucin y su derivada tambin para t=0.Ya que en el circuito de la figura 3.17, no hemos definidos valores numricos, y a fin de

simplificar la matemtica de la solucin, pero sin perder generalidad, vamos a suponer queK

L

RIoEo=

. En tal caso el juego de ecuaciones (3.38) queda:

+==

+==

2211

21

0

0

pApAK)('i

AAIo)(i

de donde despejandoA1yA2da:

12

12

12

21

pp

IopKA;

pp

KIopA

=

=

reemplazandoA1yA2en la solucin ser:



27/174


tptpe

pp

pIoKe

pp

KpIo)t(i 21

12

1

12

2

+

= (3.39)

Sistemas de segundo orden. Sobreamortiguado.

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

Tiempo t

Corr

iente

i(t)[A]

i(t)

trmino A1

trmino A2

-1/p2

-1/p1

R = 7

L= 1

C = 0.1

Io= 10

Eo =5

= 3.5

wo= 3.1651/p1 = -0.5

1/p2= -0.2

Figura 3.18

En la figura 3.18 se aprecia que la respuesta transitoria o natural es la composicin de dosexponenciales decrecientes de diferente constantes de tiempo (-1/p1) y (-1/p2).

3.1.2. Solucin crtica

La solucin crtica se obtiene cuando la constante de amortiguacin si es igual a lafrecuencia natural 0.En tal caso queda que p1=p2. Desarrollando la solucin propuesta en(3.39) se observa que los trminos con factores K se anulan por ser idnticos los exponentes:

tptptptp

epp

pIo

epp

K

epp

K

epp

pIo

)t(i

2211

12

1

121212

2

+

=

tptpe

pp

pIoe

pp

pIo)t(i 21

12

1

12

2

= (3.40)

Sin embargo en 3.40 los denominadores se hacen cero al ser p1=p2. Para salvar estaindeterminacin, vamos a suponer que p2=p1+, y luego haremos 0. La expresin (3.40) serescribe como:

)epp(e

eepp

pepp

p

Io

)t(i t

tp

ttptp

+=++

+= 11

11

1

11

1

1

11



28/174


El exponencial et, lo desarrollaremos en serie como ( L++ t1 ), entonces

)tppp

(e))t(pp(e

Io

)t(i tptp

+++=+++

=

L

L

11111

11 1

1

Haciendo tender 0, y recordando que para este caso p1=, entonces la solucin naturalser:

)tIoIo(e)t(i

)t(eIo

)t(i

t

t

+=

+=

1

En general la solucin crtica natural o transitoria para un circuito R-L-C ser:)tAA(e)t(i

t

21+= (3.41)

Y de acuerdo al caso particular deber evaluarse las constantes A1 y A2 a partir de lascondiciones de contorno del circuito para t=0, evaluando la variable y su derivada para t=0.

En la figura 3.19 se presenta una solucin crtica (R = 6.3245) (en trazo ms oscuro) y se loha comparado con una solucin sobreamortiguada (R = 12 ) en trazo gris, cuyo nicocambio fue el de modificar el valor de R, y dejando L y C constantes.

Sistemas de segundo orden. Amortiguamiento crtico

0

3

6

9

12

15

18

0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000

Tiempo t

Corrientei(t)

[A]

i(t) sobream.

i(t)crtico

R = 6.33 L= 1 C = 0.1

Io= 10 Eo =-30

= 3.165 wo= 3.165

Figura 3.19

3.1.3 Solucin subamortiguada

Para el caso en que < 0la solucin natural es del tipo subamortiguada. En este caso loscoeficientes p1 y p2 sern complejos conjugados, as:

d

d

d

jp

jp

jj

=

+=

===

2

1

220

20

21,2p

(3.42)



29/174


recordemos que es la constante de amortiguamiento, 0es la frecuencia natural y des unafrecuencia amortiguada por la resistencia.

SiendoL

R

2= para un circuito serie,

RC2

1= para un circuito paralelo,

LC

10 = y

22

0 = jd .Si reemplazamos esta solucin en (3.40) o (3.39) si hacemos K=0, es decir suponemos como

condiciones iniciales que i(0)=Ioe i(0)=0ser:

( ) ( )[ ]tjtjdtjtjd

t

tjt

d

dtjt

d

dtptp

dddd

dd

eejeej

e

Io

)t(i

eej

eej

epp

pe

pp

p

Io

)t(i

++

=

+

=

=

2

2221

12

1

12

2

Usando las siguientes igualdades trigonomtricas:

j

eesin;

eecos

jjjj

22

=

+=

y reemplazando en la expresin anterior:

+

= tcostsine

Io

)t(idd

d

t (3.43)

Otra forma de expresar esta solucin es tener en cuenta que:== cos;sin d 00

la expresin (3.43) puede rescribirse como:

( )

( )+=

+

=

sintsincostcoseIo)t(i

sintsincostcoseIo

)t(i

ddt

d

dd

t

d

0

0

(3.44)

Sistemas de segundo orden. Subamortiguado.

-8

-4

0

4

8

12

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00

Tiempo t

Corrie

ntei(t)[A]

1

2

exp

(1)

R = 2.5

L= 1

C = 0.1

Io= 10

Eo =30= 1.25

w o= 3.16

w d= 2.9

(2)

R = 1.0

L= 1

C = 0.1

Io= 10

Eo =30= 0.5

w o= 3.16

w d= 3.12

Figura 3.20



30/174


Esta expresin puede generalizarse para cualquier condicin inicial haciendo:( tsinAtcosAe)t(i dd

t += 21 ) (3.45)En forma anloga a lo visto en (3.31) la expresin (3.44) puede ponerse la suma de un cosenoms un seno de la misma frecuencia, puede ponerse como un coseno y una fase:

(

)= tcoseIo)t(i dt

d

0 (3.46)

En la figura 3.20 se aprecian dos casos de solucin subamortiguada. Ntese que el caso (1),representado con trazo negro, la R=2.5 ; en cambio en el caso (2), lnea gris gruesa, se hadisminuido la resistencia a 1. A medida que disminuye la amortiguacin, al disminuir R, laamplitud de las oscilaciones aumenta, y cortando al eje del tiempo antes que en el casoanterior. Con trazo fino gris se ha representado la exponencial e-t que amortigua la sealsenoidal y cosenoidal.

3.2 Respuesta a una excitacin impulsiva

3.2.1 Circuito R-L-C serieAl igual que en los circuitos de primer orden, una forma de cargar inicialmente los elementosalmacenadores de energa es aplicar un impulso al circuito de 2 orden. Una vez cargado, larespuesta natural ser la misma que ya se vi en el apartado anterior. Es decir, de acuerdo alos valores de las constantes y 0, se obtendr algunas de las tres respuestas analizadas. Lanica diferencia estriba en el desconocimiento del valor adquirido de corriente inicial en lainductancia y /o la tensin inicial en el capacitor.

Figura 3.21



31/174


Al igual que lo visto en el punto 2.2.1, para t=0-, el circuito est en reposo, para t=0 elimpulso est activo y la inductancia se abre y toda la tensin del impulso recae sobre sta.Para t=0+el impulso desaparece, y la inductancia queda cargada inicialmente. La corrienteinicial en la inductancia ser (ver figura 3.9 y Ec. 3.14)

+

+ ==0

0

0110

Ldt)t(u

L)(i

Para t=0, la tensin en la resistencia y la inductancia sern:

00 ==== CLR e;L

Re;

L

RR)(ie

La derivada de la corriente i(0) ser:

2

000 L

R

L

)(e

dt

)(di)(i L ===

++

Una vez que se conocen las condiciones de contorno i(0) e i(0), se pueden calcular lasconstantes A1 y A2, segn sea el caso sobreamortiguado, crtico o subamortiguado. Si elimpulso de tensin aplicado no es unitario y tiene un rea A0, entonces las soluciones sern:

a) Sobreamortiguado:

( ) 0para2

21212

02

0 >

= t;epepL

A)t(i

tptp

b) Crticamente amortiguado( ) 0para10 >= t;te

L

A)t(i t

c) Subamortiguado

( ) 0para;0

100 >

=

= tcos;tcose

L

A)t(i dd

t

d

3.2.2 Circuito R-L-C paralelo

En forma anloga podemos analizar cul ser las condiciones iniciales de carga anteun impulso de corriente en un circuito R-L-C paralelo (ver figura 3.22). La ecuacindiferencial se puede escribir aplicando tensiones nodales:

)t(udt

deCdte

LR

e t

0

1=++

(3.47)

Para t


32/174


LC;

RC;e

dt

de

dt

ed

eLCdt

deRCdt

ed

L

e

dt

de

Rdt

edC

1

2

102

011

Cportododividiendo01

020

2

2

2

===++

=++

=++

(3.48)

Figura 3.22

Puesta de esta forma la ecuacin diferencial de tensin, tendr el mismo tipo de respuesta quelas vistas anteriormente para la corriente en un circuito serie, slo que el valor de esdistinto. Siendo las respuestas para los tres casos, sobreamortiguado, crtico osubamortiguado, quedan calcular sus constantes A1y A2, para lo cual debemos determinar las

condiciones de contorno e(0)y e(0). Para t=0 el impulso de corriente queda aplicado sobre elcircuito, la inductancia se abre, pero el capacitor es un corto, por lo tanto toda la corrientecircula por la capacidad. La tensin en C ser:

+

+ ==0

0

0

110

Cdt)t(u

C)(eC

La corriente en las ramas de la R y L sern:

0110

====+

LCR i;

RC

i;

RCR

)(ei

Finalmente la derivada de la tensin en t=0 ser:

2

1000

RCC

)(i

dt

)(de)(e C ===

++

Con las condiciones de contorno conocidas pueden calcularse las constates A1 y A2, deacuerdo a como sea y 0. Si el impulso de corriente tiene un rea A0, se podr obtendralgunas de las tres respuestas siguientes:



33/174



( ) 0para2

21212

02

0 >

= t;epepC

A)t(e

tptp

b) Crticamente amortiguado( ) 0para10 >= t;te

C

A)t(e

t

c) Subamortiguado

( ) 0para;0

100 >

=

= tcos;tsine

C

A)t(e d

d

t

d

3.3 Respuesta a una funcin escaln

La respuesta de un sistema de segundo orden excitado por una funcin escaln, consiste en la

superposicin de dos respuestas, una que corresponde al transitorio, y la otra para el estadopermanente. Como ya se ha referido en otras oportunidades, para obtener la respuestageneral, debemos evaluar las constantes usando las condiciones iniciales (o de contorno) delcircuito.

3.3.1 Circuito R-L-C serie

Supongamos el circuito serie de la figura 3.23, y se desea obtener la tensin en el capacitor.Una forma de resolver este problema es primero calcular la corriente del circuito serie.

Figura 3.23



34/174


La ecuacin diferencial de un circuito serie ser:

=++

=++t

CRL

)t(uEdtiCRidt

diL

)t(Eueee

1

1

1 , (3.49)

y luego obtener la tensin haciendo

=

t

C dtiC

e1

Sin embargo, otra forma es reemplazar la corriente del capacitor iCen la ecuacin diferencial:

dt

deCiC =

La ecuacin diferencial de la tensin en los bornes del capacitor ser:

)t(uEC

e

dt

deRC

dt

edLC

1

2

=++ , (3.50)

La expresin (3.50) es tambin una ecuacin diferencial de segundo orden, que puede serresuelta segn las formas expresadas en los puntos anteriores. Las condiciones iniciales (t=0)sern la tensin en el capacitor y su derivada. Si el capacitor esta descargado, entonces stassern:

00 =)(e

000

0 ===++

C

)(i

dt

)(de)(e C

La condicin a estado permanente para t= , en el circuito de la figura ser e() = EAs,para determinar que tipo de respuesta ser, debemos evaluar y 0.

SiendoL

R

2= para un circuito serie,

LC

10 = y

220 = jd .

Una vez determinadas las condiciones de contorno, se elige el tipo de solucin de la ecuacindiferencial y luego se buscan los valores de las constantesA1, A2yB. En este caso, al buscarla tensin edel capacitor ser:


BeAeA)t(e tptp

++=21

21 b) Amortiguamiento crtico

B)tAA(e)t(e t ++= 21

c) Subamortiguado

[ ] B)tcos(Ae)t(e

B)tcosAtsinA(e)t(e

d

t

dd

t

++=

++=

21

donde )(eB =Supongamos que en el circuito de la figura 3.23, sea R=1, L=1 y C=1, E=10. Entonces

1086602312122

00 ====== )(e;.;; d



35/174


Por lo tanto la solucin es de tipo subamortiguada, siendo su solucin:

1086608660 212 ++= )t.cosAt.sinA(e)t(e /t

Aplicando las condiciones de contorno, y derivando la solucin para t=0 queda:

)t.cosAt.sinA(e)t.sin.At.cosA.(edt

)t(de /t/t 866086602

18660866086608660 21

221

2 +=

=

=

==

+==

10

775quequedaallde

50866000

1000

2

1

21

2

A

.A;

A.A.)('e

A)(e

Por lo tanto la solucin final ser;)t.cost.sin.(e)t(e

/t 866010866077510 2 +=

Si en vez de la tensin se hubiese calculado la corriente, deberemos resolver i(t)en el juegode ecuaciones (3.49), pero deben cambiarse las condiciones iniciales e(0), e(0)y e(), pori(0),i(0) yi(). En este caso la solucin general para la corriente sera:


( ) 0para2

21

20

2>

= t;ee

L

E)t(i

tptp

b) Crticamente amortiguado

0para >= t;teL

E)t(i t

c) Subamortiguado

( ) 0para >

= t;tsineL

E)t(i d

t

d

3.3.2 Circuito R-L-C paralelo

Para un circuito R-L-C paralelo (ver figura 3.24). La ecuacin diferencial se puedeescribir aplicando tensiones nodales:

)t(uEdt

deCdte

LR

e t1

1

=++ (3.51)

El tipo de solucin a la tensin del paralelo depender de las relaciones entre las constantes y 0 y usando las condiciones de contorno, se calculan las constantes A1, A2 y B. Lassoluciones generales son

a) Sobreamortiguado:BeAeA)t(e

tptp ++= 21 21 b) Amortiguamiento crtico

B)tAA(e)t(e t ++= 21



36/174


c) Subamortiguado

[ ] B)tcos(Ae)t(e

B)tcosAtsinA(e)t(e

d

t

dd

t

++=

++=

21

donde , y siendo)(eB =RC2 1= para un circuito serie, LC

10 = y 220 = jd .

Como se puede ver las ecuaciones son idnticas al del circuito serie, slo que cambian lascondiciones particulares.

Figura 3.24

Si aplicamos un generador de corriente I, como en la figura, estas soluciones se convierten en:


( ) 0para221

20

2 >= t;eeC

I

)t(e

tptp

b) Crticamente amortiguado

0para >= t;teC

I)t(e t

c) Subamortiguado

( ) 0para >

= ttsineC

I)t(e d

t

d



37/174


Supongamos, por ejemplo, que se desea calcular la corriente en la inductancia, con lossiguientes valores: R=1, L=1 y C=1, I=10. Entonces

1086602

31

2

1 2200 ====== )(i;.;; d

Por lo tanto la solucin es de tipo subamortiguada, siendo su solucin:

1086608660 212 ++= )t.sinAt.cosA(e)t(i /t

Aplicando las condiciones de contorno, y derivando la solucin para t=0 queda:

)t.sinAt.cosA(e)t.cos.At.sinA.(edt

)t(di /t/t 866086602

18660866086608660 21

221

2 ++=

=

=

===

+==

775

10quequedaallde

50866000

1000

2

1

12

1

.A

A;

A.A.L

e

)('i

A)(i

L

Por lo tanto la solucin final ser;)t.sin.t.cos(e)t(i /t 866077586601010 2 +=



38/174

Tema II:Rgimen transitorio

Regmenes permanente y transitorio ................................................................ 35Notacin del rgimen transitorio........................................................................ 36Elementos pasivos en rgimen transitorio ....................................................... 37

Clculo de condiciones iniciales y finales.......................................................... 38Ejemplo 1 de clculo de condiciones iniciales y finales...................................... 39Ejemplo 2 de clculo de condiciones iniciales y finales...................................... 41Ejemplo 3 de clculo de condiciones iniciales y finales...................................... 43Ejemplo 4 de clculo de condiciones iniciales y finales...................................... 44Ejemplo 5 de clculo de condiciones iniciales y finales...................................... 46Ejemplo 6 de clculo de condiciones iniciales y finales...................................... 47Ejemplo 7 de clculo de condiciones iniciales y finales...................................... 49Ejemplo 8 de clculo de condiciones iniciales y finales...................................... 51Ejemplo 9 de clculo de condiciones iniciales y finales...................................... 53Ejemplo 10 de clculo de condiciones iniciales y finales.................................... 54

Ejercicios de repaso............................................................................................... 55Condiciones iniciales y finales / 1 ...................................................................... 55Condiciones iniciales y finales / 2 ...................................................................... 56

Anlisis en rgimen transitorio ........................................................................... 57Respuesta natural de un circuito RL ................................................................. 58

Significado de la constante de tiempo ................................................................ 60Ejemplo de respuesta natural en un circuito RL ................................................. 61

Respuesta natural de un circuito RC................................................................. 62Respuesta forzada en circuitos RL y RC ......................................................... 64Respuesta en rgimen transitorio de circuitos

con un solo elemento reactivo................................................................... 65

Ejemplos de respuesta forzada ........................................................................... 66Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RC ................................................ 66Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RL ................................................ 67


39/174

Respuesta de un circuitocon dos elementos reactivos no agrupables............................................ 68Solucin de las ecuaciones diferenciales ............................................................ 69Solucin de la ecuacin homognea................................................................... 70Obtencin de las expresiones temporales........................................................... 71Ejemplo 1 de respuesta de circuito con dos elementos ....................................... 72Observaciones.................................................................................................... 74

Ejemplo 2 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... 75Ejemplo 3 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... 77Ejemplo 4 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... 79Ejemplo 5 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... 81Ejemplo 6 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... 83Ejemplo 7 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... 84Ejemplo 8 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... 85

Ejercicios de repaso............................................................................................... 87Respuesta en transitorio / 1 ................................................................................ 87Respuesta en transitorio / 2 ................................................................................ 88

Circuitos con elementos desacoplados .............................................................. 89

Observaciones.................................................................................................... 90Ejemplo 1 de circuito con elementos desacoplados ............................................ 91Ejemplo 2 de circuito con elementos desacoplados ............................................ 93Ejemplo 3 de circuito con elementos desacoplados ............................................ 95

Circuitos con cambios sucesivos ........................................................................ 96Ejemplo 1 de circuito con cambios sucesivos..................................................... 91Ejemplo 2 de circuito con cambios sucesivos..................................................... 99Ejemplo 3 de circuito con cambios sucesivos..................................................... 101

ETSIT-Vigo. Anlisis de circuitos. Transparencias de clase 34


40/174

Regmenes permanente y transitorio

Rgimenpermanente

Las excitaciones (fuentes)llevan mucho tiempo aplicadas.

Las caractersticas de las fuentesno cambian con el tiempo.

La respuesta del circuito(corrientes y tensiones)es de la misma naturaleza

que las excitaciones

Condiciones de estudio

Rgimenpermanente continuo.

Rgimenpermanente sinusoidal.

Rgimentransitorio

Algunas excitaciones (fuentes)se aplican o se suprimenbruscamente (instantneamente;en un tiempo nulo)

La respuesta del circuito(corrientes y tensiones)es de distinta naturalezaque las excitacionesdebido a la presenciade elementos reactivos

Condiciones de estudio

Rgimen transitorioentre dos regmenespermanentes de continua.

Anlisisintegro-diferencial.

En un circuito cuyos elementos pasivos son nicamente resistenciasno hay rgimen transitorio aunque cambien las excitaciones;el circuito se adapta instantneamente a las nuevas condiciones de excitacin.



41/174

Notacin del rgimen transitorio

Excitacionescontinuasiniciales

Excitacionescontinuas

finalesUnaoms

excitaciones

Otros

elementos

t = t0

Circuito

Interruptor

ideal

AbiertoCircuito abierto

CerradoCortocircuito

t = t0- t = t0+

Rgimenpermanente

continuoinicial

Rgimenpermanente

continuofinal

Rgimentransitorio

t = - t =

t0- = t0= t0+Respuestacontinua

Respuestacontinua

Respuestavariable

con el tiempo

t = tT

t = t0- : final del rgimen permanente continuo inicial

t = t0+: inicio del rgimen transitorio

t = tT

: final del rgimen transitorio; comienzo del permanente continuo finalt = : final del rgimen permanente continuo final

Salvo que se indique explcitamente lo contrario, se supondr t0 = 0 s.



42/174

Elementos pasivos en rgimen transitorio

Representacingrfica

Relacinfuncional

Representacingrfica

Relacinfuncional

R

+vR-

iR(t)

L

+vL-

iL(t)

C

+vC-

iC(t)

ResistenciavR(t) = RiR(t)

pR(t) = vR(t)iR(t)

Inductancia

vL(t) = LdiL(t)

dtpL(t) = vL(t)iL(t)

Capacidad

iC(t) = CdvC(t)

dtpC(t) = vC(t)iC(t)

R

+vR-

iR(t)

L

+vL-

iL(t)

C

+vC-

iC(t)

ResistenciavR(t) = - RiR(t)

pR(t) = - vR(t)iR(t)

Inductancia

vL(t) = - LdiL(t)

dtpL(t) = - vL(t)iL(t)

Capacidad

iC(t) = - CdvC(t)

dtpC(t) = - vC(t)iC(t)

Consecuencias

Inductancia

La corriente novara bruscamente(dara origen atensin infinita)

La tensin puedevariar bruscamente

iL(t0+) = iL(t0

- )

vL(t0+) =

vL(t0- )

Capacidad

La tensin novara bruscamente(dara origen acorriente infinita)

La corriente puedevariar bruscamente

iC(t0+) =

iC(t0- )

vC(t0+) = vC(t0

- )

Resistencia

La corrientey la tensin puedenvariar bruscamente

iR(t0+) =

iR(t0- )

vR(t0+) =

vR(t0- )

Continua

Cortocircuito

Circuitoabierto

iLcualquiera

vCcualquiera

vL= 0 V

iC= 0 A



43/174

Clculo de condiciones iniciales y finales

Situacin del circuitocorrespondiente a

Continua- t t0

-

Condiciones

en t = t0-

Condiciones

en t = t0+

Condiciones

en t =

Para todos t, L y C

vL(t) = 0 ViC(t) = 0 A

Para todos t, L y C,hallar

iL(t), vC(t)

y otras magnitudes(Kirchhoff,

mallas, nudos)


Transitoriot0 t

Para todas L y C

iL(t0+

) = iL(t0-

)vC(t0

+) = vC(t0- )

Para todas L y C,hallar


mallas, nudos)


Continua

Para todos t, L y C

vL(t) = 0 ViC(t) = 0 A

Para todos t, L y C,hallar

iL(t), vC(t)


mallas, nudos)

t0 t

vL(t0+), iC(t0

+)

A iL y vC se les denomina magnitudes fundamentalesporque definen el comportamiento de inductancias y capacidades.



44/174

Ejemplo 1 de clculo de condiciones iniciales y finales

IGC R

t = 0R

L

Se suponen conocidos los valoresde todos los elementos del circuito.

El circuito de la figura,en el que la fuente es continua,ha permanecido mucho tiemposin cambios antes del cambio de

posicin del interruptor.Una vez producido ste,ya no experimenta ms cambios.

Se desea hallar los valoresde las corrientes y las tensionesen la inductancia y la capacidaden t = 0-, t = 0+ y t = .

IGC R

R

L

iC +vC-

iL

+vL-

Se asignan arbitrariamentelos sentidos de las corrientesy las polaridades de las tensiones.

La figura adjunta muestrala situacin del circuitopara todo t tal que - t 0,y, en particular, para t = 0-.

El circuito se halla en rgimenpermanente continuo,ya que la fuente es continua.

La capacidad es un circuito abierto en continua

(corriente nula).

La corriente de la fuente ha de circularpor la resistencia en paralelo con la capacidad,ya que sta es un circuito abierto.Las tensiones en ambos elementos son igualespor estar en paralelo.

La inductancia es un cortocircuito en continua(tensin nula).

No hay corriente en la inductanciaporque no est conectada a la excitacin.

iC(0-) = 0 A

IG= iC+vCR

vC(0-) = RIG

vL(0-) = 0 V

iL(0-) = 0 A



45/174

IGC R

R

L

iC +vC-

iL

+vL-

Se mantienen

los sentidos de las corrientesy las polaridades de las tensioneselegidos anteriormente.

La figura adjunta muestrala situacin del circuitopara todo t tal que 0 t ,y, en particular, para t = 0+.

El circuito entra en transitorioporque han cambiadolas condiciones de excitacinen algunos elementos.

La tensin en la capacidady la corriente en la inductanciano pueden variar bruscamente.

Ecuacin de nudo.

Ecuacin de malla.

vC(0+) = vC(0

-) = RIG

iL(0+) = iL(0-) = 0 A

IG= iC+vCR

+ iLiC(0+) = 0 A

vC= RiL+ v LvL(0+) = RIG

IGC R

R

L

iC +vC-

iL

+vL-

Se mantienen

los sentidos de las corrientesy las polaridades de las tensioneselegidos anteriormente.

La figura adjunta muestrala situacin del circuitopara todo t tal que 0 t ,y, en particular, para t = .

El transitorio ha finalizado

y el circuito se encuentraen rgimen permanentecontinuo.

La capacidad es un circuito abierto en continua(corriente nula).


iC() = 0 A

vL() = 0 V

IG= iC+

vCR + iL

vC= RiL+ v L

iL() =I

G2

vC() =RIG

2



46/174


VG

L

R

t = 0

R C

Se suponen conocidos los valoresde todos los elementos del circuito.

El circuito de la figura,en el que la fuente es continua,ha permanecido mucho tiemposin cambios antes del cambio de

posicin del interruptor.Una vez producido ste,ya no experimenta ms cambios.

Se desea hallar los valoresde las corrientes y las tensionesen la inductancia y la capacidaden t = 0-, t = 0+ y t = .

VG

L

R R C

+ vL-

iLiC +

vC-

Se asignan arbitrariamentelos sentidos de las corrientesy las polaridades de las tensiones.

La figura adjunta muestrala situacin del circuitopara todo t tal que - t 0,y, en particular, para t = 0-.

El circuito se halla en rgimenpermanente continuo,ya que la fuente es continua.



Ecuacin de malla.

Ecuacin de nudo.

iC(0-) = 0 A

vL(0-) = 0 V

VG= vL+ v CvC(0-) = VG

iL= v C1

R

+ 1

R

+ iC=2VG

R



47/174

VG

L

R R C

+ vL-

iLiC +

vC-

Se mantienenlos sentidos de las corrientesy las polaridades de las tensioneselegidos anteriormente.

La figura adjunta muestrala situacin del circuitopara todo t tal que 0 t ,y, en particular, para t = 0+.

El circuito entra en transitorioporque han cambiadolas condiciones de excitacinen algunos elementos.

La tensin en la capacidady la corriente en la inductanciano pueden variar bruscamente.

Ecuacin de nudo.

Ecuacin de malla.

vC(0+) = vC(0

-) = VG

iL(0+) = iL(0

-) =2VG

R

vCR + iC= 0iC(0+) = - VGR

VG= vL+ RiLvL(0+) = - VG

VG

L

R R C

+ vL-

iLiC +

vC

-

Se mantienenlos sentidos de las corrientesy las polaridades de las tensioneselegidos anteriormente.

La figura adjunta muestrala situacin del circuitopara todo t tal que 0 t ,y, en particular, para t = .

El transitorio ha finalizadoy el circuito se encuentraen rgimen permanentecontinuo.



Ecuacin de nudo.

Ecuacin de malla.

iC() = 0 A

vL(

) = 0 V

vCR

+ iC= 0 vC() = 0 V

VG= vL+ RiLiL() =VGR



48/174


IG

R

t = 0

iC

C

+vC

-

avL

RiL

L

+vL

-

Se desea hallar los valores de las corrientesy las tensiones en la inductanciay la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = ,y la variacin de energa en la inductanciaentre t = 0 y t = .

El circuito de la figura,en el que la fuente independientees continua,ha permanecido mucho tiempo

sin cambios antes del cambio deposicin del interruptor.Una vez producido ste,ya no experimenta ms cambios.

Se suponen conocidos los valoresde IG, R, L, C y a.

t = 0- ContinuaEcuacin de nudo

Ecuacin de malla

vL(0-) = 0 V, i

C(0-) = 0 A

iC(0-) + iL(0

-) = 0 iL(0-) = 0 A

vC(0-) = avL(0

-) + RiL(0-) + vL(0

-) = 0 V

t = 0+ No hay cambios

Ecuacin de nudo

Ecuacin de malla

vC(0+) = vC(0

-) = 0 V, iL(0+) = iL(0

-) = 0 A

IG=vC(0

+)R

+ iC(0+) + iL(0

+) iC(0+) = IG

vC(0+

) = avL(0+

) + RiL(0+

) + vL(0+

)

v L(0+

) = 0 V

t = Continua

Ecuacin de nudo

Ecuacin de malla

vL() = 0 V, iC() = 0 A

IG=vC()

R+ iC() + iL()

vC() = avL() + RiL() + vL()

iL() =IG2

, vC() =RIG

2

wL= pL(t)dt0

= vL(t)iL(t)dt0

= LdiL(t)

dtiL(t)dt

0

= L2

iL2() - iL

2(0) =LIG

2

8



49/174


IG

R

t = 0

iC

C

+vC

-

avC

R

iL

L

+vL

-

R Se suponen conocidoslos valores

de IG, R, L, C y a.

El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua,ha permanecido mucho tiempo sin cambiosantes del cambio de posicin del interruptor.Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios.

Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductanciay la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = , y la variacin de energaen la capacidad entre t = 0 y t = .

t = 0- Continua

Ecuacin de nudo

Ecuacin de malla

vL(0-) = 0 V, iC(0-) = 0 A

IG=vC(0

-)R

+ iC(0-) +

vC(0-)

R+ iL(0

-)

vC(0-) = avC(0

-) + RiL(0-) + vL(0

-)

iL(0) = 1 - a

3 - a

IG, vC(0) =

RIG

3 - a

t = 0+ No hay cambios

Ecuacin de nudo

Ecuacin de malla

iL(0+) = iL(0

) = 1 - a3 - a

IG, vC(0+) = v C(0

) =RIG3 - a

IG=vC(0

+)R

+ iC(0+) iC(0

+) = 2 - a3 - a

IG

0 = RiL(0+) + avC(0

+) + RiL(0+) + v L(0

+)

vL(0+) = a - 23 - aRIG



50/174

t = ContinuaEcuacinde nudo

Ecuacinde malla

vL() = 0 V, iC() = 0 A

IG=vC()

R+ iC() vC() = RIG

0 = RiL() + avC() + RiL() + vL() iL() = -aIG2

wC= pC(t)dt0

= vC(t)iC(t)dt0

= vC(t)CdvC(t)

dtdt

0

=

= C2

vC2 () - vC

2 (0) = C2

RIG3 - a

2(8 - 6a + a2)



51/174


Rt = 0 iC

C

+vC

-

iL

L

+vL

-

R

VG

R

RiL

+ v1- + v2-

Se suponen conocidoslos valores

de VG, R, L y C.

El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua,ha permanecido mucho tiempo sin cambiosantes del cambio de posicin del interruptor.Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios.

Se desea hallar los valores de las tensiones v1 y v2 en t = 0-, t = 0+ y t = .

v1(0-) = RiL(0-) = 0 V

v2(0-) = RiC(0

-) = 0 V

No hay excitacin en la inductancia; iL(0-) = 0 A

En continua iC(0-) = 0 A

v1(0+) = RiL(0

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