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CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN: una circunferencia 𝒞 es el lugar geométrico del conjunto de puntos P =(x, y) ∈ ℝ2 que equidistan de un punto fijo llamado centro C = (h, k). La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se llama radio (r)
𝒞 ≔ {P = (x, y) ∈ ℝ2 / d(C , P) = r }
Nota: Área de la circunferencia = πr2
Longitud de la circunferencia= 2πr
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA 1. ECUACION CARTESIANA U ORDINARIA
Por definición de distancia entre dos puntos se tiene:
d(C, P) = √(x − h)2 + (y − k)2 = r Elevando al cuadrado
𝓒 ∶ (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝐫𝟐 ; 𝐫 > 0…………….. (1) Ejemplo:
Encontrar la ecuación de una circunferencia cuyo centro es C = (−2 , 3)yradio r = 3 Solución:C = (h, k) = (−2 , 3) entonces:
𝒞 ∶ (x + 2)2 + (y − 3)2 = 9
•
• • •
• •
P
B
X
Y
K+r
K -r
h -r h +r
N
M
A C r
x
y
k
0 h
ELEMENTOS
1. Centro: C = (h, k)
2. Radio:r
3. Diámetro: AB̅̅ ̅̅
4. Cuerda: MN̅̅ ̅̅̅
2
2. ECUACIÓN CANÓNICA
Si el centro está en el origen de coordenadas, entonces h = k = 0 entonces
C = (0,0). La ecuación de la circunferencia se reduce a:
𝓒: 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 = 𝐫𝟐 𝐫 > 0………….. (2)
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen
de coordenadas y radio r =5
Solución: C = (h, k) = (0 , 0) entonces 𝒞 ≔ x2 + y2 = 25
3. ECUACIÓN GENERAL
Resolviendo la ecuación cartesiana se obtiene la ecuación general.
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 − r2 = 0
x2 + y2 − 2hx − 2ky + h2 + k2 − r2 = 0
Donde: D = −2h ; E = −2k ; F = h2 + k2 − r2
𝒞 ∶ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0…………(3)
A partir de la ecuación (3), se tiene la ecuación cartesiana en términos de D, E y
F.
Completando cuadrados para x, y se tiene.
[x2 + Dx + (D
2)
2
] + [ y2 + Ey + (E
2)
2
] = (D
2)
2
+ (E
2)
2
− F
(x +D
2)2 + (y +
E
2)2 =
D2 + E2 − 4F
4
Comparando con la ecuación cartesiana, se tiene:
Centro: C = (−D
2 , −
E
2) y r2 =
D2 + E2 − 4F
4
3
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Facebook: /ColegioIntegrando
Analizando el radicando 𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅
1. Si𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 > 0 La ecuación (3) representa a una circunferencia
de centroC = (−D
2 , −
E
2) y radior =
1
2√D2 + E2 − 4Fen ℝ2
2. Si 𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 = 𝟎 La ecuación (3) representa sólo un punto que es
C = (−D
2 , −
E
2); puesto que r = 0, en ℝ2
3. Si 𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 < 0 La ecuación (3) no representa una circunferencia
en ℝ2 porque su radio r =1
2√−1.
Ejemplo 1. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.
𝒞: 2x2 + 2y2 + 20y − 150 = 0
Solución: Simplificando la ecuación: 2x2 + 2y2 + 20y − 150 = 0
Setiene x2 + y2 + 10y − 75 = 0
Donde: D = 0, E = 10 y F = −75
Analizando: D2 + E2 − 4F = 02 + 102 − 4(−75) = 0 + 100 + 300 = 400 > 0
Laecuaciondada, representaaunacircunferenciaconcentro
C = (−D
2 , −
E
2) = (0, −5) y r =
1
2√D2 + E2 − 4F ⟹ r =
1
2√400 = 10
Ejemplo 2. Analizar si la siguiente ecuación representa una circunferencia.
𝒞: 3x2 + 3y2 − 12x + 6y + 15 = 0
Solución: Simplificando la ecuación: 3x2 + 3y2 − 12x + 6y + 15 = 0
Setiene: x2 + y2 − 4x + 2y + 5 = 0
Donde: D = −4, E = 2 y F = 5
Analizando: D2 + E2 − 4F = −42 + 22 − 4(5) = 16 + 4 − 20 = 0
Laecuaciondada, sólorepresentaalpunto C = (−D
2 , −
E
2) = (2, −1)
4
DOMINIO Y RANGO DE UNA CIRCUNFERENCIA:
1. Si el centro de la circunferencia está en el origen de coordenadas C = (0,0)
Ejemplo: Sea la circunferencia 𝒞: x2 + y2 = 4 , determinar el domino y el
rango
Solución: Dom(𝒞) = Ran(𝒞) = [−2,2]
2. Si el centro de la circunferencia es C = (h, k)
Ejemplo: Sea la circunferencia𝒞 ∶ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 9
Determinar el domino yel rango.
Solución:
C = ( h, k ) = (2, 3)yr = 3
Dom(𝒞) = [h − r ; h + r] = [−1,5]
Ran(𝒞) = [k − r ; k + r] = [0,6]
• 𝑟 0
𝑟
X
Y
•
X
Y
K+r
K -r
h -r h +r
C
h
k
0
−𝑟
−𝑟
Dom(𝒞) = [−r ; r]
Ran(𝒞) = [−r ; r]
Dom(𝒞) = [h − r ; h + r]
Ran(𝒞) = [k − r ; k + r]
5
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RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA La recta tangente a la circunferencia𝒞 en el punto de tangencia(x0, y0), esta dado por:
LT: (𝐱 − 𝐡)(𝐱𝟎 − 𝐡) + (𝐲 − 𝐤)(𝐲𝟎 − 𝐤) = 𝐫𝟐 Una recta LN tal que LT ⊥ LNrecibe al nombre de recta normal. Ejemplo: Hallar la recta tangente LT a la circunferencia 𝒞: (x − 3)2 + (y − 12)2 = 100, en el punto de tangencia (−5, 6 )
Solución:C = ( h, k ) = (3,12) , r = 10 𝑦 Punto de tangencia = (x0 , y0) = (−5, 6)
LT: (x − h)(x0 − h) + (y − k)(y0 − k) = r2
LT: (x − 3)(−5 − 3) + (y − 12)(6 − 12) = 100
Resolviendo: la ecuación de la recta tangente es:LT: 4x + 3y + 2 = 0
CASOS PARTICULARES:
1. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE X
Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje X de centroC =( 6 , 3)
Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje X se cumple 𝑟 = |k| = |3| =3 La ecuación de la circunferencia es: 𝒞: (x − 6)2 + (y − 3)2 = 9
2. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE Y
Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje Y, de centro en
C = ( 2 , 3)
•
Y
C
r = |k|
X
•
Y
C
r = |h|
X
𝓒: (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝐤𝟐
𝓒: (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝐡𝟐
6
Solución: Cuando la circunferencia es tangente al eje Y se cumple
r = |h| = |2| = 2
La ecuación de la circunferencia es𝒞 ∶ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4
3. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS EJES COORDENADOS
Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes de coordenadas
con centro en C = (−3 , −3)
Solución: Cuando la circunferencia es tangente a los ejes de coordenadas se
cumple r = |h|=|k| = |−3| = 3
La ecuación de la circunferencia es:𝒞 ≔ (x + 3)2 + (y + 3)2 = 9
EJERCICIOS 1) La ecuación de la circunferencia de centro
(𝟓, 𝟔) y que es tangente a la recta 𝟒𝒙 +𝟑𝒚 − 𝟖 = 𝟎, es:
2) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟖 y pasa por los puntos (𝟐, 𝟐) y (𝟖, 𝟎).
3) Hallar el radio y centro de la circunferencia:
C: x2 + y2 + 8x − 10y − 8 = 0
4) Hallar la máxima distancia del punto (11,8) a la circunferencia
𝑪: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎
5) Determinar la suma de los valores de “𝒌”, para que la recta 𝑳: 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒌 = 𝟎, sea tangente a la circunferencia
C: x2 + y2 − 4x + 8y + 10 = 0
6) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6,8) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas. L1: 3x + 2y − 16 = 0 y L2: 5x − 3y + 5 = 0
7) La ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre la recta 𝑳: 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒 =𝟎 y que pasa por los puntos 𝑨 = (𝟔, 𝟒) y 𝑩 = (−𝟒, −𝟔), es:
8) Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 +𝟐𝟔 = 𝟎 y que es tangente a la recta 𝑳: 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟎.
•
Y
C
𝑘
ℎ
r = |ℎ|=|𝑘|
X
𝓒: (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐡)𝟐 = 𝐡𝟐
7
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Facebook: /ColegioIntegrando
9) La ecuación de la circunferencia de centro (−𝟒, 𝟓) y que pasa por (𝟓, −𝟏), es:
10) La ecuación de la circunferencia de centro (−𝟐, −𝟏) y que es tangente a la recta 𝑳: 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 − 𝟐𝟖 = 𝟎, es:
11) Una circunferencia pasa por los puntos 𝑨 = (−𝟏, −𝟒) y 𝑩 = (𝟐, −𝟏) cuyo centro esta sobre la recta 𝑳: 𝟒𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝟓 = 𝟎. La suma de los componentes del centro es:
12) Hallar la ecuación de la circunferencia
cuyo centro esta sobre el eje Y, tangente a la recta 𝑳: 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟒 en el punto de tangencia (𝟐, 𝟏)
13) Una recta es tangente a la circunferencia (x − 3)2 + (y − 12)2 = 100 en el punto de
tangencia A = (−5, 6). La pendiente de la
recta tangente es:
14) Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos 𝑨 = (𝟐, −𝟏) y 𝑩 = (𝟐, 𝟕). El dominio de la circunferencia es:
15) Hallar 𝑫𝒐𝒎(𝓒) ∩ 𝑹𝒂𝒏(𝓒) si la circunferencia es tangente a los ejes coordenados con centro 𝑪 = (𝟑, 𝟑)
16) Determine si la recta 3 5 0x y+ − = es
una recta tangente, secante o exterior a la
circunferencia 2 2 2 3 0x y x+ − − =
17) Determine si la recta 3 4 27 0x y+ − = es
una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia
2 2 4 2 20 0x y x y+ − + − =
18) Determine si la recta 10 0x y+ − = es
una recta tangente, secante o exterior a la circunferencia
2 2 4 2 20 0x y x y+ − + − =
19) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta 2 5x y+ = y
pasa por los puntos ( )1, 2 y ( )5,0
20) Hallar la máxima distancia del punto
( )10, 7 a la circunferencia
2 2: 4 2 20 0C x y x y+ − − − =
21) Hallar el radio y centro de la circunferencia
2 2: 4 6 12 0C x y x y+ + − − =
22) Determinar el valor de 0k para que la
recta : 2 3 0L x y k+ + = sea tangente a la
circunferencia de ecuación 2 2: 6 4 0C x y x y+ + + =
23) Hallar la recta tangente a
2 2: 2 0C x y x y+ − + = en el punto
( )3, 1 .
24) Hallar la ecuación de la circunferencia
concéntrica a 2 2 9x y+ = y tangente a la
recta : 2 10 0L x y− + = .
25) Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasa por el punto ( )7, 5− y cuyo centro
es el punto de intersección de las rectas
1 : 7 9 10 0IL x y− − = y
2 : 2 5 2 0IL x y− + =
26) Si la recta 3 0x y− + = es tangente a la
circunferencia 2 24 4 8 4x y y+ − = en el
punto ( ),Q a b= , hallar a b+
27) Hallar la ecuación de la circunferencia que
es tangente al eje X en ( )4,0 y que pasa
por el punto ( )7,1
8
28) Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con
2 24 4 16 20 25 0x y x y+ − + + = y que es
tangente a la recta : 5 12 1 0IL x y− − =
29) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P=(3,1) y tangente a la recta 03=++ yx .
30) Hallar la ecuación de la circunferencia de
radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de:
1 :3 2 24 0L x y− − =
2 : 2 7 9 0L x y+ + =
31) Si el centro de la circunferencia:
017)4(22 =+−+−+ byxayx , es
)1,1( −a . Hallar el radio.
32) Encontrar la ecuación de la circunferencia
C1 cuyo centro es el mismo de la circunferencia C:
074422 =+−−+ yxyx , y cuyo radio es
r = 4. La ecuación de la circunferencia C1, es:
33) El punto (3,-1) es el centro de una
circunferencia que intercepta a la recta
01852: =+− yxL en una cuerda de 6
unidades de longitud. La ecuación de la circunferencia, es.
34) Calcular la ecuación de la circunferencia
que es tangente al eje Y en (0,-8) y la distancia del punto más cercano al eje X es 5u, además el centro pertenece al III cuadrante.
35) Dada las circunferencias:
010210: 22
1 =−+−+ yxyxC
0222: 22
2 =−+−+ yxyxC
Hallar la ecuación de la circunferencia de mayor radio tangente interior a C1 y tangente exterior a C2
36) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,4) (1,2) y (3,4).
37) La ecuación de la circunferencia cuyo
centro es el punto C=(-4,-1) y es tangente a la recta 01223: =−+ yxL , es: