1

Concepto de Fasor

• Introducción

• La Función de Excitación Compleja

• El Fasor

• Relaciones Fasoriales para R, L y C

• Impedancia (admitancia)

2

Concepto de Fasor Introducción

• Métodos que se aplican a circuitos resistivos ahora serán aplicables a inductancias y condensadores.

• Al especificar amplitud y ángulo de fase de una sinusoidal, ésta queda determinada de forma tan completa como si fuera descrita por una función analítica en el tiempo.

• Trabajaremos con fasores, en vez de hacerlo con derivadas e integrales de sinusoidales, para todos los circuitos RLC.

3

Concepto de Fasor Introducción

• Transformación matemática para simplificar un problema está presente en muchos problemas de ingeniería: Logaritmos, Laplace, ecuación de circunferencia, etc.

• Muy pocas de las transformaciones que se conocen dan la simplificación que se obtiene con el concepto fasor.

4

Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

N

• Pensemos en una función de excitación compleja ==> respuesta compleja con parte real e imaginaria.

Circuito cualquiera, pasivo, es decir,

sólo RLC +

-

θ)tω cos(Vm φ)tω cos(Im

5

Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Cambiando la referencia para el tiempo, desplazando la fase de la función de excitación en 90º, se tiene que :

θ)tωsen(V)90º-θtωcos(V mm

φ)tωsen(I)90º-φtωcos(I mm

6

Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Ahora apliquemos una excitación imaginaria a la misma red anterior :

N

+

-

θ)tω sen(Vj m φ)tω sen(Ij m

7

Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Aplicando superposición para encontrar la respuesta a una excitación compleja de parte real e imaginaria, se tiene que :

Excitación :

Respuesta :

θ)tj(ωemVθ) tsen(ωmVjθ)t(ωmV

cos

φ)tωj(

emI φ)tωsen(mIjφ)tωcos(mI

8

Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Apliquemos una fuente real a un circuito RL y busquemos la respuesta real i (t) : R

L +

-

• Primero se construye la excitación compleja que mediante identidad de Euler lleva a la excitación real dada :

La fuente compleja necesaria es :

La respuesta compleja resultante expresada en términos de su amplitud y ángulo de fase será :

(t)i

)t ω cos(Vm

tω je Re t)(ω cos tω j

m e V

φ)tω ( j

m e I

9

Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Escribiendo la ecuación diferencial del circuito e insertando las expresiones complejas se tiene que :

• Derivando y luego dividiendo por e jt se obtiene :

)t ω ( j

m

φ)tω ( j

m

φ)tω ( j

m eV)e (Idt

dLe IR

mVφj

e mILωjφ j

e mIR

LωjR

mVφ j

e mI

))R

Lω(1 tg- (j

e2L2ω2R

mVφ j

e mI

10

Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Entonces se obtiene i (t) reinsertando e jt en ambos lados :

Expresión que coincide con la obtenida cuando estudiamos la respuesta a excitación sinusoidal de un circuito RL.

))R

Lω(

1 tg-tω ( cos

2L2ω2R

mV

φ)tω ( cosmI

11

Concepto de Fasor El Fasor

• Corriente o tensión sinusoidal -a una frecuencia dada- se caracteriza únicamente por 2 parámetros : amplitud y ángulo de fase.

• Una vez especificado Im y la corriente está determinada con exactitud.

• La representación compleja de toda tensión o corriente contendrá el factor e jt , superfluo, pues no contiene información útil.

φ)tω cos(Im φ)tω ( j

m e I

12

Concepto de Fasor El Fasor

• Por lo tanto para el ejemplo anterior :

• Pasos mediante los cuales una tensión o corriente -real- sinusoidal se transforma en un fasor:

• Luego, eliminando “Re” y suprimiendo e jt se obtiene :

0º/ 2

Ve

2

V t)ω cos(V m0ºjm

m

º/ 2

Ie

2

I )tω cos(I mjm

m

)t(ωjm

m e2

I Reφ)tω cos(I i(t)

/ 2

Ie

2

I I mjm

13

Concepto de Fasor El Fasor

• El fasor no es una función instantánea del tiempo, sólo contiene información de amplitud y fase (dominio de la frecuencia).

• Ejemplos :

suprimiendo Re y e jt = e j 400 t ==>

luego de escribirla

como coseno, es decir, restando 90º.

)30º-t400(je100 Re )30º-t(400 cos2100 v(t)

30º-/ 100V

/60º 5 )150ºt(377sen 25 i(t)

14

Concepto de Fasor El Fasor

• Cómo efectuar la transformación inversa para regresar del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo ???

• Aplicación al circuito RL en serie :

ecuación apenas un poco más complicada que la ley de Ohm para una resistencia.

)45ºt(ωsen 2115 V

)45º-t(ω cos2115 v(t) 45º-/ 115V

VILωj IRVeILωj eIR m

j

m

j

m