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1
Universidade Federal do ABC
Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica
Circuitos Elétricos II
José Azcue, Prof. Dr.
Filtros Passivos
2
Introdução
• A variação de frequência de uma fonte senoidal altera a
impedância de capacitores e indutores;
• Realizando a conexão de resistores, indutores e capacitores é possível construir circuitos cuja saída apresenta componentes dos sinais de entrada para uma determinada faixa de frequência. Tais circuitos são conhecidos como circuitos de seleção de frequência ou filtros.
3
Aplicações de Filtros Elétricos
• Sistemas de áudio (equalizador, cross-over)
• Sistemas de comunicação: rádio, TV, satélites
• Sistemas biomédicos
• Sistemas de distribuição de energia
(filtro de harmônicas)
4
Objetivos
• Conhecer as configurações de elementos RLC que
funcionam como filtros passivos
• Entender as características dos filtros: frequência de corte, largura de faixa e fator de qualidade
• Estudar circuitos com amplificadores operacionais que funcionam como filtros ativos
5
Função de Transferência e Resposta em Frequência
)(
)()(
sV
sVsH
i
o
Função de transferência
Resposta em frequência sjω
( ) ( ) ( )H j M M(ω) - Curva de Módulo
(Magnitude ou Amplitude)
(ω) - Curva de Defasagem
6
Resposta em Frequência
Circuito em Regime Permanente Senoidal
e s=
+e
vi(t) vo(t)
( ) ( )M ( ) ( )e eM ( ) ( )s sM
Entrada Saída
Para cada :
7
Resposta em Frequência
• 𝑀 𝜔 ∠𝜃 𝜔 é a resposta em frequência
• A saída senoidal em regime permanente é:
𝑀𝑠 𝜔 ∠𝜃𝑠 𝜔 = 𝑀𝑒 𝜔 𝑀 𝜔 ∠ 𝜃𝑒 𝜔 + 𝜃 𝜔
M(ω) - Curva de Módulo
𝜽(ω) - Curva de Defasagem
𝑀 𝜔 =𝑀𝑠(𝜔)
𝑀𝑒(𝜔)
𝜔 = 𝜃𝑠 𝜔 − 𝜃𝑒 𝜔
8
Resposta em Frequência
M(ω)
(ω)
dB
graus
9
Resposta em Frequência
fc = 100Hz
f =318 Hz
10
Filtros Ideais
Passa-Baixas Passa-Altas
Símbolos
Banda de
passagem
Banda de
passagem
Banda de
rejeição Banda de
rejeição
ωc- frequência
de corte superior
ωc- frequência
de corte inferior
11
Filtros Ideais
Passa-Faixa Rejeita-Faixa
Símbolos
Banda
de
passa-
gem
Banda de
passagem
Banda de
passagem Banda de
rejeição Banda de
rejeição
Banda
de
rejei-
ção
ωc1- frequência
de corte inferior ωc2- frequência de corte superior
12
Filtro Passa-Baixas
Circuito RL em Série 𝐻 𝑠 =
𝑅
𝑅 + 𝐿𝑠
𝐻 𝑠 =𝑅𝐿
𝑅𝐿 + 𝑠
𝐻 𝑗𝜔 =𝑅𝐿
𝑅𝐿 + 𝑗𝜔
22 /
/)(
LR
LRjH
( )L
j arctgR
Para avaliar a resposta em
frequência 𝒔 = 𝒋𝝎
Módulo
Fase
13
Filtro Passa-Baixas
Circuito RL em Série Para 𝜔 = 0 as tensões de
entrada e saída são iguais em módulo e fase.
𝜔 = 0; 𝐻 𝜔 = 1; = 0
Para 𝜔 a amplitude da tensão de saída é zero e seu ângulo de fase com relação à entrada é -900.
𝜔 → ∞; 𝐻 𝜔 = 0;𝜃 𝜔 = −900
14
Filtro Passa-Baixas
Circuito RL em Série
Filtro Ideal
ωc = frequência
de corte superior
ou frequência de
meia potência
max
1( )
2cH H
max
1( )
2cP P
L
Rc
Hmax
1
2Hmax .1
2
(𝟎,𝟕𝟎𝟕.𝑯𝒎𝒂𝒙)
15
Filtro Passa-Baixas
c
1
Tempo X
Frequência
Relação entre frequências de corte e constantes de tempo
c
c
ssH
)(Forma geral das funções de transferência dos
Filtros Passa-Baixas
16
Filtro Passa-Altas
Circuito RC em Série 𝐻 𝑠 =
𝑅
𝑅 + 1 𝑠𝐶 =
𝑅𝐶𝑠
𝑅𝐶𝑠 + 1
𝐻 𝑠 =𝑠
1𝑅𝐶
+ 𝑠
( ) 90j arctg RC
22 /1)(
RCjH
𝐻 𝑗𝜔 =𝑗𝜔
1𝑅𝐶
+ 𝑗
Para avaliar a resposta em
frequência 𝒔 = 𝒋𝝎
17
Filtro Passa-Altas
Circuito RC em Série Para 𝜔 = 0 o circuito está aberto
e não há tensão no resistor. Neste caso a defasagem é 900.
𝜔 = 0; 𝐻 𝜔 = 0; 𝜃 𝜔 = 900
Para 𝜔 → , o capacitor é um curto e a tensão está toda no resistor. Neste caso a defasagem é nula.
𝜔 → ∞; 𝐻 𝜔 = 1;𝜃 𝜔 = 00
18
Filtro Passa-Altas
Filtro Ideal:
Circuito RC em Série
RCc
1
ωc = frequência de
corte inferior ou frequência de meia potência Hmax
max
1( )
2cH H max
1( )
2cP P
1
2
19
Filtro Passa-Altas
Os circuitos RC e RL possuem a mesma frequência de corte, independente do tipo de filtro (PB ou PA).
c
1
Tempo X
Frequência
Relação entre frequências de corte e constantes de tempo
20
Filtro Passa-Altas
A única diferença entre as funções de transferência são os termos que especificam a frequência de corte.
Forma geral das funções de transferência dos Filtros Passa-Altas cs
ssH
)(
21
Filtro Passa-Faixa
Circuito RLC em Série
)/1()/(
)/()(
2 LCsLRs
sLRsH
222 )]/([])/1[(
)/()(
LRLC
LRjH
2
( / )( ) 90
(1/ )
R Lj arctg
LC
𝐻 𝑠 =𝑅
𝑅 + 1 𝑠𝐶 + 𝑠𝐿 x𝑠
𝐿
x𝑠
𝐿
𝑠 = 𝑗𝜔 →
22
Filtro Passa-Faixa
Circuito RLC em Série
0 < 𝝎 <
𝝎 = 0 𝝎 →
23
Filtro Passa-Faixa
Circuito RLC em Série
Filtro Ideal
ωc1- frequência de corte inferior
ωc2- frequência de corte superior
01
0
0 Cj
Lj
LC
10
Na frequência central ou de ressonância, 𝜔0: |XL|= |XC| e a tensão de saída é máxima.
222)]/([])/1[(
)/(
2
1
LRLC
LR
cc
c
Hmax
max
1( )
2cH H
24
Filtro Passa-Faixa
Frequências de corte c1 e c2
Para |H(c)| = 0,707. Hmax
max 0( ) 1H H 222
)]/([])/1[(
)/(
2
1
LRLC
LR
cc
c
LCL
R
L
Rc
1
22
2
1
LCL
R
L
Rc
1
22
2
2
0 1 2c c
Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros
Largura de faixa ():
diferença entre as frequências de corte
12 cc L
R
freq. de ressonância
25
Filtro Passa-Faixa
Fator de qualidade (Q): razão entre a frequência central e a largura de faixa.
0Q
Somente dois dos parâmetros podem ser independentemente especificados em um projeto. Dessa forma, conhecidos dois parâmetros os outros podem ser calculados.
2CR
LQ
Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros
26
Filtro Passa-Faixa
𝑄3 > 𝑄2 > 𝑄1
𝑄 = 2𝜋
𝑝𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑧𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜
𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜
27
Filtro Passa-Faixa
Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros
Cálculo das frequências de corte em termos de e 𝜔0
2
0
2
122
c
2
0
2
222
c
Cálculo das frequências de corte em termos de Q e 𝜔0
2
012
11
2
1
QQc
2
022
11
2
1
QQc
28
Filtro Passa-Faixa
Forma geral das funções de transferência dos Filtros Passa-Faixa
2 2
0
( )s
H ss s
)/1()/(
)/()(
2 LCsLRs
sLRsH
0 1/ /LC R L
29
Filtro Rejeita-Faixa (ou notch)
Circuito RLC em Série
22
2
2
1
1
)(
L
R
LC
LCjH
2
( )1
R
Lj arctg
LC
LCs
L
Rs
LCs
sCsLR
sCsL
sH1
1
1
1
)(2
2
30
Filtro Rejeita-Faixa
Circuito RLC em Série
𝝎 = 0
𝝎 →
0 < 𝝎 <
A tensão de saída é definida no par Indutor-Capacitor
São caracterizados pelos mesmos parâmetros dos filtros PF
31
Filtro Rejeita-Faixa
Circuito RLC em Série
Filtro Ideal
min 0( ) 0H H
LC
10
)()0(max jHjHH
max
1( )
2cH H
ωc1- frequência de corte
inferior
ωc2- frequência de corte
superior
32
Filtro Rejeita-Faixa
LCL
R
L
Rc
1
22
2
1
LCL
R
L
Rc
1
22
2
2
Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros
Frequências de corte 𝝎c1 e 𝝎c2 Para |H(s)| = 0,707 Hmax
Largura de faixa (): diferença entre as frequências de corte
12 cc L
R
33
Filtro Rejeita-Faixa
Fator de qualidade (Q): razão entre a frequência central e a largura de faixa
0Q2CR
LQ
Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros
Somente dois dos parâmetros podem ser independentemente especificados em um projeto. Dessa forma, conhecidos dois parâmetros os outros podem ser calculados.
34
Filtro Rejeita-Faixa
Circuito RLC em Série – Cálculo dos Parâmetros
Cálculo das frequências de corte em termos de e 𝜔0
Cálculo das frequências de corte em termos de Q e 𝜔0
2
0
2
122
c
2
0
2
222
c
2
012
11
2
1
QQc
2
022
11
2
1
QQc
35
Filtro Rejeita-Faixa
Forma geral das funções de transferência dos Filtros Rejeita-Faixa
2 2
0
2 2
0
( )s
H ss s
36
Efeito da carga
Filtro com Carga
Adicionar uma carga à saída de um filtro passivo altera as suas propriedades de filtragem.
Exemplo: Filtro passa-altas
)/(
.)(
LRKs
sKsH
L
L
RR
RK
37
Efeito da carga
Resposta do Filtro com Carga
frequência
sem carga
com carga
Hmax2
Hmax2 0.5
38
Efeito da Resistência do Gerador
Gerador com Resistência Interna
Substituir uma fonte ideal por uma fonte com resistência interna não nula altera as propriedades de filtragem do filtro passivo.
Exemplo: Filtro passa-faixa
RiR
RK
2 2
0
( )K s
H ss s
39
Efeito da Resistência do Gerador
Gerador com Resistência Interna
1
2
40
Referências
1. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; “Circuitos Elétricos”, 8th Ed.,
Pearson, 2008.
2. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de
Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.
3. Slides da prof. Denise,
https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-
denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.
4. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.
1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.
5. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.