Circuitos en Corriente Alterna

8/2/2019 Circuitos en Corriente Alterna

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Universidad Nacional del Nordeste

Facultad de Ciencias Exactas, Naturales y Agrimensura

Electricidad,

Magnetismo, ptica

y Sonido

Trabajo Prctico N 9:Circuitos en Corriente Alterna

Ao 2011.

Segundo Cuatrimestre.

Profesora titular: Dra. Noem Sogari.Profesor a cargo del grupo: Guillermo Cabral.

Grupo N3

Mircoles 14 -16 hs

Comisin: Integrantes:

Aristiqui, Mara Florencia; LU n42369.

Kallus, Claudia Silvina; LU n38690

Pen, Mara Gabriela; LU n39181

Peralta, Gabriela Guadalupe; LU n43037

Fecha de realizacin: 05 de octubre de 2011

Fecha de entrega: 12 de octubre de 2011

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Objeto de la experiencia:

Realizar mediciones en un circuito serie RLC, alimentado por una fuente de

corriente alterna y compararlo con los valores tericos.

Calcular el valor de la impedancia del circuito RLC y el ngulo de fase.

Introduccin

Los circuitos de corriente alterna se usan en los sistemas de distribucin de la energa

elctrica, en la radio, en la televisin y en otros dispositivos de comunicacin, as como

en una amplia variedad de motores elctricos. Se la denomina alterna porque la

corriente cambia de direccin, alternando peridicamente de una direccin a la otra. Por

lo general se trabaja con corrientes que varan sinusoidalmente con el tiempo, aunqueexisten ondas ms complejas cuyo comportamiento puede reducirse a una combinacin

de ondas sinusoidales. Por ello el comportamiento de los circuitos ms complejos puede

entenderse estudiando primero el comportamiento de los circuitos que tienen corrientes

que varan sinusoidalmente.

En este laboratorio se trabaja con un circuito RLC compuesto de un generador de

corriente alterna conectado en serie a una resistencia R, un condensador C y una

inductancia L. El principio bsico del generador es una consecuencia directa de la ley deFaraday. Cuando una bobina se hace girar en un campo magntico a frecuencia angular

constante se induce una fem sinusoidal en la bobina. Esa fem es igual a :

=V0. sin ( . t ) donde V0 es el voltaje de salida mximo del generador de corriente

alterna. La frecuencia angular est dada por = 2f = 2/T, donde f es la frecuencia y

T es el perodo. En Argentina la frecuencia de la corriente elctrica domiciliaria es 50

Hz.

Es til definir una corriente continua I que d la misma disipacin de potencia que la

corriente alterna. No se puede usar para ello el valor medio ya que ste es cero en cada

perodo.

Valor medio:Se llama valor medio de una tensin (o corriente) alterna al promedio de

todos los valores instantneo de tensin (o corriente), medidos en un cierto intervalo de

tiempo. Recordar que el valor medio de una funcin peridica se calcula mediante la

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siguiente expresin: i (t) =

1

T.

T

i0

(t) .dt.En una corriente alterna sinusoidal, el valor medio

durante un perodo es nulo: en efecto, los valores positivos se compensan con losnegativos.

Se usa entonces el valor eficaz de la corriente alterna: sta se define matemticamente

como la raz cuadrada del valor promedio del cuadrado de la corriente.

ief=(i2 (t) ) . Para una seal sinusoidal el valor de corriente eficaz es igual a

i0

2

siendo i0 el valor mximo de la corriente alterna.

Para estudiar un circuito RLC conviene estudiar primero como funcionan sus elementospor separado.

Una resistencia en un circuito de corriente alterna.

El circuito ms simple consiste en una resistencia conectada a un generador de corriente

alterna. En cualquier instante la cada de potencial que se produce sobre la resistencia es

igual a fem que proporciona la fuente. Por lo tanto, VR=0 o

=VR=V0 .sin (t) donde VR es la cada de potencial sobre la resistencia. Aplicando

la ley de Ohm se obtiene que la corriente que circula sobre el circuito es igual a:

iR=

VR

R=

V0. sin (t)

R. Grficamente esto se visualiza as:

Puede verse que la corriente y el voltaje estn en fase: alcanzan su valor mximo al

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mismo tiempo. Esto se visualiza mejor en un diagrama de fasores. En l la longitud del

fasor representa el valor mximo de la cantidad (corriente o voltaje) y su proyeccin

sobre el eje vertical da el valor instantneo de dicha cantidad.

Dividiendo ambos miembros por la raz de 2 se obtiene la corriente eficaz que circula

por el circuito.

iR/2=

V0.sin (t)

R .2 ief=

Vef

R

La potencia promedio disipada por este circuito es igual a .

P=ief2.R , ya que toda la potencia generada por la fuente se disipa en la resistencia.

Una inductancia en un circuito de corriente alterna.

Si se considera un circuito compuesto nicamente de una inductancia conectada a las

terminales de un generador de corriente alterna. Se desprecian para simplificar la

resistencia interna de la fuente y del inductor, es decir se considera un inductor ideal.

Aplicando la ley de lazos de Kirchoff se tiene que el voltaje sobre el inductor es igual al

voltaje generado por la fuente. Como el voltaje sobre la inductancia es igual a : L .di

dt

se tiene que la ecuacin resultante es:

V0.sin (t)=L. di

dt .

Para hallar el valor de la corriente i se despeja el valor de di:

di=V

0.sin (t) .dt

Ly se integra la expresin resultante:

di=

(

V0. sin (t).dt

L

)4


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i=V

0.cos (t) .dt

L

Aplicando la identidad trigonomtrica cos (t)=sin (t2 ) la ecuacin puede

expresarse as:

i=

V0.sin(t2 ) .dt

L

Grficamente:

Y mediante el diagrama de fasores:

Puede observarse que la corriente en un inductor siempre est atrasada 90 respecto del

voltaje .

La corriente llega a su valor mximo cuando sin(t 2 )=1 o sea:

i0=

V0

.L , si se despeja el valor del voltaje mximo se obtiene la expresin:

i0. . L=V

0 , anloga a i.R= V

XL= . L es la reactancia inductiva, el equivalente a la resistencia ejercida por el

inductor al paso de la corriente alterna.

Si se dividen ambos miembros por 2 se obtiene el valor eficaz de la corriente:

ief=V

ef

.L=V

ef

XL

La potencia promedio disipada por la inductancia es igual a:

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P=ief2. XL

Un condensador en un circuito de corriente alterna.

Si se conecta en serie un condensador a un generador de corriente alterna, por ley de

Kirchoff se tiene que la cada de potencial sobre el capacitor es igual al voltaje del

generador. Por definicin de capacidad C esa cada de potencial es igual a:

V0 .s in (t)=Q/C . De all se despeja el valor de la carga:Q=V0 . sin (t) .C Se ignora

la resistencia interna de la fuente y el condensador, una aproximacin bastante adecuada

a la descripcin de los condensadores reales.

Como la corriente i es igual a

i=dQ

dt para obtener el valor de la corriente sobre el condensador se deriva la expresin

Q=Vc.C respecto del tiempo:

ic=dQ

dt = .C.V0 .cos (t) . Aplicando la identidad trigonomtrica la ecuacin puede

expresarse as:

ic= .C .V

0. sin (t+ /2 )

Grficamente se visualiza as:

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Y mediante un diagrama de fasores:

Se observa que la corriente y el voltaje no estn en fase: el voltaje est retrasado 90 con

respecto de la corriente. Dicho de otro modo, la corriente siempre adelanta 90 con

respecto del voltaje del capacitor.

La corriente mxima en el circuito se alcanza cuando el seno de (t + /2) vale 1.Es decir,

i0= .C.V

0 V0= i0

.C .La expresin obtenida es anloga a la Ley de Ohm: V= i.R.

La expresin XC=1

.C se conoce como reactancia capacitiva y es equivalente a la

resistencia ejercida por el condensador al paso de la corriente alterna. Si se dividen

ambos trminos por 2 se tiene el valor eficaz de la corriente.

ief=X

cV

ef

La potencia promedio disipada sobre el condensador puede expresarse como :

P=ief2.Xc

Si se combinan los tres elementos se obtiene un circuito RLC :

Circuito RLC

Se parte del supuesto de que la corriente vara sinusoidalmente del siguiente modo:

it=i0 . sin (t ) donde es el denominado ngulo de fase entre la corriente y el

voltaje aplicado, y que el voltaje de la fuente est dado por: Vt=V0 . sin (t ) .

Como todos los elementos del circuito estn conectados en serie la corriente que circula

a travs de ellos es la misma. Por otra parte por la ley de mallas de Kirchoff la suma de

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la cadas de potencial sobre cada elemento del circuito es igual a la fem proporcionada

por el generador de corriente alterna.

Vt=V

R+V

c+V

L

Como: Vc=Q

C y V L=L .di /dt

Y usando: i= dQ/dt se obtiene una ecuacin diferencial lineal de segundo grado no

homognea de resolucin compleja:

Un planteo alternativo puede realizarse a partir del diagrama de fasores:

Como la corriente es la misma se puede representar con un solo fasor. Los voltajes

sobre cada elemento se representan como fasores que pueden sumarse vectorialmente

para obtener el valor del voltaje mximo aplicado.

V0=VR2+(VLVc )2 = V0=( (i0 .R )2+(i0 . X Li0 . Xc )2)

V0=i0 .(R2+( XLXc )2 )

Una vez ms se obtiene una expresin anloga a la ley de Ohm: V= i.R

La expresin Z=(R2+(X LXc )2) se denomina impedancia (en realidad este es el

mdulo de la impedancia, que es un nmero complejo).La impedancia en circuitos de

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CA (Z) es la equivalente a la resistencia (R) en los circuitos CC, y al igual que

R, tambin se expresa en ohmios.

Por eso la ecuacin V0=i0 .Z puede considerarse como la ley de Ohm aplicada a los

circuitos de corriente alterna. Si se divide la expresin por la raz cuadrada de 2, la

ecuacin queda expresada en funcin de los valores eficaces: Vef=ief. Z

Usando esos valores puede calcularse el valor de la potencia promedio disipada por el

circuito:

P=ief2.Z

En cuanto al ngulo de fase este tambin se deduce de diagrama de fasores: usando

las propiedades trigonomtricas puede verse que la tan( )= (X

L

Xc )R por lo que el

ngulo de fase es ( )=arctan( ( XLXc )R ) .

Si se observa la expresin del mdulo de la impedancia Z=(R2+(X LXc)2) , puede

verse que tiene su valor mnimo cuando las reactancias inductivas y capacitivas son

iguales y se neutralizan entre s: en ese momento se dice que el circuito est en

resonancia. Dado que las reactancias dependen de la frecuencia puede calcularse la

frecuencia a la que sucede este fenmeno: XL= . L y XC=1

.C

(XLXc )= . L1

.C

.L=1

.C 2=

1

L.C

R=

(1

L .C)Esta frecuencia se denomina frecuencia de resonancia y tambin frecuencia natural del

circuito: si la tensin de mantiene constante entre los bornes como la impedancia

disminuye hasta hacerse mnima la intensidad de la corriente aumentar hasta hacerse

mxima. Tambin la potencia se hace mxima en el frecuencia de resonancia, pudiendo

llegar a quemarse los elementos del circuito. Sin embargo el fenmeno de la resonancia

se aprovecha para usos prcticos como por ej: sintonizar una emisora de radio.

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Datos experimentales:

Grficas de voltaje:

DATOS SOBRE COMPONENTES UTILIZADOS:

Elementos

del circuito

(valor de

pico)

f R L C

Valor medido 5,004 V 1 Hz 10 8,2 mH 100 F

Circuito RLC

Valores mximos

.ddp en V

Impedancia

en

VR

VL

Vc

4,997 0,023 4,990 1591,53

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(tan ) =V

LV

c

VR

ngulo de fase=

arctan(VLVcVR

)

Tipo de circuito RLC

-0,9940 -44 49' 38,97'' Predominantemente

capacitivo

Para hallar el valor terico de Z se tiene en cuenta que segn la ecuacin:

Z=(R2+(X LXc)2) , como Xc=1

.C y Xc= . L y =2f

Z=(R2+(2f .L1

2fC)2

)Reemplazando por los valores correspondientes:

Z =( (10)2+(2Hz .8,2.103H 12Hz .104F)

2

)=1591,53

para calcular el ngulo de fase pueden usarse los valores medidos de ddp sobre los

diferentes elementos del circuito del siguiente modo:

(tan ) =V

LV

c

VR

y = arctan(VLVcVR

)

Reemplazando por sus valores se obtiene:=

arctan(0,023V4,990V

4,997V)=4449 '38,97 ' '

El desfasaje producido entre la corriente y el voltaje de la fuente por los elementos del

circuito se visualiza mejor en un diagrama de fasores:

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El ngulo de fase es de aproximadamente -45 . Es decir el voltaje est atrasado 45 con

respecto a la corriente o dicho de otro modo la corriente se adelanta 45, por lo que el

circuito se comporta como predominantemente capacitivo aunque sin llegar a ser

capacitivo puro.

Para la impedancia el diagrama de fasores queda as:

Se observa que la reactancia capacitiva domina sobre la inductiva, por ser esta ltima

muy pequea.

Cuestionario

1) Explique qu entiende por impedancia en un circuito de CA.

La impedancia Z en un circuito CA es la equivalente a la Resistencia R en los circuitos

CC y al igual que R se expresa en ohmios.

2) Qu desplazamiento de fase provoca una inductancia en un circuito de CA?

Por qu?

Una inductancia en un circuito CA provoca un desplazamiento de fase de tal manera

que la corriente est retrasada 90 respecto de la tensin. Esto puede deducirsematemticamente partiendo de un circuito puramente inductivo y aplicando la ley de

mallas de Kirchoff. Se tiene que el voltaje sobre el inductor es igual al voltaje generado

por la fuente. Como el voltaje sobre la inductancia es igual a : L .di

dt se tiene que la

ecuacin resultante es:

V0.sin (t)=L. di

dt .

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Para hallar el valor de la corriente i se despeja el valor de di:

di=V

0.sin (t) .dt

Ly se integra la expresin resultante:

di=(V

0. sin (t).dt

L

)

i=V

0.cos (t) .dt

L

Puede observarse que la corriente en verdad depende del cos (t) . Es decir

que la corriente y el voltaje no estn en fase ya que dependen de diferentes funciones

peridicas. Aplicando una identidad trigonomtricacos (t)=sin (t /2)

seobtiene el valor del desfasaje entre corriente y voltaje que en este caso es de -90.

3)Qu desplazamiento de fase provoca un capacitor en un circuito de CA?

Por qu?

Para un condensador la intensidad de corriente ic est adelantada 90 respecto

a la diferencia de potencial Vc. Para llegar a esa conclusin se arma un circuito

puramente capacitivo y se lo analiza. Por ley de Kirchoff se tiene que la cada de

potencial sobre el capacitor es igual al voltaje del generador. Por definicin de

capacidad C esa cada de potencial es igual a:

V0.s in (t)=Q/C . De all se despeja el valor de la carga: Q=V0 . sin (t) .C Se ignora

la resistencia interna de la fuente y el condensador, una aproximacin bastante adecuada

a la descripcin de los condensadores reales.

Como la corriente i es igual ai=

dQ

dt para obtener el valor de la corriente sobre el condensador se deriva la expresin

Q=Vc.C respecto del tiempo:

ic=

dQ

dt= .C.V

0. cos (t) . Se observa ya que existe un desfasaje entre la

corriente y el voltaje porque las funciones dependen una del seno de un ngulo y otra

del coseno de dicho ngulo. Aplicando la identidad trigonomtrica

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cos (t )=sin (t+ /2) se obtiene el valor de desfasaje entre corriente y voltaje que en

este caso es de +90.

4) Qu valores de tensin y corrientes midi con el multitester; Valor

Eficaz, Valor Mximo o Valor Medio?

Para el desarrollo del trabajo se midieron valores mximos de tensin (valores

de pico).

5) Cundo se dice que un circuito RLC est en resonancia? Expresar

matemticamente la condicin.

-El circuito RCL est en resonancia cuando Xc = Xl, y por lo tanto Z = R. Si se

mantiene constante la tensin la corriente alcanza su valor mximo (I = E/R) al igual

que la potencia del circuito. En un circuito de este tipo dicha circunstancia siempre se

podr dar y ello ocurre con una frecuencia muy determinada , especficamente cuando

= 1L .C (recordemos la dependencia de Xc y Xl respecto de la frecuencia angular dela tensin de alimentacin). Cuando tal cosa ocurre decimos que el circuito est

resonancia, y la frecuencia para que ello ocurra se llama frecuencia de resonancia.

Xc = Xl = = 1L.C f=/2= 1L .C. 2

f=1

L .C. 2

A la frecuencia de resonancia el circuito se comportara como resistivo puro, ya

que los efectos capacitivos e inductivos se anulan mutuamente.

6) Calcule la frecuencia de resonancia del circuito que utiliz.

-La frecuencia de resonancia ser f=1

(8,2 .103H.106F).1

2 =175,76 Hz (se trabaj

con una frecuencia de 1 Hz, un valor muy alejado de la frecuencia de resonancia)

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7)Explique cmo podra determinar experimentalmente el valor de la inductancia L de

una bobina en un circuito RL en serie.

-Si no se conoce el valor de una inductancia L estando en un circuito en serie RL de

CA, se puede conocer su valor midiendo la tensin suministrada al circuito, la corrienteque circula por el circuito y el valor de la resistencia usando para ello un multmetro.

Con el valor de la corriente i y el voltaje V medidos puede hallarse el valor de la

impedancia del circuito Z usando para ello la expresin Z=V/i Sabiendo que en un

circuito RL la impedancia es igual a R2+XL2 , y conociendo el valor de R puede

despejarse de la ecuacin el valor de la reactancia inductiva. Si se conoce adems la

frecuencia del voltaje de la fuente, puede calcularse el valor de la inductancia mediante

la frmula

L=XL

2f .

Conclusin

Habindose tomados los datos correspondientes a un circuito serie RLC, no se

pudieron comparar los valores tericos con los experimentales por faltar el valor de la

corriente, pero se obtuvo el valor terico de la impedancia que result igual a 1591,53

ohmios y el ngulo de fase, cercano a -45 (4449' 39'') llegndose a la conclusin de

que el circuito RLC con el que se trabaj se comporta como predominantemente

capacitivo, debido a que la reactancia capacitiva es muy superior a la inductiva.

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BIBLIOGRAFA:

Resnick- Halliday- Fsica Parte 2 - CECSA

Sears, F."Electricidad y magnetismo", Editorial Aguilar

Serway - Fsica- Tomo II- Mc Graw Hill

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