CIU RM IX Radicaci n

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio de la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada

Núcleo Caracas

Curso de Inducción Universitaria CIU

Cátedra: Razonamiento Matemático

GUÍA DE RADICACIÓN GUIA CIU NRO: 9

COMISIÓN DE APOYO A RAZONAMIENTO MATEMATICO

INTEGRANTES:

Ing. Beliana Gómez Ing. Elvia Moreno Ing. Mixef Rojas

Lic. Teresa Gómez Prof. Neida González

Rad icac ión 1

RADICACIÓN 1. Introducción:

Si se desea encontrar los valores de equis (x) que satisfacen la igualdad , estos

son los números 2 y -2 , este hecho se puede comprobar elevando al cuadrado los valores

dados y da como resultado 4. A los valores de una incógnita, en este caso x, que satisfacen

una igualdad se les denominan raíces, entonces en el caso particular que se trato se puede

decir, que equis (x) es igual a la raíz cuadrada de 4, y se denota así:

42 =x

⇒= 42x 4=x .

Se utiliza el símbolo para indicar un radical. Generalizando, vemos que la

expresión n mx se lee raíz enésima(n) de equis(x) a la eme(m) y sus partes son:

Es el signo radical

xm Es la cantidad sub-radical

n Es el índice del radical. Este debe ser un número entero positivo mayor

que uno.

Las raíces surgen como una forma alterna de expresar y resolver potencias, tal como se

mostró en el ejemplo anterior. Ahora piense si se quiere resolver una potencia de exponente

fraccionario, como por ejemplo: 32

4 , resultaría un poco difícil multiplicar 4 (la base) por si

misma 2/3 de veces (el exponente), tal como indica la regla para resolver potencias,

considerando que 2/3 no llega a ser ni siquiera una vez completa. Las raíces ayudan a resolver

este tipo de problema, una potencia de exponente fraccionario se puede escribir como raíz, es

decir, si tenemos nm

x esto es igual a. n mx

De aquí se puede generalizar que la expresión sub-radical consta de una base y un

exponente. Para convertirlo en potencia con exponente fraccionario consideramos:

• La base de la potencia es la base de la expresión sub-radical (x).

• El numerador del exponente fraccionario es el exponente de la base de la cantidad

sub-radical (m) y su denominador es el índice del radical (n).

C O M I S I Ó N D E A P O Y O R A Z O N A M I E N T O M A T E M Á T I C O ( C . I . U . )

Rad icac ión 2

Las raíces más utilizadas son las que se leen como:

• Raíz cuadrada ( ), cuando en el índice no se escribe ningún valor se sobreentiende que es dos (2)

• Raíz cúbica ( )3 • Raíz cuarta ( )4 • Raíz quinta ( )5

Y así sucesivamente, observe que la lectura de la raíz depende del número que se encuentre en el índice. Veamos los siguientes ejemplos

Ej.1. Exprese las siguientes potencias en radicales:

Solución:

(a) 441

33 =

Observe, que antes de convertir en radical se utilizó potencia depotencia.

(b) ( ) 5 353

513 xxx ==

Propiedades de la Potenciación. (c) ( ) ( )5 3535

35

3ababba ==

Fíjese que en este ejemplo se representó cada potencia como un radical distinto.

(d) 7 57 275

72

. yxyx =

Ej.2. Exprese los siguientes radicales como potencias:

Solución: En este ejercicio se utilizó una de las propiedades de la potencia. También observe que cuando el índice de la raíz es dos (2), éste no se escribe.

(a) 474 7 33 =

(b) ( ) ( ) 23333 ababba ==

Se considera el caso particular cuando m =1, podemos definir la siguiente equivalencia:


Rad icac ión 3

rxn = sí y sólo si x = nr EQ. 1

Ej.3. Hallar los valores de la variable x, que cumplan la igualdad: 23 =x

Solución:

Utilizando la equivalencia EQ. 1, tenemos que: 33 22 =⇔= xx , es decir 8=x .

Respuesta: . 8=x

Ej.4. Hallar los valores de la variable x, que cumplan la igualdad: 34 =x

Solución:

Utilizando la equivalencia EQ. 1, tenemos que: 44 33 =⇔= xx , es decir 81=x .

Respuesta: . 81=x

Ej.5. Hallar los valores de la variable x, que cumplan la ecuación: 124 =x

Solución:

Utilizando la equivalencia EQ. 1, tenemos que: 24 124124 =⇔= xx

364

1441444 ==⇒= xx .

Respuesta: . 36=x

2. Propiedades de los Radicales:

Propiedad 1: El Producto de las raíces con igual índice es la Raíz del producto.

Esta propiedad nos indica que resolver el producto de dos o más raíces con igual índice es

igual a la raíz del producto de las cantidades sub-radicales, en términos generales:

nn ba =⋅n ba ⋅

Donde los índices son iguales.


Rad icac ión 4

Ej.6. Escriba el siguiente producto de raíces 55 32 yx ⋅ como una la raíz de un producto.

Solución:

Como es un producto de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez ,

manteniendo el mismo índice y exprese las cantidades sub-radicales como un producto 555 3.232 yxyx =⋅

En este caso se multiplica 2 por 3, ya que es posible y obtenemos 5 6xy

Respuesta: 55 32 yx ⋅ = 5 6xy

Propiedad 2: El Cociente de las raíces con igual índice es la Raíz del cociente.

Esta propiedad nos indica que resolver el cociente de dos o más raíces con igual índice es igual

a la raíz del cociente de las cantidades sub-radicales, en términos generales:

nn

n

ba

ba

=

Donde los índices son iguales. Recuerde que nnnn

nbaba

ba

÷=÷=

Ej.7. Escriba el siguiente producto de raíces 5

5

36

yx como una la raíz de un producto.

Solución:

Como es un cociente de radicales con igual índice, se escribe la raíz una sola vez, manteniendo

el mismo índice y exprese las cantidades sub-radicales como un cociente.

55

5

36

36

yx

yx=

En este caso se divide 6 entre 3, ya que es posible y nos queda = 52yx

Se aplican propiedades de las potencias = 5 12 −xy

Respuesta: 5

5

36

yx = 5 12 −xy


Rad icac ión 5

Propiedad 3: Potencia de una Raíz

Cuando hablamos de potencia de radicales simplemente nos referimos a potencias que

tienen como base un radical. Estas potencias cumplen con todas las propiedades de la

Potenciación.

Escribir una raíz elevada a una expresión, es igual a escribir bajo el signo radical la

cantidad sub-radical elevada a esa misma expresión, es decir:

( ) n mmn aa =

Ej.8. Resolver 33 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x

Solución: 33 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x =

33 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x

= x2

En este caso, la potencia es igual al índice de la raíz, por lo tanto se simplifica.

Respuesta: 33 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x = x2

Vamos a explicar el procedimiento, para el caso donde la base es un producto de factores

con el siguiente ejemplo.

Ej.9. Resolver 5

4 3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xy

Solución:

5

4 3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xy = ( )4 53xy Si el índice de la raíz es distinto del

exponente, este último se le coloca a la cantidad sub-radical.

Se resuelve potencias de potencias = 4 515xy

Respuesta: 5

4 3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xy = 4 515 xy


Rad icac ión 6

Propiedad 4: Raíz de una Raíz

Esta propiedad se refiere a que bajo un signo radical puede(n) existir otro(s) signo(s)

radical(es), como por ejemplo 7 y ó 5 4 2z . Resolver esto es muy fácil, sólo se deben

multiplicar los índices de los radicales y escribir un nuevo radical con este resultado como

índice y se conservan las cantidades sub-radicales. Esta regla o propiedad se enuncia de la

siguiente forma:

mnn m aa ⋅=

Ej.10. Resolver 3 35ba

Solución:

Para la expresión 3 35ba , multiplicamos los índices de los radicales (3.2=6) y este será el nuevo índice del radical resultante y la cantidad sub-radical se conserva.

Respuesta: 6 353 35 baba =

3. Extracción de Factores de un Radical

Extraer factores de un radical significa sacarlos de la raíz. Para que sea posible

extraer factores de un radical, es necesario que la cantidad sub-radical sea expresada como

factores en forma de potencia y que los exponentes de los factores sean iguales o mayores que

el índice del radical. El proceso para extraer factores de una raíz es el siguiente:

Paso 1:

Se descomponen en factores primos la cantidad sub-radical.

Paso 2:

Se divide el exponente de cada factor entre el índice de la raíz. El cociente de la

división representa el exponente de la base que se extrae y el residuo el exponente de la base

que queda dentro de la raíz.

Veamos a continuación un ejemplo:


Rad icac ión 7

Ej.11. Extraiga del radical 3 33125x los factores que sean posibles.

Solución: 3 33125x

Paso 1: Se descomponen en factores primos los factores de la cantidad sub-radical 3 33125x 3 355 x=

Paso 2: En este caso se divide 5 (exponente del factor de base 5) entre 3 (índice de la raíz), de

donde el cociente es uno, este representa el exponente de la potencia con base 5 que se extrae

de la raíz (es decir la potencia 51=5); el residuo de la división es dos, y representa el exponente

de la potencia con base 5 que se queda dentro del radical (es decir la potencia 52=25).

Por otro lado tenemos que el otro factor es , entonces dividimos el exponente 3 de la

potencia entre el índice 3 de la raíz el cociente es uno y el residuo cero (o), eso significa que

se extrae la potencia de base “x” con exponente uno (1) (es decir la potencia = x) y no queda

ninguna potencia con base x dentro del radical.

3x3x

1x

3 355 x 3 255x=

Respuesta: 3 33125x 3 255x=

Otra forma de extraer factores de un radical

Para resolver este tipo de ejercicios, como el Ej.11 de una manera alterna debemos

conocer las propiedades de los radicales.

Ej.12. Extraiga del radical 3 33125x los factores que sean posibles.

Solución: Se descompone 3125 en sus factores primos y se expresa como potencia. 3 33125x

Se expresa 54 como multiplicación de potencias de igual base, tal que, por lo menos uno de los exponentes sea igual al índice

3 355 x=

= 3 32355 x

Propiedad 1 de las raíces y simplificacde los exponentes con la raíz

ión = 3 33 23 3 55 x⋅⋅

= 3 255x


Rad icac ión 8

Respuesta: 3 33125x = 3 255 ⋅x

Ej.13. Extraiga del radical 623 yx los factores que sean posibles.

Solución:

33 362 xyyx =

En este ejercicio, el factor “3” no se puede descomponer en factores primos (ya que es un

número primo), mientras que para los otros factores, el exponente de la variable x es 2 y el de

la variable y es 6 y ambos exponentes pueden ser divididos de forma exacta entre el índice de

la raíz, 2.

Ej.14. Extraiga del radical 3 438 yx los factores que sean posibles.

Solución:

3 438 yx

Se descompone “8” en sus factores primos : 32

3 4332 yx=

Extracción de factores del radical

= 32 yxy

Respuesta: 3 438 yx = 32 yxy

Observación: Cuando la cantidad sub-radical es una suma algebraica no se puede extraer

factores, pues no están expresados como factores sino como sumandos. En caso de ser posible,

aplicamos algunas reglas algebraicas para expresarlo como factores o potencias. Hay que

recordar que factores son todas aquellas expresiones que se multiplican. Veamos el siguiente

ejemplo:

Ej.15. Extraiga del radical 22 44 baba ++ los factores que sean posibles.


Rad icac ión 9

Solución:

En la cantidad sub-radical se tiene una l ì d

22 44 baba ++

( )22ba += Factorizamos la cantidad sub-radical, observe que ahora es un producto notable.

( )22ba +=

= a + 2b

Respuesta: 22 44 baba ++ = a + 2b

4. Introducción de factores en un Radical

Para introducir un factor en un radical se escribe este factor dentro de la raíz elevado al

índice del radical, manteniendo en el resultado el mismo índice.

Ej.16. Dada la expresión 52 aba ⋅ Introduzca el factor en la raíz

Solución:

Se introduce el factor dentro del radical

( )5 55 22 abaaba =⋅

Se resuelven las potencias

5 532 aba=

Respuesta: 5 65 322 baaba =⋅

Ej.17. Resuelva 5 7 623 24 yxx

Solución:

En este caso no se pueden multiplicar directamente los índices, ya que entre las dos raíces

hay una expresión. El primer paso debe ser introducir la expresión en la raíz más interna, esto

se hace elevando la expresión al índice del radical.


Rad icac ión 10

En este caso debemos introducir 4x3 en la raíz 7 622 yx , por lo tanto se eleva 4x3 a la 7,

así nos queda: (4x3)7.

Introducimos el factor 4x3 en el radical 7 622 yx

5 7 623 24 yxx = ( )5 7 6273 24 yxx

Se resuelve potencias de potencias = 5 7 62217 24 yxx

Convertimos 4=22 y multiplicamos potencias de igual base. =

5 7 623152 yx

= 35 623152 yx Multiplicamos los índices de los radicales.

En este caso no se pueden extraer factores del radical, ya que las potencias de los

factores son menores que el índice de la raíz.

Respuesta: 5 7 623 24 yxx = 35 623152 yx

Nota:

Sólo se puede introducir factores en una raíz, no sumandos, es decir si tenemos

5 623 24 yxx + , no es un factor, es un sumando (un término), por lo tanto no se puede

introducir dentro de la raíz cuadrada

34x

622 yx .

5. Suma y Resta de Radicales

Para sumar y restar radicales se debe tener en cuenta que los radicales han de ser

semejantes.

Definición: Dos ó más radicales son semejantes cuando poseen el

mismo índice y la misma cantidad sub-radical, por ejemplo:


Rad icac ión 11

1) 43 x y 47 x− Son radicales semejantes

No son radicales semejantes, los índices de los radicales son distintos, aunque la cantidad sub-radical es la misma

2) 35 x y 62 x

No son radicales semejantes, las cantidades sub-radicales son distintas, aunque los índices de los radicales son iguales

3) 72 x y 72 y

Son radicales semejantes, observe que los coeficientes pueden ser diferentes, pero la cantidad sub-radical y el índice de la raíz son iguales.

4) 12 234 x⋅ y 12 235 x⋅

Una vez aprendido lo que son radicales semejantes, podemos seguir los siguientes pasos

para sumar o restar radicales:

Paso 1: Verificar que los radicales son semejantes. Si no lo son a simple vista entonces,

trate de extraer factores para ver si haciendo esto, son semejantes.

Paso 2: Conserve la parte radical de las expresiones a sumar (o restar) iguales y sume (ó

reste) los coeficientes. Al hacer esto sólo esta factorizando la expresión por factor común.

Ej.18. Resolver 33 75 xx +

Solución:

Son radicales semejantes. 33 75 xx +

Factor común 3 x

= ( )375 x+

Suma de los coeficientes. = 312 x

Respuesta: 33 75 xx + = 312 x

Nota:


Rad icac ión 12

En estos ejercicios usted puede hacer el proceso de factorización mentalmente (obviando

su escritura), y sumar los coeficientes directamente, es decir: 33 75 xx + = 312 x , sólo son

dos pasos.

Ej.19. Resuelva yyy54

32

46

+−

Solución:

yyy54

32

46

+− = Son radicales semejantes.

Factor común y = y⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

54

32

46

Para la suma de los coeficientes, tome en cuenta que los coeficientes son fracciones y debe sumarlos como tal.

= y⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

60484090

= y6098

= y3049 Simplificación de fracciones

Respuesta: yyy54

32

46

+− = y3049

Ej.20. Resuelva 3535 2242610 −−+ yy

Solución: 3535 2242610 −−+ yy

= ( ) ( )3355 2226410 −+− yy Agrupamos términos semejantes.


Rad icac ión 13

Factor común de cada agrupación. = ( ) ( )35 226410 −+− y

Suma algebraica de los coeficientes. = 35 246 +y

Respuesta: 3535 2242610 −−+ yy = 35 246 +y

6. Multiplicación y División de Radicales

En la multiplicación y división de radicales se presentan dos casos:

(a) Cuando los índices de los radicales son iguales.

(b) Cuando los índices de los radicales son diferentes.

Así que, el procedimiento para efectuar estas operaciones depende del caso que se trate.

CASO “A”. Cuando los índices de los radicales son iguales,

Paso 1: Se coloca el signo radical una sola vez y se conserva el mismo índice del radical.

Paso 2: Se coloca como cantidad sub-radical el resultado de multiplicar (ó dividir) (según

sea el problema) las cantidades sub-radicales y los coeficientes.

Ej.21. Resolver 3 23 3 32 xyyx

Solución:

3 23 3 32 xyyx ⋅ = ( )( )3 23 32 xyyx Propiedad 1 de los radicales.

Se multiplican las cantidades sub-radicales.Observe que se multiplica: coeficiente por coeficiente (2.3) y potencias de igual base (x3 x1

y y1y2). Si no recuerda multiplicación de potencias de igual base, vea el capítulo II (Potenciación).

= 3 6 y 34x

Extracción de factores del radical = 3 6xxy

Respuesta: 3 23 3 32 xyyx ⋅ = 3 6xxy


Rad icac ión 14

Ej.22. Resolver 3 53

3 64

2

10

zx

xz

Solución:

3 53

3 64

2

10

zx

xz = 353

64

210

zxxz Propiedad 2 de los radicales

Se dividen las cantidades sub-radicales. Observe que se divide: coeficiente entre coeficiente (10:2), potencias de igual base (z4 : z5 y x6:x3).

= 3 315 xz−

= 335

zx Propiedades de los exponentes

negativos.

Extracción de factores de un radical. = 35z

x

Respuesta: 3 53

3 64

2

10

zx

xz = 35z

x

CASO “B”. Si los índices de los radicales son diferentes

Paso 1: Se calcula el mínimo común múltiplo entre los índices, llamado mínimo común

índice (m.c.i), el cual va ser el nuevo índice de cada raíz.

Paso 2: Se divide el m.c.i entre los índices iniciales de cada raíz y luego el resultado es el

exponente de la expresión sub-radical de cada raíz.

Paso 3: Así obtenemos un producto (o división) de raíces de igual índice y terminamos de

resolver el ejercicio como tal.

Ej.23. Resuelva 5 327.3 yxxy

Solución: Para resolver el siguiente ejemplo, los pasos a seguir son:


Rad icac ión 15

Paso 1: Se calcula el mínimo común índice, m.c.i (2,5)= 10. Este es el nuevo índice de cada

raíz, por lo tanto los radicales quedan así 1010 . .

Paso 2:Se divide el m.c.i entre los índices iniciales de cada raíz y luego el resultado es el

exponente de cada cantidad sub-radical.

= ( ) ( )10 5:103210 2:10 7.3 yxxy

= ( ) ( )10 23210 5 7.3 yxxy

Paso 3: Ahora tenemos una multiplicación de raíces de igual índice, terminamos de resolver el

ejercicio como tal,

= ( ) ( )10 23210 5 7.3 yxxy

Propiedad 3 = 10 64210 555 7.3 yxyx

Multiplicación de radicales de igual

índice =10 1192573 yx

Extracción de factores de un radical = 10 92573 yxy

= 10 949243 yxy ⋅ Resolver las potencias y multiplicar

los factores

= 10 9907.11 yxy

Respuesta: 5 327.3 yxxy = 10 911907 yxy

Ej.24. Resuelva 12

3 6

39

yz

Solución: En la división se utiliza el mismo procedimiento que en la multiplicación.


Rad icac ión 16

12

3 6

39

yz

Se calcula el m.c.i.(3,12) = 12

=( )12

12 46

39

yz

Conversión a radicales de igual índice

=12

12 244

39

yz

Propiedad 3

División de radicales de igual índice =12

244

39

yz

Se descompone 9 = 32 y se aplica la propiedad de potencia de potencias:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ == 8424 339

=12248

33

yz

División de potencias de igual base =12

2473yz

= 12

72 3

yz Extracción de factores de un radical

= 122 187.2y

z

Respuesta: 12

3 6

39

yz = 122 187.2

yz

Ej.25. Resolver 33 24 .2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ zxy

Solución:


Rad icac ión 17

33 24 .2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ zxy =

33 2343 .2 zxy Potencia de una potencia a cada factor

=33 2343 .2 zxy Potencia de radicales y simplificación.

Potencia de producto. =8 ( ) 24 3 .zxy

= 4 3328 yxz

Respuesta: 33 24 .2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ zxy = 4 3328 yxz

7. Expresiones Conjugadas

La conjugada de una expresión con presencia de radicales es aquella que permite

extraer los términos de una raíz. Esta conjugada depende de si la expresión un monomio ó

binomio, veamos algunos ejemplos:

Caso A. La conjugada de un monomio: La conjugada de una expresión radical monómica es

un radical con el mismo índice y los mismos factores de la expresión sub-radical, de tal manera

que los exponentes de estos factores se determinan de acuerdo a la siguiente regla:

i.- ) Si el índice es mayor que el exponente del factor, entonces es la diferencia entre el índice y

el exponente original del factor.

ii.-) Si el índice de la raíz es menor que el exponente del factor, entonces es la diferencia del

múltiplo del índice inmediatamente mayor al exponente del factor y el exponente original .

En este sentido se eligen convenientemente los exponentes de la expresión sub-radical en la

conjugada. Aclaramos esto con algunos ejemplos:

Ej.26. Hallar la conjugada de 4 23 yx

Solución:


Rad icac ión 18

Observe que en la expresión 4 23 yx los exponentes de “x” e “y” son 3 y 2 respectivamente

(menores que el índice de la raíz) y en la conjugada se eligen como exponentes de “x” e “y” a

1 y 2 respectivamente, es decir el exponente de “x” es igual a 4-3= 1 y el exponente “y” es

igual a 4-2=2.

Luego la conjugada de 4 23 yx es 4 2xy , se comprueba que es la conjugada si al

multiplicar las dos expresiones se elimina la raíz:

4 24 23 . xyyx Multiplicación de radicales

Expresión conjugada

Expresión original

= 4 44 yx

= xy

Respuesta: La expresión conjugada de 4 23 yx es 4 2xy

Ej.27. Hallar la expresión conjugada de 6 75 yx

Solución:

El exponente del primer factor, x, es 5, menor que el índice de la raíz ( 6 ), luego

aplicamos el caso (i) , en la conjugada el factor x tendrá un exponente igual a la diferencia del

índice de la raíz y el exponente de x, es decir 6-5 = 1. Por otro lado el segundo factor, y ,

tiene un exponente igual a 7, mayor que el índice de la raíz, por lo tanto el exponente del

factor y (caso ii) en la expresión conjugada será la diferencia de un múltiplo de 6

(inmediatamente mayor a 7) y el exponente del factor y, es decir, 12-7 = 5. Luego la conjugada

de la expresión 6 75 yx es 6 5yx . Compruébelo.

Respuesta: Luego la expresión conjugada de 6 75 yx es 6 5yx .

Una alternativa para hallar la conjugada de un monomio, cuando el exponente de uno de

los factores es mayor que el índice de la raíz, es extraer de la raíz los factores posibles y luego

aplicar el caso (i) para hallar la expresión conjugada del radical resultante. Veamos un

ejemplo.

Extracción de factores de un radical


Rad icac ión 19

Ej.28. Hallar la expresión conjugada para 3 134 yx

Solución:

Primero extraemos los factores de la raíz 3 134 yx

3 134 yx = 3 123 yyxx = 34 yxyx ⋅ ; ahora hallamos la conjugada de 3 yx

que es 3 22 yx y nos queda que :

Respuesta: La conjugada del monomio 3 134 yx es 3 22 yx

Ej.29. Hallar la conjugada de la expresión ( )5 25−x .

Solución:

La conjugada de la expresión ( )5 25−x es ( )5 35−x . Fíjese que sólo la cantidad sub-

radical es un binomio, la expresión como tal ( )5 25−x es un monomio(Si no recuerda lo que

es un monomio y binomio consulte Expresiones Algebraicas y polinomios).

Nota:

En general, cuando tenemos un solo radical, la conjugada de dicha expresión se trata como un

monomio, independiente de la característica de la cantidad sub-radical.

Ej.30. Hallar la conjugada de la expresión 4 4+t

Solución:

Como estamos ante un monomio (aunque la cantidad sub-radical es un binomio) para

hallar la conjugada del monomio, tomamos la cantidad sub-radical como un solo elemento, que

en este caso t+4 con exponente 1, por lo tanto su conjugada sería: 4 3)4( +t

Respuesta: La conjugada de 4 )4( +t es 4 3)4( +t

Ej.31. Hallar la conjugada de la expresión hx +2

Solución:

La conjugada de hx +2 es ella misma, es decir , cuando el índice de la raíz es 2 y es la raíz

cuadrada de una expresión (monómica, binómica o polinómica) , su conjugada es ella misma.

Por lo tanto, la conjugada de hx +2 es hx +2 .


Rad icac ión 20

Respuesta: La conjugada de hx +2 es hx +2

Ej.32. Hallar la conjugada de la expresión 5 2)1( hx ++

Solución:

Para hallar la conjugada de 5 2)1( hx ++ observamos que tenemos como cantidad sub-radical,

un trinomio con exponente 2, por lo tanto la conjugada será la raíz quinta del trinomio elevado

al exponente resultante de la resta del índice de la raíz y el exponente del trinomio, es decir, la

conjugada será:

5 25)1( −++ hx = 5 3)1( hx ++

Respuesta: La conjugada de 5 2)1( hx ++ es 5 3)1( hx ++

Ej.33. Hallar la conjugada de la expresión 6 2)( zhx −−

Solución:

Como sólo aparece un radical, atenderemos a la Nota del Ejemplo 24. Para hallar la

conjugada de 6 2)( zhx −− observamos que tenemos como cantidad sub-radical un binomio,

dos términos (x - h)2 y z y el exponente del binomio es 1, es decir, ((x - h)2 - z)1 . Por lo tanto

la conjugada será la raíz sexta del binomio elevado al exponente resultante de la resta del

índice de la raíz y el exponente del binomio:

6 162 ))(( −−− zhx = 6 52 ))(( zhx −−

Respuesta: La conjugada de 6 2)( zhx −− es 6 52 ))(( zhx −−

Caso A. La conjugada de un Binomio::

En los siguientes casos, tendremos al menos un radical como parte de un binomio en la

expresión.


Rad icac ión 21

Para expresiones binómicas con radicales de índice dos (2), tales como ba + y

ba − , aplicaremos producto notable de la suma por la diferencia para obtener la diferencia

de los cuadrados de los términos ( ( ) ( ) 22 yxyxyx −=+⋅− ) y así eliminar los radicales:

i. La conjugada de ba + es ba − ya que al multiplicar las dos expresiones,

babababa −=−=−⋅+ 22 )()()()(

ii. Así mismo la conjugada de ba − es ba + , al multiplicarlos:

babababa −=−=+⋅− 22 )()()()(

Observe que para las expresiones binómicas con radicales de índice 2, su conjugada son

los mismos términos pero cambiando el signo de la operación entre ellos. Ej.34. Hallar la expresión conjugada de 32 +x y comprobar su respuesta.

Solución:

La expresión conjugada de 32 +x es 32 −x

Veamos ahora el producto entre ellas: Aplicamos la regla de Producto Notable:

Suma por Diferencia ( 32 +x ) )32( −⋅ x =

= ( ) ( )2232 −x

= 32 − x

Respuesta: La conjugada de 32 +x es 32 −x y el producto

( 32 +x ) )32( −⋅ x = 32 −x

Ej.35. Hallar la expresión conjugada de 57 − y comprobar su respuesta.

Solución:

La expresión conjugada de 57 − es 57 +

Veamos ahora el producto entre ellas: Aplicamos la regla de Producto Notable:

Suma por Diferencia ( 57 − ) )57( +⋅ =

= ( ) ( )2257 −


Rad icac ión 22

= 257 =−

Respuesta: La conjugada de 57 − es 57 + y el producto ( 57 − ) )57( +⋅ = 2

Ej.36. Hallar la expresión conjugada de zxy 3+ y multiplicarlas entre sí

Solución:

Observe que uno de los términos del binomio es un radical, mientras que el otro

término no tiene radical, entonces la conjugada de zxy 3+ es zxy 3− .

Veamos ahora el producto entre ellas:

Aplicamos la regla de Producto Notable:

Suma por Diferencia ( zxy 3+ ) )3( zxy −⋅

= ( ) ( )223zxy −

= 29zxy −

Respuesta: La conjugada de zxy 3+ es zxy 3− y el producto

zxy 3+ ) )3( zxy −⋅ = 29zxy −

Para expresiones binómicas con radicales de índice tres (3), tales como 33 ba − y

33 ba + aplicamos los siguientes productos notables: Y

3322 )()( yxyxyxyx −=++⋅−

3322 )()( yxyxyxyx +=+−⋅+

i. La conjugada de 33 ba − es 3 233 2 bbaa +⋅+ , ya que al multiplicar las dos

expresiones, se eliminan las raíces de la expresión, es decir

⋅− )( 33 ba )( 3 233 2 bbaa +⋅+ = baba −=− 3333 )()(

ii. Así mismo la conjugada de 33 ba + es 3 233 2 bbaa +⋅− y al multiplicarlos:

( 33 ba + ) )( 3 233 2 bbaa +⋅−⋅ = baba +=+ 3333 )()(


Rad icac ión 23

Ej.37. Hallar la expresión conjugada de 33 25 zx − y multiplicarlas entre sí.

Solución:

La conjugada de 33 25 zx − es 3 233 2 )2()2()5()5( zzxx +⋅+ .

Veamos ahora el producto entre ellas:

( 33 25 zx − ) ))2()2()5()5(( 3 233 2 zzxx +⋅+⋅

Aplicamos la propiedad distributiva del producto y nos queda :

= 3 33 23 23 23 23 3 )2()2()5()2()5()2()5()2()5()5( zzxzxzxzxx −⋅−⋅−⋅+⋅+

Agrupamos términos semejantes, simplificamos y nos queda:

= zxzx 25)2()5( 3 33 3 −=−

Respuesta: La conjugada de 33 25 zx − es 3 233 2 )2()2()5()5( zzxx +⋅+ y el producto

entre ellas es:

( 33 25 zx − ) ))2()2()5()5(( 3 233 2 zzxx +⋅+⋅ = 5x – 2z

Ej.38. Hallar la expresión conjugada de 33 xax −+ .

Solución:

La conjugada de 33 xax −+ es 3 233 2 )()()()( xxaxax +⋅+++ .

Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a :

( 33 xax −+ ) axaxxxaxax =−+=+⋅+++⋅ )())()()()(( 3 233 2

Respuesta: La conjugada de 33 xax −+ es 3 233 2 )()()()( xxaxax +⋅+++ y el producto

entre ellas es:

( 33 xax −+ ) axxaxax =+⋅+++⋅ ))()()()(( 3 233 2

Para expresiones binómicas con radicales de índice cuatro (4), tales como 44 ba − y

44 ba + aplicamos los siguiente productos notables: 443223 )()( yxyxyyxxyx −=+++⋅−

Y 443223 )()( yxyxyyxxyx −=−+−⋅+


Rad icac ión 24

i. La conjugada de 44 ba − es 4 34 24 24 3 bbabaa +⋅+⋅+ , ya que al multiplicar

las dos expresiones, se eliminan las raíces de la expresión, es decir

⋅− )( 44 ba )( 4 34 24 24 3 bbabaa +⋅+⋅+ = baba −=− 4444 )()(

ii. Así mismo la conjugada de 44 ba + es 4 34 24 24 3 bbabaa −⋅+⋅− y al

multiplicarlos:

( 44 ba + ) )( 4 34 24 24 3 bbabaa −⋅+⋅−⋅ = baba −=− 4444 )()(

Ej.39. Hallar la expresión conjugada de 44 313 xx −+ .

Solución:

La conjugada de 44 313 xx −+ es

4 34 24 24 3 )3()3)(13()3()13()13( xxxxxx ++++++

Y el producto de una expresión por su conjugada es igual a:

( 44 313 xx −+ ) ))3()3)(13()3()13()13(( 4 34 24 24 3 xxxxxx ++++++⋅

13)13( =−+= xx

Respuesta: La conjugada de 44 313 xx −+ es

4 34 24 24 3 )3()3)(13()3()13()13( xxxxxx ++++++ y el producto entre ellas es:

( 44 313 xx −+ ) ))3()3)(13()3()13()13(( 4 34 24 24 3 xxxxxx ++++++⋅ =1

Para expresiones binómicas, más generales, con radicales de índice n entero, positivo y

mayor a 1, tales como nn ba − y nn ba + aplicamos los productos notables: nnnnnn yxyyxyxxyx −=++++⋅− −−−− )()( 12321 K

nnnnnnnn yxyyxyxxyx 1112321 )1())1(()( −−−−−− −+=−+++−⋅+ K

donde si n es par entonces (-1)n-1 = -1, si n es impar (-1)n-1 = +1

i. La conjugada de nn ba − es

n nn nn nn nn n bbababaa 1342321 −−−−− +⋅+⋅+⋅+ K

ya que al multiplicar las dos expresiones, se eliminan las raíces de la expresión, es decir :


Rad icac ión 25

( nn ba − ) )( 1342321 n nn nn nn nn n bbababaa −−−−− ++⋅+⋅+⋅+⋅ K =

baba nnnn −=− )()(

ii. Así mismo, la conjugada de nn ba + es

n nnn nn nn nn n bbababaa 11342321 )1( −−−−−− ⋅−++⋅−⋅+⋅− K

y al multiplicarlos:

( nn ba + ) ))1(( 11342321 n nnn nn nn nn n bbababaa −−−−−− ⋅−++⋅−⋅+⋅−⋅ K

baba nnnnnn 11 )1()()1()( −− −+=−+

Si n es par, entonces (-1)n-1 = -1 y si n es impar (-1)n-1 = +1

8. Racionalización

Racionalizar significa eliminar la presencia de radicales bien sea en el numerador o en

el denominador, utilizando procesos matemáticos. Este proceso (racionalización) en principio

requiere que la expresión dada sea multiplicada y

dividida por la conjugada del numerador o denominador (depende de cuál de estas partes se

quiera racionalizar). Veamos el siguiente ejemplo:

Ej. 38. Racionalice el denominador de 3 2

1ab

y simplifique el resultado de ser posible.

Solución: Se multiplica y divide por la

conjugada del denominador. 3 2

1ab

=3 2

1ab

.3 222

3 222

22

baba

Multiplicación de fracciones.

3 2223

3 222

2.22.1

baabba

=

Multiplicación de radicales de igual

índice en el denominador. 3 333

3 222

22

baba

=


Rad icac ión 26

Extracción de factores en el

denominador. =ab

ba243 22

Respuesta: 3 2

1ab

= ab

ba243 22

Ej. 39. Racionalice el denominador de4 2

2

213

xx−

y simplifique el resultado de ser posible.

Solución:

Para racionalizar la expresión 4 2

2

213

xx−

tenemos que dividir y multiplicar por la conjugada

del denominador.

4 2

2

213

xx−

=4 2

2

213

xx−

.( )( )4 32

4 32

21

21

x

x

−

− Se multiplica y divide por la conjugada del

denominador.

Multiplicación de fracciones.

Multiplicación de radicales de igual índice.

Extracción de factores de un radical =

( )( )4 42

4 322

21

213

x

xx

−

−

=( )

2

4 322

21

213

x

xx

−

−

Respuesta: 4 2

2

213

xx−

= ( )

2

4 322

21

213

x

xx

−

−

Ej. 40. Racionalice el denominador de 5 62

2

4

2

yx

xyx y simplifique el resultado de ser posible.

Solución:

Para racionalizar la expresión 5 62

2

4

2

yx

xyx, seguiremos los siguientes pasos:


Rad icac ión 27

Se multiplica y se divide por la

conjugada del denominador. =5 62

2

4

2

yx

xyx.

5 43

5 43

yx

yx

Multiplicación de raíces de diferentes índices en

el numerador.

Multiplicación de raíces de igual índice en el

denominador.

=5 105

10 86552

4

2

yx

yxyxx

⋅

⋅

Multiplicación de potencias de igual base en el

numerador.

Simplificación de radicales en el denominador.

= 2

10 13112

4

2

xy

yxx

= 2

10 32

4

2

xy

xyxyx

Extracción de factores

Multiplicación de potencias y

Simplificación de fracciones = 2

10 33

42

xyxyyx

=yxyx

2

10 32

Respuesta: 5 62

2

4

2

yx

xyx =

yxyx

2

10 32

Ej. 41. Racionalice el denominador 23

2−

y simplifique si es posible.

Solución:

Vamos a racionalizar la expresión 23

2−

=23

2−

.2323

++

Se multiplica y se divide por la

conjugada del denominador.

=( )

( ) ( )2323232+−

+


Rad icac ión 28

Propiedad distributiva en el numerador y

producto notable, suma por diferencia, en el

denominador.

= 22 23

226

−

+

=29

226−

+=

7226 +

Respuesta: 23

2−

=7

226 +

Ej. 42. Racionalice el denominador 3

3

3233

+− , simplifique si es posible.

Solución:

Primero convertimos el denominador como un binomio de raíces con el mismo índice: 333 3832 +=+ , entonces nos queda:

3

3

3233

+− =

33

3

3833

+−

Multiplicamos y dividimos por la

conjugada del denominador. =33

3

3833

+− .

)3388()3388(

3 233 2

3 233 2

+⋅−

+⋅−

Se aplica propiedad distributiva en el

numerador y se resuelve el

denominador. =

)3388()38(

)3388()33(3 233 233

3 233 23

+⋅−⋅+

+⋅−⋅−

3333

333333333

)3()8()9324364393243643(

+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅

=

Multiplicación de radicales y extracción de factores:

4464 3 33 == y 333 33 333 3232323824 ⋅=⋅=⋅=⋅=

38)93243439332343( 33333

+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅−⋅

=


Rad icac ión 29

Se agrupan los términos semejantes 11

)39234933612( 3333 −⋅+⋅−⋅+⋅−=

11)953109( 33 ⋅+⋅−

=

Respuesta: 3

3

3233

+−

11)953109( 33 ⋅+⋅−

=

Ej. 43. Racionalice el numerador de x

x 33 −+ , simplifique si es posible.

Solución:

xx 33 −+

= ⋅−+

xx 33

3333

++++

xx

Este es el signo que cambia, no el signo que

esta bajo el radical

Multiplicamos y dividimos por

la conjugada del numerador.

( )( )( )33

3333++

++−+=

xxxx

Se resuelve el numerador y se aplica

propiedad distributiva en el

denominador.

=( ) 22

3333

xxxx

++−+

=xxx

x33

93++−+

= xxx

x33

6++

−

Respuesta: x

x 33 −+ =xxx

x33

6++

−

Ej. 44. Racionalice el numerador ( )

hxhx 11 22 +−++ , simplifique si es posible.

Solución:

Multiplicamos y dividimos la expresión ( )

hxhx 11 22 +−++ , por la conjugada del

numerador.


Rad icac ión 30

( )

hxhx 11 22 +−++

=( )

hxhx 11 22 +−++

.( )( ) 11

1122

22

++++

++++

xhx

xhx

=( ) ( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++

+−++

11

11)(22

22

22

xhxh

xhx

=( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

+−++

11

)1(122

22

xhxh

xhx

=( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

−−+++

11

11222

222

xhxh

xhxhx

=( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

+

11

222

2

xhxh

hxh

=( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++

+

11

222 xhxh

hxh =

( ) 11

222 ++++

+

xhx

hx

Desarrollamos el producto notable

(x+h)2 en el numerador.

Factorizamos y simplificamos

Respuesta: ( )

hxhx 11 22 +−++ =

( ) 11

222 ++++

+

xhx

hx

Ej. 45. Racionalice el numerador de12274

,simplifique si es posible.

Solución: Es conveniente comenzar por descomponer en

factores primos, la cantidad sub-radical, 27 = 33.

12274

Se multiplica y se divide por la conjugada del numerador.

=1234 3

.4

4

33

Multiplicación de raíces de igual

índice.

=4

4 4

3123


Rad icac ión 31

=4 3123

=4 341

Respuesta: 12274

=4 341

Ej. 46. Racionalice el numerador de 2

35 44

+−+

xx , simplifique si es posible.

Solución:

Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador de la expresión

.2

35 44

+−+

xx =

235 44

+−+

xx .

4 34 24 24 3

4 34 24 24 3

33)5(3)5()5(

33)5(3)5()5(

+⋅++⋅+++

+⋅++⋅+++

xxx

xxx

Se resuelve el numerador:

=)33)5(3)5()5()(2(

)33)5(3)5()5(()35(4 34 24 24 3

4 34 24 24 344

+⋅++⋅++++

+⋅++⋅+++⋅−+

xxxx

xxxx

=)33)5(3)5()5()(2(

)3)5((4 34 24 24 3

4 44 4

+⋅++⋅++++

−+

xxxx

x

=)27)5(9)5(3)5()(2(

3)5(444 24 3 ++⋅++⋅+++

−+

xxxxx

)27)5(9)5(3)5()(2(

)2(444 24 3 +++++++

+=

xxxxx

Simplificación de radicales y de fracciones.

Se agrupan los términos semejantes y simplificamos

)27)5(9)5(3)5((1

444 24 3 ++++++=

xxx

Respuesta: 2

35 44

+−+

xx

)27)5(9)5(3)5((1

444 24 3 ++++++=

xxx


Rad icac ión 32

Ejercicios Propuestos

Resuelva las siguientes operaciones:

1) 2222 41692 mnmnnmnm −+− R: nmmn −2

2) 154499 −−−+− xxx R: 0

3) ( )( )xaaxaa +++− 3223 R: xaxa 65 2 −+

4) 6 24 32 125.25 xyx R:

12 9105 yx

5) 4 3226 543 318 zyxzyx ÷ R:

12 212 zy

En los siguientes ejercicios racionalice el denominador en cada expresión.

1) 4 3255

1

xa R: 4 25

251 xax

⋅

2) 2222

−+++

xx

R:

xxx 4224 +++

3) babababa

−++−−+

xaxa

++2

R: b

baa 22 −−

R:xa

axxa−−−2

En los siguientes ejercicios racionalice cada una de las siguientes expresiones:

1) 3

12 33

+−++

xxx

R: ))1()1)(2()2()(3(

33 233 2 xxxxx −+−+−++

2) x

xx 44 34 + R:

4 34 34 34 3 27364864(1

xxxx −+−

3) 44 1213 +−+ xx

x

R: 4 3

4 24 24 3

)12(

)12)(13()12()13()13(

++

+++++++

x

xxxxx

4) 33 2 1621

5

+−+

−

xx

x R:

3)162()162)(1()1( 3 23 23 22

+++++++

xxxxx

5) 16

42

55

−+

xx

R: ( )555 25 35 4 25664164)4(1

+−+−− xxxxx


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CIU RM IX Radicaci n