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TRIÁNGULOS I
DEFINICION
Es la figura geométrica formada al unir tres
puntos no colineales mediante segmentos.
Elementos : Notación : Vértices : A, B y C Triángulo :
Lados : ACyBC,AB ABC ; ∆ABC
REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL
TRIÁNGULO.
En la figura se indican las regiones que se han
determinado respecto al triángulo ABC.
ÁNGULO DETERMINADO RESPECTO AL
TRIÁNGULO.
- Medida de los ángulos internos : , , .
- Medida de los ángulos externos : x, y, z.
- Perímetro de la región triangular ABC
(2p∆ABC)
- Semiperímetro de la región triangular
ABC(P∆ABC)
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL
TRIÁNGULO.
TEOREMA 1
En todo triángulo la suma de las medidas de sus
ángulos interiores es igual a 180º.
En el ∆ABC, se cumple : + + = 180º
TEOREMA 2
En todo triángulo la medida de un ángulo exterior
es igual a la suma de las medidas de dos ángulos
interiores no adyacentes a él.
En el ∆ABC, se cumple : x = +
TEOREMA 3
En todo triángulo la suma de las medidas de los
ángulos exteriores tomados uno por vértice es
igual a 360º.
A
B
C
A C
B
Región Interior
Región exterior
relativa a BC
Región exterior
relativa a AC
B Y
A C
z
c a
b
2p∆ABC = a + b + c
(P∆ABC) = 2
cba
A C
C
A C
x º
º
B
Región exterior
relativa a AB
2
En el ∆ABD, se cumple : x + y + z = 360º
TEOREMA 4
En todo triángulo de un lado es mayor que la
longitud se le opone al ángulo de mayor medida y
viceversa (propiedad correspondencia).
En el ∆ABC, si : a > b
Entonces : >
TEOREMA 5
En todo triángulo de un lado es mayor que la
diferencia de las longitudes de los otros dos y
menor que la suma de las mismas (propiedad de
existencia).
En el ∆ABC : a > b > c
Se cumple :
b – c < a < b + c
PROPIEDADES ADICIONALES
En la figura se cumple:
En la figura ∆AOB y ∆COD presentan un ángulo
interior opuesto por el vértice.
Se cumple :
En la figura se cumple :
En la figura, P es un punto inferior al ∆ABC, se
cumple :
p : perímetro de la región ABC
B y
x
A z
C
B
A
C
c a
b
B
A C
c a
b
B
D
A
C
x
x
B C
A D
y
O
B x
C
A D
y
P
A
B
C
x = + +
+ = x + y
x + y = +
p < PA + PB + PC < 2p
3
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
(Propiedades Básicas y Clasificación)
NIVEL 1
1. Calcular “x”, si : AD = BD
BE = EC
a) 30º
b) 10º
c) 18º
d) 72º
e) 36º
2. Calcular “x”
a) 110º
b) 130
c) 100
d) 120
e) 150
3. Calcular “x”
a) 15º
b) 20º
c) 30º
d) 45º
e) 60º
4. Calcular el menos valor entero de “x”
Si : el ∢ABC el agudo :
Además :
21 LL
a) 46º
b) 47º
c) 44º
d) 98º
e) 89º
5. Determinar el menor ángulo interno de un
triángulo, sabiendo que las medidas de los ángulos
externos forman una progresión aritmética de
razón 30º.
a) 15º b) 30º c) 60º
d) 90º e) 120º
NIVEL 2
6. En un triángulo ABC, isósceles que se muestra
(AB = BC) y se sabe que el triángulo PQR es
equilátero. Calcular “x”.
a) 50º
b) 55º
c) 60º
d) 65º
e) 70º
7. En la figura : 21 LL
Si : AB = BC, Calcular “”
a) 100º
b) 140º
c) 130º
d) 120º
e) 150º
8. Calcular “x”
Si : AD = AR ; AP = DR
a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 75º
e) 60º
9. Si la diferencia de las medidas de 2 ángulos
exteriores de un triángulo es igual al
complemento de la medida del ángulo interior
ubicado en el tercer vértice. Hallar la medida de
un ángulo interno del triángulo.
a) 30º b) 45º c) 60º
d) 75º e) 90º
10. De la figura, calcule “x + z”
a) 110º
b) 280º
c) 220º
d) 240º
e) 320º
2xº
xº
A D E C
B
120º
x +20º xº
xº
2º
º
A
C B
xº
L2
L1
E
º º
50º
70º
R A C
P Q
B
80º
º O
L1
L2
Q
P A C
B
D
P R
A
zº
xº º
º º
º 40º
º
º
xº
4
NIVEL 3
11. Del gráfico, calcular ”x”
a) 40º
b) 70º
c) 60º
d) 50º
e) 55º
12. En la figura : AP = PS y BM = BN
Calcular “x”
a) 10º
b) 15º
c) 30º
d) 35º
e) 37º
13. Del gráfico, calcular “x”
a) 10º
b) 20º
c) 40º
d) 45º
e) 50º
14. En la figura, el ∆ABC, gira mantenido un lado en
la recta “L”, si A’ y A’’, son las posiciones de A.
Calcule la medida del ángulo que determinan
'AA
y la bisectriz interior del ángulo de vértice A’’.
a) 45º + º b) 90º + º c) 90º + 2
º
d) 90º + 2º e) 90º + 2
º3
15. En un triángulo equilátero ABC. Se ubica “M” en
AC , desde el cual se traza MN perpendicular a
AB . (“N” es AB ). Luego se ubica en “P” en la
región exterior y relativa a BC , tal que :
BCNP = S y m∢BNS = m∢NMP. Calcular la
m∢NPM:
a) 30º b) 60º c) 45º
d) 75º e) 90º
Ejercicios Complementarios
NIVEL 1
1. Calcular “x”
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 60º
2. Calcular “x”
a) 90º
b) 60º
c) 45º
d) 20º
e) 10º 3. Calcular “x”
a) 170º
b) 150º
c) 115º
d) 120º
e) 100º
4. Calcular “x”.
a) 85º
b) 65º
c) 55º
d) 45º
e) 35º
5. Calcular “xº + yº + zº”
a) 120º
b) 135º
c) 270º
d) 90º
e) 180º
40º º
º
º
º
º
º xº
A P B N
M S
C
Q
xº
45º
60º 100º
º º
xº
º º
º
º
A C
A’ B
A’’
L’
º º 40º
xº
º º
20º
xº
xº
xº
xº
70º
º
º º
º
xº
º º
170º
xº
60º
º
º
º º º
xº
yº
zº
º º º
5
NIVEL 2
6. En un triángulo ABC, AC = 10. Calcule el mínimo
valor entero del perímetro de la región triangular
ABC.
a) 5 b) 10 c) 20
d) 21 e) 11
7. En la figura. Calcule (xº - yº)
a) 28º
b) 30º
c) 32º
d) 34º
e) 36º
8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 36.
Calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa.
a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
9. En un ∆ABC, AB = 9, BC = 12 y m∢BAC +
m∢BCA < 90º. Calcular la diferencia de los valores
enteros máximo y mínimo que puede tomar AC .
a) 7 d) 4
b) 6 e) 3
c) 5
10. En el gráfico, AB = BC = CD
Calcule “x”
a) 50º
b) 70º
c) 110º
d) 130º
e) 140º
NIVEL 3
11. En el gráfico calcule “x”
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 25º
e) 35º
12. En el gráfico, calcule “º
º
”
a) 3
b) 1
c) 1/2
d) 1/3
e) 2
13. Calcular “x” , si : AM = MC
a) 145º
b) 120º
c) 115º
d) 110º
e) 130º
14. Dado el triángulo ABC. Calcular “x”; si : AD = 4,
BD = 3
a) 14
b) 10
c) 7
d) 4
e) 3
15. Del gráfico, calcule “x + y”. Si la región
sombreada tiene perímetro mínimo.
a) º + º d) 360º-(º + º)
b) 3
2(º + º) e) 180º -
2
ºº
c) 2
3(º + º)
58º º
º
º
xº
º
º
yº
40º
C
E
B
A xº
D
2º
º
º 20º
º xº
º º º º
A M H N C
º º º
2º º º
º
º C A M
B
D
A C
B
2º
º
B
P
A R O
Q
yº
xº º
125
TRIÁNGULOS II – LÍNEAS NOTABLES
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
NIVEL 1
1. En la figura; calcular “x”
a) 108º
b) 54º
c) 72º
d) 36º
e) 44º
2. Calcular “x”
a) 55º
b) 60º
c) 45º
d) 40º
e) 10º
3. Calcular “x”
a) 100º
b) 120º
c) 130º
d) 150º
e) 170º
4. Calcular “x”
a) 100º
b) 80º
c) 125º
d) 150º
e) 250º
5. Calcular “x”
a) 85º
b) 75º
c) 70º
d) 65º
e) 60º
NIVEL 2
6. En la figura, calcule “x”
a) 10º
b) 20º
c) 65º
d) 35º
e) 45º
7. En la figura, calcule “x”
a) 35º
b) 30º
c) 15º
d) 10º
e) 20º
8. En la figura CDAB ; Calcule “x”
a) 125º
b) 155º
c) 115º
d) 100º
e) 20º
9. Del gráfico, calcule “x” ;
a) 52º
b) 48º
c) 44º
d) 42º
e) 40º
10. Del gráfico, calcular “x”
a) 110º
b) 90º
c) 70º
d) 20º
e) 10º
xº º º
72º
º
º
xº
bº
bº
A C
80º
B
aº aº
º º 60º
60º
xº
100º
170º
xº
100º
º º
º º
º
º xº
º º
80º
60º xº
º
º
º º
2º
70º
º º
º º º
º
30º
70º
º º
xº
A B
C
D
º
º+10º
40º º º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º
20º
º º xº
40º
º º
xº
º º º+º
º
º
xº
7
NIVEL 3
11. En el gráfico, AB = BC
Calcule “x”
a) 45º
b) 120º
c) 60º
d) 70º
e) 37º
12. Determine “x”, Si : 21 LL son mediatrices de
BCyAB .
a) 30º
b) 15º
c) 20º
d) 36º
e) 45º
13. Calcular “x”
a) 90º
b) 100º
c) 120º
d) 130º
e) N.A.
14. Calcular “x”; si es un valor entero máximo.
CPyBP son bisectrices exteriores de los ángulos
B y C; respectivamente.
a) 3
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
15. Según el gráfico, calcular el valor “x”
a) 110º
b) 120º
c) 130º
d) 150º
e) 95º
Ejercicios Complementarios
NIVEL 1
1. Calcular “x”
a) 100º
b) 80º
c) 40º
d) 20º
e) 10º
2. Del gráfico, calcular “x”
a) 60º
b) 45º
c) 35º
d) 75º
e) 55º
3. Del gráfico, calcular “x”
a) 60º
b) 25
c) 50
d) 40
e) 20
4. Calcular “x”
a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 75º
5. Calcular “x”;
a) 30º
b) 35º
c) 60º
d) 75º
e) 45º
xº
º
º 2º
B
A C
º
º
2º
L1
B
L2 xº
75º
P A Q C
xº
º º º
º
xº
7
x 3
P
2º
150º
2
xº
º 2º
xº
º
º
50º
º
º
xº
A
º
º C º
º
80º
B
xº
130º
P
A C
E
º º 30º
xº º
2º
2
3
xº
º º 2º
40º
B
A C
50º
º
B
Q
8
NIVEL 2
6. En el gráfico. Calcular “x”
a) 15º
b) 20º
c) 25º
d) 30º
e) 35º
7. De la figura; 3º = 5º
Calcular “x”
a) 25º
b) 15º
c) 30º
d) 20º
e) 35º
8. Calcular “x” ;
a) 135º
b) 115º
c) 112,5º
d) 52,5º
e) 22,5º
9. De la figura :
5(m∢AED) = 6(m∢ADC)
y m∢BAD = 70º; Calcular la m∢CAD
a) 44º
b) 24º
c) 14º
d) 15º
e) 10º
10. Según el gráfico mostrado:
Calcular : “º +º”
a) 100º
b) 150º
c) 90º
d) 180º
e) 270º
NIVEL 3
11. Del gráfico, Calcular “x”
a) 15º
b) 8º
c) 10º
d) 5º
e) 2º5’
12. De la figura, calcular “x”; en función de “”
a) 90º-2
º
b) 45º+2
º
c) 45º-4
º
d) 90º+4
º
e) 45º-2
º
º
13. De la figura, calcular : xº + yº + zº
a) 180º
b) 360º
c) 300º
d) 270º
e) 100º
14. Calcular “x”
a) 27º
b) 45º
c) 30º
d) 36º
e) 18º
15. En el gráfico, calcular “x”
a) 150º
b) 110º
c) 120º
d) 100º
e) 135º
120º xº
bº
bº
aº
2aº mº
mº
45º
xº
º º
º
º
45º
º
º xº
º º 2b
b
2aº aº
A
B C D
º
º
xº
E
º º
6xº
B
º º
º
º º
º
2xº xº
20º 30º
º º
º º
xº
º
º
2º
º º º
º
mº
xº
yº
xº zº
º º º
º º
º
º
º
º
º º
nº
nº xº
mº
mº xº º
º
xº
º º
xº º
º
mº
º
9
TRIÁNGULOS III
Primer Caso (L.A.L)
Segundo Caso (A.L.A)
Tercer Caso (L.L.L)
Cuarto Caso (A.L.LM)
PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ
Siendo
OP la
bisectriz de
AOB se
cumple
PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ
Siendo: L mediatriz
de AB se cumple:
PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES
Altura
Mediana
Bisectriz
Segmento de
mediatriz
PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA
Si: M es punto medio
de AB y MN // AC
Se cumple:
Si: E y F son puntos medios.
Se cumple:
PA = PB OA = OB
º º
º
º
º
º
º
º
P
A
O
B
º º
EA = BE
BH
BN = NC
EF = 2
PR
A M B
E
L
C H A
B
º º
A C
N M
B
P
E
Q
F
R
10
PROPIEDAD DE LA MEDIANA EN EL
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Si: BM es mediana
relativa a AC.
Se cumple:
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
NIVEL 1
1. Calcular “x”, en cada caso.
a) 24, 12 2 , 5 d) 6 2 , 5, 18
b) 5, 10, 2 e) 3 2 , 12, 5
c) 16, 6 2 , 5
2. Calcular “x”
a) 127º
b) 135º
c) 45º
d) 40º
e) 30º
53º 20
x
45º
x 6
30º
x
10
A
º º xº
B
a
c
a + b
b D
A M C
B
45º
a 2 a
a 45
º
a 2a
60
º
30
º a 3
b 5 b
2b 53º/2
k k 10
3k 37º/2
3a
4a
5a 53º
37º
n n 17
4n 14º
76
º
7a
24a
25a 74
º
16º
75
º
a
15º A H
B
C
4a
BM = 2
AC
13
3. Calcular “x”
a) 16
b) 20
c) 12
d) 15
e) 5
4. Calcular “x”; 21 LL son mediatrices de BCyAB
respectivamente.
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
5. Calcular “AC”, si PQ = 6
a) 6
b) 3
c) 12
d) 24
e) 48
NIVEL 2
6. Si: AB = BC; Calcular “AH”
Si; además : PQ = 4 y PR = 6
a) 6
b) 4
c) 2
d) 10
e) 12
7. Dado el triángulo ABC isósceles (AB = BC) se toma
un punto de la prolongación de AC y se traza las
distancias hacia los lados iguales del triángulo
isósceles, calcular la altura. Trazada de uno de los
vértices de los ángulos iguales. Si dicho punto
dista de los lados iguales 8 y 3. Respectivamente.
a) 11 b) 8 c) 5
d) 4 e) 3
8. Calcular “x”.
Si : AB = 6 , AH = 2
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 3
9. En el gráfico 21 LL son mediatrices de
ACyBD , respectivamente.
Si : m∢BOA = m∢COD, Calcular : CD
AB
a) 3
1
b) 2
1
c) 3
d) 1
e) 2
10. En el gráfico, HBMN es un cuadrado y AB = a,
calcule HP.
a) 2
10a d) 13a
b) 10
130a e)
5
10a
c) 3
10a
A
º 53º
B
16
C
x
º
70º B
xº
A P Q C
L2 L1
M
B
N
A C
Q P
A
Q
P C
R
H
B
0 A
D
B C
L2 L1
A H C
P
M B
N
37º/2
A
º º
B
D x
C H
14
NIVEL 3
11. Según la figura; MNBQ
Si : BQ = AN, MN = a y QN = b
Calcule “AC”
a) a+b
b) 2a+b
c) 2b+a
d) 2b–a
e) 2a–b
12. En la figura AC = CD = DE y BM = MC. Además si :
BE = 20 y MQ = 6.
Calcule “x”
a) 37º
b) 2
º45
c) 2
º53
d) 2
º37
e) 15º
13. En la región exterior y relativa a BC , de un
triángulo ABC, se construye un triángulo
equilátero BCP. Si : m∢BAC = 60º, AB = 10 y AC =
30. Calcule la suma de las distancias de “P” a
ACyAB .
a) 40 3 b) 20 3 c) 15 3
d) 18 3 e) 10 3
14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM ,
luego se traza la perpendicular BMaAH , si :
AH = 16m y HM = 15m. Calcule “HC”
a) 30m b) 31 c) 16
d) 34 e) 17
15. De la figura mostrada.
Calcular “x”
Si : AD = CD
(Sugerencia : Prop. Cuadrilátero cóncavo).
a) 10º
b) 5º
c) 15º
d) 30º
e) 18º
Ejercicios Complementarios
1. Calcular “x”
a) 120º - º d) 120º + 2º
b) 120º + º e) 120º - 3º
c) 120º - 2º
2. Calcular “x” ; AC = 16 , AB = 10
a) 3
b) 2
c) 6
d) 5
e) 10
3. Calcular “x”
a) 12
b) 6 2
c) 3 2
d) 4
e) 3
4. Determine “x”; AB = 4, AD = 8 y CD = 3
a) 115
b) 135
c) 127
d) 143
e) 153
5. Calcular “x”
a) 18
b) 9
c) 3
d) 6
e) 12
º A
M
Q N C
B
º
xº
2xº
A
B
D C
2xº
º º
xº
x P Q
A
º º
C
B
A
B
M
C N
45º
B
A
C
D
º
º
xº
º º
B
A M P C
E
N
º 3
A C D E
M
Q
B
xº
6
x
x
15
NIVEL 2
6. Calcular “BN”. Si : AF = 5, BC = 17.
( MN : Mediatriz de AC ).
a) 16
b) 12
c) 8
d) 6
e) 3
7. Calcular el perímetro de la región triangular MNP;
AB = 6, BC = 8 y AC = 12
a) 6
b) 8
c) 10
d) 13
e) 26
8. Del gráfico, Calcular “x”
a) 3
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
9. Si : AB = BC , AP = 2 , BM = 8 y CQ = 4
Calcular “PQ”
a) 10
b) 6
c) 8
d) 12
e) 5
10. Si : AB = 10, BC = 8, BP = 1
Calcular : “MP”
a) 2
b) 4
c) 6
d) 7
e) 8
NIVEL 3
11. Calcular “x” ; Si : AB = BC = AD
a) 120º
b) 112º
c) 132º
d) 122º
e) 142º
12. Del gráfico, calcular “DH”.
Si : BE = 2
a) 1
b) 2
c) 1,5
d) 0,5
e) 2,5
13. Del gráfico, AP = 3 y CQ = 4
Calcular : AC
a) 5
b) 6
c) 5 2
d) 7
e) 8
14. Del gráfico, calcular “DH”
a) 3
b) 6
c) 12
d) 6 2
e) 3 2
15. En un cuadrado ABCD de lado 4m, sobre
CDyBC,AB , se toman los puntos P, Q y R.
Respectivamente.
Tal que : PQ = QR = y m∢PQR = 90º.
Si : AP = 1, RD = 3. Calcular la m∢QDC.
a) 37º b) 45º c) 53º
d) 30º e) 60º
B
A
F
N
M C
B
M
A P
N
N
A D F
30º
8 5 5
B
x
B A
M
C
P
A
P M Q
B
C
60º
96º
xº
A
B C
D
º º
A
D
C
E
B
H
A
P
C
Q B
45º
A
B D
H C
45º
º
45º
6 2