Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013 1 UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare

Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

1

UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI

• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici

3 dicembre 2013


2

I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO (da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.168)

Sandra ha un cartoncino rosso rettangolare i cui laticonsecutivi sono lunghi 22cm e 11cm. Da esso vuol ritagliare dei bigliettini segnaposto rettangolari icui lati consecutivi siano lunghi 5cm e 3cm.Quanti bigliettini segnaposto, al massimo, Sandra può otteneredal cartoncino rosso?Qual è l’area della parte di cartoncino che avanza?

o Rispondi alle domande e spiega il procedimento che hai seguito.………………………………………………………………………………


3

Nel disegno è rappresentato il cartoncino in scala, in modo che ad ogni quadrettocorrisponde 1cm2. Mostra come devono essere disposti i bigliettini segnaposto cheSandra può ricavare.Se hai bisogno di fare più tentativi utilizza un foglio con la stessa quadrettatura.

Sei riuscito a rappresentare nel cartoncino il numero massimo di bigliettini che avevi calcolato? ………………………………………………….Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.


4

I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO Sandra ha anche un cartoncino giallo rettangolare i cui lati

consecutivi sono lunghi 22cm e 11cm. Da esso vuole ricavare il

massimo numero di bigliettini segnaposto di forma rettangolare e con

i lati consecutivi lunghi 6cm e 4cm.

Quanti bigliettini segnaposto, al massimo, Sandra può ottenere dal

cartoncino giallo?

Qual è l’area della parte di cartoncino che avanza?

* Rispondi alle domande e spiega il procedimento che hai seguito.

………………………………………………………………………………………


5

Nel disegno è rappresentato il cartoncino in scala, in modo che ad ogni quadrettocorrisponde 1cm2. Mostra come devono essere disposti i bigliettini segnaposto cheSandra può ricavare.Se hai bisogno di fare più tentativi utilizza un foglio con la stessa quadrettatura.

Sei riuscito a rappresentare nel cartoncino il numero massimo di bigliettini che avevi calcolato? ………………………………………………….Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.


6

I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO Analisi del compito e dei possibili sviluppi

Il problema si presta a significativi confronti tra le strategie risolutive adottate dagli alunni, strategie che possono condizionare la soluzione. Entrambe le parti di cui si compone il problema possono essere risolte aritmeticamente, operando sulle misure, in centimetri quadrati, delle aree dei rettangoli

-Misura dell’area del cartoncino rosso: 22 11 = 242

-Misura dell’area bigliettino segnaposto: 5 3 = 15

-numero bigliettini: 242 15 = 16 con resto 2

-Misura dell’area bigliettino segnaposto: 6 4 = 24

-numero bigliettini: 242 24 = 10 con resto 2


7

I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO

Il problema maggiore consiste nel disporre il numero di bigliettini,

ricavato aritmeticamente, nel cartoncino: la divisione dà il numero

massimo di bigliettini ottenibili dal cartoncino, ma non è detto che tale

numero possa essere concretamente ricavato, dato che si deve tenere

conto non solo dell’area, ma anche della forma e delle lunghezze dei

lati dei bigliettini. Si suggerisce di prevedere la possibilità che gli alunni

lavorino anche manipolativamente, oltre che graficamente.

Gli alunni in genere tendono a sistemare i bigliettini con lo stesso

orientamento nel rettangolo più grande, ma in tal modo non si riescono

a ottenere i bigliettini calcolati.

Nella prima parte della scheda 43a, alcuni tentativi errati possono

essere quelli di seguito rappresentati in scala:


8


Bigliettini ottenuti : 12 Area della parte di cartoncino avanzato: 62cm2


9


Bigliettini ottenuti : 15 Area della parte di cartoncino avanzato: 17cm2


10

Sono possibili diverse disposizioni del numero massimo di bigliettini; per ottenerle, spesso gli alunni riformulano il problema: tentano di ricoprire il più possibile la metà del cartoncino, poi “ripetono” la disposizione nella seconda metà. Tale “ripetizione” avviene con l’uso, più o meno esplicitamente verbalizzato, di diverse isometrie, come mostrano i seguenti disegni in scala:Bigliettini ottenuti : 16 Area della parte di cartoncino avanzato: 2cm2

Il rettangolo principale è diviso in due parti congruenti dal segmento più marcato; la disposizione dei rettangoli più piccoli in una parte è la traslata di quella nell’altra parte.


11

In questo caso la disposizione dei bigliettini in una parte è simmetrica, rispetto alla retta del segmento evidenziato, di quella nell’altra parte.


12

O .

In questo caso la disposizione dei bigliettini è invariante rispetto alla simmetria centrale (o rotazione di 180°) di centro O.


13

Osserviamo che…

In ognuna delle disposizioni, otto rettangoli sono disposti con orientamento 5 3 e otto con orientamento 3 5. Infatti, confrontando le misure, in centimetri delle lunghezze dei lati dei due tipi di rettangoli si ha:

11 = (3 2) + 5 quindi sul lato lungo 11cm possono essere appoggiati, senza resto, due rettangoli con il lato lungo 3cm e un rettangolo con il lato lungo 5cm

22 = (3 4) + (5 2) quindi sul lato lungo 22cm possono essere appoggiati, senza resto, quattro rettangoli con il lato lungo 3cm e due rettangoli con il lato lungo 5cm.


14

Nella seconda parte del problema nella scheda 43a, la situazione si complica perché il calcolo non dà il numero di cartoncini effettivamente contenuti nel rettangolo.Infatti il numero 11 non può essere ottenuto con gli addendi 6 e 4, mentre per il 22 si hanno due possibilità:

(4 4 ) + 6 = 22 oppure (6 3) + 4 = 22

Bigliettini ottenuti : 9 Area della parte di cartoncino avanzato: 26 cm2.


15

SPOSTAMENTI NELLO SPAZIO E NEL PIANO

• Esecuzione di spostamenti nello spazio

• Rappresentazione di spostamenti nel piano: avvio allo studio delle linee

livello 6 – 8 anni


16

ITINERARIO DIDATTICO

1. Esecuzione di spostamenti nello spazio

1.1Esecuzione di percorsi legati

- all’esplorazione dell’ambiente - al gioco

- alla fiaba


17

ESPLORAZIONE DELLO SPAZIO INTERNO ED ESTERNO ALL’EDIFICIO SCOLASTICO finalizzato a:

•Far conoscere ai bambini il nuovo ambiente

•Mettere in rilievo la necessità dei punti di riferimento

•Sperimentare la nozione di verso

ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL GIOCO

•I giochi come il girotondo contribuiscono all’intuizione di linea chiusa

•I percorsi e i giochi di lancio della palla possono portare all’intuizione di linea aperta


18

ESECUZIONE DI PERCORSI LEGATI AL MONDO FANTASTICO

•Racconti come Pollicino, Cappuccetto Rosso presentano uno svolgimento anche spaziale

IN GENERALE L’ ESECUZIONE DI PERCORSI FAVORISCE LO SVILUPPO DELLE CAPACITÀ DI ORIENTAMENTO NELLO SPAZIO

L’esecuzione di percorsi deve essere accompagnata dalla verbalizzazione e dalla rappresentazione grafica che favoriscono la presa di coscienza delle relazioni spaziali e la padronanza del linguaggio (verbale e grafico) .


19

VARI TIPI DI PERCORSI

• Percorsi liberi

• Percorsi guidati

ATTENZIONE

I percorsi che si considerano devono essere accompagnati dalla condizione secondo la quale non è possibile “ritornare sui propri passi”


20

RIFLESSIONE E ANALISI caratteristiche dei percorsi effettuati

• il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono

• il punto di partenza e il punto di arrivo sono distinti

• si passa una sola volta da ogni punto

• si passa più di una volta per uno stesso punto


21

ITINERARIO DIDATTICO

2. Rappresentazione di spostamenti nel piano

2.1 Rappresentazione di percorsi su foglio bianco

- esplicitazione dei concetti di linea e verso

- distinzione di linee aperte/chiuse, semplici/intrecciate - confini e regioni


22

CLASSIFICAZIONI E LORO RAPPRESENTAZIONI

Diagramma ad albero

APERTA

CHIUSA

SEMPLICE

INTRECCIATA

SEMPLICE

INTRECCIATA

LINEE


23

Diagramma di Carroll

SEMPLICE INTRECCIATA

CHIUSA

APERTA


24

Diagramma di Eulero - Venn

LINEE

semplice chiusa

ab

d

c


25

REGIONI E CONFINIUna linea chiusa e semplice suddivide il piano in due regioni, distinte in regione interna e regione esterna rispetto alla linea che funge da confine.

Come si definisce una regione esterna e interna a livello teorico?

REGIONE ESTERNA è quella che può contenere una retta per intero; quella INTERNA non può contenere una retta.


26

Osserviamo, rappresentiamo, riflettiamo

Progressivamente l’insegnante proporrà situazioni indipendenti dall’esperienza diretta dei bambini e già rappresentate graficamente; si suggerisce di proporre inizialmente schede che mettono in evidenza di volta in volta uno solo dei concetti geometrici che si intendono analizzare.


27

AVVENTURE NEL BOSCO

Cappuccetto Rosso deve portare le provviste alla nonna. Per arrivare alla sua casa attraversa il bosco

Traccia una delle strade che C.R. può percorrere per arrivare alla casa della nonna

Segna la casella con la risposta giusta

La linea che hai tracciato è

APERTA CHIUSA

Semplice intrecciata

e


28

C. R., mentre va dalla nonna, incontra lo scoiattolo Codalunga che vuol fare merenda con le ghiande. Per raggiungere le ghiande Codalunga attraversa il bosco; sulla strada incontra alcuni animaletti, nell’ordine indicato dalle frecce

Traccia la strada percorsa da Codalunga per arrivare alle ghiande

Segna la casella con la risposta giusta.

La linea che hai tracciato è

APERTA CHIUSA

Semplice intrecciata

e


29

ATTENZIONENel caso di percorsi in cui sono fissati i punti di partenza, di arrivo e alcuni di passaggio, la traiettoria che unisce tali punti non è univocamente determinata, quindi le linee che rappresentano i diversi spostamenti possono presentare caratteristiche diverse. Ne segue che le risposte alle consegne formulate non sono uniche; per tale ragione si suggerisce di confrontare le diverse soluzioni fornite dai bambini per mettere in evidenza la loro validità.

Esempio

Se si fissano P come punto di partenza, Q come punto di passaggio e A come punto di arrivo, sia la linea continua che quella tratteggiata rispettano i vincoli dati ma sono una intrecciata e l’altra semplice.

P

Q

A


30

Ora lo scoiattolo Codalunga osserva la farfalla Cleo che si è posata sulla viola. Poco dopo Cleo riprende il volo: va sulla margherita, poi sul tulipano, quindi sulla rosa e infine torna al punto di partenza.

Traccia il percorso di Cleo

Segna le caselle con la risposta giusta

Il percorso di Cleo è rappresentato da una linea

APERTACHIUSA

INTREC.SEMPL.


31

GLI ANIMALI DELLA FATTORIA

Claudio e Silvia stanno giocando con le costruzioni della fattoria e decidono di unire con un filo quelli che appartengono alla stessa specie. Ecco come hanno collegato i cani e le oche.


La linea che rappresenta il filo che unisce i cani è

La linea che rappresenta il filo che unisce le oche è


32

Anche Luca e Mara partecipano al gioco: ecco come hanno collegato i maiali e i gatti della fattoria


La linea che rappresenta il filo che unisce i maiali è

La linea che rappresenta il filo che unisce i gatti è


33

LA STRADA NASCOSTADopo un’intera giornata passata a pascolare nel prato, la pecorella Camilla vuole tornare a casa.

Speriamo che in mezzo a questo labirinto Camilla trovi la strada giusta.


Il percorso di Camilla è rappresentato da una linea

Traccia il percorso che deve fare la pecorella

Camilla


34

CRICRI A SPASSOCricri si è così divertito a saltellare nel prato che decide di fare un altro giretto. Parte ancora dalla sua tana, ma va prima a salutare il bruco, poi a chiacchierare con la chiocciola e, infine, prima di tornare nella sua tana, passa dalla coccinella.

Traccia il percorso del grillo Cricri

Metti una crocetta nella tabella per indicare le caratteristiche della linea che hai tracciato

aperta chiusa

Sempl.

Intrec.


35

CRICRI A SPASSOFare salti nel prato per andare a trovare i suoi amici diverte tanto Cricri, che decide di continuare. Parte sempre dalla sua tana e, saltando saltando, va dal bruco, poi dalla coccinella, infine si ferma a giocare dalla chiocciola



aperta chiusa

Sempl.

Intrec.


36

CRICRI A SPASSOIl grillo Cricri e il suo amico bruco insieme si divertono sempre moltissimo, per questo Cricri vuole andare da lui per una gara di salto in alto ma, prima di arrivare da lui, passa a salutare la chiocciola e poi la coccinella.


aperta chiusa

Sempl.

Intrec.



37

MILENA COMPIE TRE ANNIMilena compie tre anni: la mamma le ha fatto una torta speciale e i nonni le hanno regalato due libri di fiabe. Se Milena parte dal punto P e segue il percorso descritto dalle frecce seguenti, andrà a mangiare la torta o a leggere i libri?

OB.:percorsi su griglia formati da tratti rettilinei – uso di codici

Traccia sulla griglia il percorso fatto da Milena, sapendo che ogni freccia corrisponde a un lato del quadretto della griglia

Milena è andata a ………


38

LA FAMIGLIA LEPROTTINIPapà Leprottini ha corso tutto il giorno ed ora si sta riposando. Deve ancora percorrere il tratto di strada che vedi disegnato per raggiungere mamma Leprottini e il loro piccolo leprotto

* Descrivi, usando le frecce, il percorso che papà Leprottini deve fare per arrivare dal suo leprotto, usa una freccia per ogni lato – quadretto, abbiamo iniziato il lavoro.

…………………

…………………………


39

MAMMA CAPRA VA E TORNAMamma capra, per raggiungere il suo capretto, fa il seguente percorso:

2d, 3a, 6d, 1a, 1d, 2a.a significa alto rispetto

al foglio

d significa destra rispetto a te

Il numero indica di quanti lati quadretto è ogni spostamento.

Con un codice simile al precedente, ora scrivi tu le istruzioni che permettono a mamma capra di tornare al punto di partenza, percorrendo lo stesso tragitto

Confronta le istruzioni dei due percorsi. Che cosa noti?


40

STELLINA È GOLOSA D’INSALATALa chiocciolina Stellina ha molta fame. Per raggiungere il cespo d’insalata deve muoversi sulle linee del reticolo e può spostarsi solo in basso rispetto al foglio o a sinistra rispetto a te.

Traccia con un colore un percorso che stellina può fare per arrivare al cespo d’insalata.

Descrivi il percorso che hai segnato utilizzando i codici:

s significa sinistra

b significa basso

Indica con un numero di quanti lati quadretto è ogni spostamento di Stellina.

1b 1s 1b 2s


41

STELLINA È GOLOSA D’INSALATAAnche oggi la chiocciolina Stellina ha molta fame e decide di ritornare a mangiare alcune foglie d'insalata. Non vuole ripetere il percorso già fatto, ma deve sempre rispettare le regole precedenti.

Traccia con un colore un secondo possibile percorso di Stellina

Descrivi il percorso con lo stesso codice che hai usato l’altra volta

2b 3s

Confronta i tuoi due percorsi con quelli dei tuoi compagni.

Che cosa noti? ……………..


42

POSSIBILI PERCORSI SU RETICOLOLe schede presentate sono relative all’individuazione dei

possibili percorsi su un reticolo, quando si fissano punti di partenza e di arrivo e si vincola all’utilizzo di un solo verso per ognuna delle due direzioni del reticolo stesso; questo significa che le situazioni devono essere formulate con i termini di una sola delle seguenti possibilità:

•Destra, alto

•Destra, basso

•Sinistra, alto

•Sinistra, basso


43

Si invitano i bambini a confrontare le misure rispetto al lato quadretto, dei vari percorsi, in modo da evidenziare che la loro lunghezza resta invariata.

Gli alunni noteranno che la lunghezza complessiva dei tratti orizzontali e quella dei tratti verticali sono uguali rispettivamente alle lunghezze dei due lati perpendicolari del rettangolo che ha come vertici opposti i punti di partenza e di arrivo.


44

Disegniamo quattro dei possibili percorsi che uniscono P con A , in ciascuno di essi la misura, rispetto al lato-quadretto, dei tratti orizzontali è 5 e quella dei tratti verticali è 3, quindi ogni percorso è lungo 8 lati-quadretto.

In attività simili si dovrà fare attenzione a non richiedere tutti i diversi percorsi possibili tra due punti fissati, perché il loro numero è il risultato di un calcolo combinatorio e può essere molto elevato.


45

Un po’ di esercizio … divertenteIl rettangoloE' possibile percorrere il contorno delle figure qui sotto con un solo tratto di penna percorrendo tutti i segmenti, ma ciascuno una sola volta?

Fig.1 Fig.2 Fig.3


46

1. E' possibile disegnare le figure qui sotto senza mai staccare la penna dal foglio e percorrendo ogni segmento una sola volta?

Fig.1

Fig.2


47

I ponti di Königsberg


48

I ponti di KönigsbergSiamo a Konisberg, nel 1759.Il fiume che attraversa la città si divide in due rami formandoun'isola in corrispondenza della biforcazione.Il territorio è diviso in 4 aree come si vede nella figura qui sotto:l'isola A, le due sponde B, C e la parte interna alla biforcazione D


49

Origini storicheNel 1736, il matematico svizzero Eulero (1707-17883), affrontò l’annoso problema dei 7 ponti di Königsberg (Prussia):

E’ possibile o meno fare una passeggiata che parta da un qualsiasi punto della città, percorra una ed una sola volta ciascuno dei 7 ponti, e ritorni quindi al punto di partenza?

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Konigsberg_bridges.png


50

Origini storicheEulero affrontò il problema schematizzando la pianta della città

…e così Königsberg venne rappresentata con un insieme di 4 punti (uno per ciascuna zona della città), opportunamente uniti da 7 linee (una per ciascun ponte)

A

B

C

D

A

B

C

D


51


Una figura di questo tipo, formata da puntinodali (A, B, C, D) e da linee che licongiungono (a, b, c, d, e, f, g), si chiama

grafo.

I punti A, B, C, D si chiamano nodi.

Le linee a, c, d, e, f, g si chiamano archi ( olati o segmenti).

Le superficie chiuse limitate da una serie di archi si chiamano regioni


52

Il numero di archi che

escono da un nodo si

chiama ordine del

nodo.

Ad esempio l'ordine del

nodo A è 5, mentre

l'ordine del nodo D è 3



53

Quando si dice "nodo

pari" o "nodo dispari"

si intende

rispettivamente

"nodo di ordine pari" o

"nodo di ordine dispari”



54

Il problema dei 7 ponti

• Teorema di Eulero: Un grafo G, connesso, è percorribile se e solo se ha tutti i nodi di grado pari, oppure se ha esattamente due nodi di grado dispari.

• NOTA: un grafo con tutti i nodi di grado pari può essere percorso partendo da un qualsiasi nodo (e terminando quindi su di esso).

Invece, per percorrere un grafo avente due nodi di grado dispari e tutti gli altri di grado pari, è necessario partire da uno qualsiasi dei due nodi di grado dispari, e terminare quindi sull’altro nodo di grado dispari.

Il problema dei 7 ponti non ammette soluzione, in quanto i 4 nodi hanno tutti grado dispari!


55


Quello che sembrava un piccolo rompicapo

senza importanza, nelle mani di Eulero

diventò un grande problema matematico,

punto di partenza della teoria dei grafi e di

una nuova scienza: la topologia, destinata a

grandi sviluppi, un secolo più tardi.


56

Variazioni (8 ponti)

I vertici del grafo sono identificati conpersonaggi e ruoli, in modo da verificare lacomprensione dell'argomento mantenendoviva l'attenzione.

Sulla riva settentrionale della città sorgeil castello del principe Blu, sulla rivameridionale sorge quello del principeRosso, suo fratello e rivale.Sull'isola orientale vi è la chiesa, sede delVescovo mentre nell'isola centrale si trovaun'osteria, nella quale molti abitanti dellacittà avevano l'abitudine la sera ditrattenersi per tentare poi l'impresachiamata passare i ponti.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Koenigsberg_Bridges_Variations_Graph7.png


57

L'ottavo ponte del principe Blu

Il principe Blu, dopo aver analizzato il sistema dei ponti cittadini con l'aiuto

della teoria dei grafi, si convince dell'impossibilità di passare i ponti.

Decide allora di costruire di nascosto un ottavo ponte che gli permetta la

sera di passare i ponti partendo dal suo castello e finendo all’osteria dove

potersi vantare della sua riuscita; e inoltre fa in modo che il principe Rosso

non riesca a fare altrettanto a partire dal suo castello.

Dove costruisce l'ottavo ponte il principe Blu


58

L'ottavo ponte del Principe Blu(soluzione)

Le passeggiate di Eulero sono possibili se

esattamente 2 nodi posseggono un

numero dispari di spigoli, che sono

esattamente i nodi iniziale e finale della

passeggiata. Poiché il problema presenta

solo 4 nodi, tutti con grado dispari, la

passeggiata inizia nel nodo blu e termina

nel nodo arancione. Bisogna quindi

disegnare un nuovo spigolo fra gli altri due

nodi. Poiché hanno formalmente un

numero dispari di spigoli, bisogna creare

un numero pari di spigoli in tutti i nodi che

non siano quello iniziale e finale.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/90/Koenigsberg_Bridges_Variations_Graph8.png


59

Il nono ponte del Principe Rosso

Risolto il problema dell'ottavo ponte,

il nono ponte presenta una

soluzione facile. Si richiede di

utilizzare il nodo rosso come punto

di partenza e l'arancione come

arrivo. Per cambiare la parità dei

nodi rosso e blu, disegna un altro

spigolo fra i due.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a3/Koenigsberg_Bridges_Variations_Graph9.png


60

Il decimo ponte del Vescovo

Il decimo ponte va in una direzione

leggermente diversa. Il Vescovo

vuole che ogni cittadino ritorni al

punto di partenza. Questo è un

cammino euleriano e richiede che

tutti i nodi siano di grado pari. Dopo

la soluzione del nono ponte i nodi

rosso e arancione sono di grado

dispari quindi devono essere

cambiati aggiungendo un nuovo

spigolo fra di loro.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a3/Koenigsberg_Bridges_Variations_Graph9.png


61

Alla luce di quanto spiegato, possiamo capire perché il rettangolo con le diagonali è un esercizio impossibile

... mentre la casetta ha diverse soluzioni.

2


62

Altri eserciziEcco alcuni altri esercizi. Quali sono possibili e quali impossibili?

HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]


63

Altri esercizi: soluzioni


64

Altri esercizi: soluzioni

I tre esercizi qui sopra sono equivalenti e impossibili poiché hanno 4 nodi dispari.

Le figure a fianco sono equivalenti e, avendo solo nodi pari, possono essere tracciate partendo da uno qualunque dei nodi.

Questo esercizio è impossibile perché ha 4 nodi dispari.


65

Emma Castelnuovo

• .... Il punto di partenza dell’apprendimento deve essere il problema, non la teoria bella e fatta, e la prima soluzione deve essere escogitata costruttivamente …

• Poi verrà, se verrà, la sistemazione rigorosa, deduttiva, la teoria compiuta.


66

Bibliografia • Baruk S. (1998), Dizionario di matematica elementare, Bologna, Zanichelli

traduzione a cura di F. Speranza e L. Grugnetti.• Colombo Bozzolo C., 1992, I problemi: affascinante attività del pensiero umano, in Scuola

italiana moderna, n. 11.

• D’Amore B., 1993, Problemi. Pedagogia e psicologia della matematica nell’attività del problem solving, Franco Angeli, Milano.

• Freudenthal H. (1994) Ripensando l’educazione matematica, Brescia, Edizioni La Scuola traduzione a cura di C.F. Manara.

• Hilbert D. (1970), Fondamenti della geometria, Milano, Feltrinelli• Manara C.F., 1984, L’insegnamento della matematica per problemi. Spunti di

discussione, in L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 7, n.3.

• Manara C.F. (1989), Problemi di didattica della matematica, Brescia, Edizioni La Scuola

• Zan R., 1998, Problemi e convinzioni, Pitagora, Bologna.

Documents

Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013 1 UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI Spunti per insegnare