Перемежаемость и расширенная автомодельность Перемежаемость и расширенная автомодельность турбулентной плазмы в пограничных слоях турбулентной плазмы в пограничных слоях термоядерных установок и в магнитосферетермоядерных установок и в магнитосфере

  

В.П. БудаевВ.П. Будаев11, С.П. Савин, С.П. Савин22, Л.М. Зеленый, Л.М. Зеленый22

11Институт ядерного синтеза, РНЦ Курчатовский институтИнститут ядерного синтеза, РНЦ Курчатовский институт , ,

123182, пл. Курчатова 1, Москва, Россия123182, пл. Курчатова 1, Москва, Россия

22Институт космических исследований РАН,Институт космических исследований РАН, 117997, Москва, Россия 117997, Москва, Россия

Свойства турбулентности плазмы в периферии термоядерных установок и пограничных слоях магнитосферы Земли : перемежаемость, самоподобие

Методы исследования : функция распределения, структурная функция, анализ масштабной инвариантности (автомодельности), анализ мультипликативного каскада, мультимасштабность мультифрактальность

Расширенное самоподобие развитой турбулентности – обобщенное свойство масштабной инвариантности

Модели . Логпуассоновская модель: наиболее общая, успешно объясняет свойство перемежаемости турбулентности

Circular cross-sectionCircular cross-sectionR = 1.5 m aL = 0.3 m BT 3 TIP 500 kAt ~ 1 secn 6x1013 cm-3

ECRH system up to 1.8 MW, t = 0.4 sec

4 gyrotrons at 140 GHz

1 gyrotron at 130 GHz

T-10 токамак

HYBTOK-II токамак

Nagoya University

Circular cross-Circular cross-sectionsection

R = 0.4 m aL = 0.11 m

BT 0.3 T

IP 5 kA

t ~ 0.15 sec

n 2x1012 cm-3

Linear Plasma Device, NAGDIS-II

0.3

m

linear divertor plasma simulator ,n~1020m-3 in steady state.

Detached plasma condition by increasing neutral gas pressure

Large Helical Device LHD

• l=1mm • d=6mm• f=250kHz

superconducting heliotron-type

device with a set of l = 2/m = 10

R = 3.9m, a = 0.65 m,

Bt < 2.89 T,

NBI power, PNBI < 5MW ,

ne < 8 × 1019 m −3 - 1.5 × 1020 m−3

Te < 4.4 keV , Ti < 3.5 keV

tE~ 0.3 s

LHD Divertor probes

Interball-1 500- 200000 km, Interball-2 500-20000 km

Interball , 1998

Схематическое изображение спутника ИНТЕРБОЛ Хвостовой Зонд и расположение ряда экспериментов: Коралл, ВДП, Промикс-3, Электрон, ДОК-2, датчиков полей и волн.

Эксперименты проекта ИНТЕРБОЛ

БД1-6 – датчики электрического поля в диапазоне 0-100 кГц.БПП, ФМ-3 – феррозондовые датчики постоянного магнитного поля (0-32 Гц).ДМ-2 – индукционный датчик переменного магнитного поля в диапазоне 20-2000 Гц. ДМ-1 – Токовый зонд для измерения тока плазмы в диапазоне 0.1-2000 Гц.

Interball-1 OT summary

• In summer outer cusp throat (OT) is open for the MSH flow.TBL (turbulent boundary layer) is mostly in MSH.

• In winter OT is closed by smooth MP at larger distance. Inside MP ‘plasma balls’ (~few Re) contain reduced field, heated plasma & weaker TBL.

• OT encounters on 98.06.19 at 10-11 UT by Interball-1 and Polar are shown

Параметры плазмы

T-10 HYBTOK-II NAGDIS-II Earth’s magnetopause

Magnetic field,T ~2 ~0.3 ~0.1 (1-10)*10-9

Core plasma density ,cm –3 6 1013 3 1012 ~1014

Core plasma electron temperature, eV

~2000 ~200 ~10

Edge plasma density ,cm –3 ~3 1012 ~1 1012 ~3 1012 ~1-100

Edge plasma electron temperature, eV

~10-50 ~10 ~1-3 ~20

Edge plasma ion temperature, eV ~10 ~2-5 <1 ~7

Plasma scale, m ~1 ~0.2 ~0.1 ~108

Параметр

Направленная скорость

Концентрация . . . .

Электронная темпера-

тура

Вмороженное магнитное

поле

Размер магнитосферы

Ионная температура

Космос

(3—5)·107 см /сек

5 см~3

20—100 эв

10-4 э

101° см

10 эв

Модель

3-107 см/сек

1013 см-з

20 эв

30—40 э

50 см

3—5 эв

Флуктуации плазмы в турбулентных пограничных слоях в лабораторных установках и в магнитосфере Земли:

перемежаемость

Магнитосфера Земли, Interball-I,1998.06.19 Токамак Т-10,

линейная установка NAGDIS-II

Фурье спектры и корреляционные функции

Фурье спектры – нетривиальная зависимость от частоты

Автокорреляционные функции :C()~ , ~-2.7-3.4

Нет экспоненциального спада

T-10 T-10

close toGaussian

PDF

Large amplitudes exhibit non-Gaussianity.

Intermittent

bursts

Функция распределения (PDF)

For fully random fluctuation (Kolmogorov-type model ) PDF is a Gaussian

Coherent events: deviation from a Gaussian ( reduce the number of degrees of freedom , process called as intermittent)

Методы исследования развитой турбулентности

• Решать аналитически (невозможно) или численно ур-е Навье-Стокса

• Экспериментально протоколировать поведение системы в определенной геометрии, условиях и т.п., пытаться формулировать феноменологические закономерности исходя из механизмов возбуждения турбулентности (пример- скейлинги времен удержания в токамаках)

• Подход Колмогорова: рассматривать турбулентность как ансамбль флуктуаций, находящийся в статистическом квази-равновесии. Каскадный механизм обеспечивает сохранение переноса энергии по каскаду, обеспечивая иерархию, симметрию процесса

Модель турбулентности Колмогорова (K41):

Fluid , Europ. Phys.J. B 8,301(1999)

Ek

k

диссипация

возбуждение

инерционный

Ek ~ k -5/3

Поток энергии

k0=2/d

-in fluid turbulence, strong vortices of all sizes superposed upon one another, A.N. Kolmogorov, in 1941, had considered an energy cascade with trivial self-similarity : energy flux through the various size of vortices.

T-10

В эксперименте не наблюдается тривиального самоподобия (и в жидкости и в плазме): аномальность / перемежаемость

Универсальные свойства перемежаемости

Перемежаемость наблюдается в численных экспериментах, Навье-Стокса ур-е

Перемежаемость

• Перемежаемость– это локальное нарушение однородности турбулентности, в которой активные области сосуществуют с пассивными (квазиламинарными).

• явление впервые рассмотренное Новиковым и Стьюартом

• Перемежаемость наблюдается в гидродинамических турбулентных течениях нейтральной жидкости и турбулентной замагниченной плазме как с большими, так и с умеренными числами Рейнольдса

• Случайные пульсации обладают негауссовой статистикой.

3D isotropic MHD turbulence,

DNS Biskamp Mueller

small-scale turbulent structures:

Current-density isosurfaces vorticity isosurfaces

Автомодельность – симметрия относительно масштабных преобразований:

уравнение Навье-Стокса

• В гидродинамическом турбулентном потоке устанавливается каскадный процесс передачи энергии от больших турбулентных ячеек к малым вплоть до масштабов, где вязкость становится существенной и происходит диссипация (в двумерных и анизотропных системах могут развиваться и инверсные каскады).

• При больших числах Рейнольдса в инерционном диапазоне l (η <<l<<L, L - интегральный масштаб движения, а η - масштаб диссипации) достигается статистическое квазиравновесие флуктуаций.

• Каскадный процесс имеет свойство иерархичности и самоподобия (автомодельности).

uPuuu

urturt

t

211212

1

)(

,,,,

Отклонение от колмогоровской модели: турбулентность плазмы и

нейтральной несжимаемой жидкости• Все масштабы вовлечены в процесс: как

инерционный диапазон так и диссипативный совместно с большими масштабами

• Перемежаемость (Intermittency): смесь активных и квазиламинарных состояний

• Колмогоровская идея о масштабной инвариантности (автомодельности) является ключевой , приводя к степенным скейлингам

• Самоподобие нетривиальное• Длинномасштабные корреляции• Нелокальность

Модели развитой турбулентности с перемежаемостью

• Логнормальная (Kolmogorov, 1961, statistics of fluctuations )

• Бета модель (Novikov, Stewart 1964,Frish 1978)

• Мультифрактальная модель (Frish 1985, Sreenivasan e.a. 1991)

• Логпуассоновская модель – расширенная автомодельность (extended self-similarity, She, Leveque, Debrulle, 1994)

Методы исследования развитой турбулентности: структурная функция

),(),(),(,),( tlrtrtrtrS llq

lq

Для гауссова ансамбля Sq~rq/3 (модель Колмогорова)

Перемежаемость имеет скейлинг Sq~r(q)

Точный результат из симметрии ур-я Навье-Стокса :

(3)=1

Модели и эксперименты в жидкости

in Frish

Турбулентность плазмы: особые свойства

• Много характерных масштабов (rs, di,de, …etc.)

• Анизотропия (иногда 3D уменьшается до 2D)

• Электрические и магнитные поля• Вовлечение в процесс волновых

структур• Различные каскады (инверсный) и др…

Каскадные процессы: мультипликативные модели

ln=2-nL, lnX(t)= (i=1-nWi)LX(t)

E

1-1/p E 1/pE

E

1/2E 1/2E

Monofractal isotropic process:Kolmogorov type

Multifractal process:long-range correlations, memory effect

Rather considerable generalization of fractal geometry

Single exponent( dimension)

Family of exponent( spectrum of dimensions)

Coarse integral time T~50-200 s

Наблюдение мультифрактальности (многомасштабности)PDF of increments lX(t)=X(t+l)-X(t), depends on scale, l=1-128 mcs

Brownian motion does not demonstrate multifractality: monofractal, trivial self-similarity

PDF’s of increments lX(t)=X(t+l)-X(t),

don’t depend on scales l

l, lag

Отклонение от линейности (аномальность):подобие в поведении скейлинга для турбулентных

пограничных слоев лабораторной и космической плазмы скейлинг структурной функции S(q,l) =<lX(t)q >~ l ( q), ( q)=qH - 2 q2 , 2 – параметр мультифрактальности

(q)=qH – монофрактальное броуновское движение fBm

20.03-0.05

Расширенная атомодельность (Extended Self-Similarity)

Benzy , 1993, феноменологически предложил скейлинг:Даже для умеренных чисел Рейнольдса pq

pq SlS /)( She, Leveque, Dubrulle, 1994, модель:• “Скрытые ” статистические симметрии (дилатационные группы) ур-я Навье-Стокса обеспечивают это свойство• Иерархия моментов ФР•Логпуассоновская статистика•Обобщенное свойство масштабной инвариантности, вызвано учетом влияния граничного масштаба (проблема обрезания)• Два параметра : - степень перемежаемости и - характеристика геометрии наиболее диссипативных структур

3/

3

113

1 qq q

Турбулентность, по-видимому, обладает более универсальными свойствами масштабной

инвариантности даже чем предполагал

А.Н. Колмогоров

S(q,l)~ S(3,l)(q)/ (3) She and Leveque (SL) изотропная 3D турбулентность

Debrulle обобщила SL Скрытые симметрии и иерархия моментов (структурных функций)

высоких порядков

Существует предельный εl , соответствующий наиболее

диссипативным структурам - учет «обрезания» спектра

3

3

212

9)(

q

qq

3113

)1()(qq

q

10,1

1

qll

ql

qqll

ql

A

ql

ql

ql

1

lim 0,~ lasll

Cascading in log-Poisson model of intermittency: random multiplicative process

Coherent structure of large scale

Random multiplicative process: energy

dissipation rate ε at two different scales l1 and l2:

ε(l2)=W(l1, l2) ε(l1)

ε(l)~lτ(q) ,

log(Wq(l1, l2) )/log(l2/l1)=τ(q)

The defects adds a finite amount of disorder to the singular structure eventsAmplification of modulation by defects of integer numbers

defects

Establishing log-Poisson process : ln(ε) obeys Poisson distribution

Структурная функция:Extended Self-Similarity

Инерционный диапазон в классическом понимании

ESS во всем диапазонемасштабов!!!!

ESS наблюдается в течениях нейтральной жидкости

Эксперимент

Логпуассоновская модель предсказывает:1D одномерные нитевидные структуры (филаменты) являются доминирующими предельными диссипативными структурами

Параметры логпуассоновской модели:β – степень перемежаемости,

Δ- геометрия диссипативных структур

3113

)1()(qq

q

  T-10 SOL, r=34 см 0,43 0,33

Т-10 LCFS, r=30.5 см 0,41 0,36

T-10 shear layer, r=29.5 см 0,28 0,5

NAGDIS-II attached, r=18 мм 0,23 0,36

NAGDIS-II detached, r=18 мм 0,35 0,3

Магнитопауза Земли, в каспе, Вх 0,24 0,38Колмогоровский скейлингМагнитопауза Земли, вне каспа, Вх ~0

Длинно-маштабные корреляции – следствие мультифрактальности и перемежаемости

X(t)= X(t+)-X(t)

D* =(C (l,))

Мультифрактальный каскад генерирует супердиффузию:

<x2<~t2-, 0<<1, t<T

22)0()(),( XlXlC

242),(

T

lKlC

T-10

NAGDIS-II

Brownian motion

Диффузия определяется корреляциями :

Предсказание транспорта в реакторе должно быть основано на скейлингах супердиффузии

Выводы • В турбулентных пограничных слоях плазмы в

термоядерных установках и в магнитосфере Земли наблюдается свойство расширенной автомодельности

• Нелинейные скейлинги структурной функции могут быть описаны в рамках логпуассоновской модели развитой турбулентности

• Исходя из предсказаний логпуассоновской модели турбулентности: следует ожидать, что 1D структуры - предельные диссипативные структуры в ТПС

• Подобные свойства наблюдаются и в гидродинамической турбулентности, что указывает на универсальный характер перемежаемости в развитой турбулентности

Эффекты конечного гирорадиуса ионов (FLR) входят в МГД

уравнения через тензор давления P в уравнении импульса du/dt =[j х В] - grad(Рe +Рi) и через

обобщенный закон Ома: Е + [u х В] = ([j х В] - grad Рe)/en + e 0 jt Тензор давления в бесстолкновительной плазме:

где рp, p||- скалярные компоненты давления и bi = Вi/|В|. В системе, в которой магнитное поле направлено по z, вязкий гиро-тензор принимает вид:

Параметр = рi/2 c, где рi - перпендикулярное ионное давление

The multifractal formalism for turbulent flows - to describe the anomalous scaling properties of turbulence at large Reynolds numbers .

Scale invariance of the Navier-Stokes equation:

tu + u · u = − p/+[jB]/c+u ∂

u - velocity field, equation is invariant with respect to the scale transformation:

For viscosity ν = 0 -

any α.

Parisi and Frisch proposed each fluctuation h at scale r is weighted

with a probability distribution Ph(r) ~ r3−D(h).

Scale invariance: a feature of turbulence

Multi-scaling (multifractality)Multi-scaling (multifractality)

uPuuu

urturt

t

211212

1

)(

,,,,

Klimov, S., S.Romanov, E.Amata, J.Blecki, J.Buechner, J.Juchniewicz, J.Rustenbach, P.Triska, L.J.C.Woolliscroft, S.Savin, Yu.Afanas'yev, U.de Angelis, U.Auster, G.Bellucci, A.Best, F.Farnik, V.Formisano, P.Gough, R.Grard, V.Grushin, G.Haerendel, V.Ivchenko, V.Korepanov, H.Lehmann, B.Nikutowski, M.Nozdrachev, S.Orsini, M.Parrot, A.Petrukovich, J.L.Rauch, K.Sauer, A.Skalsky, J.Slominski, J.G.Trotignon, J.Vojta, R.Wronowski, ASPI Experiment: Measurements of Fields and Waves Onboard the INTERBALL-1 Spacecraft, Ann.

Geophys., v. 15, p. 514-527, (1997).

Savin S.P., Zelenyi, L.M., Amata, E. et al., Dynanic Interaction of Plasma Flow with Hot Boundary Layer of Geomagnetic Trap, JETP Letters, 79, 452-456, (2004)

T-2 diagram:multifractal multiplicative cascade

Integral time T – dimensional parameter.Is it an additional scale in the process and symmetry?

concentrated in closed domain

Power spectra S(f)= n(f)2

Bandwidth of drift-wave instabilities ~1-1000 kHz

No monochromatic modes

No clear evidence of 1/f (Kolmogorov type) spectra over the whole frequency range

Density , T-10 SOL

LCMS

In SOL typical d~-1.5:-3, S(f)~fd

Edge, SOL

Space plasmas

[Chapman & Ferraro, JGR, 36, 77, 1931] [Axford et al., JGR, 70, 1231, 1965]

[Stern, JGR, 90, 10,851,1985] [Плетнев, Скуридин, Шалимов, Швачунов,

"Исследования космического

пространства" М.: Наука,

1965]

Отношение вязкого гиронапряжения к максвелловскому:

~ const u / B03

где ru- направленный ионный гирорадиус, и L - толщина магнитопаузы. Для ~ 1-10 у магнитопаузы вязкое

гиронапряжение сопоставимо с напряжением Максвелла.

Скорость u, нарастает от подсолнечной точки, магнитное поле

B0 - имеет минимум над каспом, т.е. гировязкое

взаимодействие наиболее существенно на внешней границе каспа, что приводит к диффузии магнитного потока

(эквивалентной микропересоединению)

Fx , uFz

BIMF Bin

Coarse )mixing( time scale of T in the process: scale of coherent structures

PDF of increments lX=X(t+l)-X(t)

structure function of

increments has nonlinear scaling M(q,l)= lX q ~l(q) (q)=qH-2q2

multifractality parameter

PDF,l=1

2=0.03-0.05

T50-200 s for fusion devices

T 60-80 sec for space plasma

PDF,l=300

T-2 scales: feature of multifractal multiplicative cascade

T-10 SOL

Магнитное поле вморожено в плазму снаружи и внутри магнитопаузы, где нарушается идеальное МГД-приближение и происходит проникновение плазмы внутрь магнитосферы.

Shuffled data become Brownianwith Gaussian increments

Evidence of multifractality (multi-scaling)PDF of increments lX(t)=X(t+l)-X(t), depends on scale l=1-128 mcs

Функция распределения

Strong events happen more frequently than random

Statistics varies strongly in space

Resembles power law Cauchy function

T-10, density

T-10, flux

22)(

1)(

bmx

bxP

Наблюдение мультифрактальности (многомасштабности)PDF of increments lX(t)=X(t+l)-X(t), depends on scale, l

Non-Gausian

Gausian

Lag

l

Фурье спектры S(f)= n(f) 2

Bandwidth of drift-wave instabilities ~1-1000 kHz

No monochromatic modes

No clear evidence of 1/f (Kolmogorov type) spectra over the whole frequency range

Density , T-10 SOL

LCMS

In SOL typical d~-1.5:-3, S(f)~fd

Edge, SOL

Extended Self-Similarity

масштабная инвариантность наблюдается в расширенном диапазоне

PDF – могут описывться степенными законами, например, Коши

22)(

1)(

bmx

bxP

Нетривиальное самоподобие – наблюдается в системах с

ограниченным инерционным диапазоном, когда граничные диапазоны (диссипативный и

крупномасштабный) влияют на процессы в инерционном

Методы исследования развитой турбулентности: структурная функция

),(),(),(,),( tlrtrtrtrS llq

lq

Для гауссова ансамбля Sq~rq/3 (модель Колмогорова)

Перемежаемость имеет скейлинг Sq~r(q) ,

(q) – нелинейная функция

Точный результат из симметрии ур-я Навье-Стокса :

(3)=1

q=2 – спектр мощности (Фурье), не способен полностью

описать процесс