Clase 14 Razones, Proporciones y Proporcionalidad

7/17/2019 Clase 14 Razones, Proporciones y Proporcionalidad

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Álgebra 2010

Clase Nº 14 Razones, Proporciones y

Proporcionalidad Propiedad Intelectual Cpech

PPTCANMTALA04014V1

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Aplicar las propiedades de razones y proporciones.

• Reconocer y distinguir entre una proporción directay una proporción inversa.

• Resolver problemas de planteo aplicando elconcepto de proporción compuesta.

Propiedad Intelectual Cpech

Contenidos

1.Razones y Proporciones

1.1 Definiciones: razón y proporción

1.2 Teorema fundamental de la proporciones

1.3 Propiedades1.4 Clasificación: Proporción Continua y Discontinua

1.5 Serie de Razones

1.6 Proporcionalidad directa

1.7 Proporcionalidad inversa

1.8 Proporcionalidad compuesta.


1. Razones y proporciones

• Razón: Es la comparación entre dos cantidades cualesquiera.Su notación es:

ab

ó a : b

y se lee: “a es a b”

1.1 Definiciones

a : antecedente, b : consecuente

Nota: Es importante el orden de nombramiento en una razón.


Por lo tanto:

= 9,94…179.450

18.051Densidad Poblacional =

Km2 viven aproximadamente 10 personas.

Ejemplo:

La razón entre “población” y “superficie”, se conoce comoDensidad Poblacional.

Por ejemplo, la población de la ciudad de Concepción es de179.450 habitantes, distribuidos en una superficie de 18.051km2.

(Según los datos entregados por el Instituto Nacional de Estadística).

Encada


• Proporción: Es la igualdad de dos razones:

b

a

d=

có a : b = c : d

y se lee: “ a es a b como c es a d ”

Además, a y d : extremos

c y b : medios

Ejemplo:

4

3

20=

15




2

1.2 Teorema fundamental de las proporciones

El producto de los medios es igual al producto de los extremos.

b

a

d=

c ad = bc

ad = bca : b = c : d

Ejemplo 1:

4

5

20=

25

Es una proporción ya que 5∙20 = 4∙25 = 100


Ejemplo 2:

La razón entre el número de dulces que tiene Agustín y el número

de dulces que tiene su hermano es 2 : 3.

Si Agustín tiene 12 dulces, ¿cuántos dulces tiene su hermano?

Solución:

Si x es el número de dulces del hermano, entonces:

Dulces de Agustín

x 3=

2

x

12

3=

2

2x=36

x=18

Por lo tanto, su hermano tiene 18 dulces.


1.3 Propiedades

Si

b

a

d=

c , entonces:

a) La proporción es la misma si se cambian de orden los extremos

b

d

a=

c

b) La proporción es la misma si se cambian de orden los medios

c

a

d=

b

c) La proporción es la misma si se invierten las dos razones

a

b

c=

d


d) La proporción es la misma si se permutan las dos razones

d

c

b=

a

e) Composición de proporciones:

=c

c + d

a

a + b ó =d

c + d

b

a + b

f) Descomposición de proporciones:

aa - b

c= c - d ó

ba - b

d= c - d

g) Composición y descomposición de proporciones:

a - b

a + b

c - d=

c + d


1.4 Clasificación

• Proporción discontinua:

Es aquella que tiene todos sus términos distintos, es decir:

b

a

d=

c es discontinua si a ≠ b ≠ c ≠ d

Ejemplo:5

25

9=

45

Cuarta Proporcional Geométrica (CPG)

Es un cuarto valor que junto a otros tres, forman una

proporción. En el ejercicio anterior:

25 es CPG entre 45, 5 y 9





• Proporción continua:

Es aquella que tiene los extremos, o medios iguales.

b

a

d=

b

Ejemplo:

b

a

a=

có

6

9

4=

6

Tercera Proporcional Geométrica (TPG)Es cada uno de los términos no repetidos de una proporcióncontinua.

9 es TPG entre 4 y 6

4 es TPG entre 9 y 6

En el ejercicio anterior:




3

Media Proporcional Geométrica (MPG)

Es el término que se repite en una proporción continua.

Ejemplo:

4

2

8=

4

4 es media proporcional geométrica (MPG) entre 2 y 8.


1.5 Serie de razones

Es la igualdad de 2 o más razones.

b

a=

d

c=

f

e= ……… = k

2

1=

4

2=

6

3= ……… = 0,5=

8

4=

10

5

ó

a : c: e: … = b : d: f : …

Ejemplo 1:

k: valor de la razón oconstante deproporcionalidad

k IR


(Valor de la razón)

Ejemplo 2:

a : b : c = 3 : 5 : 6

a + b + c = 42

Si , determinar a, b y c.

Solución: a : b : c = 3 : 5 : 6, entonces:Si

=

5

b=

6

c= k

3

a

Luego: a = 3k, b = 5k y c = 6k

Como a + b + c = 42, entonces: 3k + 5k + 6k = 42

14k = 42

k = 42

14

k = 3

Por lo tanto: a = 9, b = 15 y c = 18


(Constante deproporcionalidad)

1.6 Proporcionalidad directa

Dos variables son directamente proporcionales, si alaumentar (disminuir) una de ellas, la otra tambiénaumenta (disminuye), en la misma proporción.

y es directamente proporcional a x six

y= k, k: constante

Ejemplo:

La siguiente tabla representa la relación entre el númerode fotocopias y su costo en pesos:

N° de fotocopias(x)

$ (y) K =

x

y

1 20 20

2 40 20

3 60 20

4… 80… 20…


Gráficamente:

El gráfico de una proporción directa es una recta conpendiente positiva.


1.7 Proporcionalidad inversaDos variables son inversamente proporcionales, si alaumentar una de ellas, la otra disminuye (y viceversa) enla misma proporción.

y es inversamente proporcional a x si y∙x= k, k: constante

Ejemplo:

Para construir una piscina en 20 días se requiere de 4obreros. Entonces se puedeinferir que para demorar 10 díasse requieren 8 obreros, y para demorar 5 días se requieren16 obreros, y así sucesivamente.

Si tabulamos:N° de obreros(x) Días (y) k = y∙x

4 20 80

8 10 80

16 5 80

40… 2… 80…




4

Gráficamente:

El gráfico de una proporción inversa es una hipérbola.


1.8 Proporcionalidad compuesta

Es aquella en que intervienen más de dos variablesinversamente proporcionales y/o directamenteproporcionales.

Ejemplo:

Si 5 pasteleros producen en 7 días 400 tortas, ¿cuántastortas pueden producir 14 pasteleros en 9 días?

Solución:

Un método práctico es el siguiente:

1° Se ordenan los datos dejando la incógnita (tortas), en elcentro:

N° p asteleros N° t ortas Días

5 400 7

14 x 9


• N° de Pasteleros y N° de tortas son directamente proporcionales, yaque, mientras más pasteleros mayor es la cantidad de pastelesproducidos.

• Días y N° de tortas son directamente proporcionales, ya que,mientras más días, mayor es la cantidad de pasteles producidos.

2° Se analiza el tipo de proporcionalidad de cada variable con laincógnita, esto es:

N° p asteleros N° t ortas Días

5 400 7

14 x 9

Entonces: 5 ∙ x ∙ 7 = 14 ∙ 400 ∙ 9

x = 14 ∙ 400 ∙ 95∙7

x = 1.440

Por lo tanto, 14 pasteleros en 9 días, pueden producir 1.440 tortas.


Los contenidos revisados anteriormente los puedesencontrar en tu libro, desde la página 85 a la 89.


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Equipo Editorial: Patricia Valdés

Olga Orchard

Pablo Espinosa

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