REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIN INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICO INDUSTRIAL RODOLFO LOERO ARISMENDI BARQUISIMETO - EDO. LARA.

Trabajo de Matemticas

Bachiller: Bersares Pastor C.I. 15.004.921 Calculo II II Semestre de Informtica

CircunferenciaLa circunferencia es una de las figuras geomtricas bsicas y ms simples de las que conocemos. Podramos definir a una circunferencia como la figura generada por una curva cerrada o permetro en el cual no hay vrtices ni ngulos internos. Adems, la circunferencia no tiene lados diferenciados, como s sucede con otras figuras tales como el cuadrado o el tringulo. Para definir a la circunferencia, podemos comenzar prestando atencin al sentido etimolgico de la palabra, que en latn quiere decir llevar alrededor de . La circunferencia puede ser normalmente confundida con el crculo, pero si hablamos correctamente, deberemos decir que ste es la superficie interna de una circunferencia, mientras esta es su permetro. La circunferencia es siempre bidimensional y cuenta con un radio, que es la distancia que existe entre los puntos encontrados (que marcan el lmite de la figura) hasta el centro de la misma. Adems, otros elementos que componen a la circunferencia son el centro (el punto equidistante con todos los dems puntos de la figura), el dimetro (la distancia entre los dos puntos ms lejanos que pasan por el centro), la cuerda (cualquier segmento que una dos puntos de la circunferencia), las rectas secantes y tangentes (siendo la primera la que pasa por la dentro y fuera de la figura, dividindola en dos sectores; siendo la segunda la recta que pasa por fuera y toca a la circunferencia en un slo punto).

Ecuacin de la CircunferenciaUna circunferencia de centro C(a, b) y radio r, est formada por todos los puntos P(x, y) cuya distancia al centro es r:

Elevando al cuadrado esta ecuacin obtenemos la ecuacin reducida de la circunferencia:

La ecuacin general de la circunferencia es: x2 + y2 + Cx + Dy + E = 0. Esta ecuacin se obtiene desarrollando los cuadrados en la ecuacin reducida y agrupando todos los trminos en el primer miembro.

Ejemplo

TraslacinLa homloga de una circunferencia mediante una traslacin es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homlogo del centro de la circunferencia original. Una traslacin en el plano est definida por un vector.

Ejemplo: 1 Hallar la imagen por dicha traslacin de un punto A (1,3). 2 Hallar la transformada de una circunferencia que tiene de centro (3,4) y de radio 1

ParbolaParbola es un trmino que proviene del latn parab la y que tiene su origen ms remoto en un vocablo griego. En el mbito de la matemtica, la parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano equidistantes de una recta y de un punto fijo, resultante de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una generatriz. La parbola constituye una curva cnica que suele trazarse en fenmenos frecuentes, como la cada de agua de una fuente o el movimiento de un baln que es lanzado por un jugador de bsquetbol.Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parbola como la representacin grfica de una funcin que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota. Una vez situada la parbola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura mxima. Este punto es el vrtice de la parbola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abscisa del vrtice. Por tanto, la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vrtice es el eje de simetra de la parbola.

Ecuacin de la Parbola

Ejemplo

TraslacinTraslacin vertical y = x + k Si k > 0, y = x se desplaza hacia arriba k unidades. Si k < 0, y = x se desplaza hacia abajo k unidades. El vrtice de la parbola es: (0, k). El eje de simetra x = 0.

y = x +2 y = x 2

Traslacin horizontal y = (x + h) Si h > 0, y = x se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x se desplaza hacia la derecha h unidades. El vrtice de la parbola es: ( h, 0). El eje de simetra es x = h.

y = (x + 2)y = (x 2)

Traslacin oblicua y = (x + h) + k El vrtice de la parbola es: ( h, k). El eje de simetra es x = h.

y = (x 2) + 2y = (x + 2) 2

ElipseFigura geomtrica que es similar a un crculo achatado. Se puede obtener una elipse cortando un cono recto con un plano que se encuentra ligeramente inclinado de la posicin paralela a la base del cono, pero antes de volverse paralelo a un elemento del cono. Curva que une todos los puntos en un plano tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos (llamados focos) se mantiene siempre como constante. Una elipse parece un crculo achatado. La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vrtices. La cuerda que une los vrtices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro se llama eje menor de la elipse. Para visualizar la definicin de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lpiz que tensa esa cuerda, su trazo ir dibujando una elipse

Ecuacin del ElipseLa ecuacin de una elipse con centro en el origen se representa por:

x2/a2 + y2/b2 = 1En donde a es la longitud del semieje mayor (la mitad del eje mayor), y b es la longitud del semieje menor (la mitad del eje menor). El eje mayor es la mayor distancia a travs de una elipse.

Ejemplo

HiprbolaLas hiprbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avin que vuela a velocidad supersnica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acstica hiperblica sobre la superficie. La interseccin de una pared y el cono de luz que emana de una lmpara de mesa con pantalla troncocnica, es una hiprbola. La hiprbolaes el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante. La recta que pasa por los focos corta a la hiprbola en dos puntos llamados vrtices. El segmento recto que une los vrtices se llama eje transversal y su punto medio es el centro de la hiprbola. Un hecho distintivo de la hiprbola es que su grfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.

Ecuacin de la HiprbolaSe llama ecuacin reducida a la ecuacin de la hiprbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hiprbola con el origen de coordenadas. Si el eje real est en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son: F'( c,0) y F(c,0) Cualquier punto de la hiprbola cumple:

Esta expresin da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Ejemplos

Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F(4, 0), de vrtice A(2, 0) y de centro C(0, 0).

Hallar la ecuacin y la excentricidad de la hiprbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

Ejemplo

+

TraslacinLas hiprbolas Sus asntotas son los ejes. El centro de la hiprbola, que es el punto donde se cortan las asntotas, es el origen. son las ms sencillas de representar.

A partir de estas hiprbolas se obtienen otras por traslacin.

1. Traslacin vertical

El centro de la hiprbola es: (0, a).

Si a>0,

se desplaza hacia arriba a unidades.

El centro de la hiprbola es: (0, 3)

Si a 0,

se desplaza a la izquierda b unidades.

El centro de la hiprbola es: (-3, 0)

Si b