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7/26/2019 Clase 6 lgebra
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CLASE N 6Razones y Proporciones
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Aprendizajes esperados:
Aplicar las propiedades de razones y proporciones.
Reconocer y distinguir entre una proporcin directay una proporcin in!ersa.
Resol!er pro"le#as de planteo aplicando elconcepto de proporcin co#puesta.
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Contenidos
$.Razones y Proporciones$.$%e&iniciones: razn y proporcin
$.'(eore#a &unda#ental de la proporciones
$.)Propiedades
$.*Clasi&icacin: Proporcin Continua y %iscontinua
$.+Serie de Razones
$.6Proporcionalidad directa
$.,Proporcionalidad in!ersa
$.-Proporcionalidad co#puesta.
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$. Razones y proporciones
Razn: Es el cuociente entre dos cantidades cualesuiera.Su notacin es:
a
"
a : "
y se lee: /a es a "0
$.$ %e&iniciones
a: antecedente1 ": consecuente
Nota: Es i#portante el orden de no#"ra#iento en una razn.
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Por lo tanto:
2313*4$,3.*+5
$-.5+$%ensidad Po"lacional 2
#'!i!en apro7i#ada#ente $5 personas.
Eje#plo:
La razn entre /po"lacin0 y /super&icie01 se conoce co#oDensidad Poblacional.
Por eje#plo1 la po"lacin de la ciudad de Concepcin es de$,3.*+5 8a"itantes1 distri"uidos en una super&icie de $-.5+$9#'.
(Segn los datos entregados por el Instituto Nacional de Estadstica).
Encada
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Proporcin: Es la igualdad de dos razones:
"
a
d2c
a : " 2 c : d
y se lee: / a es a " co#o c es a d0
Ade#s1 a y d: e7tre#os
c y ": #edios
Eje#plo:
*5
)+
'552
$,+
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$.' (eore#a &unda#ental de las proporcionesEl producto de los #edios es igual al producto de los e7tre#os.
"
a
d2
c
ad 2 "c
ad 2 "ca : " 2 c : d
Eje#plo $:
*5
)+
6*2
+6
Es una proporcin ya ue )+;6* 2 *5;+6 2 '.'*5
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Eje#plo ':
La razn entre el ncuntos dulces tiene su 8er#ano?
Solucin:
Si 7 es el n
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$.) Propiedades
Si
"
a
d
2c 1 entonces:
a@ La proporcin es la #is#a si se ca#"ian de orden los e7tre#os
"
d
a2
c
"@ La proporcin es la #is#a si se ca#"ian de orden los #edios
c
a
d2
"
c@ La proporcin es la #is#a si se in!ierten las dosrazones
a
"
c2
d
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d@ Co#posicin de proporciones:
2
c
c d
a
a " 2d
c d
"
a "
e@ %esco#posicin de proporciones:
a
a B "
c2
c B d
"
a B "
d
2c B d
&@ Co#posicin y desco#posicin de proporciones:
a B "
a "
c B d2
c d
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$.* Clasi&icacin
Proporcindiscontinua:
Es auella ue tiene todos sus tr#inos distintos1 es decir:
"
a
d2
c es discontinua si a D " D c D d
Eje#plo: +
'+
32*+
Cuarta Proporcional eo#trica FCP@
Es un cuarto !alor ue junto a otros tres1 &or#an unaproporcin. En el ejercicio anterior:
'+ es CPentre *+1 + y 3
+ es CPentre *+1 '+ y 3
*+ es CPentre '+1 + y 3
3 es CPentre '+1 *+ y +
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Proporcin continua:
Es auella ue tiene los e7tre#os1 o #edios iguales.
"a
d2 "
Eje#plo:
"a
a2 c
3
6
6
2*
(ercera Proporcional eo#trica F(P@Es cada uno de los tr#inos no repetidosde una proporcincontinua.
3es (Pentre *y 6
*es (Pentre 3y 6
En el ejercicio anterior:
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Gedia Proporcional eo#trica FGP@
Es el tr#ino ue se repiteen una proporcin continua.
Eje#plo:
'
*
*2
-
*es #edia proporcional geo#trica FGP@ entre ' y -.
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$.+ Serie de razonesEs la igualdad de ' o #s razones.
"
a2
d
c2
&
e2 444 2 9
'
$2
*
'2
6
)2 444 2 51+2
-
*2
$5
+
a : c: e: 4 2 " : d: & : 4
Eje#plo $:
: constante deproporcionalidad
HR
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Eje#plo ':
a : " : c 2 ) : + : 6
a " c 2 *'
Si 1 deter#inar a1 " y c.
Solucin: a : " : c 2 ) : + : 61 entonces:Si
2+
"2
6
c2 9
)
a
Luego: a 2 )91 " 2 +9 y c 2 69
Co#o a " c 2 *'1 entonces: )9 +9 69 2 *'
$*9 2 *'
9 2 *'
$*9 2 )
Por lo tanto:a 2 31 " 2 $+ y c 2 $-
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$.6 Proporcionalidad directa
%os !aria"les son directa#ente proporcionales1 si al
au#entar Fdis#inuir@ una de ellas1 la otra ta#"inau#enta Fdis#inuye@.
yes directa#ente proporcional a 7 si7
y2 91 9: constante
Eje#plo:La siguiente ta"la representa la relacin entre el n
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r&ica#ente:
El gr&ico de una proporcin directa es una recta conpendiente positi!a o negati!a.
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$., Proporcionalidad in!ersa
%os !aria"les son in!ersa#ente proporcionales1 si al
au#entar una de ellas1 la otra dis#inuye Fy !ice!ersa@.
yes in!ersa#ente proporcional a 7 si y;72 91 9: constante
Eje#plo:
Para construir una piscina en '5 d=as se reuiere de *o"reros. Entonces se puede in&erir ue para de#orar $5 d=asse reuieren - o"reros1 y para de#orar + d=as se reuieren$6 o"reros1 y as= sucesi!a#ente.
Si ta"ula#os:N de obreros
(x)Das (y) k = y;x
* '5 -5
- $5 -5
$6 + -5
*54 '4 -54
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r&ica#ente:
El gr&ico de una proporcin in!ersa es una 8ipr"ola.
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$.- Proporcionalidad co#puesta
Es auella en ue inter!ienen #s de dos !aria"les.
Eje#plo:
Si + pasteleros producen en , d=as *55 tortas1 >cuntastortas pueden producir $* pasteleros en 3 d=as?
Solucin:In #todo prctico es el siguiente:
$ Se ordenan los datos dejando la incgnita Ftortas@1 en el centro:
N pasteleros N tortas %=as
+ *55 ,
$* 7 3
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N de Pasteleros y N de tortasson directa#ente proporcionales1 yaue1 #ientras #s pasteleros #ayor es la cantidad de pasteles
producidos.
%=as y N de tortasson directa#ente proporcionales1 ya ue1#ientras #s d=as1 #ayor es la cantidad de pasteles producidos.
'Se analiza el tipo de proporcionalidad de cada !aria"le conla incgnita1 esto es:
N pasteleros N tortas%=as
+ *55 ,
$* 7 3
Entonces: + ; 7 ; , 2 $* ;*55 ;3
7 2 $* ;*55 ;3+;,
7 2 $.**5
Por lo tanto1 $* pasteleros en 3 d=as1 pueden producir $.**5 tortas.
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Los contenidos re!isados anterior#ente los puedesencontrar en tu li"ro1 desde la pgina 85 a la 89.