Circunferencia

Universidad de Cadiz

Departamento de Matematicas

MATEMATICAS

para estudiantes de primer curso

de facultades y escuelas tecnicas

Tema 5

La circunferencia

Elaborado por la Profesora Doctora Marıa Teresa Gonzalez Montesinos

Indice

1. Ecuacion de la circunferencia 1

2. Determinacion de una circunferencia 2

3. Interseccion de la circunferencia con otra lınea 3

3.1. Interseccion de una circunferencia con una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2. Interseccion de dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4. Eje radical de dos circunferencias 5

4.1. Potencia de un punto respecto de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2. Eje radical de dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5. Ejercicios propuestos 7

Tema 5 1

1. Ecuacion de la circunferencia

Definicion 1.1 Una circunferencia es el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de

un punto fijo, llamado centro.

x − a

y − b

C(a, b)

P (x, y)

M

Q

X

Y

r

Figura 1: Circunferencia de centro C(a, b) y radio r.

Expliquemos brevemente la definicion teniendo en cuenta la figura 1: sea C(a, b) el centro. Cualquierpunto P , Q, M , ..., esta a la misma distancia –equidista– de C. Esta distancia recibe el nombre deradio, r. Abreviadamente, el lugar geometrico viene dado por el conjunto

C ={

P (x, y) ∈ R2 / d(P,C) = r

}

. (1)

Para deducir la ecuacion de la circunferencia, expresemos analıticamente (1):

d(P,C) =√

(x − a)2 + (y − b)2 = r =⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2. (2)

Desarrollando la ecuacion anterior, se obtiene

x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by + b2 = r2,

que usualmente se escribe en la forma

x2 + y2 + Ax + By + C = 0, (3)

donde A = −2a, B = −2b y C = a2 + b2 − r2.Notese que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas, su ecuacion viene

dada porx2 + y2 = r2.

2 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas

Ejemplo 1.1

1. La ecuacion de la circunferencia cuyo centro es C(1,−2) y cuyo radio es igual a 2 viene dada por

(x − 1)2 + (y + 2)2 = 4.

2. Dada la circunferencia (x+3)2 +(y−2)2 = 9, su centro es el punto C(−3, 2) y su radio es r = 3.

3. Dada la circunferencia x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0, determinar su centro y su radio.

Agrupamos los terminos en x e y para expresar la ecuacion de la circunferencia como en (2):

(x2 − 4x) + (y2 + 6y) = 3.

Para obtener el cuadrado de una suma o diferencia en x e y, sumamos y restamos, respectiva-mente, 4 y 9 a los dos parentesis:

(x2 − 4x + 4) − 4 + (y2 + 6y + 9) − 9 = 3 =⇒ (x − 2)2 + (y + 3)2 = 16.

De este modo, el centro de la circunferencia es C(2,−3) y el radio es r = 4.

2. Determinacion de una circunferencia

Para hallar la ecuacion de una circunferencia, se precisan varios datos que iran formulados deforma explıcita o implıcita en el enunciado del problema. En general, se reduciran a los siguientes:

a) Si los datos son las coordenadas del centro, C(a, b), y el radio, r, la ecuacion es inmediata.

b) Conocidos tres puntos no alineados de la circunferencia –tres puntos no alineados determinan una

unica circunferencia–, bastara sustituir sus coordenadas en (2) o en (3), lo cual nos proporcionara unsistema de tres ecuaciones con tres incognitas.

Ejemplo 2.1 Calcular la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos M(1, 4), N(1, 0) yP (3, 2).

Si C : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 es la ecuacion de la circunferencia que buscamos, debemos hallarlos coeficientes A, B y C. Para ello imponemos que los tres puntos pertenezcan a la circunferencia:

M(1, 4) ∈ C =⇒ 12 + 42 + A + 4B + C = 0N(1, 0) ∈ C =⇒ 12 + 0 + A + 0B + C = 0P (3, 2) ∈ C =⇒ 32 + 22 + 3A + 2B + C = 0

=⇒A + 4B + C = −17

A + C = −13A + 2B + C = −13

.

Resolviendo este sistema resulta A = −2, B = −4 y C = 1, de modo que la circunferencia pedidaes

C : x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0.

Otra forma de resolver el problema consistirıa en tener en cuenta que la perpendicular en el puntomedio, mediatriz, de cualquier cuerda de la circunferencia pasa por el centro, con lo que bastarıahallar la interseccion de las mediatrices de MP y NP , pues se cortan en el centro C de la circun-ferencia.

c) Puede ocurrir que los datos sean distintos de los contemplados en los dos casos anteriores. Peroeste hecho es solo aparente, pues un examen cuidadoso del enunciado nos permite reducir cualquierproblema a los dos casos precedentes.

Tema 5 3

Ejemplo 2.2

1. Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el punto P (1,−2) y tiene su centro enC(2, 0).

Este problema se puede englobar en el caso a), pues d(P,C) =√

1 + 4 =√

5 = r. Ası, la ecuacionde la circunferencia viene dada por

C : (x − 2)2 + y2 = 5.

2. Calcular la ecuacion de una circunferencia de centro C(2, 1), sabiendo que es tangente a la rectat : x − y + 4 = 0.

Este tambien queda dentro del caso a), ya que el radio r es perpendicular a la tangente en elpunto de contacto –vease la figura 2–:

C

P

t

r

Figura 2: La recta tangente, t, a una circunferencia es perpendicular al radio, r, de esta en el punto,P , de tangencia.

d(C, t) =|2 · 1 + 1 · (−1) + 4|√

1 + 1=

5√2.

La circunferencia pedida es pues

(x − 2)2 + (y − 1)2 =25

2.

3. Interseccion de la circunferencia con otra lınea

Para calcular los puntos de interseccion de dos lıneas cualesquiera, se resuelve el sistema formadopor las ecuaciones correspondientes a dichas lıneas. Veamoslo para algunos casos sencillos:

3.1. Interseccion de una circunferencia con una recta

Se resuelve el siguiente sistema:

C : x2 + y2 + Ax + By + C = 0s : y = mx + n

}

.


Sustituyendo y = mx + n en la primera ecuacion, resulta una ecuacion de segundo grado en x:ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son coeficientes conocidos. Esta ecuacion podra tener dos soluciones,una o ninguna, segun el valor del discriminante, ∆ = b2 − 4ac:

∆ > 0: secante ∆ = 0: tangente ∆ < 0: exterior

Ejemplo 3.1

1. Determinar la posicion de la circunferencia (x − 2)2 + (y + 4)2 = 4 y de la recta x − y = 0.

Resolviendo el sistema

{

(x − 2)2 + (y + 4)2 = 0x = y

, se obtiene la ecuacion 2x2 + 4x + 16 = 0,

cuyo discriminante es ∆ = 16 − 72 < 0, por lo que la recta es exterior a la circunferencia.

2. La circunferencia x2 + y2 + 11x − 7y − 60 = 0 y la recta y = 2x − 8 se cortan en los puntosP (4, 0) y Q(3,−2), como debe comprobar el alumno.

3. La recta 2x − y − 10 = 0 es secante a la circunferencia x2 +

(

y − 5

2

)

2

=125

4en los puntos

P (5 +√

30, 2√

30) y Q(5 −√

30,−2√

30), como puede comprobar el alumno.

3.2. Interseccion de dos circunferencias

Las coordenadas de los puntos comunes han de verificar las ecuaciones de ambas circunferencias,es decir, han de ser solucion del sistema

x2 + y2 + Ax + By + C = 0x2 + y2 + A′x + B′y + C ′ = 0

}

,

que es equivalente al que resulta de sustituir una ecuacion por una combinacion lineal de las otras:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0(A − A′)x + (B − B′)y + C − C ′ = 0

}

.

La segunda ecuacion, que corresponde a la de una recta, se ha obtenido restando las dos ecuacionesdel sistema anterior.

Ası, la interseccion de dos circunferencias queda reducida a la interseccion de una cualquiera deellas con la recta que pasa por los puntos comunes, si existen.

Ejemplo 3.2 Para determinar la posicion de las circunferencias

{

x2 + y2 − 2x − 4y + 3 = 0x2 + y2 − 2x + 6y − 7 = 0

, se res-

tan las dos ecuaciones y obtenemos el sistema equivalente

x2 + y2 − 2x − 4y + 3 = 0−10y + 10 = 0

}

,

que admite dos soluciones, (0, 1) y (2, 1), que son las coordenadas de los puntos de corte.

Tema 5 5

4. Eje radical de dos circunferencias

4.1. Potencia de un punto respecto de una circunferencia

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia C esta definida como el valor constantede los productos de las distancias entre dicho punto y los puntos determinados en la circunferenciapor cualquier secante que pasa por P, y se denotara por PotC(P ). Segun la figura 3,

P (x0, y0)

M

NA

B

X

Y

dC(a, b)

Figura 3: Potencia de un punto respecto de una circunferencia.

PotC(P ) = |PM ||PN | = · · · = |PA||PB| =

=(

|PC| − |AC|) (

|PC| + |CB|)

= (d − r)(d + r) = d2 − r2,

donde d = |PC| y r es el radio de la circunferencia.Como d2 = |PC|2 = (x0 − a)2 + (y0 − b)2, se obtiene la expresion analıtica de la potencia:

PotC(P ) = d2 − r2 = (x0 − a)2 + (y0 − b)2 − r2,

o bien

PotC(P ) = x2

0+ y2

0+ Ax0 + By0 + C.

Notese que la primera expresion es el resultado de sustituir en el primer miembro de la ecuacion de lacircunferencia (x − a)2 + (y − b)2 − r2 = 0 las coordenadas del punto P , mientras que la segunda seobtiene sustituyendo dichas coordenadas en la ecuacion de la forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0.

Como d2 − r2 T 0, un punto P (x0, y0) es exterior, pertenece a la circunferencia o es interior, segunse verifique, respectivamente,

x2

0+ y2

0+ Ax0 + By0 + C T 0.

Ejemplo 4.1

1. La potencia de P (−2, 3) respecto de la circunferencia C : x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 es

PotC(P ) = (−2)2 + 32 − 2(−2) − 4 · 3 + 1 = 6.


P

C

CC

C ′

C ′C ′

C

CC

C’

C’C’

Secantes Tangentes

Exteriores

e

ee

Figura 4: Eje radical de dos circunferencias.

2. Los puntos M(1, 4) y N(1, 1) estan, respectivamente, en la circunferencia y en el interior delcırculo, como puede comprobar el alumno.

4.2. Eje radical de dos circunferencias

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geometrico de los puntos del plano que tienenigual potencia respecto de ellas, es decir, si C y C′ son dos circunferencias, el eje radical esta definidopor

e(C, C′) ={

P ∈ R2 /PotC(P ) = PotC′(P )

}

. (4)

Si P (x, y) es un punto cualquiera de dicho lugar geometrico, y C : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 yC′ : x2 + y2 + A′x + B′y + C ′ = 0, en virtud de (4) se tiene que

x2 + y2 + Ax + By + C = x2 + y2 + A′x + B′y + C ′,

de donde

e(C, C′) : (A − A′)x + (B − B′)y + C − C ′ = 0, (5)

esto es, el eje radical de dos circunferencias es una recta.

Es mas, puede probarse sin ninguna dificultad que el eje radical de dos circunferencias es perpen-

dicular a la recta que une los centros de ambas circunferencias.

Dadas dos circunferencias, si estas son secantes, el eje radical es la recta que une los puntos de corte;si son tangentes, el eje radical es la recta tangente a las dos en su punto de contacto. Si son exteriores,el eje radical se construye del siguiente modo: se traza una circunferencia auxiliar arbitraria que seasecante a ambas circunferencias, se trazan las rectas secantes correspondientes y estas se cortaran enun punto P ; el eje radical es la recta perpendicular a la recta que une los centros de las circunferenciasC y C′ y que pasa por el punto P . Todo ello puede verse en la figura 4.

Tema 5 7

Ejemplo 4.2 El eje radical de las circunferencias C : x2+y2−4x+6y−10 = 0 y C′ : x2+y2+2x−4y−8 =0 viene dado por

e(C, C′) : 3x − 5y + 1 = 0.

5. Ejercicios propuestos

(1) Halla las ecuaciones de las circunferencias cuyo centro y radio son:

a) C(3,−2), r = 4;

b) C(0, 3), r = 3;

c) C(2, 3), r = 1.

(2) Determina las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias siguientes:

a) x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0;

b) x2 + y2 + 3x + y + 10 = 0;

c) 4x2 + 4y2 − 4x + 12y − 6 = 0;

d)1

2x2 +

1

2y2 + 3x + y + 5 = 0.

(3) Calcula la ecuacion de la circunferencia que

a) tiene su centro en (2,−3) y pasa por el punto (1, 4);

b) tiene su centro en (2,−3) y es tangente al eje de abscisas;

c) tiene su centro en el punto de interseccion de las rectas x + 3y + 3 = 0 y x + y + 1 = 0, y suradio es igual a 5;

d) tiene su centro en (−1, 4) y es tangente al eje de ordenadas;

e) tiene su centro en (2, 0) y es tangente a la bisectriz del primer cuadrante;

f) tiene su centro en (1, 3) y es tangente a la recta 3x + 4y + 10 = 0;

g) tiene su centro en la recta 5x − 3y − 2 = 0 y pasa por los puntos (4, 0) y (0, 4);

h) tiene su centro en la recta x + y = −2 y pasa por los puntos A(2, 1) y B(−1, 5);

i) pasa por el punto (−2, 2) y es tangente a las rectas 4x + 3y − 8 = 0 y 4x − 3y + 24 = 0;

j) tiene por diametro el segmento AB, con A(2, 0) y B(−6, 6).

(4) Determina la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos

a) A(3,−2), B(4, 0), C(0, 5);

b) A(1, 1), B(−2, 3), C(−1,−1).

(5) Halla las coordenadas de los puntos de interseccion, si existen, de la circunferencia x2 + y2 − 4x +2y − 20 = 0 con cada una de las siguientes lıneas:

a) x + 7y − 20 = 0;

b) 3x + 4y − 27 = 0;

c) x + y − 10 = 0;

d) x2 + y2 − 6x − 2y − 14 = 0;

e) x2 + y2 + 6x − 4y + 10 = 0.


(6) Dada la circunferencia x2 + y2 − 6x + 10y − 66 = 0, halla las ecuaciones de las tangentes paralelasa la recta 4x − 3y + 2 = 0.

(7) Dados los puntos de coordenadas (0, 2) y (0,−2), se pide:

a) Escribir la ecuacion general de todas las circunferencias que pasen por esos puntos;

b) de estas circunferencias, determinar el centro y el radio de aquella que es tangente a la rectay = 3x + 2.

(8) Determina la longitud del segmento de tangente trazado desde el punto (9, 4) a la circunferenciax2 + y2 − 4x − 2y − 4 = 0.

(9) Calcula las distancias maxima y mınima del punto (8,−3) a la circunferencia x2+y2+6x−4y+9 =0.

(10) Halla sobre la circunferencia x2 + y2 = 1 el punto mas alejado del (1, 0) y el punto mas cercano al(5, 5).

(11) Halla las ecuaciones de las tangentes y de las normales, en los puntos de abscisa 2, a las circunfe-rencias

a) x2 + y2 = 4;

b) x2 + y2 + 4x + 6y = 12;

c) x2 + y2 − 10x − 2y = −1.

(12) Respecto de las tres circunferencias del ejercicio anterior:

a) calcula las potencias de los puntos (−2, 3) y (2,−1), indicando en cada caso sus posicionesrespecto al cırculo correspondiente;

b) halla las ecuaciones de sus ejes radicales, tomadas las circunferencias dos a dos.

(13) Demuestra analıticamente que el eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta queune sus centros.

(14) Dadas las circunferencias x2 + y2 = 4 y1

2x2 +

1

2y2 − 3x − 4y = 3, encuentra las coordenadas

de un punto que tiene igual potencia respecto de las dos circunferencias, y equidista de los ejescoordenados.

(15) Halla las ecuaciones de las circunferencias y el area del cırculo correspondiente, si sabemos de cadauna que:

a) es tangente a la bisectriz del segundo cuadrante y tiene su centro en (−5, 0);

b) pasa por el punto (1, 4) y es concentrica con x2 + y2 + 6x − 4y = 0;

c) pasa por el punto (3, 0) y es tangente a la circunferencia x2 + y2 − 2x+4y− 24 = 0 en el punto(3, 3);

d) es tangente al eje de abscisas en el punto M(2, 0) y a la recta y = x.

(16) Calcula la longitud de la cuerda:

a) determinada por la recta x + 1 = y con la circunferencia x2 + y2 = 25;

b) determinada por la interseccion de las circunferencias siguientes: (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9 y(x − 3)2 + (y + 1)2 = 17.

(17) Calcula el area del cuadrilatero cuyos vertices son los puntos de interseccion de los ejes coordenadoscon la circunferencia x2 + y2 − 4x − 11y − 12 = 0.

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