Clase 3: Teor a Macrodin amica - CARLOS ROJAS …...Clase 3: Teor a Macrodin amica Carlos Rojas Quiroz Universidad Nacional de Ingenier a 6 de setiembre Contenido Clase anterior Variaciones

Clase 3: Teorıa Macrodinamica

Carlos Rojas Quiroz

Universidad Nacional de Ingenierıa

6 de setiembre

Contenido

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Variaciones al modelo RBC baseFuncion de utilidadOtras variaciones

Rigideces realesHabitos de consumoRatio de uso de capital

Antes de empezar

I He enviado a cada grupo la primera entrega de sus trabajoscon la calificacion correspondiente.

I Con el fin de apoyarlos en la elaboracion de su trabajo,programare una hora de “talleres” dentro de las 3 horassemanales correspondientes del curso. Habran tres talleres enlo que resta del ciclo.

I No pierdan de vista el trabajo, pueden consultar por e-mailpor cualquier duda.

Programacion del cursoFecha Tema

16/08 Introduccion modelos RBC23/08 Solucion numerica30/08 FERIADO06/09 Variaciones al modelo inicial13/09 Dinero + Economıa abierta20/09 PC1 + Choques a la tendencia27/09 Polıtica Fiscal + TALLER04/10 EXAMEN PARCIAL11/10 Modelo NK basico + polıtica monetaria optima18/10 Rigideces salariales25/10 PC2 + Economıa abierta01/11 FERIADO08/11 Fricciones financieras + TALLER15/11 Fricciones financieras + TALLER22/11 Modelo DSGE aplicado al Peru + Mediano plazo29/11 EXAMEN FINAL

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I La clase pasada aprendimos a construir nuestro modelo en elDynare:

1. Podemos incorporar las CPO tal como las obtenemos delproceso de optimizacion (linealizacion).

2. Podemos incorporar las CPO considerando terminosexponenciales (exp(Ct), por ejemplo) para permitirlog-linealizacion.

3. Podemos incorporar las ecuaciones de forma log-lineal,calculadas manualmente.

I Cualquiera de ellas es correcta, solo debemos tener en cuentala interpretacion de las funciones impulso-respuesta. Podemoscombinar los puntos 1 y 2 en un mismo modelo. Por ejemplo,en el caso de las tasas de interes me puede interesar sudesviacion respecto al EE y no su variacion.

I Por cuestiones practicas, conforme el modelo se complejiza, esmas sencillo seguir el punto 3 que el 2.

Ejercicio

Variemos el modelo RBC basico tal que L sea fijo (constante eigual al estado estacionario). Grabemos el nuevo archivo con otronombre (no olvide colocar la extension .mod) y utilicemos elprograma program fig .m para comparar las funciones impulsorespuesta y observar el mecanismo de propagacionintertemporal del trabajo.

Ejercicio

Figura 1: IRF, choque de productividad

Ejercicio

I Ante un choque de productividad, se genera un incrementodel producto Yt , esto eleva la demanda por trabajo, que haceincrementar el salario Wt . El incremento del precio del factortrabajo encarece el precio del ocio, por lo que los consumidoresdeciden trabajar mas (en terminos netos, ES > EI ). La mayorproductividad tambien genera un aumento de la demanda decapital, por lo que su precio (la tasa de interes rt) aumenta,con ello la inversion It tambien se dinamiza.

I La diferencia entre ambas simulaciones es que, cuando eltrabajo es fijo ES = EI , por lo que el mecanismo depropagacion del modelo RBC (sustitucion intertemporal deltrabajo) se “apaga”. Ante el mismo choque, el PBI no seincrementa en la misma cuantıa que cuando L es variable.

Ejercicio

Figura 2: IRF, choque de gasto publico

Ejercicio

I En nuestro modelo se cumple la equivalencia ricardiana. Anteun choque de gasto publico, el consumidor anticipa un futuroincremento de impuestos por lo que decide consumir menos yahorrar mas. Para ello ofertan mayor trabajo, lo que reduce lossalarios. Por otro lado, el consumidor, como dueno del capital,tambien reduce su gasto en capital, reduciendo la oferta decapital a las empresas. Esto eleva el costo del capital (la tasade interes) y reduce la inversion.

I La diferencia entre ambas simulaciones es que, cuando eltrabajo es fijo, el consumidor no puede “utilizar” elmecanismo de propagacion intertemporal. Para ahorrarconsume mucho menos y reduce aun mas su gasto en capital,lo que a su vez reduce en mayor cuantıa la inversion. Elresultado es un efecto negativo del choque de gasto publicosobre el PBI, a comparacion del caso en que L es variable. Ellose debe a que en este ultimo caso, el trabajo sirve como“amortiguador” del menor consumo e inversion.

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Variaciones al modelo RBC base

Manteniendo la estructura basica de nuestro modelo (sinincorporar mas agentes o introducir fricciones), podemos modificarel modelo basico en, por lo menos, tres dimensiones:

I Otras formas funcionales para la funcion de utilidad (GHH,KPR, CRRA, CARA, etc.)

I Otras formas funcionales para la funcion de produccion (CES,con costos fijos, etc.)

I Anadiendo choques (preferencias, oferta de trabajo, etc.)

Preferencias GHH

Ut =1

1− σ

(Ct − κ

L1+ηt

1 + η

)1−σ

(1)

I Preferencias a la Greenwood–Hercowitz–Huffman. Sicalibramos tal que σ = 1, entonces: Ut = ln

(Ct − κL1+η

t1+η

).

I Condicion intratemporal (no hay efecto ingreso!):

Wt = κLηt (2)

I Condicion intertemporal:(Ct − κ

L1+ηt

1 + η

)−σ= β

(Ct+1 − κ

L1+ηt+1

1 + η

)−σ(1 + rt+1) (3)

Prefencias GHH

I Estado Estacionario:

L =

(αY

κ

) 1(1+η)

(4)

I Para poder comparar este modelo con el de utilidadlogarıtmica, pasaremos (de ahora en adelante) a mantener elmismo valor de estado estacionario para el trabajo L ycambiamos κ, luego:

κ =

(1

L

)1+η

αY (5)

Donde L = 0,3834.

Preferencias GHH


Preferencias GHH

I Un incremento de la productividad eleva el precio del factortrabajo encareciendo el ocio. Aumenta la demanda de trabajoy con ello los salarios aumentan. Con preferenciaslogarıtmica-lineales, los consumidores se enfrentan a dosefectos en este escenario: 1) perciben que tienen mas ingresosy deciden trabajar menos y 2) el salario aumenta con lo quetienen incentivos a trabajar mas. El segundo efecto gana. Sinembargo, con preferencias a la GHH solo se tiene el segundoefecto, por lo que el incremento del trabajo es mayor y portanto tambien el del PBI.

Preferencias GHH


Preferencias GHH

I El aumento del gasto publico implica que los consumidoresesperaran una subida de impuestos manana, ante ello sereduce el consumo y aumenta el ahorro. Ante elencarecimiento del precio del ocio, los consumidores evaluanofertar mas trabajo. La diferencia radica en que conpreferencias a la GHH no hay efecto ingreso, por lo que actua“de lleno” el efecto sustitucion (que es negativo en este caso),haciendo reducir la oferta de empleo que es seguida de unadisminucion de su demanda. En terminos netos, el salario realdisminuye. Los hogares se ven obligados entonces a reduciraun mas su consumo y la oferta de capital, reduciendo enmayor cuantıa la inversion y generando con ello una caıda delPBI.

I Con preferencias a la GHH el choque de gasto publico no haceque los consumidores perciban menores ingresos relativos.Cuando el EI estaba presente, el consumidor se sentıa conmenores ingresos y ofertaba mas trabajo.

Preferencias KPR

Ut =[C θ

t (1− Lt)1−θ]1−σ

1− σ(6)

I Consistente con la senda de crecimiento balanceada(SBC) (todas las variables crecen a una tasa constante).Hasta ahora habıamos visto un caso especial de SCB: en elEstado Estacionario todas las variables crecen 0.

I Note que si σ = 1 entonces Ut = θlnCt + (1− θ)lnLt .

I ¿Que valor de σ utilizar?

Preferencias KPR

I Condicion intratemporal (note que si Ct y Wt crecen a lamisma tasa, Lt no crece):

1− Lt =1− θθ

(Ct

Wt

)(7)

I Condicion intertemporal:

(C θt (1− Lt)

(1−θ))−σ(1− Lt)(1−θ)C

(θ−1)t =

β(C θt+1(1− Lt+1)(1−θ))−σ(1− Lt+1)(1−θ)C

(θ−1)t+1 (1 + rt+1)

(8)

I Estado estacionario (igual que antes salvo para L):

L =1

1 + CαY

(1−θθ

) (9)

Preferencias KPR


¡No olvide interpretar los resultados!

Preferencias KPR



Preferencias CRRA

Ut =C 1−σt

1− σ− κ L1+η

t

1 + η(10)

I Funcion de utilidad con coeficiente de aversion relativa alriesgo constante. Recordemos que dicho coeficiente es:ρr = −Ucc

Uc C = σ.

I Donde σ tambien es conocido como la inversa de laelasticidad de sustitucion intertemporal. Tener en cuenta que

si σ → 1, entonces Ut = lnCt − κL1+ηt

1+η .

I Muy utilizada en modelos neokeynesianos de mediana escala(bancos centrales).

Preferencias CRRA

I Condicion intratemporal (note que aquı sı hay efecto ingreso):

Wt = κLηt Cσt (11)

I Condicion intertemporal

C−σt = βC−σt+1(1 + rt+1) (12)

I Estado Estacionario (igual que antes salvo para L):

L =

αY (1−ησ)

κ(

1− (1−α)βδ1−β+βδ −

GY

)σ(

11+η

)(13)

Preferencias CRRA



Preferencias CRRA



Otras variaciones

I Funcion de utilidad:

1. CARA:

Ut = − 1

σexp−σCt

2. Epstein-Zin:

Ut ={

(1− β)C1−σθ

t + β(Et [U1−σt+1 ]

1θ

} θ1−σ

Donde σ es el coeficiente de aversion relativa al riesgo y ψ esla elasticidad de sustitucion intertemporal. Luego, θ = 1−σ

1− 1ψ

.

Otras variaciones

I Funcion de produccion CES:

F (Kt , Lt) = [αKωt + (1− α)Lωt ]

1ω

Donde ω ∈ (−∞, 1) determina la elasticidad de sustitucionentre ambos factores productivos (e = 1/(1− ω)). Siω = 0→ F (·)Cobb-Douglas.

I Anadiendo choques: Si consideramos funcion de utilidadlogarıtmica:

Ut = θεct Log(Ct) + (1− θ)εltLog(1− Lt)

Donde εct ∼ N(0, σ2c ) es un choque de preferencias del

consumidor y εlt ∼ N(0, σ2l ) choque de oferta laboral.

Tarea (puntos maximos: 3)

Opcional (entrega hasta martes 6 p.m. de la prox. semana)

I Interpretacion de funciones Impulso Respuesta deproductividad y gasto publico con funcion de utilidad CRRAante variacion de σ (+ 1 pto en 1era entrega del trabajo).

I Presente funciones Impulso Respuesta (y su interpretacion)ante un choque de oferta laboral y de preferencias alconsumidor con preferencias GHH (+ 2 ptos en 1eraentrega del trabajo).

I Presente funciones Impulso Respuesta (y su interpretacion)ante un choque de gasto publico con preferenciaslogarıtmicas-lineales haciendo variar la tasa de depreciacionδ = [0; 0,025; 0,05] (+ 1 pto en 1era entrega del trabajo).

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Introduciendo rigideces reales

I Mecanismos que permiten capturar hechos empıricos(dinamica de las variables) en modelos DSGE. Por ejemplo, seobserva que ante algun choque en particular, variables comoel consumo o la inversion muestran una respuesta tipo“joroba” o hump-shaped. A su vez, la dinamica de lasvariables ante una perturbacion exogena puede no serinstantanea sino demorar en el tiempo.

I Estudiaremos (por el momento) tres tipos de rigideces reales:

1. Habitos de consumo.2. Ratio de uso de capital.3. Costos de ajuste de la inversion.

Habitos de consumo

I Hasta ahora, la utilidad instantanea depende solo del consumoactual.

I Introducimos habitos de consumo de forma tal que lasatisfaccion del individuo no solo se explica por el consumoactual sino tambien por su relacion con el consumo pasado.

I Buscamos capturar hechos empıricos. Ante un choque, elconsumidor busca suavizar su nivel de consumo.

Ut = Ut(Ct ,Ct−1, Lt)

I Observe que ahora la funcion de utilidad instantanea ya no esseparable en el tiempo.

I Se puede entender como un costo de ajuste en el consumo,medido en terminos de utilidad.

I Si ⇑ Ct entonces ⇓ UMgt pero ⇑ UMgt+1.

Habitos de consumo

1. Habitos de consumo interno: habitos determinados por elpropio consumo del individuo.

Ut = θlog(Ct − φCt−1) + (1− θ)log(1− Lt) (14)

2. Habitos de consumo externo: habitos no dependen de lasdecisiones pasadas del individuo respecto a su consumo, sinodel consumo agregado.

Ut = θlog(Ct − φCt−1) + (1− θ)log(1− Lt) (15)

Habitos de consumo interno

El lagrangiano en valor presente es:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct − φCt−1) + (1− θ)log(1− Lt) + ...

λt(Ct + Kt+1 + Tt − (1 + rt)Kt −WtLt)]

(16)

La utilidad marginal del consumo es:

Uct =θ

Ct − φCt−1− βθφ

Ct+1 − φCt(17)

Habitos de consumo interno

Con esto, el Estado Estacionario de las horas trabajadas es:

L =1

1 + Cα

(1−θθ

) (1−βφ1−φ

) (18)

Sin embargo, si queremos comparar con el modelo base, debemos“fijar” L en el mismo valor, por lo que la variable de ajuste en estecaso es θ:

θ =1

1 +(

1−LL

) (αC

) (1−βφ1−φ

) (19)

Y L = 0,3834.

Habitos de consumo externo

El lagrangiano en valor presente es:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct − φCt−1) + (1− θ)log(1− Lt) + ...

λt(Ct + Kt+1 + Tt − (1 + rt)Kt −WtLt)]

(20)

La utilidad marginal del consumo es:

Uct =θ

Ct − φCt−1(21)

Habitos de consumo externo

Con esto, el Estado Estacionario de las horas trabajadas es:

L =1

1 + Cα

(1−θθ

)(1− φ)

(22)

“Fijando” L , θ se ajusta tal que:

θ =1

1 +(

1−LL

) (αC

) (1

1−φ

) (23)

Y L = 0,3834.

Habitos de consumo



Habitos de consumo



Ratio de uso del capital

I Hasta ahora, el uso del capital se suponıa al 100 %, nonecesariamente realista.

I El uso del capital varıa en el tiempo (es procıclico).

I Keynes introdujo la idea de la “eficiencia marginal a lainversion” como factor importante en el ciclo economico.

I El aumento en la eficiencia marginal de la inversion implica unmayor uso del capital instalado, lo que genera unadepreciacion acelerada que hace necesario reponer cada vezmas capital (cırculo virtuoso).

I Introducir el ratio de uso de capital nos permite capturarevidencia empırica sobre la dinamica del capital y, a la vez,introducir un nuevo mecanismo de transmision al modelo.

I Tener en cuenta que en nuestro modelo los consumidores sonduenos del capital, por lo que ellos van a decidir su uso.


Yt = ZtLαt (utKt)

1−α

Llamaremos ut al ratio de uso del capital, tal que ut > 0 yut ∈ [0, 1]. Se puede interpretar ut como la intensidad de uso delcapital o el numero de horas por perıodo en el que el capital esusado o el porcentaje de capital que se usa directamente en elproceso productivo. Hay, por lo menos, 2 formas de introducirlo:

1. Como un costo dependiente del grado de utilizacion: ξ(ut), talque ξ′(ut) > 0, ξ′′(ut) > 0 y ξ(1) = 0.

2. Como depreciacion variable: Kt = (1− δ(ut))Kt + It , donde0 < δ(ut) < 1, δ′(ut) > 0 y δ′′(ut) > 0.

Costo variable

Problema del Consumidor:La restriccion presupuestaria puede escribirse ası:

Ct + It + Tt + ξ(ut)Kt = WtLt + (rtut + δ)Kt

Observe que ξ(ut)Kt es el costo en el que se incurre por utilizardeterminado porcentaje de capital. Dado que los consumidores sehacen cargo de este costo, forma parte de la RP. Sabiendo queKt+1 = (1− δ)Kt + It , reemplazamos:

Ct + Kt+1 + Tt = WtLt + (1 + rtut − ξ(ut))Kt

Costo variable

Ahora tenemos un nuevo argumento pues suponemos que losconsumidores deciden el grado de utilizacion del capital:

max{Ct ,Kt+1,Lt ,ut}

Vt = Et

∞∑t=0

βtUt

Suponiendo una funcion de utilidad instantanea logarıtmica-lineal,el lagrangiano de valor presente es:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct) + (1− θ)log(1− Lt) + ...

λt(Ct + Kt+1 + Tt −WtLt − (1 + rtut − ξ(ut))Kt)]

(24)

Costo variable

Luego, las CPOs son:

[Ct ] :θ

Ct− λt = 0 (25)

[Lt ] : − 1− θ1− Lt

+ λtWt = 0 (26)

[Kt+1] : −βtλt + βt+1λt+1(1 + rt+1ut+1 − ξ(ut+1)) = 0 (27)

[ut ] : rt − ξ′(ut) = 0 (28)

Costo variable

Problema del productor

max{Kt ,Lt}

Π = ZtLαt (utKt)

1−α − (rtut + δ)Kt −WtLt

Donde las CPO’s son:

[Kt ] : (1− α)Yt

Kt− (rtut + δ) = 0 (29)

[Lt ] : αYt

Lt−Wt = 0 (30)

Costo variable

Forma funcional:Ahora definiremos una funcion para el costo de uso del capital.Recuerde que se deben cumplir las condiciones: ξ′(ut) > 0,ξ′′(ut) > 0 y ξ(1) = 0. En la literatura revisada se utiliza lasiguiente forma funcional:

ξ(ut) = ξ1(ut − 1) +ξ2

2(ut − 1)2 (31)

Para cumplir las condiciones arriba descritas, se necesita queξ1, ξ2 > 0.

Costo variable

Estado Estacionario

I Suponemos que en Estado Estacionario u = 1, con ello, laecuacion 31 es igual a 0. A su vez, eso nos facilita el calculode los demas valores de Estado Estacionario, pues ¡son igualesal modelo base!.

I Sin embargo, para lograr que el modelo converja debemosrestringir el valor de ξ1. De la ecuacion 28 tenemos:

r = ξ1 + ξ2(u − 1) = ξ1 (32)

De la ecuacion 27 sabemos que en EE r = 1β − 1, entonces se

debe cumplir:

ξ1 =1

β− 1 (33)

Depreciacion variable

Problema del Consumidor:La restriccion presupuestaria se escribe ası:

Ct + It + Tt = WtLt + rtutKt

Reemplazando Kt+1 = (1− δ(ut))Kt + It se llega a:

Ct + Kt+1 + Tt = WtLt + (1 + rtut − δ(ut))Kt (34)

Note que ahora el consumidor es a quien va a afectarle ladepreciacion (antes esto afectaba las ganancias de la empresa)debido a que suponemos que es el consumidor quien decide elgrado de utilizacion del capital.


El programa a resolver es:

max{Ct ,Kt+1,Lt ,ut}

Vt = Et

∞∑t=0

βtUt

Sujeto a la ecuacion 34. El lagrangiano de valor presente es:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct) + (1− θ)log(1− Lt) + ...

λt(Ct + Kt+1 + Tt −WtLt − (1 + rtut − δ(ut))Kt)]

(35)


Luego, las CPOs son:

[Ct ] :θ

Ct− λt = 0 (36)

[Lt ] : − 1− θ1− Lt

+ λtWt = 0 (37)

[Kt+1] : −βtλt + βt+1λt+1(1 + rt+1ut+1 − δ(ut+1)) = 0 (38)

[ut ] : rt − δ′(ut) = 0 (39)


Problema del productor:

max{Kt ,Lt}

Π = ZtLαt (utKt)

1−α − rtutKt −WtLt

Donde las CPO’s son:

[Kt ] : (1− α)Yt

Kt− rtut = 0 (40)

[Lt ] : αYt

Lt−Wt = 0 (41)

Note de nuevo que la depreciacion ya no afecta a las ganancias delproductor, sino a los ingresos del consumidor (este agente es eldueno del capital, por lo que decide cuanto utilizar).


Forma funcional:Teniendo en cuenta 0 < δ(ut) < 1, δ′(ut) > 0 y δ′′(ut) > 0, hayvarias formas funcionales que podemos imponer para ladepreciacion.

δ(ut) =1

ηuηt (42)

δ(ut) = δuηt (43)

Nosotros utilizaremos la ecuacion 43, teniendo en cuenta que paracumplir con las restricciones η > 1.


Estado EstacionarioSeguiremos la misma estrategia que en el caso anterior.Imponemos u = 1 en EE con el fin de evitar modificar los valoresde las otras variables. Luego, debemos imponer una restriccionsobre el parametro η. De la ecuacion (39), se tiene:

r = δηuη−1

Si u = 1 en EE, entonces r = δη, por lo que

η =r

δ(44)

Debemos tener en cuenta, por la ecuacion 38 que en EstadoEstacionario r = 1−β+βδ

β , entonces:

η =1− β + βδ

βδ(45)







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