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daniel-santillan
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Retículos isomorfos
Definición:
Sea (L ,≼) y (L ,≼ ) dos retículos y f : A⟶ A una función biyectiva y f :L⟶ L es un isomorfo si:
f (a∨b )=f (a)∨ f (b) ∀a ,b∈L
f (a∧b )=f (a)∧ f (b)
Definición: si dos retículos son isomorfos como conjuntos parcialmente ordenados son llamados retículos isomorfos.
Ejemplos:
Sea L=D c= {1,2,3,6 } la retícula de los divisores de 6 con diagrama de hasse:
Y sea L=P (S ) donde S= {a ,b }
(P (s ) ,⊆) P (s )= {{a } , {b } , {a ,b } ,∅ }
6
32
1
{a ,b }
{b }{a }
∅
D6 y P(s) son isomorfos como conjuntos parcialmente ordenados, pues sus diagramas de hasse son iguales.
Luego, debido a que los retículos son isomorfos como conjuntos parcialmente ordenados, se tiene que son retículos isomorfos.
Observación:
1) a≼ a∨ba≼ a∨b
2) a≼c∧b≼ c⟹a∨b≼ c
1) a∧b≼aa∧b≼b
2) c≼a∧c≼b⟹c≼ a∧b
Teorema 2:
Si L es un reticulo entonces:
i. a∨b=b⇔a≼bii. a∧b=a⇔a≼b ∀a ,b∈ L
iii. a∧b=a⇔a∨b=b
Demostración:
i.1) ⟹⊐a∨b=b⟹a≼b
En efecto:
a≼ a∨b………… (Definición de a y b)
Por hipótesis: a∨b=b
Luego
a≼ a∨b=b
a∨b Es cota superior de a y de b
a∨b Es la menor cota superior de a y de b
a∧b Es cota inferior de a y b
a∧b Es la mayor cota inferior de a y b
a≼b
2) ⟸⊐a≼b⟹a∨b=b
En efecto:
Supongamos que
a≼b
Además se tiene que b≼b (b es cota superior de a y b)
Luego: a∨b≼b
De la observación se tiene que
b≼a∨b
Luego de a a∨b≼b∧b≼ a∨b se tiene que a∨b=b
ii.1. ⟹⊐a∧b=a⟹a≼ b
En efecto
a∧b≼b (Definición de ínfimo de a y b)
Por hipótesis:
a=a∧b≼b
∴a≼ b
2. ⟸⊐a≼b⟹a∧b=a
En efecto:
Supongamos que
a≼b
Además se tiene que a≼b
Luego: a≼ a∧b
De la observación se tiene que
a∧b≼a
Luego de a a≼ a∧b∧a∧b≼a se concluye que a∧b=a
iii. De ii. Se tiene que:a∧b=a⇔a≼b⇔a∨b=b
∴a∧b=a⇔a∨b=b
Ejemplo:
Sea L un conjunto linealmente ordenado (totalmente ordenado). Por definición, si L es totalmente ordenado entonces:
a≼b∨b≼a ∀a ,b∈L
Por el teorema 2 se tiene que L es una retícula, pues ∀a ,b∈L
a≼b b≼a
a∧b=a b∧a=b
a∨b=b a∨b=a
∴L es una retícula.
Es decir toda pareja de elementos tiene supremo e ínfimo, en consecuencia, Les una retícula.
Teorema 3
Sea L una retícula
1) a∨a=aa∧a=a
2) a∨b=b∨aa∧b=b∧a
3) a∨ (b∨c )=(a∨b)∨ ca∧ (b∧c )=(a∧b)∧ c
4) a∨ (a∧b )=aa∧(a∧b)=a
(Idempotencia)
(Conmutatividad)
(Asociativa)
(Absorción)
Tipos especiales de retículos
Retícula acotada
Definición:
Una retícula L es acotada si tiene un elemento máximo I y un elemento mínimo O.
Ejemplo:
Ejemplo:
¿
¿ Es una retícula no acotada pues no tiene elemento máximo.
Ejemplo:
La retícula (P(S) ,⊆) Es acotada pues su elemento mínimo ∅ y su elemento máximo es S.
Observación:
I
ba
O
Retícula
1
Sea L una retícula acotada para todo a∈ L,0≤a≤ I se cumple:
a⋁O=a a∧O=O
a⋁ I=I a∧ I=a
Teorema 4.
Si L= {a1 , a2 , a3 ,………………,an } es una retícula finita
Entonces L es acotada.
Retícula distributiva:
Definición:
Una retícula L es si para toda a ,b , c∈L
i. a∧ (b∨c )=(a∧b )∨(a∧ c)
ii. a∨ (b∧c )=(a∨b )∧(a∨ c)
Ejemplo 1:
La retícula ( p (s ) ,⊆) es distributiva pues para todo A ,B ,C∈ P (S ) se tiene que
A∧ (B∨C )=A∩ (B∪C )= (A∩B )∪ ( A∩C )=( A∧B )∨ ( A∧C )
A∨ (B∧C )=A∪ (B∩C )= (A∪B )∩ ( A∪C )=( A∨B )∧ ( A∨C )
Ejemplo 2:
La retícula
I
db
a c
O
a∧ (b∨c )=(a∧b )∨ (a∧ c )
a∧ I=a∨O
a=a
a∨ (b∧c )=(a∨b )∧(a∨ c)
a∨O=b∧d
a=a
Definición:
Sea L una retícula acotada con elemento máximo I y elemento mínimo O el elemento a ∈ L es un complemento de a∈ L si a⋁ a y a⋁ a =O
I
c
a
b
O
AI
ba
O
B
1) a∨ (b∧c )=(a∨b )∧(a∨ c)
a∨O=a∧ I
a=a
2) a∧ (b∨c )=(a∧b )∨ (a∧ c )
a∧ I=b∨O
a≠b
No es distributiva debido que 1 y 2 son diferentes.
1) a∧ (b∨c )=(a∧b )∨ (a∧ c )
a∧ I=O∨O
a=O
No es retícula distributiva
Teorema 5.
Una retícula L es ni distributiva ⇔ contiene una subretícula isomorfa a la retícula A o a la retícula B
Ejemplo:
Ejemplo:
Definición:
Sea L una retícula acotada con elemento máximo I y elemento mínimo O.
ca
O
g
fe
b
d
Esta retícula no es distributiva pues contiene una subretícula isomorfa a la retícula B
D
EC
B
O
F
C∧ (B∨E )=(C∧B )∨ (C∧E )
A∧O=B∨ A
A≠B
Esta retícula no es distributiva, pues posee una retícula isomorfa a la retícula A
El elemento a ´∈ L es un complemento de a∈ L si:
a∨a ´=I
a∧a ´=O
Nota: el complemento de O∈L es I∈ L pues:
O∨ I=I
O∧ I=O
∴O´=I
el complemento de I∈ L es O∈L pues:
I∨O=I
I∧O=O
∴ I ´=O
Ejemplo:
La retícula (P (S ) ,⊆) es tal que cada elemento A∈P (S ) tiene su complemento ya que
A∈P (S )⇒ Su complemento es A´ pues:
A∨ A ´=A∪A ´=S
A∧ A ´=A∩ A´=∅
Ejemplo:
Cada una de las retículas
I
c
a
b
O
ca
O
b
d
Retícula A Retícula B
Tiene la propiedad de que todo elemento tiene complemento.
En la (retícula A)
C tiene dos complementos los, cuales son a y b pues:
c∨b=I
c∧b=O
c∨a=I
c∧a=O
En la (retícula B)
C tiene dos complementos los cuales son a y b pues:
c∨a=I
c∧a=O
c∨b=I
c∧b=O
Ejemplo:
D20= {1 ,2 ,4 ,10 ,20 }
a∨ c=I
a∧ c=I a ´=c
20
104
2 5
1
El elemento 10 no tiene complemento
El elemento 2 no tiene complemento
Observación:
De los ejemplos anteriores se observa que una retícula puede tener elementos que no tiene complemento o tiene más de un complemento. (Es decir, no hay unidad del complemento de un elemento.)
Teorema 6.
Si L es una retícula distributiva acotada entonces si un elemento tiene complemento dicho complemento es único.
Demostración:
Supongamos que a ´ y a ´ ´ son complementos de a∈ L entonces:
a∨a ´=I a∨a ´ ´=I
a∧a ´=Oa∧a´ ´=O
a ´=a´∨O=a´∨ (a∧a ´ ´ )= (a ´∨a )∧ (a∨a ´ ´ )=I∧ (a ´∨a ´ ´ )=a´∨a´ ´
a ´ ´=a ´ ´∨O=a ´ ´∨ (a∧a ´ )= (a ´ ´∨a )∧ (a´ ´∨a´ )…… (α )
I∧ (a ´ ´∨a ´ )=a´ ´∨a´ ….(β)
De α y β se tiene que a ´=a´ ´
Por lo tanto el complemento es único.
Retículas complementadas
Definición:
Una retícula L es complementada si es acotada y si cada elemento tiene un complemento.
Ejemplo:
La retícula (P (S ) ,⊆) es un complementada del teorema 6 se tiene que cada elemento de P (S ) tiene complemento único.