SCHIMBAREA DE VARIABILĂ.

Schimbarea de variabilă se foloseşte în general c â nd avem un produs de

funcţii, iar derivata uneia dintre funcţii ( sau o parte din ea , mă refer la espresia

cu x) este cealalta funcţie (sau o parte din ea).

Teoremă: Fie I R interval şi funcţiile [a,b] I R. Dacă u este derivabilă, cu derivata continuă pe [a,b] şi f continuă pe J, atunci

= .

Obs. Notăm =t u(x)dx=dt şi noile limite de integrare le putem obţine din dacă x = a atunci t = u(a)daca x = b atunci t = u(b)

Aplicaţie: f continuă pe [-a,a], atunci =

Soluţie: f impară f(x)=f(x), x [a,a], f pară f(x)=f(x), x [a,a],

I= = +

Notăm (x) = t x = t dx = dtdacă x = a atunci t = a şi dacă x = 0 atunci t = 0

Deci I= + = =

I = 0 dacă f este impară şi I = 2 dacă f este pară.

În cele ce urmează voi da câteva exemple de integrale rezolvate prin metoda schimbării de variabilă

folosind cele două metode mai des întâlnite ( fără funcţii), unde u=u(x)este o expresie care depinde de x.

Aplicaţii ale formulei

1.

a) Notăm cu u = x +1. Atunci integrala dată este de forma „ ” şi pentru a aplica formula de mai sus

mai este nevoie de u. Cum u=(x+1)=1 obţinem

b) Dacă în loc de am avea atunci am putea aplica formula de integrare

. Prin urmare notăm pe x +1 cu t , iar la sfârşitul calculului integralei îl vom înlocui pe t

cu x+1. Cum dx ne arată că derivarea se face în funcţie de x şi nu în funcţie de t , derivăm expresia

t = x +1 în funcţie de t la stânga şi în funcţie de x la dreapta . Aşadar t dt = (x+1) dx , adică dt=dx şi deci

îl vom înlocui pe dx cu dt . Înlocuind acum în integrala dată obţinem

2.

1

a) Notăm cu u = 2x +3. Atunci integrala dată este de forma „ ” şi pentru a aplica formula de mai sus

mai este nevoie de u. Cum u=(2x+3)=2 ,ne-ar mai trebui de un 2 . Atunci avem

b) Dacă în loc de am avea atunci am putea aplica una din primele formule de integrare.

Prin urmare îl notăm pe 2 x+3 cu t , iar la sfârşitul calculului integralei îl vom înlocui pe t cu 2x+3.

Cum dx ne specifică că derivarea se face în funcţie de x şi nu în funcţie de t , derivăm expresia

t = 2x + 3 în funcţie de t la stânga şi în funcţie de x la dreapta . Aşadar t dt = (2x+3) dx , adică dt=2 dx

şi deci îl vom înlocui pe dx cu dt . Înlocuind acum în integrala dată obţinem

3.

a) Notăm cu u = x2 +2. Atunci integrala dată este de forma „ ” şi pentru a aplica formula de mai sus

mai este nevoie de u şi să îl eliminăm pe x. Cum u=(x2 +2)=2x şi cum pe x îl avem, ne mai trebuie un 2 .

Înmulţind şi împărţind integrala în acelaşi timp cu 2 obţinem:

b) Dacă în loc de am avea atunci am putea aplica formula de integrare

. Prin urmare îl notăm pe x 2 +2 cu t , iar la sfârşitul calculului integralei îl vom înlocui pe t

cu x2+2. Dar dx ne specifică cum că derivarea se face în funcţie de x ,nu în funcţie de t , de aceea derivăm

expresia t = x2 + 2 în funcţie de t la stânga şi în funcţie de x la dreapta . Aşadar t dt = (x2+2) dx , adică

dt=2xdx dx= , deci îl vom înlocui pe dx cu dt . Revenind acum la integrala dată obţinem

Folosind pe scurt notaţiile de mai sus avem:

2

4.

a) u = sinx u=(sinx)=cos x, deci

b) t = sin x tdt = (sinx)dx dt = cosxdx

5. ( vezi o variantă mai simplă mai jos, folosind altă formulă)

a) u=ex u'=(ex)=ex

b) t = 3x tdt = (3x)dxdt = 3dx

c)

6.a) u = x6 –5; u=( x6 –5)=6x5, deci mai trebuie un 6. Atunci

;

b) t = x6 –5 tdt = (x65)dx dt =6x5dx

Aplicaţii ale formulei

1.

a) u = x2+ 3 u=(x2+3)= 2x, deci pt a aplica formula ne mai trebuie un 2 jos la radical şi unul sus;

b) t = x2 +3 tdt = (x2+3)dx dt = 2xdx

3

2.

a) u = x2 + 5x + 7 u=( x2 + 5x + 7 )=2x+5, deci mai avem nevoie doar de un 2 la numitor, aşadar

b) t = x2 +5x+7 tdt = (x2+5x+7)dx dt = (2x+5)dx

Aplicaţii ale formulei

1.

a) u = x2 + 3x u=(x2 + 3x)=2x+3, deci

b) t = x2 +3x tdt = (x2+3x)dx dt = (2x+3)dx

.

2.

a) u = x7+5x3 u=(x7+5x3)=7x6+15x2,deci

b) t = x7 + 5x3 tdt = (x7 + 5x3)dx dt = (7x6 + 15x2)dx

Aplicaţii ale formulei

1.

a) u = 4x+1 u= (4x+1)= 4 , deci ne mai trebuie un 4 şi atunci

4

b) t = 4x+1 tdt = (4x+1)dx dt = 4 dx

c)

2.

a) u = x2 + 6 u= (x2 + 6)=2x, deci ne mai trebuie un 2 . Prin împărţire la 2 înmulţire cu 2 avem :

b) t = x2 +6 tdt = (x2+6)dx dt = 2xdx

3.

a) u=ax+b u'=(ax+b)=a

b) t =ax +b tdt =(ax+b)dx dt = adx

4.

a) u = cos x u= (cos x)= −sin x ,deci

b) t = cosx tdt = (cosx)dx dt = (−sinx) dx |·(–1)

Aplicaţii ale formulei

1.

5

a) u = x+5 u=(x+5)= 1 , deci

b) t = x+5 tdt = (x+5)dx dt = dx

2.

a) u = 8x+3 u= (8x+3)=8 , mai este nevoie doar de un 8 şi deci

b) t = 8x + 3 tdt = (8x+3)dx dt = 8dx |:8

3.

a) u = x2+1 u=(x2+1)= 2x , ne mai trebuie un 2 şi trebuie eliminat 3 ( pe care în scoatem în faţa integr)

b) t = x2+1 tdt = (x2+1)dx dt = 2xdx| :2x

.

4.

a) u = 2x2+1 u=(2x2+1)= 4x , ne mai trebuie un 4 şi deci

b) t = 2x2+1 tdt = (2x2+1)dx dt = 4xdx |:4x

6

5.

a) u = cos x u=(cos x)= −sinx , ne mai trebuie un minus şi deci

b) t = cos x tdt = (cos x)dx dt = (− sinx)dx |·(–1)

6.

a) u = sin x u=(sinx)= cos x , nu mai trebuie nimic şi deci

b) t = sin x tdt = (sin x)dx dt = (cos x) dx

Aplicaţii ale formulei

1.

a) u = x2 u=(x2)= 2x , deci .

b) t = x2 tdt = (x2)dx dt = 2xdx |:2 x

.

2.

7

a) u = x3 u=(x3)= 3x2, deci .

b) t = x3 tdt = (x3)dx dt = 3x2dx |:3x2

.

Aplicaţii ale formulei

1.

a) u = 9x u= (9x)=9 , ne mai trebuie un 9 . Atunci:

b) t = 9x tdt = (9x)dx dt = 9 dx

2.

a) u = ex u= (ex)=ex , nu mai trebuie nimic şi deci

b) t = ex tdt = (ex)dx dt = ex dx

3.

a) u = sinx u= (sin x)=cos x, nu ne mai trebuie nimic ( pentru că avem un cos x ) şi deci

b) t = sinx tdt = (sinx )dx dt = cos x dx

8

Aplicaţii ale formulei

Sunt la fel ca cele ale formulei însă cu mici modificări.

Aplicaţii ale formulei

1.

a) u = 3x u=(3x)= 3, deci ne mai trebuie un 3, prin urmare

b) t = 3x tdt = (3x )dx dt = 3 dx

2.

a) u = 3x2−2 u=( 3x2−2 )= 6x, ne mai trebuie un 6 , prin urmare

b) t = 3x2−2 tdt = (3x2−2 )dx dt = 6xdx

Aplicaţii ale formulei

Sunt la fel ca cele ale formulei

Celelalte formule de schimbare sunt asemănătoare cu acestea şi se tratează analog. Spor la lucru.

Integrale definite

9

1.

a) Calculăm întâi primitiva separat

u = x +1 ; u=(x+1)=1.

Atunci .

b) Facem schimbarea de variabilă t = x +1 t dt = (x+1)dx dt = dx.

Când , obţinem ( mult mai greu).

2.

a) Calculăm întâi primitiva separat

. Atunci : .

u = x4 ; u=(x4)=4x3.

b) Facem schimbarea de variabilă t = x4 t dt = (x4)dx dt = 4x3 dx x3 dx= .

Când , atunci

( mai greu un pic).

3.

.

u = lnx ; u=(lnx)= .

a) Facem schimbarea de variabilă t = ln x t dt = (ln x)dx dt= .

Când , atunci

( q.e.d).

Părerea mea este că mult mai uşor se rezolvă astfel de integrale dacă le facem cu „u” decât cu t, mai ales că în clasa a XI-a s-au învăţat formulele cu „ u” la derivatele funcţiilor compuse, aşa că dragi copii învăţaţi la perfecţie formulele derivatelor funcţiilor compuse cu u şi veţi reuşi să faceţi şi astfel de integrale, dacă nu , nu. Spor la lucru la tema ce urmează.

TEMĂ. 1) Folosind eventual formula să se calculeze integrala

10

2) Folosind eventual formula să se calculeze integrala

3) Folosind eventual formula să se calculeze integrala

4) Folosind eventual formula să se calculeze integrala

5) Folosind eventual formula să se calculeze integrala

6) Folosind eventual formula să se calculeze integrala

7) Folosind eventual formula să se calculeze integrala

Calculaţi :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7)

; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13)

; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19)

; 20) ;

21) ;22) ;23) ;24) ;25) ;26) ;27)

;

30. ; 31) ; 32) ;33) ; 34) ; 35) ; 36

;37) ;38) ; 39) ; 40) ; 41) ; 42)

; 43) ; 44)! ; 45) ; 46) ; 47) ; 48) ; 49)

; 50) ; 51) ; 52) ; 53) ; 54) ; 55)

11

; 56) ; 57) ; 58) ; 59) ; 60) ; 61)

; 62) ;63) ; 64)

12