HIDRAULICA PRINCIPIOS DE ENERGÍA Y

MOMENTUM EN CANALES ABIERTOS Parte 2

ENERGÍA ESPECÍFICAEs una sección del canal se define como la energía en

cualquier sección de un canal medida con respecto al fondo de éste. Luego de acuerdo con la ecuación,

Con z=0, la energía específica se convierte en

O, para un canal de pendiente pequeña y α = 1,La cual indica que la energía específica es igual a la suma

de la profundidad del agua más la altura de velocidad.

ENERGÍA ESPECÍFICAComo V=Q/A, la anterior ecuación quedaría como E= y + Q2/2gA2

Puede verse que, para una sección de canal y un caudal Q determinados, la energía específica en una sección de canal sólo es función de la profundidad de flujo.

Cuando la profundidad de flujo se grafica contra la energía específica para una sección de canal y un caudal determinados, se obtiene una curva de energía específica. Esta curva tiene dos ramas, AC y BC. La rama AC se aproxima asintóticamente al eje horizontal hacia la derecha. La línea OD es una línea que pasa a través del origen y tiene un ángulo de inclinación igual a 45°.

CURVA DE ENERGÍA ESPECÍFICA

ENERGÍA ESPECÍFICAPara un canal de pendiente alta, el ángulo de inclinación

de la línea OD será diferente de 45°. En cualquier punto P de esta curva, la ordenada representa la profundad y la abscisa representa la energía específica, que es igual a la suma de la altura de presión y y la altura de velocidad V2/2g.

Profundidades AlternasLa curva muestra que, para una energía específica

determinada, existen dos posibles profundidades, la profundidad baja y1 y la profundidad alta y2.

La profundidad baja es la profundidad alterna de la profundidad alta, y viceversa.

Energía Específica Mínima En el punto C, la energía específica es mínima. Esta condición de energía específica mínima corresponde

al estado crítico de flujo. Por consiguiente, en el estado crítico es claro que las dos profundidades alternas se convierten en una, la cual es conocidas como profundidad crítica Yc.

Y > Yc V < Vc para un Q determinado, flujo subcriticoY < Yc V > Vc flujo supercritico

Criterio para el Estado Crítico El estado crítico de flujo ha sido definido como la

condición para la cual el número de Froude es igual a la unidad. Una definición más común es que éste es el estado de flujo para el cual la energía específica es mínima para un caudal determinado.

Un criterio teórico para el flujo crítico puede desarrollarse a partir de esta definición como se describe a continuación.

Como V= Q/A la ecuación para la energía específica en un canal de pendiente baja con α = 1, puede escribirse como

Criterio para el Estado Crítico Al derivar la ecuación de energía con respecto a y, y teniendo

que Q es una constante obtenemos: ; y

El estado crítico de flujo la energía específica es mínima, o dE/dy=0. la anterior ecuación por consiguiente, da:

Este es el criterio para flujo crítico, el cual establece que en el estado crítico del flujo la altura de velocidad es igual a la mitad de la profundidad hidráulica. La anterior ecuación también se escribe como

Criterio para el Estado Crítico Si el anterior criterio va a utilizarse en cualquier

problema, debe satisfacerse las siguientes condicione:1. Flujo paralelo o gradualmente variado2. Canal con pendiente baja3. Coeficiente de energía supuesto igual a la unidad Si el coeficiente de energía no se supone igual a la unidad

el criterio de flujo crítico es

Para un canal con un ángulo de pendiente θ grande y un coeficiente de energía α, puede probarse fácilmente que el criterio de flujo crítico es y el número de Froude es:

Ecuación de la Cantidad de movimiento

En efecto, esta ecuación es la misa que la ecuación de energía

Sin embargo, en teoría, las dos ecuaciones no sólo utilizan diferentes coeficientes de distribución de velocidad, a pesar de que estos son casi iguales, sino que involucran significados diferentes para las pérdidas de fricción, en la ecuación de energía hf mide la energía interna disipada en la masa completa del agua dentro del tramo, en tanto que hf’, en la ecuación de momentum mide las pérdidas debidas a fuerzas externas ejercidas por el agua sobre las paredes del canal.

Principios de Energía y MomentumAl no considerar la pequeña diferencia entre los coeficientes α y β, parece

que, en el flujo gradualmente variado, las pérdidas de energía interna en realidad son idénticas con las pérdidas debidas a fuerzas externas.

En el caso de flujo uniforme, la tasa a la cual las fuerzas superficiales actúan, es igual a la tasa de disipación de energía. Por consiguiente, en este caso no existe una diferencia entre hf y hf’, excepto en la definición.

La similaridad entre las aplicaciones de los principios de energía y momentum pueden resultar confusa. Un entendimiento claro de las diferencias básicas de su constitución es importante, a pesar del hecho de que en muchos casos los dos principios producirán resultados prácticamente idénticos.

La distinción inherente entre los dos principios reside en el hecho de que la energía es una cantidad escalar en tanto que el momentum es una cantidad vectorial; también, la ecuación de energía contiene un término para pérdidas internas, en tanto que la ecuación de momentum contiene un término para la resistencia externa.

Principios de Energía y MomentumEn general, el principio de energía ofrece una explicación más simple y

clara que la dada por el principio de momentum. Pero el principio de momentum tiene ciertas ventajas de aplicación a problemas que involucran grandes cambios en la energía interna, como el problema del resalto hidráulico. Si la aplicación de energía se aplica a tales problemas, las pérdidas de energía internas desconocidas representadas por hf son indeterminadas y la omisión de este término podría dar como resultado errores considerables. Si en su lugar se aplica la ecuación de momentun a estos problemas, debido a que ésta sólo tiene en cuenta fuerzas externas, los efectos de las fuerzas internas estarán por completo fuera de consideración y no tendrán que ser evaluados. El término para las pérdidas por fricción debido a las fuerzas externas, por otro lado, es poco importante en tales problemas y puede omitirse con toda seguridad, debido a que el fenómeno ocurre en un tramo corto del canal y los efectos debidos a las fuerzas externas son insignificantes en comparación con las pérdidas internas.

FUERZA ESPECÍFICAAl aplicar el principio de momentum a un tramo horizontal

corto de un canal prismático, puede ignorarse los efectos de las fuerzas externas de fricción y del peso del agua. Luego θ=0 y Ff=0, y suponiendo también que β1 =β2= 1, tenemos:

Las fuerzas hidrostáticas P1 y P2 pueden expresarse como:

Donde son las distancias de los centroides de las respectivas áreas mojadas A1 y A2 por debajo de la superficie de flujo. Luego la anterior ecuación puede escribirse como

FUERZA ESPECÍFICALos dos lados de la ecuación son análogos y, por

consiguiente, pueden expresarse para cualquier sección del canal mediante una función general

Esta función consta de dos términos. El primer término es el momentum del flujo pasa a través de la sección del canal por unidad de tiempo y por unidad de peso del agua, y el segundo es la fuerza por unidad de peso del agua. Como ambos términos en esencia son fuerza por unidad de peso del agua, su suma puede denominarse fuerza específica.

FUERZA ESPECÍFICA

Teniendo en cuenta lo anterior la ecuación puede expresarse como

Esto significa que las fuerzas específicas en las secciones 1 y 2 son iguales, siempre y cuando las fuerzas externas y el peso efectivo del agua en el tramo entre las dos secciones sean insignificantes.

FUERZA ESPECÍFICAAl graficar la profundidad contra la fuerza específica para una sección

del canal y un caudal determinados, se obtiene una curva de fuerza específica.

Esta curva tiene dos ramas AC Y BC. La rama AC se aproxima asintóticamente al eje horizontal hacia la derecha. La rama BC aumenta hacia arriba y se extiende indefinidamente hacia la derecha. Para un determinado valor de la fuerza específica, la curva tiene dos profundidades posibles, y1 y2. Tal como se demostrará más adelante, las dos profundidades constituyen las profundidades inicial y secuente de un resalto hidráulico. En el punto C de la curva las dos profundidades se convierten en una y la fuerza específica es mínima. El siguiente argumento demuestra que la profundidad en el valor mínimo de la fuerza específica es igual a la profundidad crítica.

Curva de Fuerza Específica

Para un valor mínimo de la fuerza específica, la primera derivada de F con respecto a y debe ser cero, o a partir de la ecuación

Para un cambio dy en la profundidad, el cambio corresponde en el momento estático del área mojada alrededor de la superficie libre es igual a

Al no considerar el diferencial de orden mayor, es decir, al suponer que el cambio en el momento estático se convierte Luego la ecuación precedente puede escribirse como

Se ha probado que la profundidad correpondiente al valor mínimo de la fuerza específica es la profundidad crítica. También puede establecerse que en el estado crítico de flujo la fuerza específica es mínima para un caudal determinado.

Comparación Curva Energía y Curva Fuerza Específica.

Comparando la curva de fuerza específica con la curva de energía específica.

Para una determinada energía específica E1, la curva de energía específica indica dos posible profundidades, es decir, un nivel bajo y1 en la región de flujo supercrítico y un nivel alto y2’ de flujo subcrítico.

Para un determinado valor de F1, la curva de fuerza específica también indica dos profundidades posibles, es decir, una profundidad inicial y1 en la región supercrítica y una profundidad secuente y2 en la región de flujo subcrítico. Se supone que el nivel bajo y la profundidad inicial son ambas iguales a y1.

Comparación Curva Energía y Curva Fuerza Específica.

Luego las dos curvas indican de manera conjunta que la profundidad secuente y2 es siempre menor que el nivel alto y2’.

Además, la curva de energía específica muestra que el contenido de energía E2 para la profundidad y2 es menor que el contenido de energía E1 para la profundidad de flujo debe cambiar de y1 a y2 con el costo de perder cierta cantidad de energía, que es igual a

Un ejemplo de esto es el resalto hidráulico en un fondo horizontal, en el cual las fuerzas específicas antes y después del resalto son iguales y la pérdida de energía es una consecuencia del fenómeno.