CK Teorije Cvrstoce

1/51

TEORIJE (hipoteze) VRSTOE

Osnovno stanje naprezanja:

x

y

x x

xy=yx

xy

d d x

d

d y

x

z

dy

d z

z

a) jednoosno stanje naprezanja, x b) isto smicanje, xy Slika 1. Optereenje elementarnog volumena dV

2/51

Kriteriji dimenzioniranja kod osnovnog stanja naprezanja:

aksijalno optereenje, isto savijanje (samo normalno naprezanje):

max dop

isto uvijanje, smicanje (samo tangencijalno naprezanje):

max dop

3/51

Sloeno stanje naprezanja:

yx

xy

zdyd

xdxz

y

yx

xy

zd

yd

xd

yz

zyzx

xz

x

z

x x

y

y y

a) dvoosno stanje naprezanja b) troosno stanje naprezanja

Slika 2. Optereenje elementarnog volumena dV

4/51

Tenzor naprezanja:

dvoosno (ravninsko) stanje:

xx xy x xyij

yx yy yx y[ ]

= = =

troosno (prostorno) stanje:

xx xy xz x xy xz

ij yx yy yz yx y yz

zx zy zz zx zy z

[ ]

= = =

5/51

( , , ) (1, 2, 3)x y z glavne osi naprezanja:

zdyd

xdzd

yd

xd

2

31

1 1

2

2

1

2

3

a) dvoosno stanje naprezanja b) troosno stanje naprezanja

Slika 3. Glavna naprezanja

6/51

Tenzor naprezanja:

dvoosno (ravninsko) stanje:

1ij

2

0[ ]0

= =

troosno (prostorno) stanje:

1

ij 2

3

0 0[ ] 0 0

0 0

= =

7/51

Kriteriji dimenzioniranja pri sloenom stanju naprezanja?

Eksperimenti su preskupi ili neizvedivi!

8/51

Hipoteze o teenju (plastifikaciji) i lomu materijala teorije (hipoteze) vrstoe.

Teorije vrstoe:

duktilni materijali kriteriji teenja (engl. yielding criteria)

krhki materijali kriteriji loma (engl. failure criteria)

Teorije vrstoe nastoje predvidjeti pojavu kritinog stanja u toki napregnuta tijela kod sloenog stanja naprezanja.

Kritino stanje pojava loma ili trajnih (plastinih) deformacija

9/51

Hipoteza: Kritino stanje u toki napregnutog tijela pri sloenom (dvoosnom ili troosnom) stanju naprezanja nastupa onda kada maksimalna vrijednost najutjecajnijega faktora dostigne graninu (kritinu) vrijednost toga faktora pri jednoosnom stanju naprezanja.

Kritino stanje pri jednoosnom stanje naprezanja: Aksijalno optereeni tap izraen od istog materijala kao i tijelo, doveden u stanje loma, odnosno trajnih (plastinih) deformacija.

10/51

Kriterij dimenzioniranja kod sloenog stanja naprezanja: ekv dop (1)

ekv ekvivalentno (efektivno, reducirano normalno) naprezanje odreuje se primjenom neke od teorija vrstoe!

Doputeno normalno naprezanje:

T Mdop dop

T M

ilif f f

= = =

SLOENO STANJE

NAPREZANJA

JEDNOOSNO STANJE

NAPREZANJA

11/51

1. Teorija najveeg normalnog naprezanja

Galileo (17. st.)

Lame, Navier i Rankine

Rankinov kriterij teenja (loma)

engl. Maximum Principal Stress Criterion or Rankine's criterion

12/51

Hipoteza: Kritino stanje u toki napregnutog tijela pri sloenom stanju naprezanja nastupa onda kada najvee normalno naprezanje postigne kritinu vrijednost normalnog naprezanja pri jednoosnom stanju naprezanja.

13/51

Kriterij vrstoe za troosno stanje naprezanja: ( )ekv max 1 2 3 dopmax , , = = (3)

Za materijale s razliitom vlanom i tlanom vrstoom:

vlano optereenje:

ekv 1 v dop 1, 0 = < > (4a)

tlano optereenje:

ekv 3 t dop 3, 0 = < < (4b)

Dobri rezultati samo za krhke materijale u podruju vlaka.

14/51

Ravno savijanje silama:

2 2ekv 1,2 dop

1 1 42 2

= = + (5a)

isto smicanje:

1 2 = =

ekv 1 dop = =

dop dop = (!?) (5b)

15/51

O

1 1

1

1

2 / dop

max

1 / dop

isto smicanje

=

45o

1 1

2

2

Slika 5. Krivulja teorije vrstoe

16/51

2. Teorija najvee duljinske deformacije

Mariotte (17. st.)

Saint-Venant, Poncelet, Grashof i Bach

Saint-Venantov kriterij teenja (loma)

engl. Maximum Principal Strain Criterion or St. Venant's criterion

17/51

Hipoteza: Kritino stanje u toki napregnutog tijela pri sloenom stanju naprezanja nastupa onda kada najvea duljinska deformacija postigne kritinu vrijednost duljinske deformacije pri jednoosnom stanju naprezanja, tj.

( ) dopmax 1 2 3 dopmax , , E

= = (6)

18/51

zd

yd

xd

3

1

2

2

31


Glavne deformacije:

( )31 21 1 1 1 1 2 31 vE = + + = + (7a)

( )32 12 2 2 2 2 3 11 vE = + + = + (7b)

( )3 1 23 3 3 3 3 1 21 vE = + + = + (7c)

19/51

Kriterij vrstoe za troosno stanje naprezanja:

( )ekv i j k dopi j kmax = + (8)

Kriterij vrstoe za dvoosno (ravninsko) stanje naprezanja: ekv i j dopi j

max

= (9)

eksplicitni oblik:

ekv 1 2 dop = (10a) ili

ekv 2 1 dop = (10b)

Dobri rezultati za krhke materijale, a loi za plastine materijale.

20/51


2 2ekv dop

1 1 42 2

+

= + (11a)

Za = 0,3:

2 2ekv dop0,35 0,65 4 = + (11b)

isto smicanje:

1 2 = =

( ) ( )ekv 1 dop1 1 = + = + Za = 0,3:

( )dop dop

dop dop0,7691 1,3

= = =

+ (12)

21/51

O

1 1

1

1

2 / dop

max

1 / dop

max

( )1 1 ( )1 1 +

isto smicanje


22/51

3. Teorija najveeg tangencijalnog naprezanja

Coulomb (18. st.)

Guest, Mohr i Tresca

Trescin kriterij teenja (loma)

engl. Maximum Shear Stress Criterion or Tresca's criterion

23/51

Hipoteza: Kritino stanje u toki napregnutog tijela pri sloenom stanju naprezanja nastupa onda kada najvee tangencijalno naprezanje postigne kritinu vrijednost tangencijalnog naprezanja pri jednoosnom stanju naprezanja, tj.

( ) dopmax I II III dopmax , , 2

= = (13)

24/51

Ekstremne vrijednosti tangencijalnog naprezanja pri troosnom stanju naprezanja:

( )I 2 312 = (14a)

( )II 1 312 = (14b)

( )III 1 212 = (14c)

25/51

Kriterij vrstoe za troosno stanje naprezanja: ( )ekv 2 3 1 3 1 2 dopmax , , = (15)

Kriterij vrstoe za dvoosno (ravninsko) stanje naprezanja (3 = 0): ( )ekv 2 1 1 2 dopmax , , = (16) 1 i 2 istog predznaka:

ekv 1 dop ekv 2 dopili = = (17a)

1 i 2 razliitog predznaka:

ekv 1 2 dop = (17b)

Dobri rezultati za plastine materijale, a loi za krhke materijale.

26/51


2 2ekv dop4 = + (18a)

isto smicanje:

1 2 = =

ekv 1 2 dop2 = =

dopdop dop0,52

= = (18b)

27/51

O

1 1

1

1

2 / dop

max

1 / dop

isto smicanjemax


28/51

4. Teorija najvee distorzijske energije

M. T. Huber (1904), R. Von Mises (1913), H. Hencky (1925)

teorija HMH, teorija von Misesa

von Misesov kriterij teenja (loma)

engl. Distorsional Energy Density Criterion or von Mises criterion

29/51

Hipoteza: Kritino stanje u toki napregnutog tijela pri sloenom stanju naprezanja nastupa onda kada gustoa distorzijske energije postigne kritinu vrijednost iste pri jednoosnom stanju naprezanja.

30/51

Deformiranje tijela:

promjena volumena (dilatacija)

promjena oblika (distorzija)

31/51

Potencijalna energija deformiranja (rad unutranjih sila), UUUU (Nm = J):

dio koji se odnosi na promjenu volumena dilatacijska energija

hUUUU

dio koji se odnosi na promjenu oblika distorzijska energija

dUUUU

32/51

Tenzor naprezanja za glavne osi naprezanja:

1

ij 2

3

0 0[ ] 0 0

0 0

= =

Dekompozicija tenzora naprezanja:

o o

ij ij ij il [ ] [ [i ] ]S S = + = +

33/51

Dijelovi tenzora naprezanja:

sferni dio:

0o o

ij 0 1 2 30 m

0

0 0[ ] 0 0

0 0 3

= = + + = =

Srednje normalno :naprezanje

devijatorski dio:

1 0

ij 2 0

3 0

0 0[ ] 0 0

0 0S S

= =

34/51

3

1

2

0

0

0

3

1

2 0

0

0

Sferni tenzor naprezanja0ij

Devijator naprezanjaS ij

Tenzor naprezanjaij

a) stanje naprezanja b) prvo sastavno stanje c) drugo sastavno stanje Slika 9. Sastavna stanja naprezanja

35/51

Za izotropan materijal:

prvo sastavno stanje naprezanja:

0

0

0

promjena volumena

drugo sastavno stanje naprezanja:

3

1

2 0

0

0

promjena oblika

36/51

Osnovno stanje naprezanja:

xz

y

zd

yd

xd

x x

xy=yx

dy

d z

d x

xy

a) jednoosno stanje naprezanja, x b) isto smicanje, xy Slika 10. Optereenje elementarnog volumena dV

37/51

Linearna veza naprezanjedeformacija:

O

x

x

Slika 11. Veza x x

Hookeov zakon:

x x xy yx xy,E G = = =

E modul elastinosti ili Youngov modul

tan const.E = =

G modul smicanja ili Coulombov modul

( )2 1EG

=

+

Poissonov broj (koeficijent)

38/51

Rad unutranje sile (x dy dz) potencijalna energija deformiranja akumulirana u elementarnom volumenu njegovim deformiranjem:

xz

yx x

zd

yd

xd xdxxd =

( ) ( )x x x x1 1d d d d d2 2y z x V = =UUUU (19a)

2x

1d d2

VE

=UUUU (19b)

39/51

Rad unutranje sile (xy dx dz) potencijalna energija deformiranja akumulirana u elementarnom volumenu njegovim deformiranjem:

zd

yd

xd

xy xy

yx= xy

xy

z x

y

dxytan y

( ) ( ) ( ) ( )xy xy xy xy xy xy1 1 1d d d tan d d d dy d2 2 2x z y x z V = =UUUU (20a)

2xy

1d d2

VE

=UUUU (20b)

40/51

Gustoa potencijalne energije deformiranja (engl. strain energy density), UUUU0 (J/m3):

2x

0 x xd 1d 2 2V E

= = =

UUUUUUUU

2xy

0 xy xyd 1d 2 2V G

= = =UUUUUUUU (21)

O

x

x

0

0

Slika 12. Gustoa potencijalne energije deformiranja kod linearne veze x x

41/51

Dvoosno stanje naprezanja:

y

y

xx


Komponente tenzora deformacije:

( )yxx x xx yx y1E E E

= + = = (22a)

( )yxy y xx yyy 1E E E

= + = + = (22b)

42/51

Potencijalna energija deformiranja akumulirana u elementarnom volumenu dV njegovim deformiranjem:

( )x x y y1d d2 V = +UUUU (23)

Gustoa potencijalne energije deformiranja:

( )0 x x y yd 1d 2V = = +UUUU

UUUU (24)

Iz Hookeova zakona:

( )2 20 x y x y12E E

= + UUUU (25)

43/51

Potencijalna energija deformiranja za troosno stanje naprezanja akumulirana u elementarnom volumenu dV njegovim deformiranjem:

( )x x y y z z xy xy yz yz zx zx1d d2 V = + + + + +UUUU (26)

Gustoa potencijalne energije deformiranja:

( )0 x x y y z z xy xy yz yz zx zxd 1d 2V = = + + + + +UUUU

UUUU (27)

Iz Hookeova zakona:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 20 x y z x y y z z x xy yz zx1 12 2E E G

= + + + + + + +UUUU (28)

44/51

Za glavne osi naprezanja:

3

1

2

( )2 2 20 1 2 3 1 2 2 3 3 11 22E = + + + + UUUU (29)

45/51

Dekompozicija gustoe potencijalne energije deformiranja: 0 0h 0d= +U U UU U UU U UU U U (30) Dijelovi gustoe potencijalne energije deformiranja:

gustoa dilatacijske energije:

0h 0 v12

=UUUU (31a)

gustoa distorzijske energije:

0d 0 0h= U U UU U UU U UU U U (31b)

46/51

Volumenska (obujamska) deformacija za sluaj malih deformacija: v m 1 2 3 = + +

iz Hookeova zakona, izraz (7):

( )v 1 2 31 2E

= + +

( ) 1 2 3v

3 1 23E

+ +=

( )0

v , 3 1 2EK

K

= =

(32)

K modul kompresije (engl. bulk modulus)

47/51

Izraz (32) izraz (31a) gustoa dilatacijske energije:

( ) 220 1 2 30h

3 1 22 2 3K E

+ + = =

UUUU (33)

Izraz (33) izraz (31b) gustoa distorzijske energije: 0d 0 0h= U U UU U UU U UU U U

( ) ( )2

1 2 32 2 20d 1 2 3 1 2 2 3 3 1

1 22 18E K

+ + = + + + + UUUU

( ) ( ) ( )2 220d 1 2 2 3 3 116E

+ = + +

UUUU (34)

48/51

Doputena gustoa distorzijske energije pri jednoosnom naprezanju naprezanja (1 = dop, 2 = 3 = 0):

20d, dop dop

13E

+=UUUU (35)

Hipoteza teorije: 0d 0d, dopU UU UU UU U (36)

Izrazi (34) i (35) izraz (36): ( ) ( ) ( )2 22 21 2 2 3 3 1 dop2 + +

49/51

Kriterij vrstoe za troosno stanje naprezanja:

( ) ( ) ( )2 22ekv 1 2 2 3 3 1 dop12 = + + (37)

Kriterij vrstoe za dvoosno (ravninsko) stanje naprezanja (3 = 0):

2 2ekv 1 2 1 2 dop = + (38)

50/51


2 2ekv dop3 = + (39a)

isto smicanje:

1 2 = =

2 2ekv 1 2 1 2 dop3 = + =

dopdop dop0,5773

= = (39b)

51/51

O

1 1

1

1

2 dop

max

1 / dop

max

isto smicanje

von Mises (HMH)


Documents

CK Teorije Cvrstoce